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高考数学概率统计习题


例2 (2008 年高考广东卷理 3) 某校共有学生 2000 名, 各年级男、 女生人数如表. 已知在全校学生中随机抽取1 名, 抽到二年级女生的概率是 0.19 .现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级抽取的学生人数为 ( ) A. 24 B. 18 C. 16 D. 12
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一 年级 女 生

r />学科网

二 年级

三 年级

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373

x

y

分析:根据给出的概率先求出 x 的 值, 这样就可以知道三年级的学生人数, 男 z 377 370 问题就解决了. 生 数的 19% ,即 x ? 2000 ? 0.19 ? 380 , 解析: C 二年级女生占全校学生总 这样一年级和二年级学生的总数是 373 ? 377 ? 380 ? 370 ? 1500 ,三年级学生有 500 人,用分层抽样抽取的三年 级学生应是

64 ? 500 ? 16 .答案 C. 2000
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点评:本题考查概率统计最基础的知识,还涉及到一点分析问题的能力和运算能力,题目以抽样的等可能性为出 发点考查随机抽样和分层抽样的知识. 题型 2 统计图表问题 例 5 (2009 年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第 13 题)某篮球运动员在一个赛季的 40 场比赛中的得分 的茎叶图如图所示,则这组数据的中位数是 ;众数是 .
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分析:根据茎叶图和中位数、众数的概念解决. 解析:由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来,处在中间位置的一个(或是最中间两个数的平均 数) ,故从茎叶图可以看出中位数是 23 ;而众数是样本数据中出现次数最多的数,故众数也是 23 .
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例 5(2008 高考广东文 11)为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数 量.产品数量的分组区间为 ? 45,55? , ?55,65? , ?65,75? , ?75,85? ,
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?85,95? 由此得到频率分布直方图如图,则这 20 名工人中一天生产该产品数量在 ?55,75?

的人数是



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分析:找出频率即可. 解析:

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2 0? ? ?0 ?? 0 . 0 4

0.0 ?2 ? 5 ?1 . 0 ?0 ?

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13

点评: 本题考查频率分布直方图, 解题的关键是明确这个直方图上的纵坐标是频率/组距, 得出生产数量在 ?55,75?

的人数的频率. 题型 3 平均数、标准差(方差)的计算问题 例 6(2008 高考山东文 9) 从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩, 统计如表, 则这 100 人成绩的标准差为 (
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A. 3

B.

2 10 5

C. 3

D.

8 5
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分析:根据标准差的计算公式直接计算即可. 解析: 平均数是 标准差是
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5 ? 20 ? 4 ?10 ? 3 ? 30 ? 2 ? 30 ? 1?10 ? 3, 100
2 2 2 2

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20 ? ? 5 ? 3? ? 10 ? ? 4 ? 3? ? 30 ? ? 3 ? 3? ? 30 ? ? 2 ? 3? ? 10 ? ?1 ? 3 ? s? 100 . 80 ? 10 ? 30 ? 40 8 2 10 ? ? ? 100 5 5
2
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答案 B. 点评:本题考查数据组的平均数和标准差的知识,考查数据处理能力和运算能力.解题的关键是正确理解统计表 的意义,会用平均数和标准差的公式,只要考生对此认识清楚,解答并不困难. 题型 4 用样本估计总体 例 8(2008 高考湖南文 12)从某地区 15000 位老人中随机抽取 500 人,其生活能否自理的情况如下表所示:
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则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人. 解析: 60 由上表得 15000 ?

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23 ? 21 ? 2 ? 30 ? 60. 500
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点评:考查样本估计总体的思想. 题型 5.线性回归分析 题型 6 古典概型与几何概型计算问题 例 11 (2008 高考江苏 2)一个骰子连续投 2 次,点数和为 4 的概率 . 分析:枚举基本事件总数和随机事件所包含的基本事件的个数后,根据古典概型的计算公式计算.
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解析:点数和为 4 ,即 ?1,3? , ? 2,2? , ?3,1? ,基本事件的总数是 36 ,故这个概率是

3 1 ? .或是数形结合处理. 36 9

例 12. (2009 年福建省理科数学高考样卷第 4 题)如图,边长为 2 的正方形内有一内切圆.在图形上随机投掷一 个点,则该点落到圆内的概率是 A.

? 4

B.

4

?

C.

4 ?? 4

D. ?

分析:就是圆的面积和正方形面积的比值. 解析:根据几何概型的计算公式,这个概率值是 题型 7 排列组合(理科) 例 15. (2009 年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第 17 题)有 3 张都标着字母 A , 6 张分别标着数字

? ,答案 A. 4

1, 2,3, 4,5,6 的卡片,若任取其中 6 张卡片组成牌号,则可以组成的不同牌号的总数等于

. (用数

字作答) 分析:由于字母 A 是一样的,没有区别,故可以按照含有字母 A 的多少分类解决,如含有 2 个字母 A 时,只要在 6 个位置上选两个位置安排字母 A 即可,再在其余位置上安排数字.
6 1 5 2 4 解析:不含字母 A 的有 A6 ? 720 ;含一个字母 A 的有 C6 A6 ? 6 ? 720 ? 4320 ;含两个字母 A 时,C6 A6 ? 5400 ; 3 3 含三个字母 A 时, C6 A6 ? 2400 .故总数为 720 ? 4320 ? 5400 ? 2400 ? 12840 .

点评:解决排列、组合问题的一个基本原则就是先对问题分类、再对每一类中的问题合理地分步,根据排列组合 的有关计算公式和两个基本原理进行计算. 题型 8 二项式定理(理科) 例 16(安徽省皖南八校 2009 届高三第二次联考理科数学第 4 题) 若 (1 ? x)n ? 1 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ?

? xn (n ? N ? ) ,且 a1 : a3 ? 1: 7 ,则 a5 等于
C. 35 D. ?35

A. 56 B. ?56 分析:根据展开式的系数之比求出 n 值.

5 2 3 解析: a2 ? ?Cn ,由 a2 : a3 ? 1: 7 ,得 n ? 8 ,故 a5 ? ?C8 ? ?56 ,答案 B. , a3 ? ?Cn

点评:解这类题目要注意展开式的系数和展开式中项的系数是区别,别把符号弄错了. 题型 9 离散型随机变量的分布、期望与方差(理科的重要考点) 例 17. (浙江宁波市 2008 学年度第一学期期末理科第 19 题)在一个盒子中,放有标号分别为1 , 2 , 3 的三张卡 片,现从这个盒子中,有放回 地先后抽得两张卡片的标号分别为 x 、 y ,记 ? ? x ? 2 ? y ? x . ... (1)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取得最大值”的概率; (2)求随机变量 ? 的分布列和数学期望. 分析:根据对随机变量 ? 的规定,结合 x, y 的取值确定随机变量可以取那些值,然后根据其取这些值的意义,分 别计算其概率. 解析: (1)? x 、 y 可能的取值为 1 、 2 、 3 ,? x ? 2 ? 1 , y ? x ? 2 ,

?? ? 3 ,且当 x ? 1 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 1 时, ? ? 3 .因此,随机变量 ? 的最大值为 3



? 有放回抽两张卡片的所有情况有 3 ? 3 ? 9 种,? P (? ? 3) ?
(2) ? 的所有取值为 0 , 1 , 2 , 3 .

2 . 9

?? ? 0 时,只有 x ? 2 , y ? 2 这一种情况,

? ? 1 时,有 x ? 1 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 3 四种情况,

? ? 2 时,有 x ? 1 , y ? 2 或 x ? 3 , y ? 2 两种情况.
? P (? ? 0) ? 1 4 2 , P(? ? 1) ? , P (? ? 2) ? . 9 9 9

则随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0
1 9

1

2

3

2 2 9 9 1 4 2 2 14 因此,数学期望 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? . 9 9 9 9 9
点评:有放回的“取卡片、取球”之类的问题,其基本事件的总数要由分步乘法计数原理解决,这是一类重要的概 率模型. 例 18. (江苏扬州市 2008-2009 学年度第一学期期未调研测试加试第 4 题)某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手 之间举行,比赛采用五局三胜制,按以往比赛经验,甲胜乙的概率为

4 9

2 . 3

(1)求比赛三局甲获胜的概率; (2)求甲获胜的概率; (3)设甲比赛的次数为 X ,求 X 的数学期望. 分析:比赛三局甲即指甲连胜三局,可以按照相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算,也可以将问题归结为 三次独立重复试验,将问题归结为独立重复试验概型;甲最后获胜,可以分为甲三局获胜、四局获胜、五局获胜 三个互斥事件的概率之和;甲比赛的次数也就是本次比赛的次数,注意当三局就结束时,可能是甲取胜也可能是 乙取胜等. 解析:记甲 n 局获胜的概率为 P n , n ? 3, 4,5 ,

2 8 ; 3 27 8 2 2 3 1 (2)比赛四局甲获胜的概率是: P4 ? C3 ( ) ( ) ? ; 3 3 27 16 2 2 3 1 2 比赛五局甲获胜的概率是: P ; 5 ? C4 ( ) ( ) ? 3 3 81 64 甲获胜的概率是: P . 3 ?P 4 ?P 5 ? 81 (3)记乙 n 局获胜的概率为 Pn ' , n ? 3, 4,5 . 1 2 8 3 1 3 2 1 3 2 2 1 3 2 2 P '3 ? C3 ( ) ? , P4 ' ? C3 ( ) ( ) ? ;P ; 5 ' ? C4 ( ) ( ) ? 3 27 3 3 27 3 3 81
3 3 (1)比赛三局甲获胜的概率是: P3 ? C3 ( ) ?

故甲比赛次数的分布列为:

X P( X )

3

4

5

P 3 ?P 3'

P4 ? P4 '

P 5 ?P 5'

所以甲比赛次数的数学期望是:

E( X ) ? 3? (

1 8 8 2 16 8 107 ? ) ? 4? ( ? ) ? 5? ( ? ) ? . 27 27 27 27 81 81 27

点评:这是一个以独立重复试验概型为基本考查点的概率试题,但这里又不是单纯的独立重复试验概型,是一个 局部的独立重复试验概型和相互独立事件的结合.这类比赛型的概率试题也是一个重要的概率模型.

【专题训练与高考预测】 文科部分

一、选择题 1.从某鱼池中捕得 120 条鱼,做了记号之后,再放回池中,经过适当的时间后,再从池中捕得 100 条鱼,若其中有记 号的鱼为 10 条,试估计鱼池中共有鱼的条数为 ( ) A. 1000 B. 1200 C. 130 D. 1300 2.已知 x 与 y 之间的一组数据:

x
y
则 y 与 x 的线性回归方程为 y ? a ? bx 必过点 A. ? 2, 2 ? B. ?1.5,0 ?

0 1

1 3

2 5

3 7
( D. ?1.5, 4 ? )

C. ?1, 2 ?

3.从 2007 名学生中选取 50 名学生参加全国数学联赛,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从 2007 人中剔除 7 人,剩下的 2000 人再按系统抽样的方法抽取,则每人入选的概率 ( ) A.不全相等 B.均不相等

50 C.都相等,且为 2007

1 D.都相等,且为 40

4.根据某医疗研究所的调查,某地区居民血型的分布为: O 型 50 % , A 型 15 % , B 型 30 % , AB 型 5% .现有一血液为 ( ) A 型病人需要输血,若在该地区任选一人,那么能为病人输血的概率为 A. 15 % B. 20 % C. 45 % D. 65 % 5.4 张奖券中只有 1 张能中奖,现分别由 4 名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券,则最后一名同 学抽到中奖奖券的概率是 ( ) A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D. 1

6. 有如下四个游戏盘, 如果撒一粒黄豆落在阴影部分, 则可中奖. 小明希望中奖, 他应选择的游戏盘是





二、填空题 7.归直线方程为 y ? 0.5x ? 0.81 ,则 x ? 25 时, y 的估计值为 .

9.一工厂生产了某种产品 180 件,它们来自甲、乙、丙 3 条生产线,为检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方 法进行抽样,已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列,则乙生产线生产了 件产品. 10.如图: M 是半径为 R 的圆周上一个定点,在圆周上等可能的任取一点 N ,连接 MN ,则弦 MN 的长度超过 2 R 的概率是 .

【参考答案】 文科部分
1.解析:B 根据用样本估计总体的思想,池中有记号的鱼的频率是 4.解析:D 过样本中心点.选 D.

1 ,故鱼池中鱼的条数是 1200 条. 10

7.解析:C 任何个体被抽到的概率都相等,且是

50 . 2007

8.解析:D 只有 O 型和 A 型,根据互斥事件的概率加法得结论为 65 % .

1 . 3 3 1 4 ?? 10. 解析: A 选择游戏盘的原则是中奖的概率大, A 中中奖的概率是 , B 中中奖的概率是 , C 中中奖的概率是 , 8 3 4 1
9.解析:B 相当于在 3 张奖券中 1 张有奖, 3 人抽取,最后一人抽到中奖奖券的概率是 B 中中奖的概率是 11.解析: 11.69 12.解析: 95% 13.解析: 60 .三条生产线的产品也组成等差数列.

? 0.5 ? 2? 5 0.8 ?1 1 1 . 6 9

,比较大小即知.

1 14.解析: 2

0 N ,N 连接圆心 O 与 M 点,作弦 MN 使 ?MON ? 90 ,这样的点有两个,分别记为 1 2 ,仅当 N 在不

1800 1 ? 0 0 2. 属于 M 的半圆弧上取值时满足 MN ? 2R ,此时 ?N1ON2 ? 180 ,故所求的概率为 360


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