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四川省阆中中学校2015-2016学年高二数学下学期第一次段考试题 理


阆中中学校 2016 年春高 2014 级第一学段教学质量检测 数学试题(理科)
第Ⅰ卷 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1. 设函数 f(x)可导,则 1 A. f′(1) 3

lim

?x ?0

f (1 ? ?x) ? f

(1) 等于( 3?x

).

B.3 f′(1)
2

C. f′(1)

D.f′(3)

2.一个物体的运动方程为 s ? (2t ? 1) 其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在 1 秒末的瞬时速度是( A. 10 米/秒 3. 函数 f ( x) ? ) B.8 米/秒 C.12 米/秒 ) B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0 ) D. 1 ? D.6 米/秒

cos x 在 (0, 1) 处的切线方程是( 1? x

A. x ? y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0

1 1 1 * 4. 若 f(n)=1+ + +…+ (n∈N ),则当 n=2 时,f(n)是( 2 3 2n+1 1 A.1+ 2 B. 1 5 ) 1 1 1 1 C.1+ + + + 2 3 4 5

1 1 ? 2 3

5. 下面使用类比推理正确的是(

A. 若直线 a∥b,b∥c,则 a∥c.类比推出:若向量 ∥ , ∥ ,则 ∥ B. a(b+c)=ab+ac.类比推出:loga(x+y)=logax+logay C.已知 a,b∈R,若方程 x +ax+b=0 有实数根,则 a ﹣4b≥0.类比推出:已知 a,b∈C(复 数集),若方程 x +ax+b=0 有实数根,则 a ﹣4b≥0. D.长方形对角线的平方等于长与宽的平方和.类比推出:长方体对角线的平方等于长、 宽、高的平方和 6. 如图,正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直,AB= 2,
2 2 2 2

AF=1,M 在 EF 上,且 AM∥平面 BDE.则 M 点的坐标为
A.(1,1,1) B.? 2 ? ? 2 , ,1? 3 ?3 ?

(

)

-1-

C.?

2 ? ? 2 , ,1? 2 ?2 ?

D.?

2 ? ? 2 , ,1? 4 ?4 ?

7. 已知 A( x,5 ? x, 2 x ? 1) B (1, x ? 2, 2 ? x) ,当 | AB | 取最小值时, x 的值等于(

??? ?



8 19 C.19 D. 7 14 3 8.函数 f(x)=x -3x+1 在闭区间 [?3, 0] 上的最大值、最小值分别是( )
A. B.- A. 1,-1 B. 3,-17 C. 1,-17 D. 9,-19

8 7

1 4 3 9.已知函数 f(x)= x -2x +3m,x∈R,若 f (x)+9≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围 2 是( ) 3? ?3 ? ?3 ? ? A.? ,+∞? B.? ,+∞? C.?-∞, ? 2? ?2 ? ?2 ? ? 10.已知 a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若 a⊥(a-λ b),则 实数 λ 的值为( A.-2 )
y

3? ? D.?-∞, ? 2? ?

14 B.- 3

14 C. 5

D.2

11.如图为函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象, f '( x) 为函数
- 3

o

3

x

f ( x) 的导函数,则不等式 x ? f '( x) ? 0 的解集为(
A. (??, ? 3) C. ( 3, ??) B. (0, 3)



D. (??, ? 3) ?(0, 3)

12.已知定义域为 R 的奇函数 y=f(x)的导函数为 y=f′(x),当 x≠0 时,f′(x)+ 1 ?1? ? >0,若 a= f? ?,b=-2f(-2),c=?ln 2 ?2? ? 是( ) B.b<c<a C.a<b<c 1? ? f?ln 2? ? ?

f(x) x

1? ,则 a,b,c 的大小关系正确的 2? ?

A.a<c<b 二.填空题

D.c<a<b

1 x ? cos x 的单调减区间为 。 2 1 3 1 1 5 1 1 1 7 14.观察下列式子: 1 ? 2 ? , 1 ? 2 ? 2 ? , 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,…,根据 2 3 4 2 2 3 2 3 4
13. 函数 y ? 上述规律,第 n 个不等式应该为 . 15.正四棱锥 S?ABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱 SD 的中点,且 SO=OD,则 直线 BC 与平面 PAC 所成的角是______.

-2-

16.对正整数 n ,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n , 则数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和的公式是 ? n ? 1?

.

-3-

阆中中学校 2016 年春高 2014 级第一学段教学质量检测 数 学 答 题 卷 ( 理 科 ) 第 II 卷(非选择题) 一、请将选择答案填入下列表格(每小题 5 分,共计 60 分) 题号 答案 二、请将填空题答案填入下列横线(每小题 4 分,共计 16 分) 13. 15. 14. 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

三、简答题(请将答题步骤写清楚,评分按照书写步骤给分) 17.(本小题满分 12 分)已知二次函数 f(x)满足:①在 x=1 时有极值;②图象过 点(0,-3),且在该点处的切线与直线 2x+y=0 平行. (1)求 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)=f(x )的单调递增区间.
2

-4-

18.在数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ?

2an (n ? N ? ) 2 ? an

(1)求 a2 , a3 .a4 的值,并猜想 {an } 的通项公式 an ; (2)用数学归纳法加以证明上述猜想。

19. 已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的图象过点 P(0,2),且在点 M(-1, f (?1) ) 处的切线方程是 6 x ? y ? 7 ? 0 . (1)求函数 y ? f ( x ) 的解析式; (2)求函数 g ( x) ?

3 2 x ? 9 x ? a ? 2 与 y ? f ( x) 的图像有三个交点,求 a 的取值范围. 2
-5-

20. 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin 13°+cos 17°-sin13°cos17°; ②sin 15°+cos 15°-sin15°cos15°; ③sin 18°+cos 12°-sin18°cos12°; ④sin (-18°)+cos 48°-sin(-18°)cos48°; ⑤sin (-25°)+cos 55°-sin(-25°)cos55° (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

-6-

21. 如图,四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,PB 与底面所成的角为 45°,底面 ABCD 1 为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC= AD=1. 2 (1)求证:面 PAC⊥面 PCD; (2)在棱 PD 上是否存在一点 E,使 CE∥面 PAB?若存在,请确定 E 点 的位置;若不存在,请说明理由.

22.已知函数 f ? x ? ? x ln x ? ax ? a ( a ? R ) ,其导函数为 f ? ? x ? .
2

(1)求函数 g ? x ? ? f ? ? x ? ? ? 2a ?1? x 的极值; (2)当 x ? 1 时,关于 x 的不等式 f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

-7-

阆中中学校 2016 年春高 2014 级第一学段教学质量检测 数学试题(理科)参考答案 一、请将选择答案填入下列表格(每小题 5 分,共计 60 分)

题号 答案

1 A

2 C

3 A

4 D

5 D

6 C

7 A

8 B

9 A

10 D

11 D

12 A

二、请将填空题答案填入下列横线(每小题 5 分,共计 20 分) 13. ?2k? ?

? ?

?
6

,2k? ?

5? ? k ?Z 6? ?

14.

1?

1 1 1 2n ? 1 ? 2 ??? ? 2 2 n ?1 2 3 (n ? 1)

15.

30?

16. ∴h′(x)=f(x)+x·f′(x),

2 n ?1 ? 2

12.解析 设 h(x)=xf(x),

∵y=f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数, ∴h(x)是定义在实数集 R 上的偶函数, 当 x>0 时,h′(x)=f(x)+x·f′(x)>0,∴此时函数 h(x)单调递增. 1 ?1? ?1? ∵a= f? ?=h? ?,b=-2f(-2)=2f(2)=h(2), 2 ?2? ?2?

c=?ln ?f?ln ?=h?ln ?=h(-ln 2)=h(ln 2), 又 2>ln 2> ,∴b>c>a.故选 A. 2 2 2

? ?

1? ?

? ?

1?

?

? ?

1?

?

1 2

三、简答题(请将答题步骤写清楚,评分按照书写步骤给分) 17.解:⑴设 f(x)=ax +bx+c,则 f ?(x)=2ax+b.………2 分
2

? f ?(1) ? 0, ?2a ? b ? 0, ?a ? 1, ? ? ? 由题设可得: ? f ?(0) ? ?2, 即 ?b ? ?2, 解得 ?b ? ?2, ………5 分 ? f (0) ? ?3, ?c ? ? 3 . ?c ? ? 3 . ? ? ?
所以 f(x)=x -2x-3.………6 分 ⑵g(x)=f(x )=x -2x -3,g ?(x)=4x -4x=4x(x-1)(x+1).…………7 分 列表:
2 4 2 3 2

x f?(x) f(x)

(-∞,-1) - ↘

-1 0

(-1,0) + ↗

0 0

(0,1) - ↘

1 0

(1,+∞) + ↗

-8-

由表可得:函数 g(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).…………12 分 18.解: 由(1) a 2 ?

2 2 2 , a3 ? , a 4 ? 3 4 5

猜想 an ?

2 ……6 分 n ?1

(2)证明:①当 n=1, a1 ? 1 ,符合已知;……8 分 ②当 n=k 时,假设猜想成立,则 ak ?

2 …9 分 k ?1

那么,n=k+1 时,

ak ?1 ?

2ak 2 ? ak

2 2? ? k ?1 2 2? k ?1

4 k ?1 ? 2(k ? 1) ? 2 k ?1 2 2 ? ? k ? 2 (k ? 1) ? 1
? n=k+1 时,命题成立

?13

综上所述,命题对于 ?n ? N 都成立…12 分
*

19.解:(1)由 所以 由在

的图象经过点

,知



f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? d ,则
处的切线方程是 知 ,即

。 所 以 。



解 得

-9-





求 。











----------------------------------------6 分 的图像有三个交点 有三个根

(2)因为函数 所以 即 令 接下来求



有三个根 ,则 的图像与 图像有三个交点。

的极大值与极小值(表略)。 的 极 大 值 为 -----------------------------12 分
2 2

的 极 小 值 为

因 此

20.解: (1)选择(2) ,计算如下:sin 15°+cos 15°-sin15°cos15°=1- sin30°= , 故这个常数为 。---------------------------------------------------5 分 (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广,得到三角恒等式 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α )=
2 2

证明:sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α )=sin α + α (cos30°cosα +sin30°sinα )=sin α + cos α + sin α +
2 2 2 2 2 2

2

2

2

-sin sinα cosα sinα cosα

- sin α = sin α + cos α = 。------------------------------------12 分 21. ( 1 )

--------------------------------------------------------------------------6 分

- 10 -

(2)分别以 AB、AD、AP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. ∴P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0), 设 E(0,y,z), → → → → 则PE=(0,y,z-1),PD=(0,2,-1).∵PE∥PD,∴y·(- 1)-2(z-1)=0① → → ∵AD=(0,2,0)是平面 PAB 的法向量,又CE=(-1,y-1,z),CE∥面 PAB → → ∴CE⊥AD. ∴(-1,y-1,z)·(0,2,0)=0, ∴y=1.

1 将 y=1 代入①,得 z= .∴E 是 PD 的中点, 2 存 在

E



使

CE





PAB







E



PD





点.-------------------------------------------12 分

22.解: (1) 由题知 x ? 0 ,f ? ? x ? ? ln x ? 2ax ? 1 , 则 g? x

? ? ?? a n l x ? ? ?f x ? 2? x1 ?? x

?1



1? x 1? x ? 0 , g ? x ? 为增函数;当 x ? 1 时, ,当 0 ? x ? 1 时, g ? ? x ? ? x x 1? x g? ? x? ? ? 0 , g ? x ? 为减函数. x g? ? x? ?
所以当 x ? 1 时, g ? x ? 有极大值 g ?1? ? 0 , g ? x ? 无极小值.------------ 5 分 (2)由题意, f ? ? x ? ? ln x ? 2ax ? 1 , (I)当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? ln x ? 2ax ? 1 ? 0 在 x ? 1 时恒成立,则 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递 增,所以 f ? x ? ? f ?1? ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立, 与已知矛盾,故 a ? 0 不符合题意.----------------------------------8 分 (II)当 a ? 0 时,令 ? ? x ? ? f ? ? x ? ? ln x ? 2ax ? 1,则 ? ? ? x ? ?

1 1 ? 2a ,且 ? ? 0,1? . x x

- 11 -

①当 2a ? 1 ,即 a ?

1 1 时, ? ? ? x ? ? ? 2a ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 x ? ?1, ?? ? 上单调递减, 2 x

所以 ? ? x ? ? ? ?1? ? 1 ? 2a ? 0 ,即 f ? ? x ? ? 0 在 x ? ?1, ?? ? 上恒成立. 则 f ? x ? 在 x ? ?1, ?? ? 上单调递减, 所以 f ? x ? ? f ?1? ? 0 在 x ? ?1, ?? ? 上成立,符合题意.---------------10 分

1 ? ? ?2a ? x ? ? 1 1 1 2a ? ? ? 1 , ? ? ? x ? ? ? 2a ? ②当 0 ? 2a ? 1 ,即 0 ? a ? 时, , x x 2 2a
若 x ? ?1,

? 1 ? ? 1 ? ? ,则 ?? ? x ? ? 0 , ? ? x ? 在 ? 1, ? 上单调递增; ? 2a ? ? 2a ?

若 x ??

? 1 ? ? 1 ? , ?? ? ,则 ?? ? x ? ? 0 , ? ? x ? 在 ? , ?? ? 上单调递减. ? 2a ? ? 2a ?
? 1 ? ? 1 ? ? 上恒成立,即 f ? ? x ? ? 0 在 ? 1, ? 上恒成立, ? 2a ? ? 2a ?

又 ? ?1? ? 1 ? 2a ? 0 ,所以 ? ? x ? ? 0 在 ? 1,

------------------------------------------------------------12 分 所以 f ? x ? 在 ? 1, 所以 0 ? a ?

? 1 ? ? 1 ? ? 上单调递增,则 f ? x ? ? f ?1? ? 0 在 ? 1, ? 上恒成立, ? 2a ? ? 2a ?

1 不符合题意. 2

综上所述, a 的取值范围为 ? , ?? ? .-----------------------------14 分

?1 ?2

? ?

- 12 -


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