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浙江省杭州市2015年中学教师解能力测评普通高中数学试卷(2015.7.8)(附答案)


2015 年中学教师解题能力测评普通高中数学试卷

本试题卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟.

第 I 卷 (选择题

共 40 分)

注意事项: 用钢笔或圆珠笔将题目做在答卷上,做在试题卷上无效. 一、选择题:本大题 8 小题,每

小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.设集合 A ? {x || x ?1 |? 2}, B ? { y | y ? 2 x , x ?[0,2]} ,则 A ? B ? A. [0,2] B. (1,3) C. [1,3) D. (1, 4)

普通高中数学试卷答案
一、CADB BDAD 二、9. 2, 0;10. 15. (2 10,??) 三、 16. 解 : (Ⅰ)由题意知 f ( x) ? a ? b ? m sin 2 x ? n cos 2 x ,因为 y ? f ( x) 的图像过点 (

? , 3 ? 2 ;11. 1 2

,3? 2

6 1 ,1] ; 2 ; 12. 应该是 [ ? , 2] ;13.8/7<a<2;14. [ 2 3

?
12

, 3) 和

? ? ? 3 ? m sin ? n cos ? 2? ? 6 6 ( , ?2) ,所以 ? 3 ??2 ? m sin 4? ? n cos 4? ? 3 3 ?

,即

? 1 3 n ? 3 ? m? ? 2 2 ……………………4 分 ? 3 1 ??2 ? ? m? n ? ? 2 2

解得 m ? 3, n ? 1 ……………………………………………………………………………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?

?
6

) ,由题意知

g ( x) ? f ( x ? ? ) ? 2sin(2 x ? 2? ? ) ,设 y ? g ( x) 的图像上符合题意的最高点为 ( x0 , 2) , 6
由题意知 x02 ? 1 ? 1 ,所以 x0 ? 0 ……………………………………………………………………10 分 即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2) ,将其代入 y ? g ( x) 得 sin(2? ? 因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ?

?

?
6

) ? 1 ……12 分

?
6

,因此 g ( x) ? 2sin(2 x ?

?
2

) ? 2 cos 2 x ,

由 2k? ? ? ? 2 x ? 2k? , k ? Z ,得 k? ?

?
2

? x ? k? , k ? Z

所以,函数 y ? g ( x) 的单调递增区间为 [ k? ?

?
2

, k? ], k ? Z ……………………………………15 分

17. (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,由 S2=a3,得 2a1+d=a1+2d,故有 a1=d. ……………………2 分 由 a3=b3,得 a1+2d=b1q2,故有 3a1=q2.①
2

……………………………………………………4 分

由 a1,a3,b4 成等比数列,得 a3 =a1· b4,故有 9a1=q3.② …………………………………………6 分 由①②解得 a1=3,q=3,所以 an=3+(n-1)· 3=3n,bn=3n 1. …………………………………8 分


(Ⅱ)因为 cn=k+an+log3bn,所以 c1=3+k,c2=7+k,ct=4t+k-1. ……………………………10 分 1 1 1 2 1 1 2 1 1 由 , , (t≥3)成等差数列,得 = + ,故有 = + ,………………………12 分 c1 c2 ct c2 c1 ct 7+k 3+k 4t+k-1 3k+5 8 得 t= =3+ .因为 t≥3,t∈N*,所以 k-1 必须是 8 的正约数, k-1 k-1
? ? ? ? ?k=2, ?k=3, ?k=5, ?k=9, 所以 ? 或? 或? 或? ………………………………………………15 分 ?t=11 ?t=7 ? ?t=4. ? ? ?t=5 ?

18. ( Ⅰ ) 设 椭 圆 C1 的 半 焦 距 长 为 c , 则 ? c

?c ? 3 ? a?2 3 , 解 得 b ?1 , 所 以 椭 圆 方 程 为 ? ? 2 ?a

?

x2 ? y 2 ? 1. 4

………………………………………………………………………………4 分

(Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时,显然不满足题意 . 当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为

? x2 2 ? y ? kx ? m( k , m ? R ) , 点 A 的 坐 标 为 ( x A , y A ) , 联 立 方 程 ? 4 ? y ? 1 , 消 去 y 得 ? y ? kx ? m ?

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 4 ? 0 (1)所以 ?1 ? 16(4k 2 ? m 2 ? 1) ? 0, 即 4k 2 ? m 2 ? 1 ? 0 (2)…8 分
联立方程 ?

?( x ? 3) 2 ? y 2 ? 7 ? 消去 y 得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 2( km ? 3) x ? m 2 ? 4 ? 0 (3) ? ? y ? kx ? m

所以

16k 2 ? 4m2 ? 8 3mk ? 28 ? 0 , 即

4k 2 ? m 2 ? 2 3mk ? 7 ? 0 (4) ………………11 分
km ? 3 ? 0 (6)………………………14 分 1? k2

(2)-(4)得 km ?

(5)代入(3)得 x A ? ? 3 (5)
2 2

(6)代入 C2 : ( x ? 3) ? y ? 7 得 y A ? ?2 . 经检验 A(0, 2), 或 A(0, ?2) 符合题意,这样点 A 的坐标为 (0, 2), (0, ?2) . …………………15 分

19.
M ·

?

·M





(Ⅰ)连 BE ,

交 CD 于点 O ,连 MO ,由 AM ?

1 1 第 17 题图 AC 和 E 是 AC 的中点得 EM ? A?E ,… 2 分 3 3 1 1 EO EM ? O 为 BE ,CD 的交点, ? EO ? BE , ? 由作图 EM ? A?E , 有 , ? O 为 ?ABC 的重心, 3 3 BE A?E ? A?B // MO ………………………………………………………………………………………………5 分 又? A?B ? 面 MCD , MO ? 面 MCD ,? A?B // 面 MCD …………………………………………7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) A?B // MO ,? ?MOC 为异面直线 A?B 和 CD 所成角………………………………9 分
在 ?MOC 中 , MO ?

1 2 2 2 3 A?B ? , CO ? CD ? , ? A?D ? BD ? 1, A?B ? 2 , 3 3 3 3

?A?DB ? 900 ,根据对称性 ?A?EC ? ?A?DB , ? ?A?EC ? 900 ,? MC ? EC 2 ? ME 2 ?

10 3

? CO 2 ? MO 2 ? MC 2 ,? ?OMC ? 900 …13 分,? cos ?MOC ?

MO 6 ………………15 分 ? CO 6

? x 2 ? (b ? 2) x, x ? 2 20.解: (Ⅰ) f ( x) ? x x ? 2 ? bx ? ? 2 ………………………………………………2 分 ?? x ? (b ? 2) x, x ? 2 因为 f ( x ) 连续,且 f ( x ) 在 R 上递增,等价于这两段函数分别递增,
?2 ? b ?2 ? 所以: ? 2 ,得: b ? 2 ……………………………………………………………………5 分 2?b ? ?2 ? 2
(Ⅱ) f ( x) ? x x ? a ? 2 x ? ?

? x 2 ? (a ? 2) x, x ? a , tf (a) ? ?2ta …………………………7 分 2 ?? x ? (a ? 2) x, x ? a a?2 a?2 a?2 a?2 )上递增 ,在 ( , a ) 上递减, ? ? a , f ( x)在(?? , 当 2 ? a ? 4时, 2 2 2 2 a?2 a2 )? ? a ? 1, f 极小 ( x) ? f (a) ? ?2a , 在 ( a,??) 上递增,所以 f 极大 ( x) ? f ( 2 4 ? 2a ? ?2ta ? ? 2 所以 ? a 对 2 ? a ? 4 恒成立,解得: 0 ? t ? 1 …………………………10 分 ? a ? 1 ? ? 2 ta ? ?4 a?2 a?2 a?2 a?2 a?2 )上递增 ,在 ( , ) 上递减, ?a? 当 ? 2 ? a ? 2时, , f ( x)在(?? , 2 2 2 2 2 a?2 a?2 a2 ,?? ) 上递增,所以 f 极大 ( x) ? f ( )? ? a ? 1, 在( 2 2 4 a?2 a2 a2 a2 f 极小 ( x) ? f ( ) ? ? ? a ? 1, 所以 ? ? a ? 1 ? ?2ta ? ? a ? 1, 对 ? 2 ? a ? 2 恒成立, 2 4 4 4 解得: 0 ? t ? 1 综上: 0 ? t ? 1 ………………………………………………………………………………14 分


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