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歙县中学高一数学必修5测试卷


歙县中学高一数学必修 5 第二章《数列》单元测试卷
时间 120 分钟 满分 150 分

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1、在数列 1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,?中, x 等于( A.11 B.12 C.13 ) D.14 )

2、已知数列 ?an ? , a

1 ? 3 ,a2 ? 6 ,且 an ? 2 ? an ?1 ? an ,则数列的第五项为( A. 6
1

B. ?3
2 3

C. ?12
n

D. ?6

3、已知数列 1011 ,1011 ,1011 ,?,1011 ,?,使数列前 n 项的乘积不超过 105 的最大正整数 n 是 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 4、 在公比为整数的等比数列 ?a n ?中, 如果 a1 ? a 4 ? 9, a 2 ? a3 ? 6, 那么该数列的前 8 项之和为( A. 255 ) B. 254 C. 或 255
255 255 D. 16 16 5、等差数列 {an } 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39 , a3 ? a6 ? a9 ? 27 ,则数列 {an } 的前 9 项

的和 S9 等于( ) A.66 B.99 C.144 D.297 6、一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起 为负数,则它的公差是( ) A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 ? 7、在等差数列{an}中,设公差为 d,若 S10=4S5,则 A.
a1 等于( d

)?

1 1 B.2 C. D.4 ? 2 4 2 8 、 在 各 项 均 不 为 零 的 等 差 数 列 ?an ? 中 , 若 an?1 ? an ? an?1 ? 0(n ? 2) , 则
S2 n ?1 ? 4n ? (

) )

A. ?2 B. 0 C. 1 D. 2 n 9、 若数列{an}的前 n 项和为 Sn=a -1(a≠0),则这个数列的特征是( ? A.等比数列 B.等差数列 C.等比或等差数列 D.非等差数列

10、 等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 与Tn,对一切自然数 n,都
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Sn a 2n = ,则 5 等于( Tn 3n ? 1 b5

) C.
20 31

? A.

2 3

B.

9 14

D.

11 17

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11、已知数列的 S n ? n 2 ? n ? 1 ,则 a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 =_____________。 12、已知数列 {a n } 满足 a1 ? 1 , a n ?1 ?
an ,则 a n =__ 3a n ? 1

_____

13 、 三 个 不 同 的 实 数 a, b, c 成 等 差 数 列 , 且 a, c, b 成 等 比 数 列 , 则 a∶b∶c=_________。 14、已知数列 1, 于 。 15、在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间, 某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三 棱锥”形的展品,其中第 1 堆只有 1 层,就一个
? 球;第 2, 3, 4, 堆最底层(第一层)分别按图 1
图1

,则其前 n 项的和等

?

所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球 自然垒放在下一层之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以 f (n) 表示这 n 堆的乒 乓球总数,则 f (3) ? _____ ; f (n) ? _____ ( f (n) 的答案用 n 表示,可用公式:
12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? n 2 ? n(n ? 1)( 2n ? 1) ) 6

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歙县中学高一数学必修 5 第二章《数列》单元测试卷
时间 120 分钟
班级 一,选择题: 题号 答案 二,填空题: 11 13 15 , 12 14 1 2 姓名

满分 150 分
学号 总分

3

4

5

6

7

8

9

10

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,或演算步骤)
16、 (本题 12 分)三个互不相等的数成等差数列,如果适当排列这三个数,也可成等比数 列,已知这三个数的和等于 6,求此三个数。

第 3 页 共 8 页

17、 (本题 12 分)某城市 1991 年底人口为 500 万,人均住房面积为 6 m2,如果该城市每 年人口平均增长率为 1%,则从 1992 年起,每年平均需新增住房面积为多少万 m2,才能 使 2010 年底该城市人均住房面积至少为 24m2?(可参考的数据 1.0118=1.20,1.0119=1.21, 1.0120=1.22).

18、 (本题 13 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,点 (n, 的图像上.(Ⅰ)写出 S n 关于 n 的函数表达式; (Ⅱ)求证:数列 {an } 是等差数列; (Ⅲ)求数列 {| an |} 的前 n 项的和.

Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y=-x+12 n

第 4 页 共 8 页

19、 (本题 12 分)设等比数列 ?a n ?前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? S 6 ? 2S 9 . (Ⅰ)求数列的公比 q ; (Ⅱ)求证:2S3,S6,S12-S6 成等比数列.

20、 (本题 13 分) 在等差数列 ? an ? 中,a1 ? 1 , n 项和 S n 满足 前 (Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 bn ? an p n ( p ? 0) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
a

S 2 n 4n ? 2 ? , n ? 1, 2,? . Sn n ?1

第 5 页 共 8 页

* 21、 (本题 13 分)在数列 ? an ? 中, a1 ? 2 , an ?1 ? 4an ? 3n ? 1 , n ? N .

(1)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (2)求数列 ? an ? 的前 n 项和 S n ; (3)证明不等式 S n ?1 ≤ 4 S n ,对任意 n ? N 皆成立.
*

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歙县中学高一数学必修 5 第二章《数列》测试答案
一、选择题: 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 C 5 B 6 C 7 A 8 A 9 C 10 B

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 24 分)

1 2n ;13.4∶1∶(-2) ;14. ; 3n ? 2 n ?1 n(n ? 1)( n ? 2) 15. f (3) ? 10, f (n) ? . 6
11.100;12. 三、解答题: (本大题共 5 小题,共 46 分。解答应写出文字说明,或演算步骤) 17.解:设三个数分别为 a-d,a,a+d ,则(a-d)+a+(a+d)=3a=6, a=2 . 三个数分别为 2-d,2,2+d,∵它们互不相等 ∴分以下两种情况: 当(2-d)2=2(2+d)时,d=6. 三个数分别为-4,2,8 ; 当(2+d)2=2(2-d)时,d=-6. 三个数分别为 8,2,-4. 因此,三个数分别为-4,2,8 或 8,2,-4. 18.解 设从 1992 年起,每年平均需新增住房面积为 x 万 m2,则由题设可得下列不等式

500 ? 6 ? 19 x ? 500 ? (1 ? 0.01)19 ? 24 解得 x ? 605 .
答 设从 1992 年起,每年平均需新增住房面积为 605 万 m2. 19.解 (Ⅰ)由题设得

Sn ? ?n ? 12 ,即 Sn ? n(?n ? 12) ? ?n 2 ? 12n .??3 分 n (Ⅱ)当 n ? 1 时, an ? a1 ? S1 ? 11 ;
当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 = (?n ? 12n) ? (?(n ? 1) ? 12(n ? 1)) = ?2n ? 13 ;
2 2

由于此时-2×1+13=11= a1 ,从而数列 {an } 的通项公式是 an ? ?2n ? 13 .??7 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,a1 , a2 ,? a6 ? 0 ,数列 {an } 从第 7 项起均为负数.设数列 {| an |} 的 前 n 项的和为 Tn . 当 n ? 6 时, Tn ?| a1 | ? | a2 | ? ? ? | an | = a1 ? a2 ? ? ? an = Sn ? ?n ? 12n ;??9 分
2

当 n ? 7 时, Tn ?| a1 | ? | a2 | ? ? ? | an |? a1 ? a2 ? ? ? a6 ? a7 ? ? ? an = (a1 ? a2 ? ? ? a6 ) ? (a7 ? ? ? an )
2 = 2(a1 ? a2 ? ? ? a6 ) ? (a1 ? a2 ? ? ? a6 ? a7 ? ? ? an ) = 2 S6 ? S n = n ? 12n ? 36 .?12 分

? ? n 2 ? 12n, n ? 6 ? 所以数列 {| an |} 的前 n 项的和为 Tn ? ? 2 .??13 分 ? n ? 12n ? 36, n ? 7 ? 20 解(Ⅰ)当 q ? 1 时 S3 ? S6 ? 9a1 , 2S9 ? 18a1 .因为 a1 ? 0 所以 S3 ? S6 ? 2S9 ,?2 分

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) a1 (1 ? q 9 ) ? ? 2? 由 题 设 q ? 1 . 从 而 由 S 3 ? S 6 ? 2S 9 得 ,化简得 1? q 1? q 1? q
第 7 页 共 8 页

2q9 ? q6 ? q3 ? 0 ,因为 q ? 0 ,所以 2q 6 ? q3 ? 1 ? 0 ,即 (2q3 ? 1)(q3 ? 1) ? 0 .又 q ? 1 ,

1 1 , q ? 3 ? .??6 分 2 2 S 1 S ? S3 ? S3 1 S 6 ? S3 1 1 1 1 (Ⅱ)由 q 3 ? ? 得 6 ? ? 6 ? ?( ? 1) ? ? (q 3 ? 1) = (? ? 1) S3 2 S3 2 2 2 S3 2 2 2
所以 q 3 ? ? =

S ? S6 S S ? S6 1 1 1 ;又 12 ,从而 2S3,S6,S12-S6 成等比 ? q 6 ? (? )2 ? ,所以 6 = 12 S6 2 4 2 S3 S6 4

数列. ??12 分 20. (Ⅰ) 解: 设等差数列 ? an ? 的公差为 d ,由 即 d ? a2 ? a1 ? 1 ,所以 an ? n 。??4 分 (Ⅱ)由 bn ? an p n ,得 bn ? np 。所以 Tn ? p ? 2 p ? 3 p ? ? ? (n ? 1) p
a

S 2 n 4n ? 2 a ? a2 ? 3, 得: 1 所以 a2 ? 2 , ? a1 Sn n ?1
2 3 n ?1

n

? np n ,

当 p ? 1 时, Tn ? 当 p ? 1 时,

n(n ? 1) ;??7 分 2

pTn ? p 2 ? 2 p3 ? 3 p 4 ? ? ? (n ? 1) p n ? np n ?1 ,

(1 ? P)Tn ? p ? p ? p ? ? ? p
2 3

n ?1

? p ? np
n

n ?1

p(1 ? p n ) ? ? np n ?1 1? p

? n(n ? 1) , p ?1 ? 2 ? 即 Tn ? ? ??13 分 n n ?1 ? p (1 ? p ) ? np , p ? 1 ? (1 ? p ) 2 1 ? p ?
21、 (Ⅰ)证明:由题设 an ?1 ? 4an ? 3n ? 1 ,得 又 a1 ? 1 ? 1 ,所以数列 ?an ? n? 是首项为 1 ,且公比为 4 的等比数列.??4 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 an ? n ? 4
n ?1

an?1 ? (n ? 1) ? 4(an ? n) , n ? N* .

,于是数列 ? an ? 的通项公式为

an ? 4n ?1 ? n .所以数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ?
(Ⅲ)证明:对任意的 n ? N ,??4 分
*

4n ? 1 n(n ? 1) ? .??8 分 3 2

? 4n ? 1 n(n ? 1) ? 4n ?1 ? 1 (n ? 1)(n ? 2) S n ?1 ? 4S n ? ? ? 4? ? ? 3 2 2 ? ? 3

1 ? ? (3n2 ? n ? 4) ≤ 0 . 2 * 所以不等式 S n ?1 ≤ 4 S n ,对任意 n ? N 皆成立.??13 分
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