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高中数学复习专题讲座(第4讲)一元二次函数、二次方程及二次不等式的关系关系.doc


题目 高中数学复习专题讲座 二次函数、二次方程及二次不等式的关系 高考要求 三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学 数学的重要内容, 具有丰富的内涵和密切的联系, 同时也是研究包含二次曲 线在内的许多内容的工具 高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题 有关 本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系,掌握函数、方程及 不等式的思想和方法 重难点归纳 1 二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法 y=ax2+bx+c;y=a(x-x1)(x-x2);y=a(x-x0)2+n
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(2)当 a>0,f(x)在区间[p,q]上的最大值 M,最小值 m,令 x0=

1 (p+q) 2

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b <p,则 f(p)=m,f(q)=M; 2a b b 若 p≤- <x0,则 f(- )=m,f(q)=M; 2a 2a b b 若 x0≤- <q,则 f(p)=M,f(- )=m; 2a 2a b 若- ≥q,则 f(p)=M,f(q)=m 2a
若-
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2 二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条件 (1)方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大,另一根比 r 小 ? a·f(r)<0;
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?? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? ? b (2)二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r ? ?? ? r, ? 2a a ? f (r) ? 0 ? ?
?? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? b ? ? q, ?p ? ? (3)二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内有两根 ? ? 2a ?a ? f ( q ) ? 0, ? ? ?a ? f ( p ) ? 0;
(4)二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根 ? f(p)· f(q)<0,或 f(p)=0(检验) 或 f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立
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?a ? f ( p ) ? 0 (5)方程 f(x)=0 两根的一根大于 p,另一根小于 q(p<q) ? ? ?a ? f ( q ) ? 0
3 二次不等式转化策略 (1)二次不等式 f(x)=ax2+bx+c≤0 的解集是 (-∞,α ] )∪[β ,+∞ ) ? a<0 且 f(α )=f(β )=0;
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b b |<|β + |, 2a 2a b b 当 a<0 时,f(α )<f(β ) ? |α + |>|β + |; 2a 2a
(2)当 a>0 时,f(α )<f(β ) ? |α + (3)当 a>0 时,二次不等式 f(x)>0 在[p,q]恒成立

b ? b ? b ? p ? ? 2 a ? q, ? ? p, ? ? p; ?? ?? ? ? 2a 或? 或 ? 2a b ? f ( ? ) ? 0, ? ? f ( p ) ? 0, ? ? f ( q) ? 0; ? 2a ? (4)f(x)>0 恒成立
?a ? 0, ?a ? b ? 0, ?a ? 0, ?a ? b ? 0 ?? 或? f ( x ) ? 0恒成立 ? ? 或? ?? ? 0, ?c ? 0; ?? ? 0, ?c ? 0.
典型题例示范讲解 例 1 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 和一次函数 g(x)=-bx,其中 a、b、c 满足 a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R) (1)求证 两函数的图象交于不同的两点 A、B; (2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围 命题意图 本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力 知识依托 解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数 与形的完美结合 错解分析 由于此题表面上重在“形” ,因而本题难点就是一些考生可 能走入误区,老是想在“形”上找解问题的突破口,而忽略了“数” 技巧与方法 利用方程思想巧妙转化
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? y ? ax 2 ? bx ? c (1)证明 由 ? 消去 y 得 ax2+2bx+c=0 ? y ? ?bx
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Δ =4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+ ) 2 ? ∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴

c 2

3 2 c] 4

3 2 c >0,∴Δ >0,即两函数的图象交于不同的两点 4

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(2)解 设方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1 和 x2,则 x1+x2=-
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c 2b ,x1x2= a a

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|A1B1|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2

? (?

2b 2 4c 4b 2 ? 4ac 4(?a ? c) 2 ? 4ac ) ? ? ? a a a2 a2

c c c 1 3 ? 4[( )2 ? ? 1] ? 4[( ? ) 2 ? ] a a a 2 4
∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0

c 1 ∈(-2,- ) 2 a c c c c 1 ∵ f ( ) ? 4[( ) 2 ? ? 1] 的对称轴方程是 ? ? a a a a 2 c 1 ∈(-2,- )时,为减函数 2 a
∴a>-a-c>c,解得 ∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈( 3,2 3 )
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例 2 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内, 求 m 的范围 (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围 命题意图 本题重点考查方程的根的分布问题 知识依托 解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具 有的意义 错解分析 用二次函数的性质对方程的根进行限制时,条件不严谨是解 答本题的难点 技巧与方法 设出二次方程对应的函数,可画出相应的示意图,然后用 函数性质加以限制 解 (1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(- 1,0)和(1,2)内,画出示意图,得
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1 ? ?m ? ? 2 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? m ? R, ? f ( ?1) ? 2 ? 0, ? ? ? ?? 1 ? ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ?m ? ? 2 , ? ? ? f ( 2 ) ? 6m ? 5 ? 0 ?m ? ? 5 ? 6 ?

y

-1

o

1

2

x

∴?

5 1 ?m?? 6 2

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(2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组

? f (0) ? 0, ? f (1) ? 0, ? ? ?? ? 0, ? ?0 ? ?m ? 1

1 ? ?m ? ? 2 , ? 1 ? ? ?m ? ? , 2 ? ?m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2 , ?? 1 ? m ? 0. ?

y

o

1

x

(这里 0<-m<1 是因为对称轴 x=-m 应在区间(0,1)内通过) 例 3 已知对于 x 的所有实数值,二次函数 f(x)=x2-4ax+2a+12(a∈R)的 值都是非负的,求关于 x 的方程
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x =|a-1|+2 的根的取值范围 a?2 3 解 由条件知Δ ≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,∴- ≤a≤2 2 3 (1)当- ≤a<1 时,原方程化为 2 25 1 x=-a2+a+6,∵-a2+a+6=-(a- )2+ 2 4 25 3 9 1 ∴a=- 时,xmin= ,a= 时,xmax= 2 4 2 4 25 9 ∴ ≤x≤ 4 4 3 1 (2)当 1≤a≤2 时,x=a2+3a+2=(a+ )2- 2 4
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∴当 a=1 时,xmin=6,当 a=2 时,xmax=12,∴6≤x≤12 综上所述,
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9 ≤x≤12 4

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学生巩固练习 1 若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对一切 x∈R 恒成立,则 a 的取值 范围是( ) A (-∞,2 ] B [ -2,2 ] C (-2,2 ] D (-∞,-2)
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2 设二次函数 f(x)=x -x+a(a>0),若 f(m)<0,则 f(m-1)的值为( ) A 正数 B 负数 C 非负数 D 正数、负数和零都有可能 2 2 3 已知二次函数 f(x)=4x -2(p-2)x-2p -p+1,若在区间[-1,1]内 至少存在一个实数 c,使 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是_________ 4 二次函数 f(x)的二次项系数为正, 且对任意实数 x 恒有 f(2+x)=f(2-x),
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若 f(1-2x2)<f(1+2x-x2),则 x 的取值范围是_________ t y 5 已知实数 t 满足关系式 loga 3 ? loga 3 (a>0 且 a≠1) a a x (1)令 t=a ,求 y=f(x)的表达式; (2)若 x∈(0,2 ] 时,y 有最小值 8,求 a 和 x 的值
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6 如果二次函数 y=mx +(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原 点的右侧,试求 m 的取值范围
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7 二次函数 f(x)=px2+qx+r 中实数 p、q、r 满足
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p q r ? ? =0,其 m ? 2 m ?1 m

中 m>0,求证 (1)pf(

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m )<0; m ?1
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(2)方程 f(x)=0 在(0,1)内恒有解 8 一个小服装厂生产某种风衣,月销售量 x(件)与售价 P(元/件)之间的 关系为 P=160-2x,生产 x 件的成本 R=500+30x 元 (1)该厂的月产量多大时,月获得的利润不少于 1300 元? (2)当月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元? 参考答案 1 解析 当 a-2=0 即 a=2 时,不等式为-4<0,恒成立 ∴a=2,当 a-2≠0
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?a ? 2 ? 0 时,则 a 满足 ? ,解得-2<a<2,所以 a 的范围是-2<a≤2 ?? ? 0
答案 C
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2 解析 ∵f(x)=x2-x+a 的对称轴为 x=
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1 ,且 f(1)>0,则 f(0)>0,而 f(m)<0,∴ 2

m∈(0,1), ∴m-1<0,∴f(m-1)>0 答案 A
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3 解析 只需 f(1)=-2p2-3p+9>0 或 f(-1)=-2p2+p+1>0 即-3<p<
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3 2

或-

1 3 <p<1 ∴p∈(-3, ) 2 2 3 答案 (-3, ) 2
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4 解析 由 f(2+x)=f(2-x)知 x=2 为对称轴, 由于距对称轴较近的点的纵 坐标较小, ∴|1-2x2-2|<|1+2x-x2-2|,∴-2<x<0 答案 -2<x<0
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t y ? logt 3 得 logat-3=logty-3logta 3 a a loga y 3 由 t=ax 知 x=logat,代入上式得 x-3= ? ,? x x
5 解 (1)由 loga
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∴logay=x2-3x+3,即 y=a x (2)令 u=x2-3x+3=(x-

2

?3 x ? 3

(x≠0)

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3 2 3 )+ (x≠0),则 y=au 2 4

①若 0<a<1,要使 y=au 有最小值 8, 则 u=(x- 值
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3 2 3 ) + 在(0,2 ] 上应有最大值,但 u 在(0,2 ] 上不存在最大 2 4 3 2 3 ) + ,x∈(0,2 ] 应有最小值 2 4

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②若 a>1,要使 y=au 有最小值 8,则 u=(x-

∴当 x=
3

3 3 时,umin= ,ymin= a 4 2 4

3

由 a 4 =8 得 a=16 ∴所求 a=16,x=
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6 解 ∵f(0)=1>0 (1)当 m<0 时,二次函数图象与 x 轴有两个交点且分别在 y 轴两侧,符 合题意
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?? ? 0 ? (2)当 m>0 时,则 ? 3 ? m 解得 0<m≤1 ?0 ? ? m
综上所述,m 的取值范围是{m|m≤1 且 m≠0} 7 证明 (1) pf (
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m m 2 m ) ? p[ p( ) ? q( ) ? r] m ?1 m ?1 m ?1

? pm[

pm q r pm p ? ? ] ? pm[ ? ] 2 2 m ?1 m m?2 ( m ? 1) ( m ? 1) m( m ? 2) ? ( m ? 1) 2 ] ( m ? 1) 2 ( m ? 2)

? p 2 m[

? pm 2

?1 ,由于 f(x)是二次函数,故 p≠0,又 m>0,所以, ( m ? 1) 2 ( m ? 2)

pf(

m )<0 m ?1

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(2)由题意,得 f(0)=r,f(1)=p+q+r ①当 p<0 时,由(1)知 f( 若 r>0,则 f(0)>0,又 f(

m )<0 m ?1

m m )<0,所以 f(x)=0 在(0, )内有解; m ?1 m ?1 p r p r 若 r≤0,则 f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(- ? )+r= ? >0, m?2 m m?2 m m m 又 f( )<0,所以 f(x)=0 在( ,1)内有解 m ?1 m ?1
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②当 p<0 时同理可证 8 解 (1)设该厂的月获利为 y,依题意得? y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500 由 y≥1300 知-2x2+130x-500≥1300 ∴x2-65x+900≤0,∴(x-20)(x-45)≤0,解得 20≤x≤45 ∴当月产量在 20~45 件之间时,月获利不少于 1300 元
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(2)由(1)知 y=-2x2+130x-500=-2(x-

65 2 ) +1612 5 2
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∵x 为正整数,∴x=32 或 33 时,y 取得最大值为 1612 元, ∴当月产量为 32 件或 33 件时,可获得最大利润 1612 元 课前后备注
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