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广东省湛江一中2016届高三11月月考数学(理)试题


湛江一中 2016 届高三级 11 月月考试卷
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选考题,其它题为必 考题。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: ⒈答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。 ⒉做选 择题时,必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,

如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。 ⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。 ⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效。 ⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回。

第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知 i 为虚数单位 ,复数 1 ? 2i 在复平面上对应的点位于( ) 开始
A.第一象限 2.集合 A = x y ? ,则 A ? CR B ? (

?

B.第二象限

? x 2 ?10x ? 16 ,集合 B = ?y y ? log2 x, x ? A?
)

?

C.第三象限

D.第四象限 输 入 a,b,c x=a

3? A. ?2,
? ?

, 2? B. ?1
?

8? C. ?3,

8? D. ?3,
b>x 否

是 x=b 是

3.已知 x 与 y 之间的一组数据如下表:则 y 与 x 的线性回归 方程 y ? b x ? a 必过 ( A.点 (2,2) C.点 (1,2) )

B.点 ( ,0)

3 2

x
y

0

[来

1 3

2 5

3

[来

[来源:学+科+网]

源:Zxxk.Com]

源:Z&xx&k.Com]

3 D.点 ( ,4) 2

1

7 否 输出 x 结束

x=c

4.右面的程序框图,如果输入三个实数 a、b、c,要求输出这 三个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四 个选项中的( ) A. c ? b B. b ? c C. c ? x D. x ? c

2 2 2 5.已知正项数列 ?a n ? 中, a1 ? 1 , a 2 ? 2 , 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2) ,则 a6 等于(

) )

A. 2 2 B.4 C.8 D.16 6.设 a , b, c 是空间三条直线, ? , ? 是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不正确的是( A.当 c ? ? 时,若 c ? ? ,则 ? // ? B.当 b ? ? 时,若 b ? ? ,则 ? ? ? C.当 b ? ? , a ? ? 且 c 是 a 在 ? 内的射影时,若 b ? c ,则 a ? b D.当 b ? ? 且 c ? ? 时,若 c // ? ,则 b // c

?x ? y ? 4 ? 0 y ?5 ? 7.若点 M ( x, y ) 满足 ? ,则 的取值范围是( y?x x ? 1 ? x?0 ?
A. (??,?3) ? (1,??) B. (??,?3] ? [1,??) C. ( ?3,1)



D. [ ?3,1]

8.使奇函数 f ( x) ? sin(2x ? ? ) ? 3 cos(2x ? ? ) 在 [? A. ?

?
4

,0] 上为减函数的 ? 值为( 2? 3



?
3

B. ?

?
6

C.

5? 6

D.

9.现有 4 名教师参加说课比赛,共有 4 个备选课题,若每位选手从中有放回地随机选出一个课题进行说 课,其中恰有一个课题没有被这 4 位选中的情况有( ) A. 288 种 B. 144 种 C. 72 种 D. 36 种 10.矩形 ABCD 中, AD ? 2, AB ? 3, E 为 AD 的中点, P 为边 AB 上一动点, 则 tan ?DPE 的最大值为( A. ) C.

2 2

B.

2 3

2 4

D.1

11.已知函数 f ( x) ? ( ) ? log 2 , 实数 a, b, c 满足 f (a) ? f (b) ? f (c) ? 0(c ? b ? a ? 0), 若实数 x0 为方
x

程 f ( x) ? 0 的一个解,那么下列不等式中,不可能成立的是( A. x0 < a B. x0 > b C. x0 < c D. x0 > c

1 3

x

)

[来源:学,科,网]

12.设 F1 、 F2 是双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点 P ,使 2 a b ??? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? ,且 2 | PF ) (OP ? OF2 ) ? PF2 ? 0 ( O 为坐标原点) | ? 3 | PF 1 2 | ,则双曲线的离心率为(
A.

3 2

B.

13 2

C. 13

D. 2 13

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
13.有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm ) , 则该几何体的表面积为 .
5 6 正视图 5 5 6 侧视图 5

14.设 a ?

?

?

0

(sin x ? cos x)dx ,则二项式 (a x ?
2

1 6 ) x
俯视图

6

展开式中含 x 项的系数是

.

15.在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别为 A 、 B 、 C 的对边,三边 a 、 b 、 c 成等差数列,且 B ? 则 cos A ? cos C 的值为 .

?
4



16.给出以下四个命题:

①设 p : a2 ? a ? 0 , q : a ? 0 ,则 p是q 的充分不必要条件; ②过点 (?1,2) 且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ; ③若函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的图像关于直线 y ? x 对称, 则函数 y ? f ? 2 x ? 与 y ? 于直线 y ? x 对称; ④若直线 x sin ? ? y cos? ? 1 ? 0 和直线 x cos ? ?

1 g ? x ? 的图像也关 2

? ? k? ?

?
2

或? ? 2k? ?

?
6

1 y ? 1 ? 0 垂直,则角 2

(k ? Z).
. (把你认为正确的命题序号都填上)

其中正确命题的序号为

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本题满分 12 分) 数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,数列 {bn } 的前 n 项的和为 Tn , {bn } 为等差数列且各项均为正数, a1 ? 1 ,

an?1 ? 2S n ? 1 (n ? N * ) , b1 ? b2 ? b3 ? 15
(Ⅰ)求证:数列 {an } 是等比数列; (Ⅱ)若 a1 ? b1 , a 2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Tn .

18. (本题满分 12 分) 为了某项大型活动能够安全进行,警方从武警训练基地挑选防爆警察,从体能、射击、反应三项指标进行 检测,如果这三项中至少有两项通过即可入选。假定某基地有 4 名武警战士(分别记为 A 、 B 、 C 、 D ) 拟参加挑选,且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为

2 2 1 , , .这三项测试能否通过相互之间没有影 3 3 2

响. (Ⅰ)求 A 能够入选的概率; (II)规定:按入选人数得训练经费(每入选 1 人,则相应的训练基地得到 3000 元的训练经费) ,求该基 地得到训练经费的分布列与数学期望.

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 底面 ABCD ,

PA ? AB ? 1 , AD ? 3 ,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动. (1)点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系,
并说明理由; ( 2)求证:无论点 E 在 BC 边的何处,都有 PE ? AF ;[ (3)当 BE 为何值时, PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45°.

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 (I)求椭圆的方程;

x2 y 2 2 10 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F2 (1, 0) ,点 H (2, ) 在椭圆上. 2 a b 3

(II)点 M 在圆 x2 ? y 2 ? b2 上,且 M 在第一象限,过 M 作 圆 x2 ? y 2 ? b2 的切线交椭圆于 P , Q 两点,求证:△ PF2Q 的周长是定值.

21. (本小题满分 12 分)

a . (I)当 a = - 3 时,求函数 f ( x) 的单调增区间; x 3 (II)若函数 f ( x) 在 [1, e] 上的最小值为 ,求实数 a 的值; 2
已知函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅲ)若函数 f ( x) ? x2 在 (1, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做 的第一个题 目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22、(本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 如图,圆周角 ???C 的平分线与圆交于点 D ,过点 D 的切线与弦 ? C 的延长线 交于点 ? , ?D 交 ? C 于点 F . (I)求证: ?C//D? ;

? ?? ? 若 D , ? , C , F 四点共圆,且 AC=BC,求 ???C .

23、 (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系 xoy ,以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, P 点的极坐标为

?? ? ? 2 2 ,? ? ,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? . 4? ?
(Ⅰ)写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)若 Q 为 C 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 l : ?

? x ? 3 ? 2t ( t 为参数)距离的最小值. ? y ? ?2 ? t

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ? a . (I)当 a ? 2 时,解不等式 f ? x ? ? 4 ? x ? 1 ; (II)若 f ? x ? ? 1 的解集为 ? 0, 2? ,

1 1 ? ? a ? m ? 0, n ? 0 ? ,求证: m ? 2n ? 4 . m 2n

湛江一中 2016 届高三级 11 月月考理科数学答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1.D,2.D,3.D,4.C, 5.B, 6.B,7.A, 8.D, 9.B, 10. C, 11.D,12.C. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. 24? cm2 三、解答题 17.解: (Ⅰ) 当 n ? 2 时, an?1 ? an ? (2S n ? 1) ? (2S n?1 ? 1) ? 2an ………2 分 ………3 分 ………5 分 ………6 分 ………7 分 ………9 分 ………10 分 ……… 12 分 14.-192 15. ? 4 2 16.①③

a n?1 ?3 an 又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ? 3a1 ∴ {an } 是首项为 1,公比为 3 的等比数列
∴ an?1 ? 3an ,即 (Ⅱ)由(1)得: an ? 3n?1 设 {bn } 的公差为 d ( d ? 0 ) , ∵ T3 ? 15 ,∴ b2 ? 5 依题意有 a1 ? b1 , (a2 ? b2 ) 2 ? (a1 ? b1 )(a3 ? b3 ) , ∴ 64 ? (5 ? d ? 1)(5 ? d ? 9) 故 Tn ? 3n ?
2 即 d ? 8d ? 20 ? 0 , 得 d ? 2 ,或 d ? ?10 (舍去)

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 2n 2

18.解: (I)设 A 通过体能、射击、反应分别记为事件 M、N、P 则 A 能够入选包含以下几个互斥事件:

MNP, MNP, MNP, MNP. ? P( A) ? P(MNP) ? P(MNP) ? P(MNP) ? P(MNP) 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 12 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 18 3
(Ⅱ)记 ? 表示该训练基地得到的训练经费,则 ? 的取值为 0、3000、6000、9000 、12000.

………4 分

………5 分
1 1 4

?2? ? P(? ? 0) ? C ? ? ?3?
0 4

0

1 ?1? ? ? ? ? 3 ? 81
2

4

? 2? P(? ? 1) ? C ? ? ? 3?
3 4

8 ?1? ? ? ? ? 3 ? 81
3

3

? 2? P(? ? 2) ? C ? ? ? 3?
2 4 4? 2 ? P(? ? 4) ? C4 ? ? ? 3? 的分布列为 ? ?

2

24 ?1? ? ? ? 81 ? 3? ? 1 ? 16 ? ? ? ? 3 ? 81
0

? 2? P(? ? 3) ? C ? ? ? 3?

? 1 ? 32 ? ? ? ? 3 ? 81
………9 分

1

4

?
P

0

3000

6000

9000

12000

1 81

8 81

24 81

32 81

16 81

? E? ? 0 ?

1 8 24 32 16 ? 3000 ? ? 6000 ? ? 9000 ? ? 12000 ? ? 8000 (元) 12 分 81 81 81 81 81

19..解:(1)当点 E 为 BC 的中点时,EF 与平面 PAC 平行. ∵在△PBC 中,E、F 分别为 BC、PB 的中点,∴EF∥PC. 又 EF?平面 PAC,而 PC?平面 PAC,∴EF∥平面 PAC. (2)证明:建立如图所示空间直角坐标系,则

…………2 分 …………4 分

P(0,0,1),B(0,1,0),F(0, , ),D( 3,0,0),
设 BE= x ( 0 ? x ? 3 ),则 E( x ,1,0), →

1 2

1 2

…………6 分

PE·AF=( x ,1,-1)·(0, , )=0,
∴PE⊥AF.
…………8 分



1 2

1 2

?? (3)设平面 PDE 的法向量为 m ? ( p, q,1) , ??? ? ??? ? ? PD ? ( 3,0, ?1), PE ? ( x,1, ?1) ?? ??? ? ?? ? ? 3 3x ? 3 p ?1 ? 0 ?m?PD ? 0 由 ? ?? ??? ,即 ? 可得 m ? ( ,1 ? ,1) . ? 3 3 px ? q ? 1 ? 0 ? m ? PE ? 0 ? ? ? ??? ? 而 AP ? (0,0,1) ,依题意 PA 与平面 PDE 所成角为 45°, ?? ??? ? 2 | m?AP | 0 ? , 所以 sin 45 ? ? ?? ??? 2 | m || AP |


…………9 分

1 1 3x 2 ? (1 ? ) ?1 3 3

?

1 , 2

…………10 分

得 BE ? x ? 3 ? 2 或 BE ? x ? 3 ? 2 ? 3 (舍). 故 BE= 3- 2时,PA 与平面 PDE 所成角为 45°

…………11 分 …………12 分

20 解: (I)根据已知,椭圆的左右焦点为分别是 F1 (?1,0) , F2 (1, 0) , c ? 1 , ∵ H (2,

2 10 ) 在椭圆上, 3

…………2 分

∴ 2a ? HF1 ? HF2 ? (2 ? 1)2 ? (

2 10 2 2 10 2 ) ? (2 ? 1)2 ? ( ) ?6, 3 3
…………4 分

a ? 3,b ? 2 2 ,
椭圆的方程是

x2 y 2 ? ? 1; 9 8

…………6 分

x12 y12 ? ?1, (II)方法 1:设 P ? x1 , y1 ? , Q(x2 , y2 ) ,则 9 8

…………7 分

x12 x PF2 ? ? x1 ? 1? ? y ? ? x1 ? 1? ? 8(1 ? ) ? ( 1 ? 3)2 , 9 3
2 2 1 2

∵ 0 ? x1 ? 3 ,∴ PF2 ? 3 ? 在圆中, M 是切点,

x1 , 3

…………8 分

∴ PM ? | OP |2 ? | OM |2 ? ∴ PF2 ? PM ? 3 ?

x12 ? y12 ? 8 ? x12 ? 8(1 ?

x12 1 ) ? 8 ? x1 ,……10 分 9 3

1 1 x1 ? x1 ? 3 , 3 3
…………11 分 …………12 分

同理 QF2 ? QM ? 3 ,∴ F2 P ? F2Q ? PQ ? 3 ? 3 ? 6 , 因此△ PF2Q 的周长是定值 6 . 方法 2:设 PQ 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0) ,

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 x2 ,得 (8 ? 9k 2 ) x 2 ? 18kmx? 9m2 ? 72 ? 0 ?1 ? ? 8 ?9
设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ∴ | PQ |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 1 ? k

…………7 分

? 18km 9m 2 ? 72 x x ? , , …………8 分 1 2 8 ? 9k 2 8 ? 9k 2

2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

? 1? k 2 (

?18km 2 9m2 ? 72 ) ? 4 ? 8 ? 9k 2 8 ? 9k 2
…………9 分

? 1? k 2

4 ? 9 ? 8 ? (9k 2 ? m2 ? 8) , (8 ? 9k 2 )2
2 2

∵ PQ 与圆 x ? y ? 8 相切,∴ ∴ | PQ |? ? ∵ PF2 ?

m 1? k
2

? 2 2 ,即 m ? 2 2 1 ? k 2 ,

6km , 8 ? 9k 2

? x1 ?1?

2

? y12 ?

? x1 ? 1?
x1 , 3

2

? 8(1 ?

x12 x ) ? ( 1 ? 3)2 , 9 3

…………10 分

∵ 0 ? x1 ? 3 ,∴ PF2 ? 3 ?

x 1 (9 ? x2 ) ? 3 ? 2 , 3 3 x1 ? x2 6km 6km 6km ? ? 6? ? ? 6 ,……11 分 ∴ F2 P ? F2Q ? PQ ? 6 ? 2 2 3 8 ? 9k 8 ? 9k 8 ? 9k 2
同理可得 QF2 ? 因此△ PF2Q 的周长是定值 6 . …………12 分

21.解: (1)由题意, f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,

1 a x?a ? ? 2 . x x2 x x ?3 a ? ?3 时,由 f ?( x) ? 2 >0,可得 x ? 3 x
且 f ?( x) ? ∴单调增区间为 (3, ??) . (2)由(1)可知, f ?( x) ?

…………1 分

…………3 分

[来源:学#科#网]

x?a x2

①若 a ? ?1 ,则 x ? a ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立, f ( x) 在 [1, e] 上为增函数, ∴ [ f ( x)]min ? f (1) ? ?a ?

3 3 ,∴ a ? ? (舍去) . 2 2

…………4 分

②若 a ? ?e ,则 x ? a ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立, f ( x) 在 [1, e] 上为减函数, ∴ [ f ( x)]min ? f (e) ? 1 ?

e a 3 ? ,∴ a ? ? (舍去) . 2 e 2

…………6 分

③若 ?e ? a ? ?1 ,当 1 ? x ? ? a 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (1, ?a) 上为减函数, 当 ?a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (?a, e) 上为增函数, ∴ [ f ( x)]min ? f ( ? a ) ? ln( ? a ) ? 1 ? 综上所述, a ? ? e . (3)∵ f ( x) ? x ,∴ ln x ?
2
3

3 ,∴ a ? ? e 2

…………8 分 …………9 分

a ? x 2 .∵ x ? 0 , x
…………10 分

∴ a ? x ln x ? x 在 (1, ??) 上恒成立, 令 g ( x) ? x ln x ? x , h( x) ? g ?( x) ? 1 ? ln x ? 3x ,则 h?( x) ?
3 2

1 1 ? 6 x2 ? 6x ? . x x

∵ x ? 1 ,∴ h?( x) ? 0 在 (1, ??) 上恒成立,∴ h( x) 在 (1, ??) 上是减函数, ∴ h( x) ? h(1) ? ?2 ,即 g ?( x) ? 0 , ∴ g ( x) 在 (1, ??) 上也是减函数,∴ g ( x) ? g (1) ? ?1 . …………11 分

∴当 f ( x) ? x2 在 (1, ??) 恒成立时, a ? ?1 .

…………12 分

22、解: (Ⅰ)证明:因为∠EDC=∠DAC,∠DAC=∠DAB,∠DAB=∠DCB,………3 分 所以∠EDC=∠DCB, …………4 分 所以 BC∥DE. …………5 分 E C (Ⅱ)解:因为 D,E,C,F 四点共圆,所以∠CFA=∠CED 由(Ⅰ )知∠ACF=∠CED,所以∠CFA=∠ACF.…………6 分 设∠DAC=∠DAB=x, F 因为 AC=BC,所以∠CBA=∠BAC=2x, 所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x, …………8 分 A 在等腰△ACF 中,π =∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x,则 x= 2π 所以∠BAC=2x= . 7 23. π , ………9 分 7 ………10 分

D

B

24. 解: (1)当 a ? 2 时,不等式为 x ? 2 ? x ? 1 ? 4 , 不等式的解集为 ? ??, ? ? ? ? , ?? ? ; 2 2

…………2 分

? ?

1? ?

?7 ?

? ?

……………5 分

(2) f ? x ? ? 1 即 x ? a ? 1 ,解得 a ? 1 ? x ? a ? 1 ,而 f ? x ? ? 1 解集是 ? 0, 2? ,

?a ? 1 ? 0 1 1 ,解得 a ? 1 ,所以 ? ? 1? m ? 0, n ? 0 ? ?? m 2n ?a ? 1 ? 2
所以 m ? 2n ? (m ? 2n) ?

…………7 分

?1 1 ? ? ? ? 4. ? m 2n ?

……………10 分

附件 1:律师事务所反盗版维权声明

附件 2:独家资源交换签约学校名录(放大查看) 学校 名录参 见:h ttp://w ww.zx xk.com/wxt/list. aspx ? ClassID=3060


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