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专题5:解析几何问题的题型与方法


第二轮复习教案

镇平雪枫中学

答磊

专题五

解析几何问题的题型与方法

【考点审视】 高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 30 分左右, 考查的知识点约为 20 个左右。 其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查。选择题和

填空 题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线 中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲线的位 置关系,求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法,这一点值得强化。 ............... (一)直线和圆的方程 1.理解直线的斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、两 点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程。 2.掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够根 据直线的方程判断两条直线的位置关系。 3.了解二元一次不等式表示平面区域。 4.了解线性规划的意义,并会简单的应用。 5.了解解析几何的基本思想,了解坐标法。 6.掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程。 (二)圆锥曲线方程 1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。 2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。 3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。 4.了解圆锥曲线的初步应用。 【教学过程】

一.基础知识详析
(一)直线的方程 1.点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) ;2. 截距式: y ? kx ? b ;

y ? y1 x ? x1 x y ;4. 截距式: ? ? 1 ; ? a b y 2 ? y1 x2 ? x1 5.一般式: Ax ? By ? C ? 0 ,其中 A、B 不同时为 0.
3.两点式: (二)两条直线的位置关系 两条直线 l1 , l 2 有三种位置关系:平行(没有公共点) ;相交(有且只有一个公共点) ; 重合(有无数个公共点).在这三种位置关系中,我们重点研究平行与相交. 设直线 l1 : y = k 1 x + b1 ,直线 l 2 : y = k 2 x + b2 ,则

l1 ∥ l 2 的充要条件是 k 1 = k 2 ,且 b1 = b2 ; l1 ⊥ l 2 的充要条件是 k 1 k 2 =-1.
(三)线性规划问题 1.线性规划问题涉及如下概念: ⑴存在一定的限制条件,这些约束条件如果由 x、y 的一次不等式(或方程)组成的不等 式组来表示,称为线性约束条件. ⑵都有一个目标要求,就是要求依赖于 x、y 的某个函数(称为目标函数)达到最大值或 最小值.特殊地,若此函数是 x、y 的一次解析式,就称为线性目标函数. ⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题. ⑷满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解. ⑸所有可行解组成的集合,叫做可行域. ⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解,叫做这个问题的最优解. 2.线性规划问题有以下基本定理: ⑴ 一个线性规划问题,若有可行解,则可行域一定是一个凸多边形. ⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的.

解析几何问题的题型与方法
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⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题,最优解一定在凸多边形的顶点中找到. 3.线性规划问题一般用图解法. (四)圆的有关问题 1.圆的标准方程 ,称为圆的标准方程,其圆心坐标为(a,b) ,半径为 r. ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r>0) 特别地,当圆心在原点(0,0) ,半径为 r 时,圆的方程为 x 2 ? y 2 ? r 2 . 2.圆的一般方程

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4 F >0)称为圆的一般方程, D E 1 D 2 ? E 2 ? 4F . 其圆心坐标为( ? , ? ) ,半径为 r ? 2 2 2 D E 2 2 当 D ? E ? 4 F =0 时,方程表示一个点( ? , ? ) ; 2 2 2 2 当 D ? E ? 4 F <0 时,方程不表示任何图形.
3.圆的参数方程 圆的普通方程与参数方程之间有如下关系:

? x ? r cos ? x2 ? y2 ? r 2 ? ? ? y ? r sin ?
( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ?

(θ 为参数)

? x ? a ? r cos ? ? ? y ? b ? r sin ?

(θ 为参数)

说明: 直线的斜率及直线方程的几种形式是本章的重点, 本章的难点是倾斜角及直线方 程的概念, 突破难点的方法之一是运用数形结合, 要注意直线方程几种形式的适用性和局限 性,直线方程中的各个参数都具有明显的几何意义,它对直线的位置、点与直线、直线与直 线、直线与圆的各种关系的研究十分重要,高考中重点考查运用上述知识解题的变通能力。 在解答有关直线的问题时,要注意: (1)在确定直线的斜率、倾斜角时,首先要注意斜率存在的条件,其次是倾斜角的范围; (2)在利用直线的截距式解题时,要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况; (3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时,要注意检验不存在的情况,防止丢解; (4) 直线方程的三种形式各有适用范围, 要能根据题中所给已知条件选用最恰当的表示形式, 并能根据问题的需要灵活准确地进行互化,在求直线方程时,要注意需二个独立的条件 才能确定。常用的方法是待定系数法; (5) 两直线的平行与垂直是现实生活中最常见到的两种特殊位置关系, 故掌握它们的判断方 法就显得非常重要, 特别要提醒的是应把它们的判定和平面两向量共线与垂直的判定有 机地结合在一起; (6) 在由两直线的位置关系确定有关参数的值或其范围时, 要充分利用分类讨论、 数形结合、 特殊值检验等基本的数学思想方法。 (7)直线方程问题是“解析几何”的基础,学习时应注意积累下面两方面的经验:①正确选 择各种直线方程解决各种问题;②通过直线方程问题的解题,逐步认识“解析几何”问 题的解题思维策略,积累“方程”“坐标”“图形”的解题经验。 、 、

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线性规划是直线方程在解决实际问题中的应用, 常通过二元一次不等式表示的平面区域 来确定实际问题的解,应用极为广泛。加强思想方法训练,培养综合能力。平面解析几何 的核心是坐标法,它需要运用变化的观点,运用代数的方法研究几何问题,因此在处理解 析几何问题时,从知识到思想方法上都需要与函数、方程、不等式、三角及平面几何内容 相联系。 能够判断直线与圆、点与圆、圆与圆的位置关系,解决直线与圆的有关问题的基本方法 是将直线和圆的方程组成的方程组通过消元, 化成一元二次方程, 然后灵活使用判别式或违 达定理解题;同时要善于利用直线和圆的几何知识解题。 直线与圆的位置关系是直线的一种重要应用,在高考中每年都有重点的考查,因此在复 习时一定注意知识间的横向联系,以达到融汇贯通。 (五)椭圆及其标准方程 1. 椭圆的定义: 椭圆的定义中, 平面内动点与两定点 F1 、F2 的距离的和大于| F1 F2 | 这个条件不可忽视.若这个距离之和小于| F1 F2 |,则这样的点不存在;若距离之和等于 | F1 F2 |,则动点的轨迹是线段 F1 F2 .

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 ( a > b >0) 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0). , a2 b a b 2 3.椭圆的标准方程判别方法:判别焦点在哪个轴只要看分母的大小:如果 x 项的分母 大于 y 2 项的分母,则椭圆的焦点在 x 轴上,反之,焦点在 y 轴上.
2.椭圆的标准方程: 4.求椭圆的标准方程的方法:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定 系数法求解. (六)椭圆的简单几何性质

x2 y2 ? ? 1 ( a > b >0). a2 b2 ⑴ 范围: -a≤x≤a,-b≤x≤b,所以椭圆位于直线 x= ? a 和 y= ? b 所围成的矩形里.
1.椭圆的几何性质:设椭圆方程为 ⑵ 对称性:分别关于 x 轴、y 轴成轴对称,关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭 圆的中心. ⑶ 顶点:有四个 A1 (-a,0) A2 (a,0) B1 (0,-b) B2 (0,b). 、 、 线段 A1 A2 、 B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b,a 和 b 分 别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点. ⑷ 离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比 e ?

c 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平 a

程度.0<e<1.e 越接近于 1 时,椭圆越扁;反之,e 越接近于 0 时,椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义 ⑴ 定义:平面内动点 M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e ? (e<1=时,这个动点的轨迹是椭圆. ⑵ 准线:根据椭圆的对称性, 为x ? ?

c a

x2 y2 ? ? 1( a > b >0)的准线有两条,它们的方程 a2 b2

a2 y2 x2 .对于椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)的准线方程,只要把 x 换成 y 就可以了, c a b

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即y??

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a2 . c

3.椭圆的焦半径:由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.

x2 y2 ? ? 1 ( a > b >0)的左、右两焦点, a2 b2 M(x,y)是椭圆上任一点,则两条焦半径长分别为 MF1 ? a ? ex , MF2 ? a ? ex .
设 F1 (-c,0) F2 (c,0)分别为椭圆 , 椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便. 椭圆的四个主要元素 a、b、c、e 中有 a = b + c 、 e ?
2 2 2

c 两个关系,因此确定椭圆的 a

标准方程只需两个独立条件. (七)椭圆的参数方程

? x ? a cos ? x2 y2 椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)的参数方程为 ? (θ 为参数). a b ? y ? b sin ?
说明 ⑴ 这里参数θ 叫做椭圆的离心角.椭圆上点 P 的离心角θ 与直线 OP 的倾斜角α 不同: tan ? ?

b tan ? ; a

⑵ 椭圆的参数方程可以由方程

x2 y2 ? 2 ? 1 与三角恒等式 cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 相比较 2 a b

而得到,所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. (八)双曲线及其标准方程 1.双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a(小于 | F1 F2 |)的动点 M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件 2a<| F1 F2 |,这一条 件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若 2a=| F1 F2 |,则动点的轨迹是两条 射线;若 2a>| F1 F2 |,则无轨迹. 若 MF1 < MF2 时,动点 M 的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若 MF1 > MF2 时, 轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”. 2. 双曲线的标准方程:

x2 y2 y2 x2 2 2 2 ? 2 ? 1和 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0) .这里 b ? c ? a , 2 a b a b
2

其中| F1 F2 |=2c.要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是:如果 x 项的系数是正数,则焦点在 x 轴上;如果 y 项的系数是正数,则焦点在 y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于 b,因此不能像椭圆那样,通 过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程 后,运用待定系数法求解. (九)双曲线的简单几何性质 1.双曲线
2

c x2 y2 ? 2 ? 1 的实轴长为 2a,虚轴长为 2b,离心率 e ? >1,离心率 e 越大, 2 a a b

双曲线的开口越大.

b x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x 或表示为 2 ? 2 ? 0 .若已知双曲 a a b a2 b m 线的渐近线方程是 y ? ? x ,即 m x ? ny ? 0 ,那么双曲线的方程具有以下形式: n 2 2 2 2 m x ? n y ? k ,其中 k 是一个不为零的常数.
2. 双曲线 3.双曲线的第二定义:平面内到定点(焦点)与到定直线(准线)距离的比是一个大于

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1 的常数 (离心率) 的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线

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x2 y2 ? ? 1, 它的焦点坐标是 (-c, a2 b2 a2 a2 0)和(c,0) ,与它们对应的准线方程分别是 x ? ? 和x ? . c c c 2 2 2 在双曲线中,a、b、c、e 四个元素间有 e ? 与 c ? a ? b 的关系,与椭圆一样确定 a
双曲线的标准方程只要两个独立的条件. (十)抛物线的标准方程和几何性质 1.抛物线的定义:平面内到一定点(F)和一条定直线(l)的距离相等的点的轨迹叫 抛物线。这个定点 F 叫抛物线的焦点,这条定直线 l 叫抛物线的准线。 需强调的是, F 不在直线 l 上, 点 否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线, 而不是抛物线。 2.抛物线的方程有四种类型:

y 2 ? 2 px 、 y 2 ? ?2 px、 x 2 ? 2 py 、 x 2 ? ?2 py .
对于以上四种方程:应注意掌握它们的规律:曲线的对称轴是哪个轴,方程中的该项 即为一次项; 一次项前面是正号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的正方向; 一次项前面是负 号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的负方向。 3.抛物线的几何性质,以标准方程 y2=2px 为例 (1)范围:x≥0; (2)对称轴:对称轴为 y=0,由方程和图像均可以看出; (3)顶点:O(0,0) ,注:抛物线亦叫无心圆锥曲线(因为无中心) ; (4)离心率:e=1,由于 e 是常数,所以抛物线的形状变化是由方程中的 p 决定的; (5)准线方程 x ? ?

p ; 2

(6)焦半径公式:抛物线上一点 P(x1,y1) 为抛物线的焦点,对于四种抛物线的 ,F 焦半径公式分别为(p>0) :

p ; y 2 ? ?2 px : PF ? ? x1 ? 2 p x 2 ? 2 py : PF ? y1 ? ; x 2 ? ?2 py : PF ? ? y1 ? 2 y 2 ? 2 px : PF ? x1 ?

p 2 p 2

(7)焦点弦长公式:对于过抛物线焦点的弦长,可以用焦半径公式推导出弦长公式。 设过抛物线 y2=2px(p>O)的焦点 F 的弦为 AB,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,AB 的倾斜 角为α ,则有①|AB|=x 1 +x 2 +p

以上两公式只适合过焦点的弦长的求法,对于其它的弦,只能 用“弦长公式”来求。 (8)直线与抛物线的关系:直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程: x +bx+c=0,当 a≠0 时,两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别式法即可; 但如果 a=0, 则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线, 此时, 直线和抛物线相交, 但只有一个公共点。 说明: ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时,要分清焦点在 x 轴上还是 y 轴上,还是 两种都存在. ⑵注意椭圆定义、性质的运用,熟练地进行 a、b、c、e 间的互求,并能根据所给的方 程画出椭圆. ⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题: 正确判断焦点的位置; 设出标准方程 ⑴ ⑵ 后,运用待定系数法求解.
2

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⑷双曲线

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b x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x 或表示为 2 ? 2 ? 0 .若已知双曲 a a b a2 b m 线的渐近线方程是 y ? ? x ,即 m x ? ny ? 0 ,那么双曲线的方程具有以下形式: n 2 2 2 2 m x ? n y ? k ,其中 k 是一个不为零的常数.
⑸双曲线的标准方程有两个

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0).这里 a2 b a b

b 2 ? c 2 ? a 2 ,其中| F1 F2 |=2c.要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.
⑹求抛物线的标准方程, 要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型, 再求抛物线的标 准方程,要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型,再由条件确定参数 p 的值.同时,应 明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中抛物线的标准方程、 焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中一个,就可以求出其他两个 (十一)轨迹方程 ⑴ 曲线上的点的坐标都是这个方程的解; ⑵ 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形或轨迹).

二.范例分析
例 1、 求与直线 3x+4y+12=0 平行, 且与坐标轴构成的三角形面积是 24 的直线 l 的方程。 分析:满足两个条件才能确定一条直线。一般地,求直线方程有两个解法,即用其中一 个条件列出含待定系数的方程,再用另一个条件求出此参数。 解法一:先用“平行”这个条件设出 l 的方程为 3x+4y+m=0①再用“面积”条件去求

m ,0) ,交 y 轴于 B(0,? m) 由 1 ? ? m ? ? m ? 24 ,得 m ? ?24 ,代 2 3 4 3 4 入①得所求直线的方程为: 3x ? 4 y ? 24 ? 0
m,∵直线 l 交 x 轴于 A(? 解法二:先用面积这个条件列出 l 的方程,设 l 在 x 轴上截距离 a,在 y 轴上截距 b,则

1 ab ? 24 ,因为 l 的倾角为钝角,所以 a、b 同号,|ab|=ab,l 的截距式为 x ? y ?1 ,即 a 48 2 a 48 ? a2 ? ? 48a ,∴ a ? ?8 代入②得所求 2 48x+a y-48a=0②又该直线与 3x+4y+2=0 平行,∴ 3 4 2 直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 24 ? 0
有 说明:与直线 Ax+By+C=0 平行的直线可写成 Ax+By+C1=0 的形式;与 Ax+By+C=0 垂 直的直线的方程可表示为 Bx-Ay+C2=0 的形式。 例 2、若直线 mx+y+2=0 与线段 AB 有交点,其中 A(-2, 3),B(3,2),求实数 m 的取值范 围。 解:直线 mx+y+2=0 过一定点 C(0, -2),直线 mx+y+2=0 实际上表示的是过定点(0, -2) 的直线系,因为直线与线段 AB 有交点,则直线只能落在∠ABC 的内部,设 BC、CA 这两 条直线的斜率分别为 k1、k2,则由斜率的定义可知,直线 mx+y+2=0 的斜率 k 应满足 k≥k1 或 k≤k2, ∵A(-2, 3) B(3, 2)

4 k ? ?5 ∴ k1 ? 2 3 2 4 5 4 5 ∴-m≥ 或-m≤ ? 即 m≤ ? 或 m≥ 3 2 3 2

y

A o
C(0,-2)

B

x

说明:此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题,这 里要清楚直线 mx+y+2=0 的斜率-m 应为倾角的正切,而当倾角在(0°,90°)或(90°,180°) 内, 角的正切函数都是单调递增的, 因此当直线在∠ACB 内部变化时, 应大于或等于 kBC, k 或者 k 小于或等于 kAC,当 A、B 两点的坐标变化时,也要能求出 m 的范围。

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答磊

例 3、已知 x、y 满足约束条件 x≥1, x-3y≤-4, 3x+5y≤30, 求目标函数 z=2x-y 的最大值和最小值. 解:根据 x、y 满足的约束条件作出可行域,即 如图所示的阴影部分(包括边界). 作直线 l 0 :2x-y=0,再作一组平行于 l 0 的直线 l : 2x-y=t,t∈R. 可知,当 l 在 l 0 的右下方时,直线 l 上的点(x,y) 满足 2x-y>0,即 t>0,而且直线 l 往右平移时,t 随之增大.当直线 l 平移至 l1 的位置时,直线经过可 行域上的点 B,此时所对应的 t 最大;当 l 在 l 0 的左

y
6 5 4 3 2 1

l2 C l0: 2x-y=0 l1
x-3y+4=0

B A
1 x=1 2 3 4 5 6 3x+5y-30=0

O

x

上方时,直线 l 上的点(x,y)满足 2x-y<0,即 t <0,而且直线 l 往左平移时,t 随之减小.当直线 l 平移至 l 2 的位置时,直线经过可行域上 的点 C,此时所对应的 t 最小. x-3y+4=0, 由 解得点 B 的坐标为(5,3) ; 3x+5y-30=0, x=1, 由 3x+5y-30=0, 所以, z最大值 =2?5-3=7; z最小值 =2?1解得点 C 的坐标为(1,

27 ). 5

27 17 =? . 5 5

例 4、某运输公司有 10 辆载重量为 6 吨的 A 型卡车与载重量为 8 吨的 B 型卡车,有 11 名驾驶员.在建筑某段高速公路中, 该公司承包了每天至少搬运 480 吨沥青的任务.已知每辆 卡车每天往返的次数为 A 型卡车 8 次, 型卡车 7 次; B 每辆卡车每天的成本费 A 型车 350 元, B 型车 400 元.问每天派出 A 型车与 B 型车各多少辆, 公司所花的成本费最低, 最低为多少? 解:设每天派出 A 型车与 B 型车各 x、y 辆,并设公司每天的成本为 z 元.由题意,得 x≤10, y≤5, y x+y≤11, 48x+56y≥60, 12 x,y∈N, 10 x+y=11 且 z=350x+400y. 8 x≤10, y=5 6 y≤5, A 4 l0 6x+7y=0 即 x+y≤11, 2 6x+7y≥55, 2 4 6 8 B 10 12 O x,y∈N, x x=10 作 出 可 行 域 , 作 直 线 l 0 : 350x+400y=0 , 即
l1 7x+8y=0 7x+8y=0. 作出一组平行直线:7x+8y=t 中(t 为参数)经过可行域内的点和原点距离最近的直线,此

直线经过 6x+7y=60 和 y=5 的交点 A(

25 ,5) ,由于点 A 的坐标不都是整数,而 x,y∈N, 6 解析几何问题的题型与方法
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所以可行域内的点 A(

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25 ,5)不是最优解. 6

答磊

为求出最优解,必须进行定量分析. 因为, 7?

25 +8?5≈69.2, 所以经过可行域内的整点 (横坐标和纵坐标都是整数的点) 6

且与原点最小的直线是 7x+8y=10, 在可行域内满足该方程的整数解只有 x=10, y=0, (10, 所以 0)是最优解,即当 l 通过 B 点时,z=350?10+400?0=3500 元为最小. 答:每天派出 A 型车 10 辆不派 B 型车,公司所化的成本费最低为 3500 元. 例 5、已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点,AB=2、OT=t (0<t<1),以 AB 为直腰作直 角梯形 AA?B?B ,使 AA? 垂直且等于 AT,使 BB? 垂直且等于 BT, A?B? 交半圆于 P、 Q 两点,建立如图所示的直角坐标系. (1)写出直线 A?B? 的方程; (2)计算出点 P、Q 的坐标; (3)证明:由点 P 发出的光线,经 AB 反射 后,反射光线通过点 Q.
‘ 解: (1 ) 显然 A' ?1,1 ? t ? , B ?? 1 1 ? t ? 于是 , , 直线 A?B? 的方程为 y ? ?tx ? 1 ;

(2)由方程组 ?
P (0,1) 、 Q (

? x 2 ? y 2 ? 1, ? y ? ?tx ? 1,

解出

2t 1? t 2 , ); 1? t 2 1? t 2

1? t2 ?0 2 1? t2 1 1? 0 1 (3) k PT ? k QT ? 1 ? t ? ? . ?? , 2 2t t 0?t t t (1 ? t ) ?t 1? t2 由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知,由点 P 发出的光线经点 T 反射,反 射光线通过点 Q. 说明:需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

例 6、设 P 是圆 M:(x-5)2+(y-5)2=1 上的动点,它关于 A(9, 0)的对称点为 Q,把 P 绕原 点依逆时针方向旋转 90°到点 S,求|SQ|的最值。 解:设 P(x, y),则 Q(18-x, -y),记 P 点对应的复数为 x+yi,则 S 点对应的复数为: (x+yi)?i=-y+xi,即 S(-y, x) ∴ | SQ|? (18? x ? y)2 ? (? y ? x)2

? 182 ? x2 ? y 2 ?36x ? 36y ? 2xy ? x2 ? y2 ? 2xy ? 2 ? x2 ? y 2 ?18x ?18y ?81?81 ? 2 ? (x ?9)2 ? ( y ? 9)2
其中

(x ?9)2 ? ( y ?9)2 可 以 看 作 是 点 P 到 定 点 B(9, -9) 的 距 离 , 共 最 大 值 为

| MB | ?r ? 2 53?1 最小值为 | MB | ?r ? 2 53?1,则 |SQ|的最大值为 2 106? 2 ,|SQ|的最小值为 2 106? 2
例 7、 已知⊙M: x ? ( y ? 2) ? 1, Q是x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B
2 2

两点, (1)如果 | AB |?

4 2 ,求直线 MQ 的方程; 3

(2)求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程.

解析几何问题的题型与方法
-8-

第二轮复习教案
解:(1)由 | AB |?

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答磊

4 2 | AB | 2 2 2 2 1 ,可得 | MP |? | MA | 2 ?( ) ? 12 ? ( ) ? , 由射 3 2 3 3 2 影定理,得 | MB | ?| MP | ? | MQ |, 得 | MQ |? 3, 在 Rt△MOQ 中,
| OQ |? | MQ | 2 ? | MO | 2 ? 3 2 ? 2 2 ? 5 ,
故 a ? 5或a ? ? 5 , 所以直线 AB 方程是

2x ? 5 y ? 2 5 ? 0或2x ? 5 y ? 2 5 ? 0; (2)连接 MB,MQ,设 P( x, y), Q(a,0), 由
点 M,P,Q 在一直线上,得

2 y?2 ? , (*) 由射影定理得 | MB |2 ?| MP | ? | MQ |, ?a x
2 2 2 即 x ? ( y ? 2) ? a ? 4 ? 1, (**) 把(*)及(**)消去 a,

并注意到 y ? 2 ,可得 x ? ( y ? ) ?
2 2

7 4

1 ( y ? 2). 16

说明:适时应用平面几何知识,这是快速解答本题的要害所在。 例 8、 直线 l 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点, 且与抛物线相交于 A ( x1 , y1 )和B( x2 , y 2 ) 两点.(1)求证: 4x1 x2 ? p 2 ; (2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦 CD,直线 l 不是 CD 的垂直平分线. 解: (1)易求得抛物线的焦点 F ( P ,0) .
2
2 若 l⊥x 轴,则 l 的方程为 x ? P , 显然x1 x2 ? P . 2 4 P ,代入抛物线方程整理得 若 l 不垂直于 x 轴,可设 y ? k ( x ? ) 2 2 2 2P P P . x 2 ? P(1 ? 2 ) x ? ? 0, 则x1 x2 ? 4 4 k

综上可知

4x1 x2 ? p 2 .
2 2

2p 2p c?d c?d c2 ? d 2 y? ?? (x ? ) 2 2p 4p

(2)设 C ( c , c), D( d , d )且c ? d ,则 CD 的垂直平分线 l ? 的方程为

2 2 假设 l ? 过 F,则 0 ? c ? d ? ? c ? d ( p ? c ? d ) 整理得 2 2p 2 4p 2 2 2 (c ? d )(2 p ? c ? d ) ? 0 ? p ? 0 ? 2 p 2 ? c 2 ? d 2 ? 0 ,? c ? d ? 0 .

这时 l ? 的方程为 y=0, 从而 l ? 与抛物线 y ? 2 px 只相交于原点. 而 l 与抛物线有两个不同的 交点,因此 l ? 与 l 不重合,l 不是 CD 的垂直平分线. 说明:此题是课本题的深化,课本是高考试题的生长点,复习要重视课本。
2

例 9、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,能否在此椭圆位于 y 轴左侧的部分上找到一点 M,使它 4 3

到左准线的距离为它到两焦点 F1、F2 距离的等比中项,若能找到,求出该点的坐标,若不 能找到,请说明理由。

解析几何问题的题型与方法
-9-

第二轮复习教案

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答磊
1 , 2

解:假设存在满足条件的点, M(x1,y1)a2=4,b2=3, 设 ∴a=2,b ?

3 ,c=1,∴ e ?

| MF1 | ? | MF2 |? ( a ? ex 1 )( a ? ex 1 ) ? a 2 ? e 2 x1 ? 4 ?
2

1 2 x1 ,点 M 到椭圆左准线的距离 4 1 2 a2 r1r2 ? d , ? 4 ? x1 ? ( x1 ? 4) 2 d ? x1 ? ? x1 ? 4 , ∴ , ∴ 4 c 12 2 5x1 ? 32x1 ? 48 ? 0 ,∴ x1 ? ?4 或 x1 ? ? ,这与 x1∈[-2,0)相矛盾,∴满足条件的点 5
例 10、已知椭圆中心在原点,焦点在 y 轴上,焦距为 4,离心率为 (Ⅰ)求椭圆方程;

M 不存在。

2 , 3

(Ⅱ) 设椭圆在 y 轴正半轴上的焦点为 M, 又点 A 和点 B 在椭圆上, M 分有向线段 AB 且 所成的比为 2,求线段 AB 所在直线的方程。

y2 x2 解: (Ⅰ)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 a b
故 a=3,

由 2c=4 得 c=2



c 2 ? a 3

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 5 ∴所求的椭圆方程为

y 2 x2 ? ?1 9 5

(Ⅱ)若 k 不存在,则 又设 A ( x1, y1 )

AM

? 2 ,若 k 存在,则设直线 AB 的方程为:y=kx+2

MB B( x 2 , y 2 )
(9 ? 5k 2 ) x 2 ? 20kx ? 25 ? 0
x1 ? x2 ? ?25 ?② 9 ? 5K 2

? y ? kx ? 2 ? 由 ? x2 得 y2 ? ?1 ? 9 ?5 ?20k x1 ? x2 ? ?① 9 ? 5K 2

∵点 M 坐标为 M(0,2) ∴ AM ? (? x1 ,2 ? y1 ) MB ? ( x2 , y 2 ? 2) 由

AM MB

?2

得 AM ? 2MB ∴ (? x1 ,2 ? y1 ) ? 2( x2 , y2 ? 2)

20k 25 2 2 x2 ? ?④ ? ③ 2 9 ? 5k 9 ? 5k 2 20k 2 25 1 3 2 ) ? 由③、④ 得 2( ∴k ? k ?? 2 2 9 ? 5k 9 ? 5k 3 3 3 x ? 2。 ∴线段 AB 所在直线的方程为: y ? ? 3
∴ x1 ? ?2x2 代入①、②得 x2 ? 说明:有向线段所成的比,线段的定比分点等概念,本身就是解析几何研究的一类重要 问题。向量概念的引入,使这类问题的解决显得简洁而流畅。求解这类问题可以用定比分点 公式,也可以直接用有向线段的比解题。 另外,向量的长度,点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系,向量与解析几何 的结合,为解决这些问题开辟了新的解题途径。

解析几何问题的题型与方法
- 10 -

第二轮复习教案
例 11、已知直线 l 与椭圆

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答磊

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 有且仅有一个交点 Q,且与 x 轴、y 轴 a2 b2

分别交于 R、S,求以线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程. 解:从直线 l 所处的位置, 设出直线 l 的方程, 由已知,直线 l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0). 代入椭圆方程 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2,得
b 2 x 2 ? a 2 (k 2 x 2 ? 2kmx? m2 ) ? a 2b 2 . 化简后,得关于 x 的一元二次方程 (a 2 k 2 ? b 2 ) x 2 ? 2ka 2 mx ? a 2 m 2 ? a 2b 2 ? 0. 于是其判别式 ? ? (2ka 2 m) 2 ? 4(a 2 k 2 ? b 2 )(a 2 m 2 ? a 2 b 2 ) ? 4a 2 b 2 (a 2 k 2 ? b 2 ? m 2 ). 由已知,得△=0.即 a 2 k 2 ? b 2 ? m 2 . ① m 在直线方程 y ? kx ? m 中,分别令 y=0,x=0,求得 R(? ,0), S (0, m). k m y ? ? ?x ? ? k , ?k ? ? x , ? 令顶点 P 的坐标为(x,y) 由已知,得 ? , 解得? ? y ? m. ? ?m ? y. ? ? ? ? 2 2 代入①式并整理,得 a ? b ? 1 , 即为所求顶点 P 的轨迹方程. x2 y 2
2 2 说明:方程 a ? b ? 1 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? x2 y 2

x2 y2 2 3 例 12、已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的 3 a b 3 距离是 . (1)求双曲线的方程; 2
(2)已知直线 y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的圆 上,求 k 的值. 解:∵(1) c ? 2 3 , 原点到直线 AB: x ? y ? 1 的距离 a b a 3 ab ab 3 d ? ? ? . 2 2 c 2 . a ?b
? b ? 1, a ? 3.
3
2 故所求双曲线方程为 x ? y 2 ? 1.

(2)把 y ? kx ? 5代入x ? 3 y 2 ? 3 中消去 y,整理得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 30kx ? 78 ? 0 . 设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ), CD 的中点是 E( x0 , y0 ) ,则 x ? x2 15k 5 x0 ? 1 ? ? y 0 ? kx0 ? 5 ? , 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 y ?1 1 k BE ? 0 ?? . x0 k
2

? x0 ? ky0 ? k ? 0,


15k 5k ? ? k ? 0, 又k ? 0,? k 2 ? 7 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
解析几何问题的题型与方法
- 11 -

第二轮复习教案
故所求 k=± 7 .

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答磊

说明:为了求出 k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 k 的方程. 例 13、过点 P(? 3, 0) 作直线 l 与椭圆 3x2+4y2=12 相交于 A、B 两点,O 为坐标原点, 求△OAB 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。 y 分析:若直接用点斜式设 l 的方程为 y ? 0 ? k ( x ? 3) ,则要 A 求 l 的斜率一定要存在,但在这里 l 的斜率有可能不存在,因此要 P 讨论斜率不存在的情形, 为了避免讨论, 我们可以设直线 l 的方程 O x 为 x ? my ? 3 ,这样就包含了斜率不存在时的情形了,从而简 B 化了运算。 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) l : x ? my ? 3 ,

1 1 | OP | ? | y1 | ? | OP | ? | y 2 |? 3 (| y1 | ? | y 2 |) ? 3 ( y1 ? y 2 ) 2 2 把 x ? my ? 3 代入椭圆方程得: 3(m2 y 2 ? 2 3my ? 3) ? 4 y 2 ? 12 ? 0 ,即 S ?AOB ?

(3m2 ? 4) y 2 ? 6 3my ? 3 ? 0 , y1 ? y 2 ?

3 6 3m , y1 y 2 ? ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4

| y1 ? y 2 |?
?
?

108m 2 12 1 ? ? 144x 2 ? 48 2 2 2 2 (3m ? 4) 3m ? 4 3m ? 4

4 9m 2 ? 3 4 3 ? 3m 2 ? 1 4 3 ? 3m 2 ? 1 ? ? 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4 (3m 2 ? 1) ? 3
4 3m 3m 2 ? 1 ? 3 3m 2 ? 1
m?? 6 3

?

4 3 ?2 2 3

3 3 ? 2 ? 3 ,此时 3m 2 ? 1 ? 2 3m 2 ? 1 3 6 令直线的倾角为 ? ,则 tg? ? ? ?? 2 6
∴S ?

6 。 2 ? ? 例 14、 (2003 年江苏高考题)已知常数 a ? 0 ,向量 c ? (0, a), i ? (1,0). ? ? ? ? 经过原点 O 以 c ? ? i 为方向向量的直线与经过定点 A(0,a)以 i ? 2? c 为方向向量的直线 相交于点 P,其中 ? ? R. 试问:是否存在两个定点 E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若存在,求
即△OAB 面积的最大值为 3 ,此时直线倾斜角的正切值为 ? 出 E、F 的坐标;若不存在,说明理由.
解:∵ i =(1,0) c =(0,a) , , ∴ c +λ i =(λ ,a) i -2λ , 因此,直线 OP 和 AP 的方程分别为 ?y ? ax 和 y ? a ? ?2?ax . 消去参数λ ,得点 P( x, y) 的坐标满足方程 y( y ? a) ? ?2a 2 x 2 . a ( y ? )2 整理得 x 2 2 ? 1. ??① ? 1 a ( )2 8 2 因为 a ? 0, 所以得:

?

?

?

?

?

? c =(1,-2λ

a).

解析几何问题的题型与方法
- 12 -

第二轮复习教案
(i)当 a

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答磊

?

2 2

时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点 E 和 F;

(ii)当 0 ? a ? 个定点; (iii)当 a ?

2 时,方程①表示椭圆,焦点 E ( 1 2 2

1 a 1 1 a ? a 2 , ) 和 F (? ? a 2 , ) 为合乎题意的两 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2 时,方程①也表示椭圆,焦点 E (0, (a ? a 2 ? )) 和 F (0, (a ? a 2 ? )) 为合乎 2 2 2 2 2

题意的两个定点.

说明:由于向量可以用一条有向线段来表示,有向线段的方向可以决定解析几何中直线 的斜率,故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是: 根据直线的方向向量得出直线方程,再转化为解析几何问题解决。

x2 y2 例 15、已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长、短轴端点分别为 A、B,从此椭圆上一 a b 点 M 向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1 ,向量 AB 与 OM 是共线向量。
(1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任意一点, F1 、 F2 分别是左、右焦点,求∠ F1QF2 的取值范围;

(2)设

b2 b2 ,∴ k OM ? ? 。 a ac b b2 b 2 , OM与 AB 是共线向量,∴ ? ? ? ,∴b=c,故 e ? ∵ k AB ? ? 。 a ac a 2 F1Q ? r1 , F2Q ? r2 , ?F1 QF2 ? ? ,
解: (1)∵ F1 (?c,0),则x M ? ?c, y M ?

? r1 ? r2 ? 2a, F1F2 ? 2c,

r12 ? r22 ? 4c 2 (r1 ? r2 ) 2 ? 2r1r2 ? 4c 2 a 2 a2 ? ? ?1 ? ?1 ? 0 r1 ? r2 2 2r1r2 2r1r2 r1r2 ( ) 2 ? 当且仅当 r1 ? r2 时,cosθ =0,∴θ ? [0, ] 。 2 cos ? ?
说明:由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用,因此,解析几 何中与平行线、 三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。 求解此类问题 的关键是:正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系,把有关向量的问题转 化为解析几何问题。

x2 y2 2 的椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 a b 交于 P、Q,两点,直线 l 与 Y 轴交于点 R,且 OP ? OQ ? ?3 , PR ? 3RQ ,求直线 l 和椭
例 16、一条斜率为 1 的直线 l 与离心率为 圆 C 的方程。
解:? 椭圆离心率为

c 2 2 2 2 ,? ? , a ? 2b a 2 2 2 2 x y ? 2 ? 1 ,设 l 方程为: y ? x ? m , P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) 所以椭圆方程为 2 2b b

解析几何问题的题型与方法
- 13 -

第二轮复习教案

镇平雪枫中学

答磊

? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 2 2 2 由 ? 2b 消去 y 得 3x ? 4mx ? 2m ? 2b ? 0 b ?y ? x ? m ?
? ? 16m 2 ? 4 ? 3(2m 2 ? 2b 2 ) ? 8(?m2 ? 3b 2 ) ? 0 ? 3b 2 ? m 2 ? (*) 4 2 x1 ? x 2 ? ? m ??(1) x1 x 2 ? (m 2 ? b 2 ) ??(2) 3 3 OP ? OQ ? ?3 所以 x1 x2 ? y1 y2 ? ?3 2 而 y1 y2 ? ( x1 ? m)(x2 ? m) ? x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m 4 2 4 2 (m ? b 2 ) ? m 2 ? m 2 ? ?3 所以 2 x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m ? ?3 3 3 2 2 所以 3m ? 4b ? ?9 ?? (3) R(0, m) ,PR ? 3RQ ,(? x1 , m ? y1 ) ? 3( x2 , y 2 ? m) 又 2 2 从而 ? x1 ? 3x2 ??(4) 由(1) (4)得 3m ? b ??(5) (2) 2 由(3) (5)解得 b ? 3 , m ? ?1 适合 (*),
所以所求直线 l 方程为:

y ? x ? 1 或 y ? x ? 1 ;椭圆 C 的方程为

x y2 ? ?1 6 3

2

说明:向量数量积的坐标表示,构建起向量与解析几何的密切关系,使向量与解析几何融为 一体。求此类问题的关键是:利用向量数量积的坐标表示,沟通向量与解析几何的联系。体 现了向量的工具性。 例 17、已知椭圆 C 的中心在原点,焦点 F1、F2 在 x 轴上,点 P 为椭圆上的一个动点, 且∠F1PF2 的最大值为 90°,直线 l 过左焦点 F1 与椭圆交于 A、B 两点,△ABF2 的面积最 大值为 12. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)求椭圆 C 的方程. 解法一: (1)设 , 对 ?PF1 F2 , 由余弦定理, 得
cos ?F1 PF2 ? r11 ? r22 ? 4c 2 (r1 ? r2 ) 2 ? 2r1 r2 ? 4c 2 4a 2 ? 4c 2 4a 2 ? 4c 2 ? ? ?1 ? ?1 r ?r 2r1 r2 2r1 r2 2r1 r2 2( 1 2 ) 2 2

? 1 ? 2e 2 ? 0 ,

(2)考虑直线 l 的斜率的存在性,可分两种情况: i) 当 k 存在时,设 l 的方程为 y ? k ( x ? c) ??????① 椭圆方程为 由e ? 2 .
2

x2 y2 ? ? 1, A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) a2 b2 得 a 2 ? 2c 2 , b 2 ? c 2 .
0 ? 2 c2 ? 2 y 2 ? 2 x

于是椭圆方程可转化为 ??????② 2 2 2 将①代入②,消去 y 得 x ? 2k ( x ? c) ? 2c 2 ? 0 , 整理为 x 的一元二次方程,得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4ck 2 x ? 2c 2 (k 2 ? 1) ? 0 . 则 x1、x2 是上述方程的两根.且

| x2 ? x1 |?

2 2c 1 ? k 2 , 1 ? 2k 2
2 2c(1 ? k 2 ) , 1 ? 2k 2

| AB |? 1 ? k 2 | x2 ? x1 |?

c2 ?| 2F 1F | , 2r ?| 2FP | , 1r ?| 1FP |
解出
e? 2 . 2

解析几何问题的题型与方法
- 14 -

第二轮复习教案
AB 边上的高 h ?| F1 F2 | sin ?BF1 F2 ? 2c ?
S? 1 1? k 2 |k| 2 2c( ) 2c 2 2 1 ? 2k 1? k 2
? 2 2c 2 1? k 2 | k | k 2? k 4 ? 2 2c 2 ? 2 2c 1 ? 2k 2 1 ? 4k 2 ? 4k 4
2

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|k| 1? k 2 ,

答磊

1 1 4? 4 k ? k2

? 2c . 2

ii) 当 k 不存在时,把直线 x ? ?c 代入椭圆方程得
2

由①②知 S 的最大值为 2c 2 由题意得 2c 2 =12 所以 c 2 ? 6 2 ? b 2 2 2 故当△ABF2 面积最大时椭圆的方程为: x ? y ? 1. 解法二:设过左焦点的直线方程为: x ? my ? c ????①
2 2 椭圆的方程为: x ? y ? 1, A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 2 2

a

b

2 得: 2 a ? 2c 2 , b 2 ? c 2 , 于是椭圆方程可化为: x 2 ? 2 y 2 ? 2c 2 ? 0 ??② . 2 把①代入②并整理得: (m 2 ? 2) y 2 ? 2mcy? c 2 ? 0 于是 y1 , y2 是上述方程的两根.
由e ?
? 1 ? m2 4m 2 c 2 ? 4c 2 (m 2 ? 2) m2 ? 2

AB 边上的高 h ?

2 从而 S ? 1 | AB | h ? 1 ? 2 2c(1 ? m ) ? 2

当且仅当 m=0 取等号,即 S max ? 由题意知 2c 2 ? 12 , 于是

故当△ABF2 面积最大时椭圆的方程为:

例 18 、 2002 年 天 津 高 考 题 ) 已 知 两 点 M ( -1 , 0 ) N ( 1 , 0 ) 且 点 P 使 ( ,

MP ? MN, PM ? PN, NM ? NP 成公差小于零的等差数列,
(Ⅰ)点 P 的轨迹是什么曲线? (Ⅱ)若点 P 坐标为 ( x0 , y0 ) , ? 为 PM与PN 的夹角,求 tanθ 。 解: (Ⅰ)记 P(x,y) ,由 M(-1,0)N(1,0)得

PM ? ?MP ? (?1 ? x,? y)
所以

PM ? PN ? x 2 ? y 2 ? 1

于是, MP ? MN, PM ? PN, NM ? NP 是公差小于零的等差数列等价于

| 1y ? 2 y | 2 m ? 1 ? 2 ) 2 y ? 1 y ( ? 2 ) 2 x ? 1x ( ?| BA |

2c 1 ? m2

,
2c 1 ? m2 ? 2 2c 2 1 ? m2 (m ? 2) 2

2

2

m ?2

? 2 2c 2

1 1 m ?1? 2 ?2 m ?1
2

? 2c 2 .

b 2 ? c 2 ? 6 2 , a 2 ? 12 2 .
x2 12 2 ? y2 6 2 ? 1.

MP ? MN ? 2(1 ? x)

解析几何问题的题型与方法
- 15 -

c2 ? c2

1 2 ? S ,c2 ?| B A | ,c ??y 2 2

a 2 ? 12 2

12 2

6 2

?

2 2c(1 ? m 2 ) , m2 ? 2

2c 2 .

PN ? ?NP ? (?1 ? x,? y) NM ? NP ? 2(1 ? x)

MN ? ?NM ? (2,0)

第二轮复习教案

镇平雪枫中学

答磊

1 ? 2 2 ? x ? y ? 1 ? [2(1 ? x) ? 2(1 ? x)] 2 ? ?2(1 ? x) ? 2(1 ? x) ? 0 ?



?x 2 ? y 2 ? 3 ? ?x ? 0

所以,点 P 的轨迹是以原点为圆心, 3 为半径的右半圆。

???? ??? ? ? 2 2 2 PM PN ? (1 ? x0 )2 ? y0 ? (1 ? x0 )2 ? y0 ? (4 ? 2 x0 ) ? (4 ? 2 x0 ) ? 2 4 ? x0 ???? ???? ? PM ? PN 1 因为 0〈 x0 ? 3 , 所以 所以 cos ? ? ???? ???? ? . ? 2 PM ? PN 4 ? x0
1 ? 1 ? cos ? ? 1,0 ? ? ? , sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? , 2 2 3 4 ? x0

(Ⅱ)点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) 。 PM ? PN ? x0 ? y 0 ? 1 ? 2 。
2 2

tan? ?

sin ? ? cos?

1?

1 2 4 ? x0

1 2 4 ? x0

2 ? 3 ? x0 ? y 0 .

说明:在引入向量的坐标表示后,可以使向量运算代数化,这样就可以将“形”和“数”紧 密地结合在一起。向量的夹角问题融入解析几何问题中,也就显得十分自然。求解这类问题 的关键是:先把向量用坐标表示,再用解析几何知识结合向量的夹角公式使问题获解;也可 以把两向量夹角问题转化为两直线所成角的问题,用数形结合方法使问题获解。 【热身冲刺】 ( A ) 一、选择题: 1. △ABC 中,三个顶点坐标 A(2,4) 、B(-1,2) 、C(1,0) ,点 P(x,y)在内部及 其边界运动, z=x-y 的最大值及最小值是 则 (A)3,1 (B)-1,-3 (C)1,-3 (D)3,-1 ) ( )

2.已知点 A(3,1)和 B(-4,6)在直线 3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围( (A)-7<a<24 (B)-24<a<7
2

(C)a<7 或 a>24

(D)a=7 或 a=24 ( )

3. 如果直线 l1 , l 2 的斜率分别是方程 x ? 4 x ? 1 ? 0 的两根, l1 , l 2 的夹角是 则 (A)π /3 (B)π /4 (C)π /6 (D)π /8

4. 平行直线 5 x ? 12 y ? 3 ? 0 与 10x ? 24y ? 5 ? 0 的距离是 (A)2/13 (B)1/13 (C)1/26 (D)5/26





5.等腰三角形 ABC,若一腰的两个端点坐标分别是 A(4,2) 、B(-2,0) 为顶点,则 ,A 点 C 的轨迹方程是 (A) x ? y ? 8x ? 4 y ? 0
2 2





解析几何问题的题型与方法
- 16 -

第二轮复习教案
(B) x 2 ? y 2 ? 8x ? 4 y ? 20 ? 0?x ? ?2, y ? 10? (C) x 2 ? y 2 ? 8x ? 8 y ? 20 ? 0?x ? ?2, y ? 10? (D) x 2 ? y 2 ? 8x ? 4 y ? 20 ? 0?x ? ?2, y ? 10?

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答磊

6.圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离等于 2 的点有 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个





7.曲线 f ( x, y) ? 0关于直线x ? y ? 2 ? 0对称的曲线方程式是





(A) f ( y ? 2, x) ? 0(B) f ( y ? 2, x) ? 0(C) f ( y ? 2, x ? 2) ? 0(D) f ( y ? 2, x ? 2) ? 0 8.已知 A(3,1) ,B(-1,2)若∠ACB 的平分线方程为 y ? x ? 1 ,则 AC 所在的直线方 程 ( ) 为

(A) y ? 2 x ? 4 (B) y ?

1 x?3 2


(C) x ? 2 y ? 1 ? 0

(D) 3x ? y ? 1 ? 0

9.一条光线从点 M(5,3)射出,与 x 轴正向成α 角,遇 x 轴后反射,若 tanα =3,则反 射 ( ) 光 线 所 直 线 方 程 为

(A) y ? 3x ? 12 (B) y ? ?3x ? 12 (C) y ? 3x ? 12 (D) y ? ?3x ? 12 10.将直线 l 沿 x 轴正方向平移两个单位,再沿 y 轴负方向平移 3 个单位,又回到了原来的 位置,则 l 的斜率为 (A) ( )

3 2

(B) ?

3 2

(C)

2 3

(D) ?

2 3

二、填空题:

?x ? 0 ? 11.不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域内的整点坐标是 ?x ? y ? 3 ? 0 ?
12.直线 ?m ? 1?x ? y ? 2m ? 1 ? 0 恒过定点,则定点的坐标是 13.若实数 x , y 满足关系: x ? y ? 25 ,则 x + y 的最大值是
2 2
2 2



。 。

2 2 14. 若圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 , D ? E ? 4F ? 0 ) ( 关于 x - y =0 对称, 则系数 D、

E、F 满足关系 三、解答题:



15.直线 l1 : 5x ? 4 y ? 2m ? 1和l 2 2 x ? 3 y ? 0 相交于第四象限,求 m 的取值范围。

解析几何问题的题型与方法
- 17 -

第二轮复习教案
16.设实数 a,考虑方程组 ?

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2 ? 2 ?x ? y ? 0 (1)若此方程组有实数解,求 a 的范围; ?? x ? a ?2 ? y 2 ? 1 ?

(2)此方程组有几组不同的实数解? 17.有一种大型的商品,A、B 两地均有出售且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后 运回来每公里的运费 A 地是 B 地两倍。若 A、B 两地相距 10 公里,顾客选择 A 地或 B 地购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低,那么,不同地点的居民应如 何选择购买此商品的地点? 18.已知点 A(-1,-4) ,试在 y 轴和直线 y=x 上各取一点 B、C,使△ABC 的周长最小。 19.已知圆 x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0。 (1)求证:不论 m 取何值,圆心在同一 直线 l1 上; (2)与 l1 平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离; (3)求证:不论 m 取何值,任何一条平行于 l1 且与圆相交的直线被圆截得的弦长相等。 20.已知△ABC 的三边长分别为 3、4、5,点 P 是它的内切圆上一点,求分别以 PA、PB、 PC 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。 参考答案 1—10.CAACB CCCDB,11. (1,1) ,12. (-2,3) ,13.5 2 ,14.D=E,15.m>-1/2 16.因为x2-y2=0 表示过原点的两条互相垂直的直线:y=x,y=-x, (x-a) +y =1 表示 圆心为 C(a,0) ,半径为 1 的动圆,本题讨论方程组有实数解的问题即讨论圆与直线有公 共点的问题。 (1)- 2 ≤a≤ 2 ; (2)当- 2 <a<-1 或-1<a<1 或 1<a< 2 时有四组 实数解, a=±1 时, 当 有三组实数解, a=± 2 时, 当 有两组实数解, a<- 2 或 a> 2 当 时无实数解。 17.以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系。设 A(-5,0) , 则 B(5,0) ,在平面内任取一点 P(x,y) ,设从 A 运货物到 P 的运费为 2a 元/km,则从 B 运到 P 的费用是 a 元/km,若 P 地居民选择在 A 地购买此商品,则
2 2

25 ? ? ? 20 ? 2a ?x ? 5? ? y ? a ?x ? 5? ? y 化简得? x ? ? ? y 2 ? ? ? 即 P 点在圆 C 3? ? ? 3?
2 2 2 2

2

2

25 ? ? ? 20 ? 2 ? x ? ? ? y ? ? ? 的内部.换言之,圆 C 内部的居民应在 A 地购买,同理可推得圆 C 3? ? ? 3?
外部的应在 B 地购物,圆 C 上的居民可随意选择 A、B 两地之一购物。 18.尝试使用对称法,如图作 A 点关于 y 轴 的对称点 A1,再作 A 点关于 y=x 的对称点 A2, 在 y 轴和 y=x 上公别取点 B、 C,则|BA|=|BA1|, |AC|=|A2C|,于是△ABC 的周长 C A2 |AB|+|BC|+|CA|=|A1B|+|BC|+|CA2|, 从而将问题转化为在 y 轴,y=x 上各取一点,使 A 折线 A1BCA2 的长度最小。B(0,-17/5)和 C(-17/8,-17/8) y

2

2

O B

x

A1

解析几何问题的题型与方法
- 18 -

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19. (1)配方得圆心,将心坐标消去 m 可得直线 a:x-3y-3=0 (2)设与直线 a 平行的直线 c:x-3y+b=0(b≠-3) ,则圆心到直线 a 的距离为

d?

| 3m ? 3?m ? 1? ? b | 10

?

|3?b | 10

,∵圆的半径 r=5,∴当 d<r 时,直线与圆相交,当

d=r 时,直线与圆相切,当 d>r 时直线与圆相离。 (3)对于任一条平行于 a 且与圆相交的直 线的直线 c,由于圆心到直线 c 的距离都与 m 无关,所以弦长与 m 无关。 20.△ABC 为直角三角形,如国图建立直角坐标系, 则 A(0,0) 、B(4,0) 、C(0,3) ,设内切圆半径 为 r,则 r=1/2(|OC|+|OB|-|BC|)=1,故内切圆方程为 2 2 (x-1) +(y-1) =1,可设 P 点坐标(1+Cosα ,1+Sinα ) 则以 PA、PB、PC 为直径的三个圆面积之和 S= 当 Cosα =-1 时,Smax=5.5π , 当 Cosα =1 时, Smin=4.5π . ( B )

? (10-Cosα) 2

1、已知 P 是以 F1 、 F2 为焦点的椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点,若 PF ? PF2 ? 0 1 a2 b2
( (D) )

tan ?PF1 F2 ?
(A)

1 2

1 ,则椭圆的离心率为 2 2 1 (B) (C) 3 3

5 3

2、已知△ABC 的顶点 A(3, -1),AB 边上的中线所在直线的方程为 6x+10y-59=0,∠B 的平分线所在直线的方程为:x-4y+10=0,求边 BC 所在直线的方程。 y 3、求直线 l2:7x-y+4=0 到 l1:x+y-2=0 的角平分线的方程。 C B 4、已知三种食物 P、Q、R 的维生素含量与成本如下表所示. 食物 P 400 800 6 食物 Q 600 200 5 食物 R 400 400 4
T o M A x

维生素 A(单位/kg) 维生素 B(单位/kg) 成本(元/kg)

现在将 xkg 的食物 P 和 ykg 的食物 Q 及 zkg 的食物 R 混合,制成 100kg 的混合物.如果 这 100kg 的混合物中至少含维生素 A44 000 单位与维生素 B48 000 单位,那么 x,y,z 为何 值时,混合物的成本最小? 5、某人有楼房一幢,室内面积共 180 m ,拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间 面积为 18 m ,可住游客 5 名,每名游客每天住宿费为 40 元;小房间每间面积为 15 m , 可住游客 3 名,每名游客每天住宿费为 50 元.装修大房间每间需 1000 元,装修小房间每间 需 600 元.如果他只能筹款 8000 元用于装修, 且游客能住满客房, 他应隔出大房间和小房间 各多少间,能获得最大收益? 6、已知△ABC 三边所在直线方程 AB:x-6=0,BC:x-2y-8=0,CA:x+2y=0,求此三角 形外接圆的方程。 7、已知椭圆 x2+2y2=12,A 是 x 轴正方向上的一定点,若过点 A,斜率为 1 的直线被椭
2 2
2

解析几何问题的题型与方法
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圆截得的弦长为

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4 13 ,求点 A 的坐标。 3 x2 y2 8、已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上两点 A、B,直线 l : y ? x ? k 上有两点 C、D, a b 且 ABCD 是正方形。此正方形外接圆为 x2+y2-2y-8=0,求椭圆方程和直线 l 的方程。 9、求以直线 l : x ? ?2 为准线,原点为相应焦点的动椭圆短轴 MN 端点的轨迹方程。
10、若椭圆的对称轴在坐标轴上,两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点,又焦 点到同侧长轴端点的距离为 2 ? 1 ,求椭圆的方程。 11、已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆 的中点在直线 l : x ? 2 y ? 0 上. (1)求此椭圆的离心率;

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB a2 b2

(2 )若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点的在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上,求此椭圆的方程. 12、设 A(x1,y1)为椭圆 x2+2y2=2 上任意一点,过点 A 作一条直线 l ,斜率为 ?

x1 , 2 y1

又设 d 为原点到直线 l 的距离,r1、r2 分别为点 A 到椭圆两焦点的距离。求证: r1 ? r2 ? d 为 定值。 13、 某工程要将直线公路 l 一侧的土石,通过公路上的两个道口 A 和 B,沿着道路 AP、 BP 运往公路另一侧的 P 处,PA=100m,PB=150m,∠APB=60°,试说明怎样运土石最省 工?

x2 y2 ? ? 1(a>b>0) 为椭圆上除长轴端点外的任一点,F1、F2 为椭 ,P a 2 b2 ??? cos 2 ; 圆的两个焦点, (1)若 ?PF F2 ? ? , ?PF1 F2 ? ? ,求证:离心率 e ? (2) 1 ??? cos 2 2 若 ?F1PF2 ? 2? ,求证: ?F1PF2 的面积为 b ? tan? 。
14、已知椭圆 15、 Rt△ABC 中, 在 ∠CBA=90°, AB=2, AC=

2 。 DO⊥AB 于 O 点, OA=OB, DO=2, 2

曲线 E 过 C 点,动点 P 在 E 上运动,且保持| PA |+| PB |的值不变. (1)建立适当的坐标系,求曲线 E 的方程; (2) D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点 M、 且 M 在 D、 之间, 过 N N 设 试确定实数 ? 的取值范围.

DM ??, DN
2

16、 (2004 年北京春季高考)已知点 A (2, , ( x1 ,y1 ) ,C( x2 ,y2 ) 在抛物线 y ? 2 px 8) B 上, ?ABC 的重心与此抛物线的焦点 F 重合(如图)

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y B A O F M x

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C

(I)写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标; (II)求线段 BC 中点 M 的坐标; (III)求 BC 所在直线的方程。

参考答案
1、解:设 c 为为椭圆半焦距,∵ PF ? PF2 ? 0 1 ∴ PF ? PF2 1

? 2 2 ? 2 ? PF1 ? PF2 ? (2c) 1 ? 又 tan ?PF1 F2 ? ∴ ? PF1 ? PF2 ? 2a 2 ? ? PF2 ? 1 ? PF1 2 ? c 2 5 c 5 解得: ( ) ? 选(D) 。 e? ? a 9 a 3
说明: 垂直向量的引入为解决解析几何问题开辟了新思路。 求解此类问题的关键是利用 向量垂直的充要条件: a ? b ? a ? b ? 0 ” “ ,促使问题转化,然后利用数形结合解决问题。 2、解:设 B(a, b),B 在直线 BT 上,∴a-4b+10=0① 线 CM 上,∴点 M 的坐标满足方程 6x+10y-59=0 ∴ 6? 又 AB 中点 M ? ?

3 ? a , b ?1? 在直 ? 2 ? ? 2

a ? 3 ?10? b ?1?59 ? 0 ② 解①、 2 2


②组成的方程组可得 a=10,b=5 ∴B(10, 5),又由角平分线的定义可知,直线 BC 到 BT 的 角等于直线 BT 到直线 BA 的角,又 k AB ?

6 k ? 1 ∴ kBT ? kBC ? kBA ? kBT BT 1? kBT kBC 1? kBA ? kBT 7 4 kBC ? ? 2 ,∴BC 所在直线的方程为 y ?5 ? ? 2 (x ?10) 即 2x+9y-65=0 9 9
3、解法一:设 l2 到 l1 角平分线 l 的斜率为 k,∵k1=-1,k2=7

k ? 7 ? ?1? k ,解之得 k=-3 或 k ? 1 ,由图形可知 k<0, ∴ 1? 7k 1? k 3 x ? 2 y ? 2 ? 0 解得 l 与 l 的交点 Q? ? 1 , 9 ? , ∴k=-3,又由 ? ? 1 2 7x ? y ? 4 ? 0 ? 4 4? 9 由点斜式得 y ? ? ?3? x ? ? 即 6x+2y-3=0 ? 1? 4 ? 4?

y
1 2

?

Q
1 2

o

x

解析几何问题的题型与方法
- 21 -

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解法二:设 l2 到 l1 的角为θ ,则 tg? ?

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k1 ? k2 4 ? ,所以角θ 为锐角,而 ?1 ? ?2 ? ? , 1? k1k2 3 2

2tg ? 2 ? tg? ? 4 ∴ tg ? ? ?2 或 tg ? ? 1 由二倍角公式可知 2 2 2 3 1? tg 2 ? 2 ? 1 k ? 7 ,∴k=-3 等同解法一。 ∴ tg ? ? 2 2 1? 7k
解法三:设 l:(x+y-2)+λ (7x-y+4)=0 ∴k ?

?? 为锐角, 2

1? 7? ,由解法一知 k ? ?3 ? 1? 7? ,∴ ? ? 1 ,代入①化简即得:6x+2y-3=0 ? ?1 ? ?1 5

即(1+7λ )x+(1-λ )y+(4λ -2)=0①



| x ? y ? 2 | | 7x ? y ? 4 | ? 整理得:6x+2y-3=0 与 x-3y+7=0,又 l 是 l2 到 l1 的角的平分线, 2 50

解法四:用点到直线的距离公式,设 l 上任一点 P(x, y),则 P 到 l1 与 l2 的距离相等。

k<0,∴x-3y+7=0 不合题意所以所求直线 l 的方程为 6x+2y-3=0. 4、分析:由 x+y+z=100,得 z=100-x-y,所以上述问题可以看作只含 x,y 两个变量.设 混合物的成本为 k 元,那么 k=6x+5y+4(100-x-y)=2x+y+400.于是问题就归结为求 k 在已 知条件下的线性规划问题. 解:已知条件可归结为下列不等式组: y x≥0, y≥0, 100 x+y≤100, 2x-y=40 80 400x+600y+400(100-x-y)≥44000, G l1 60 800x+200y+400(100-x-y)≥48000. x+y=100 40 x+y≤100, y=20 20 即 y≥20, ① E F 2x-y≥40. O 20 40 60 80 100 x 在平面直角坐标系中, 画出不等式组①所 表示的平面区域,这个区域是直线 x+y=100, l0: 2x+y=0 y=20, 2x-y=40 围成的一个三角形区域 EFG (包 括边界) ,即可行域,如图所示的阴影部分. 设混合物的成本为 k 元,那么 k=6x+5y+4(100-x-y)=2x+y+400. 作直线 l 0 :2x+y=0,把直线 l 0 向右上方平移至 l1 位置时,直线经过可行域上的点 E,且 与原点的距离最小,此时 2x+y 的值最小,从而 k 的值最小. 2x-y=40, x=30, 由 得 即点 E 的坐标是(30,20). y=20, y=20, 所以, k最小值 =2?30+20+400=480(元) ,此时 z=100-30-20=50. 答:取 x=30,y=20,z=50 时,混合物的成本最小,最小值是 480 元. 5、解:设隔出大房间 x 间,小房间 y 间时收益为 z 元,则 x、y 满足 18x+15y≤180, y 1000x+600y≤8000, x,y∈N, 14 且 z=200x+150y. 12 所以 6x+5y≤60, 10 5x+3y≤40, 8 B x,y∈N, (3,8) 6 作出可行域及直线 l 0 :200x+150y=0,

解析几何问题的题型与方法 2
- 22 -

l0

4

O

2

4

6

8

l2l1

10

12

14

x

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答磊

即 4x+3y=0.(如图 4) 把直线 l 0 向上平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上的点 B,且与原点距离最大.此时, z=200x+150y 取最大值.但解 6x+5y=60 与 5x+3y=40 联立的方程组得到 B( 点 B 的坐标不是整数,而 x,y∈N,所以可行域内的点 B 不是最优解. 为求出最优解,同样必须进行定量分析. 因为 4?

20 60 , ).由于 7 7

20 60 260 +3? = ≈37.1,但该方程的非负整数解(1,11)(4,7)(7,3)均 、 、 7 7 7

不在可行域内,所以应取 4x+3y=36.同样可以验证,在可行域内满足上述方程的整点为(0, 12)和(3,8).此时 z 取最大值 1800 元. 6、解:解方程组可得 A(6, -3)、B(6, -1)、C(4, 2)设方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,则:

?62 ? (?3)2 ? 6D ? 3E ? F ? 0 ? 2 ?6 ? (?1)2 ? 6D ? E ? F ? 0 ?42 ? 22 ? 4D ? 2E ? F ? 0 ? 21 解之得:D= ? ,E=4,F=30 2
所以所求的△ABC 的外接圆方程为: x2 ? y2 ?

21x ? 4 y ? 30 ? 0 2

7、分析:若直线 y=kx+b 与圆锥曲线 f(x,y)=0 相交于两点 P(x1,y1) 、Q(x2、y2) , 则弦 PQ 的长度的计算公式为 | PQ |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ?
2

1 | y1 ? y2 | ,而 k2

| x1 ? x 2 |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ,因此只要把直线 y=kx+b 的方程代入圆锥曲线 f(x,y)
=0 方程,消去 y(或 x) ,结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。 解:设 A(x0,0) 0>0) (x ,则直线 l 的方程为 y=x-x0,设直线 l 与椭圆相交于 P(x1,y1) , Q(x2、y2) ,由 y=x-x0 可得 3x2-4x0x+2x02-12=0, x2+2y2=12

x1 ? x 2 ?

4 x0 2 x0 ? 12 , x1 ? x2 ? ,则 3 3
2

16x0 8x ? 48 2 2 | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ? 0 ? 36 ? 2 x0 9 3 3 4 14 4 14 2 2 ? 2 ? ? 36 ? 2 x0 ∴ ? 1 ? x 2 ? | x1 ? x2 | ,即 3 3 3
2 2 2

∴x02=4,又 x0>0,∴x0=2,∴A(2,0) 。 8、解:圆方程 x2+y2-2y-8=0 即 x2+(y-1)2=9 的圆心 O' (0,1) ,半径 r=3。 设正方形的边长为 p,则 2 p ? 2r ,∴ p ? 3 2 ,又 O'是正方形 ABCD 的中心,∴O' 到直线 y=x+k 的距离应等于正方形边长 p 的一半即 或 k=4。 (1)设 AB:y=x-2 CD:y=x+4 由

3 2 ,由点到直线的距离公式可知 k=-2 2
D y

y=x-2 x2+y2-2y-8=0

x2 y2 得 A(3,1)B(0,-2) ,又点 A、B 在椭圆 2 ? 2 ? 1 上, a b

C O B

O'

A x

解析几何问题的题型与方法
- 23 -

第二轮复习教案
∴a2=12,b2=4,椭圆的方程为

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x2 y2 ? ? 1。 12 4

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(2)设 AB:y=x+4,同理可得两交点的坐标分别为(0,4)(-3,1)代入椭圆方程得 ,

a2 ?

48 2 , b ? 16 ,此时 b2>a2(舍去) 。 5

综上所述,直线 l 方程为 y=x+4,椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1。 12 4
l A O x=-2 y M(x,y) O' x

9、分析:已知了椭圆的焦点及相应准线,常常需要运用椭 圆的第二定义: 椭圆上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之 比等于离心率 e,而该题中短轴端点也是椭圆上的动点,因此只 要运用第二定义结合 a、b、c 的几何意义即可。 解:设 M(x,y) ,过 M 作 MA?l 于 A, | MO |?

x ?y ,
2 2

x2 ? y2 | MA |? x ? 2 ,∴ , ? e ,又过 M 作 MO ??x 轴于 O' x?2
因为点 M 为短轴端点,则 O'必为椭圆中心,

c | ∴ | OO? |? x ? c , MO |? a ? x ? y , e ? ? ∴ a
2 2

x2 ? y2 , ∴ x?2 x2 ? y2

x

x x ? y2
2

化简得 y2=2x,∴短轴端点的轨迹方程为 y2=2x(x≠0) 。 10、 解: 若椭圆的焦点在 x 轴上, 如图, ∵四边形 B1F1B2F2 是正方形, A1F1= 2 ? 1 , 且

?b ? c ? 由椭圆的几何意义可知, ?a ? 2b 解之得: a ? 2 , b ? 1 ,此时椭圆的方程为 ? ?a ? c ? 2 ? 1 x2 x2 ? y2 ? 1 ,同理焦点也可以在 y 轴上,综上所述,椭圆的方程为 ? y2 ? 1 或 2 2 y2 ? x2 ? 1。 2 ? y ? ? x ? 1, ? 11、解:(1)设 A、B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ).则由? x 2 得 y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a 2 2 2 2 2 2 2 (a ? b ) x ? 2a x ? a ? a b ? 0 ,
根据韦达定理,得

2a 2 2b 2 , y1 ? y 2 ? ?( x1 ? x2 ) ? 2 ? 2 , a2 ? b2 a ? b2 a2 b2 ∴线段 AB 的中点坐标为( 2 ). , 2 a ? b2 a ? b2 a2 2b 2 由已知得 2 ? 2 ? 0,? a 2 ? 2b 2 ? 2(a 2 ? c 2 ) ? a 2 ? 2c 2 a ? b2 a ? b2 x1 ? x2 ?
故椭圆的离心率为 e ?

2 . 2
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( 2 ) 由 ( 1 ) 知 b ? c, 从 而 椭 圆 的 右 焦 点 坐 标 为 F (b,0), 设 F (b,0) 关 于 直 线

l : x ? 2 y ? 0 的对称点为 ( x0 , y0 ),则
解得

y0 ? 0 1 x ?b y ? ? ?1且 0 ? 2 ? 0 ? 0, x0 ? b 2 2 2

3 4 x 0 ? b且 y 0 ? b 5 5 3 2 4 2 2 2 2 由已知得 x 0 ? y 0 ? 4,? ( b) ? ( b) ? 4,? b ? 4 5 5 2 2 x y ? ?1 . 故所求的椭圆方程为 8 4
12、分析:根据椭圆的第二定义,即到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数 e(0

x2 y2 <e<1)的点的轨迹是椭圆,椭圆 2 ? 2 ? 1 上任一点 P(x1,y1)到左焦点 F1 的距离 a b y2 x2 |PF1|=a+ex1,到右焦点 F2 的距离|PF2|=a-ex1;同理椭圆 2 ? 2 ? 1 上任一点 P(x1,y1)到 a b
两焦点的距离分别为 a+ey1 和 a-ey1, 这两个结论我们称之为焦半径计算公式, 它们在椭圆中 有着广泛的运用。 解:由椭圆方程 x 2 ? 2 y 2 ? 2 可知 a2=2,b2=1 则 c=1,∴离心率 e ? 可知, r1 ? r2 ? ( a ? ex 1 )( a ? ex 1 ) ? a ? e x1 ? 2 ?
2 2 2

2 ,由焦半径公式 2

1 2 x1 。又直线 l 的方程为: 2 x 2 , y ? y1 ? ? 1 ( x ? x1 ) 即 x1x+2y1y-2=0,由点到直线的距离公式知, d ? 2 2 2 y1 x1 ? 4 y1

又点(x1,y1)在椭圆上,∴2y12=2=x12, ∴d ?

2 x1 ? 4 y1
2 2

?
2

2 x1 ? 2(2 ? x1 )
2 2

?

2 4 ? x1
2



∴ r1r2 ? d ?

4 ? x1 2 ? ? 2 为定值。 2 2 4 ? 4 x1

13、解: 以直线 l 为 x 轴,线段 AB 的中点为原点对立直角坐标系,则在 l 一侧必存在 经 A 到 P 和经 B 到 P 路程相等的点,设这样的点为 M,则 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|, 即 |MA|-|MB|=|BP|-|AP|=50, ? | AB |? 50 7 ,
2 2 ∴M 在双曲线 x ? y ? 1 的右支上. 2 2 25 25 ? 6 故曲线右侧的土石层经道口 B 沿 BP 运往 P 处,曲线左侧的土石层经道口 A 沿 AP 运往 P 处,按这种方法运土石最省工. 相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及,其实在课本中还可找到典型的范 例,你知道吗?

14、分析: ?PF F2 的两个顶点为焦点,另一点是椭圆上的 1 动点, 因此 | PF | ? | PF2 |? 2a , 1F2|=2c, |F 所以我们应以 ?PF F2 1 1 为突破口,在该三角形中用正弦定理或余弦定理,结合椭圆的定

y α F1 O

P β F2 x

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义即可证得。

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| F1 F2 | | PF1 | | PF2 | ,则 ? ? sin?? ? (? ? ? )? sin ? sin ? | PF1 | ? | PF2 | 2c 2c 2a ∴ ? ? sin(? ? ? ) sin ? ? sin ? sin(? ? ? ) sin ? ? sin ? ??? ??? ??? 2 sin ? cos cos 2c sin(? ? ? ) 2 2 ? 2 ∴e ? ? ? ??? ??? ??? 2a sin ? ? sin ? 2 sin cos cos 2 2 2 (2)在 ?PF F2 中由余弦定理可知 1
证明: (1)在 ?PF F2 中,由正弦定理可知 1

(2c) 2 ?| PF1 |2 ? | PF2 |2 ?2 | PF1 | ? | PF2 | ? cos2? ? (| PF1 | ? | PF2 |)2 ? 2 | PF1 || PF2 | ? y 2 | PF1 | ? | PF2 | ? cos2? ? (2a) 2 ? 2 | PF1 | ? | PF2 | ?(1 ? cos2? )
∴ | PF1 | ? | PF2 |? ∴ S ?PF1F2

1 4a 2 ? 4c 2 2b 2 ? ? C 2 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 sin 2? ? | PF1 | ? | PF2 | ? sin 2? ? b 2 ? ? b 2 ? tan ? 。 2 1 ? cos 2?
A O B

x

15、解: (1)建立平面直角坐标系, 如图所示 . ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | = ∴动点 P 的轨迹是椭圆 .

2 2 ? 22 ? ( ) 2 ? 2 2 2 2

b ? 1, c ? 1. x2 ? y2 ? 1 . ∴曲线 E 的方程是 2 2 2 (2)设直线 L 的方程为 y ? kx ? 2 , 代入曲线 E 的方程 x ? 2 y ? 2 ,得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 8kx ? 6 ? 0 设 M1( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) , 则 2,
? ?? ? (8k ) 2 ? 4(2k ? 1) ? 6 ? 0, ① ? 8k ? , ? x1 ? x 2 ? ? 2 2k ? 1 ② ? 6 ? ? x1 x 2 ? 2k 2 ? 1 . ③ ? | DM | 1 ? i) L 与 y 轴重合时, ? ? | DN | 3
ii) L 与 y 轴不重合时, 由①得

∵a ?

3 k2 ? . 2


又∵ ? ?

∵ x2 ? x1 ? 0, ∴0< ? <1 , ∴

x DM x D ? x M ? ? 1, DN x D ? x N x2 x2 ? x1 ? 0,

( x1 ? x2 ) 2 x1 x2 1 ? ? ?2??? ?2 . x1 ? x2 x2 x1 ?
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( x ? x2 ) 2 x1 ? x 2
2

?

64k 2 ? 6(2k 2 ? 1)

32 3(2 ? 1 ) k2
32 3(2 ? 1 ) k2 ? 16 , 3

而k ?

3 , 2

∴ 6 ? 3( 2 ?

1 ) ? 8. ∴ 4 ? k2
2??? 1 ?

∴ 4???

1

?

?2?

16 , 3

?

10 , 3

? ?0 ? ? ? 1, ? 1 ? ?? ? ? 2, ? ? 1 10 ? ?? ? ? ? 3 , ?

?

1 ? ? ? 1. 3

∴ ? 的取值范围是 ? ,1? 。 ?3 ?

?1 ?

16、分析:本小题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和 解决问题的能力。 解: (I)由点 A(2,8)在抛物线 y 2 ? 2 px 上,有 82 ? 2 p ? 2 所以抛物线方程为 y 2 ? 32 x ,焦点 F 的坐标为(8,0) (II)如图,由 F(8,0)是 ?ABC 的重心,M 是 BC 的中点,所以 F 是线段 AM 的定比分 点,且 解得 p ? 16

AF ?2 FM

设点 M 的坐标为 ( x 0 ,y 0 ) ,则

y B A O F M x

C

(III)由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上,所以 BC 所在的直线不垂直于 x 轴。 设 BC 所成直线的方程为

y ? 4 ? k ( x ? 11)( k ? 0)

由?

? y ? 4 ? k ( x ? 11)
2 ? y ? 32 x

消x得

ky 2 ? 32 y ? 32(11k ? 4) ? 0

y1 ? y 2 ? ?4 解得 k ? ?4 2 y ? 4 ? ?4( x ? 11) 因此 BC 所在直线的方程为 即 4 x ? y ? 40 ? 0 。 解析几何问题的题型与方法
所以 y1 ? y 2 ?

32 k

由(II)的结论得

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