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高中数学(人教版)选修2-3单元质量检测:第一章《计数原理》测试(2)


第一章 计数原理单元测试题
时间:120 分钟,满分 150 分

温情告白
本套题难度适中,主要考查学生的基本知识、基本方法、基本能力,如 1—9 题和 13 题都是这一部分的 基本题目类型,对排列、 组合和二项式定理的基本知识考查比较全面,且在考查基本知识的同时,也注重学生 数学思想的考查,如 10、12、18 题考查了学生分类讨论的思

想方法,11,14,17,21,22 考查了学生转化与化 归的思想方法,这些题目需要大家有较高的分析能力和运算能力,以及综合应用能力.

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方 法共有( ) A.10 种 B.20 种 C.25 种 D.32 种 2.甲、乙、丙 3 位同学选修课程,从 4 门课程中,甲选修 2 门,乙、丙各选修 3 门,则不 同的选修方案共有 A.36 种 B.48 种 C.96 种 D.192 种 3. 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻但不排 在两端,不同的排法共有( ) A.1440 种 B.960 种 C.720 种 D.480 种 4. 某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成,其中 4 个数字互不相同的牌 照号码共有( ) A. C26

? ?
1

2

4 A10 个

2 4 B. A26 个 A10

C. C26

? ? 10
1 2

4



2 D. A26 104 个

5. 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求 星期五有 2 人参加,星期六、星期日各有 1 人参加,则不同的选派方法共有 A 40 种 B 60 种 C 100 种 D 120 种 6. 由数字 0,1,2,3,4,5 可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( A.72 B.60 C.48 D.52 )

7.用 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的全部五位数中,若按从小到大的顺序排列,则数字 12340 应是第( )个数. A.6 B.9 C.10 D.8

8.AB 和 CD 为平面内两条相交直线,AB 上有 m 个点,CD 上有 n 个点,且两直线上各有一个 与交点重合,则以这 m+n-1 个点为顶点的三角形的个数是( )
1 2 1 2 A. Cm Cn ? Cn Cm 1 2 1 2 B. Cm Cn ? Cn ?1Cm 1 2 1 2 C. Cm ?1Cn ? Cn Cm
1 2 1 2 D. Cm ?1Cn ? Cn?1Cm?1

1

9.设

?

2?x

?

10

? a0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? ? ? a10 x10 ,则

?a0 ? a2 ? ? ? ? ? a10 ?2 ? ?a1 ? a2 ? ? ? ? ? a9 ?2 的值为(
A.0 B.-1 C.1 D.

)

10. 2006 年世界杯参赛球队共 32 支,现分成 8 个小组进行单循环赛,决出 16 强(各组的前 2 名小组出线),这 16 个队按照确定的程序进行淘汰赛,决出 8 强,再决出 4 强,直到决出冠、 亚 军和第三名、第四名,则比赛进行的总场数为( ) A.64 B.72 C.60 D.56 11.用二项式定理计算 9.98 ,精确到 1 的近似值为( A.99000 B.99002 C.99004 D.99005 )
5

)

12. 从不同号码的五双靴中任取 4 只,其中恰好有一双的取法种数为 ( A.120 B.240 C.360 D.72 二、 填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

13. 今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球,同色球不加以区分,将这 9 个球排成一列 有 种不同的方法(用数字作答). 个

14. 用数字 0, 1, 2, 3, 4 组成没有重复数字的五位数, 则其中数字 1, 2 相邻的偶数有 (用数字作答).

15. 若(2x +

3

1 x

) 的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于

n

.

16. 从班委会 5 名成员中选出 3 名, 分别担任班级学习委员、 文娱委员与体育委员, 其中甲、 乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有_____种。 (用数字作答)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.如图,电路中共有 7 个电阻与一个电灯 A,若灯 A 不亮,分析因电阻断路的可能性共 有多少种情况。

2

R R R R

R R R
A ○

18.从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问: ①能组成多少个没有重复数字的七位数? ②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个? ③在①中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个? ④在①中任意两偶然都不相邻的七位数有几个?

19.把 1、2、3、4、5 这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排 列成一个数列. (1) 43251 是这个数列的第几项? (2) 这个数列的第 96 项是多少? (3) 求这个数列的各项和.

3

20.(本小题满分 12 分)求证:

能被 25 整除。

? 3 3 ? ? 3 1 ? ? a? ? 21. (本小题满分 14 分)已知 ? ? ? 的展开式的各项系数之和等于 ? ?4 b ? ? 5b ? ? a ? ? ? 3 3 ? ? a? 展开式中的常数项,求 ? ? ? 展开式中含 ? a ?
n

n

5

的项的二项式系数.

4

11?2 n 2 n ?2 22. (本小题满分 14 分) 若某一等差数列的首项为 C5 ?P n 11?3n ,公差为 ?

? 5 23 2 ? ? x ? ? 2x 5 ?

m

展开式中的常数项,其中 m 是 77 出这个最大值.

77

? 15 除以 19 的余数,则此数列前多少项的和最大?并求

单元测试卷参考答案 排列、组合、二项式定理

一、选择题:(每题 5 分,共 60 分) 1、D 解析:5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同 5 的报名方法共有 2 =32 种,选 D 2、C 解析.甲、乙、丙 3 位同学选修课程,从 4 门课程中,甲选修 2 门,乙、丙各选修 3
2 3 3 门,则不同的选修方案共有 C4 ? C4 ? C4 ? 96 种,选 C

5 3、解析:5 名志愿者先排成一排,有 A5 种方法,2 位老人作一组插入其中,且两位老人有 5 左右顺序,共有 2 ? 4 ? A5 =960 种不同的排法,选 B

4、A 解析:某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成,其中 4 个数字互不 相同的牌照号码共有 C26

? ?
1

2

4 A10 个,选 A

5、B 解析:从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一
2 2 天, 要求星期五有 2 人参加, 星期六、 星期日各有 1 人参加, 则不同的选派方法共有 C5 A3 ? 60

种,选 B
3 3 2 3 A3 种不同的排法,其中 0 在首位的有 A2 A3 种不符合 解析:只考虑奇偶相间,则有 2 A3

6、B

3 3 2 3 A3 ? A2 A3 ? 60 种. 题意,所以共有 2 A3

5

7、 C

3 解析: 比 12340 小的分三类:第一类是千位比 2 小为 0,有 A3 ? 6 个; 第二类是千位

2 为 2 ,百位比 3 小为 0,有 A2 ? 2 个; 第三类是十位比 4 小为 0,有 1 个.共有 6+2+1=9 个,所

以 12340 是第 10 个数. 8、D 解析:在一条线上取 2 个点时,另一个点一定在另一条直线上,且不能是交点. 9、C 解析: 由

? 2 ? x?
10 10

10

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? ? ? a10 x10 可得:

当 x ? 1 时, 当 x ? ?1 时,

? 2 ?1?

? a0 ? a11 ? a212 ? ? ? ? ? a10110 ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a10 ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a10 ? a0 ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a10

? 2 ?1?

? ?a0 ? a2 ? ? ? ? ? a10 ?2 ? ?a1 ? a2 ? ? ? ? ? a9 ?2
? ?a0 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a10 ? ?a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a10 ?

?

? 2 ?1? ? 2 ?1? ? ?? 2 ?1?? 2 ?1??
10 10

10

?1 .

10、 A

2 解析:先进行单循环赛,有 8C4 ? 48 场,在进行第一轮淘汰赛,16 个队打 8 场,在决出

4 强,打 4 场,再分别举行 2 场决出胜负,两胜者打 1 场决出冠、亚军,两负者打 1 场决出三、 四名,共举行:48+8+4+2+1+1=64 场. 11、C
5 解析: 9.98 ? ?10 ? 0.02 ? 5

1 ? 105 ? C5 ?104 ? 0.02 ? C52 ?103 ? ? 0.02 ?

2

3 ? C5 ?102 ? ?0.02?3 ? ? ? ?

? 105 ? 103 ? 4 ? 0.06 ? ? ? ? ? 99004.

12、A

1 解析:先取出一双有 C5 种取法,再从剩下的 4 双鞋中取出 2 双,而后从每双中各取

2 1 1 2 1 1 1 一只,有 C4 C2 C2 种不同的取法,共有 C5 C4 C2C2 ? 120 种不同的取法.

二、 填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13、1260 解析: 由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有

4 2 3 C9 C5 C3 ? 1260

14、24 解析:可以分情况讨论:① 若末位数字为 0,则 1,2,为一组,且可以交换位置,
3 3,4,各为 1 个数字,共可以组成 2 ? A3 ? 12 个五位数;② 若末位数字为 2,则 1 与它相 2 邻,其余 3 个数字排列,且 0 不是首位数字,则有 2 ? A2 ? 4 个五位数;③ 若末位数字为 4, 2 则 1, 2, 为一组, 且可以交换位置, 3, 0, 各为 1 个数字, 且 0 不是首位数字, 则有 2 ? (2 ? A2 ) =8

个五位数,所以全部合理的五位数共有 24 个

6

15、 7 解析: 若(2x +

3

1 x

) 的展开式中含有常数项,Tr ?1 ? Cn (2 x )
n

n?r

3 n?r

?(

1 r ) 为常数项, x

即 3n ?

7r =0,当 n=7,r=6 时成立,最小的正整数 n 等于 7. 2

16、36 种 解析.从班委会 5 名成员中选出 3 名,分别担任班级学习委员、文娱委员与 体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,先从其余 3 人中选出 1 人担任文娱委员,再
1 2 从 4 人中选 2 人担任学习委员和体育委员,不同的选法共有 C3 ? A4 ? 3? 4 ? 3 ? 36 种

三、解答题(共六个小题,满分 74 分) 17.解:每个电阻都有断路与通路两种状态,图中从上到下的三条支线路,分别记为支线 a、 2 b、c,支线 a,b 中至少有一个电阻断路情况都有 2 ―1=3 种;………………………4 分 2 支线 c 中至少有一个电阻断路的情况有 2 ―1=7 种,…………………………………6 分 每条支线至少有一个电阻断路,灯 A 就不亮, 因此灯 A 不亮的情况共有 3×3×7=63 种情况.………………………………………10 分
3 18. 解:①分步完成:第一步在 4 个偶数中取 3 个,可有 C 4 种情况; 4 第二步在 5 个奇数中取 4 个,可有 C 5 种情况; 7 第三步 3 个偶数,4 个奇数进行排列,可有 A7 种情况, 3 4 7 所以符合题意的七位数有 C 4 C5 A7 ? 100800个.………3 分 3 4 5 3 ②上述七位数中,三个偶数排在一起的有个. C 4 C5 A5 A3 ? 14400……6 分

③上述七位数中,3 个偶数排在一起,4 个奇数也排在一起的有
3 4 5 3 2 2 C4 C5 C5 A3 A4 A2 ? 5760个.……………………………………………9 分

④上述七位数中,偶数都不相邻,可先把 4 个奇数排好,再将 3 个偶数分别插入 5
4 3 3 个空档,共有 A5 C 4 A5 ? 28800个.…………………………………12 分

19.解:⑴先考虑大于 43251 的数,分为以下三类
4 第一类:以 5 打头的有: A4 =24 3 第二类:以 45 打头的有: A3 =6 2 第三类:以 435 打头的有: A2 =2………………………………2 分 5 4 3 2 ? A4 ? A3 ? A2 ? 88 (个) 故不大于 43251 的五位数有: A5

?

?

即 43251 是第 88 项.…………………………………………………………………4 分 ⑵数列共有 A=120 项,96 项以后还有 120-96=24 项,
7

即比 96 项所表示的五位数大的五位数有 24 个, 所以小于以 5 打头的五位数中最大的一个就是该数列的第 96 项.即为 45321.…8 分 ⑶因为 1,2,3,4,5 各在万位上时都有 A 个五位数,所以万位上数字的和为: (1+2+3+4+5) ·A·10000……………………………………………………………10 分 同理它们在千位、十位、个位上也都有 A 个五位数,所以这个数列各项和为: (1+2+3+4+5) ·A· (1+10+100+1000+10000) =15×24×11111=3999960……………………………………………………………12 分 20.证明:因 2 n?2 ? 3n ? 5n ? 4 ? 4 ? 6 n ? 5n ? 4 ? 4 ? ?5 ? 1?n ? 5n ? 4 ………………3 分

1 n?1 2 n ?2 n ?2 2 n?1 ? 4. 5n ? Cn 5 ? Cn 5 ? ? ? ? ? Cn 5 ? Cn 5 ? 1 ? 5n ? 4 ……………………8 分

?

?

1 n?1 2 n ?2 n ?2 2 ? 4. 5n ? Cn 5 ? Cn 5 ? ? ? ? ? Cn 5 ? 25n ……………………………………10 分

?

?

1 n?1 2 n ?2 n ?2 2 显然 5n ? Cn 5 ? Cn 5 ? ? ? ? ? Cn 5 能被 25 整除,25n 能被 25 整除,

?

?

所以 2 n?2 ? 3n ? 5n ? 4 能被 25 整除.…………………………………………………12 分
? 3 1 ? r 3 ? 的展开式的通项为 Tr ?1 ? C5 21. 设 ? 4 b ?4 b ? ? 5 b ? ? ? 1 ? r ? ? 4 5?r C5 ?? ?b ?? ? 5? ?
r 10?5r 6

5

? ?

5? r ?

1 ? ?? ? ? ? 5b ? ?

r

, ?r ? 0,1,2,3,4,5? .………………………………6 分

若它为常数项,则

10 ? 5r ? 0,? r ? 2 ,代入上式? T3 ? 2 7 . 6
n

? 3 3 7 即常数项是 2 ,从而可得 ? ? ? ? a

? a? ? 中 n=7,…………………10 分 ?

? 3 3 同理 ? ? ? ? a

? a? ? 由二项展开式的通项公式知,含 ?

7

的项是第 4 项,

其二项式系数是 35.…………………………………………………………14 分 22. 由已知得: ?
? 11 ? 2n ? 5n ,又 n ? N ,? n ? 2 ,………………………………2 分 ?2n ? 2 ? 11 ? 3n

8

11?2n 2 n ?2 7 2 3 2 ? C5 ?P n 11?3n ? C10 ? P 5 ? C10 ? P 5 ?

10 ? 9 ? 8 ? 5 ? 4 ? 100 3? 2

所以首项 a1 ? 100 .……………………………………………………………………4 分
1 1 ? 7676 ? ? ? ? ? C77 ? 76 ? 1 ? 15 7777 ? 15 ? ?76 ? 1?77 ? 15 ? 7677 ? C77

? 76M ? 14, ?M ? N ?? ,所以 7777 ? 15 除以 19 的余数是 5,即 m ? 5 ………6 分

? 5 23 2 ? r? 5 ? ? x ? 的展开式的通项 Tr ?1 ? C5 ? ? ? ? 2x 5 ? ? 2x ?

m

5? r

? 23 2 ? x ? ?? ? 5 ?

r

r?5? ? ?? 1?r C5 ? ? ?2?

5? 2 r

5

x3

r ?5

, ?r ? 0,1,2,3,4,5? ,

5 若它为常数项,则 r ? 5 ? 0,? r ? 3 ,代入上式? T4 ? ?4 ? d . 3

从而等差数列的通项公式是: a n ? 104 ? 4n ,……………………………………10 分 设其前 k 项之和最大,则 ? 故 此 数 列 的 前
S 25 ? S 26 ?
? 104 ? 4n ? 0 ,解得 k=25 或 k=26, ?104 ? 4?k ? 1? ? 0

25

项 之 和 与 前

26

项 之 和 相 等 且 最 大 ,

100 ? 104 ? 4 ? 25 ? 25 ? 1300 .………………………………………14 分 2

9


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