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解析几何解题技巧之“垂径定理”


解析几何解题技巧之“垂径定理”
2015年2月25日?意琦行?数海拾贝 ????????我们都知道垂径定理是圆的重要性质,其内容为: 已知圆中有一条非直径的弦,那么这条弦垂直于过其中点的 直径. ????????对于椭圆也有类似的性质,我们称之为椭圆的“垂径定理”,描 述如下: 已知不过原点 O 的直线与椭圆
x a
2

y +

b

2

2

2

= 1

交于 A 、 B 两点, M

为弦 AB 的中点,则直线 AB 与直线 OM 的斜率之积
b k AB ? k OM = ? a
2

2

.

注一????当 a = b = r 时,椭圆的垂径定理描述的内容即为圆的垂径定 理; 注二????这里并不要求 a > b ,也就是说此结论对焦点在 x 轴和焦点在 y 轴上的椭圆均适用; 注三????双曲线
x
2

y ? b

2

a

2

2

= 1

的垂径定理中的斜率之积
b
2

kAB ? kOM =

a

2

.

?????????点差法是证明这一性质的最好方法: 设 A (x
1,

y1 )

, B (x

2,

y2 )

,则

2

2

x

2 1 2 2 2 2

y + b +

2

1 2 2

= 1

a x

y b

2 2

= 1

a

两式相减,有
x
2 1

? x a
2

2 2

y +

2

1

? y b
2

2

2

= 0,

两边同时除以 x

2 1

? x

2 2

,并化简可得
y
2 1 2 1

? y

2

2 2 2

b = ?

2

x

? x

a

2

,

利用平方差公式变形,有
y1 + y2 y1 ? y2 x1 ? x2 ? 2 x1 + x2 2 ? 0 ? 0 = ?
2

b

a

2

,

此即欲证性质. ?????????证明这一性质的方法,以及这一性质都是解析几何重点学习和掌 握的内容.下面就举例说明这一性质的应用. ?例1、(2013年北京高考数学理)已知 A, B, C 是椭圆
x W : 4
2

+ y

2

= 1

上的三个点, O 为坐标原点.

(1)当 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的 面积; (2)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能是菱 形,并说明理由.

解????(1)菱形的面积为 √3 ; (2)四边形 OABC 不可能为菱形.用反证法证明如下:

假设四边形 OABC 是菱形.当点 B 不是 W 的顶点时,直线 OB 和 直线 AC 的斜率都存在,设 OB 与 AC 相交于点 M ,则 M 平分 AC . 由椭圆的垂径定理得
1 kAC ? kOM = ? , 4

于是 AC 与 OM 不垂直,与四边形 OABC 是菱形矛盾. 因此四边形 OABC 不可能为菱形. 例2、(2014年北京东城一模)已知椭圆
x G : a
2

y + b

2

2

2

= 1(a > b > 0)

过点 A (1,

√6 ) 3

和 B(0, ?1) .

(1)求椭圆 G 的方程; (2)设过点 P (0,
BM = BN 3 ) 2

的直线 l 与椭圆 G 交于 M 、 N 两点,且

.求直线 l 的方程.
2

?解????(1)

x

+ y 3

2

= 1



(2)设弦 M N 的中点 E 的坐标为 (m, n) .

由椭圆的垂径定理与已知条件,有
kBE ? kP E = ?1 { kOE ? kP E = ? 1 3

于是
? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? n 2 0 ? m 3 n ? ? m 2 = ? 3 1 ? m n + 1 = ?1

? ? ? ? n ? ? ? m

解得
√6 ? ? ?m = ± 2 ? 1 ? ?n = ? 2

于是直线 l 的方程为
√6 y = ± 3 x + 2 3 .

?????????友情提示,在考试的时候如果应用了椭圆的垂径定理,记得用点 差法叙述一下证明过程哦! ????????最后给出一组练习题.

练习1、(2014年北京丰台二模)如图,已知椭圆
x E :
2

y + b

2

a

2

2

= 1(a > b > 0)

的离心率为

√3 2

,过左焦点

F (?√3, 0)

且斜率为 k 的直线交椭圆 E 于 A 、 B 两点,线段 AB 的

中点为 M ,直线 l : x + 4ky = 0 交椭圆于 C 、 D 两点.

(1)求椭圆 E 的方程; (2)求证:点 M 在直线 l 上; (3)是否存在实数 k ,使得三角形 BDM 的面积是三角形 AC M 面 积的 3 倍?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由. 练习2、(2015年北京海淀高三期末文科)已知椭圆
M : x
2

+ 2y

2

= 2



(1)求 M 的离心率及长轴长; (2)设过椭圆 M 的上顶点 A 的直线 l 与椭圆 M 的另一个交点为 B ,线段 AB 的垂直平分线交椭圆于 C 、 D 两点.问:是否存在直 线 l 使得 C 、 O 、 D 三点共线( O 为坐标原点)?若存在,求出所 有满足条件的直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 参考答案 练习1、(1) E : 练习2、(1) e =
x
2

+ y 4 √2 2

2

= 1

;(2)略;(3)存在, k = ±

1 2



,长轴长为 2√2 ;(2) l : x = 0 .


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