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辽宁省大连市2014-2015学年高二上学期期末考试 数学(文) Word版含答案


2014~2015 学年第一学期期末考试试卷 高二数学(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.考生作答时,将答案答在答题 卡和答题纸上,在本试卷上答题无效.

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. “ x ? 1 ”是“ x ? x ”的
2

( B.必要不充分条件 D.既不必要也不充分条件 (



A.充要条件 C.充分不必要条件 A.30 B.45

2. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? a9 ? 10 ,则 S9 的值为 C.90 D.180

)

x2 y2 ? ? 1 上一点 M 到椭圆的一个焦点的距离等于 4,那么点 M 到另一个焦点 3.已知椭圆 25 9
的距离等于 A. 6 4. 下列命题错误 的是 .. ( B. 5 C. 3 D. 1 ( ) )

A.命题“若 p 则 q ”与命题“若 ?q ,则 ?p ”互为逆否命题 B.命题“ ?x ? R, x ? x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 0 ”
2 2

C. ? x ? 0 且 x ? 1 ,都有 x ?
2 2

1 ?2 x

D.“若 am ? bm , 则a ? b ”的逆命题为真

? ? bx ? a 必过 5.已知研究 x 与 Y 之间关系的一组数据如表 1 所示, 则 Y 对 x 的回归直线方程 y
点 A. (2, 2) B. ( , 0) ( )

3 2

C. (1, 2) 表1

D. ( , 4)

3 2

x
Y

0 1

1 3

2 5

3 7

? y?2 ? 6. 已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为 ? x ? y ?1 ?
A.12
2

(

)

B.11

C.3

D.-1 )

7.设抛物线 y ? 8 x 上一点 P 到 y 轴距离是 6,则点 P 到该抛物线焦点的距离是 ( A.12 B.8 C.6 D.4

8.双曲线 x 2 ? y 2 ? 3 的渐近线方程为 A. y ? ? x B. y ? ?3x C. y ? ? 3x D. y ? ?





3 x 3
( )

9.设函数 f ( x) ? x ln x ,则 f ( x) 的极小值为 A. ?e B.

1 e
a b

2 C. e

D. ?

1 e


1 1 ? 的最小值为 ( a b 1 A. 8 B. 4 C. 1 D. 4 3 2 ( ?? , ?? ) 11.若函数 f ? x ? ? x ? 2x ? mx ? 1 在 内单调递增,则 m 的取值范围是(
10. 设 a ? 0, b ? 0 ,若 3 是 3 与3 的等比中项,则 A. m ?

)

4 3

B. m ?

4 3

C. m ?

4 3

D. m ?

4 3

12.已知 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点, P 是以 F1F2 为直径的 a 2 b2
( )

圆与该双曲线的一个交点,且 ?PF 1F 2 ? 2?PF 2F 1 ,则这个双曲线的离心率是

A.

3?2 2

B. 3 ? 2

C. 3 ? 1

D.

3 ?1 2

第 II 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

x ? 0 的解集为 .(用区间表示) 9? x 3 1 2 14. 曲线 y ? x ? 2 x 在点 (1, ? ) 处的切线方程为__________________. 2 2
13.不等式 15. 等差数列 ?an ? 、 ?bn ? 满足
* a n 3n ? 2 ( n ? N ),且前 n 项和分别为 An , Bn , ? bn 4n ? 3



A5 的值为 B5

.

16. 已知函数 f ? x ? ? sin x ? x cos x ,若存在 x ? ? 0, ? ? ,使得 f ? ? x ? ? ? x 成立,则实数 ?

的取值范围是

.

三、解答题:本大题共小 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了 130 人,其中女性 70 人,女性中有 40 人主要 的休闲方式是看电视;男性中有 35 人主要的休闲方式是运动. (Ⅰ)根据以上数据完善下列 2×2 列联表(表 2) ; (Ⅱ)能否有 95%的把握认为休闲方式与性别有关. 表2 男 看电视 运动 合计 35 70
2

女 40

合计

n ? n11n22 ? n12 n21 ? 参考公式 ? ? n?1n?2 n1? n2?
2

表3

P( ? 2 ? k ) k

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

18.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)求 an 和 Sn ; (Ⅱ)求数列 ?

已知等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 a1 , a4 , a13 成等比数列,数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn .

?1? ? 的前 n 项和 Tn . ? Sn ?

19.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ? x ? ? x ? 2x ? 4x ? 5 .
3 2

(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)求 f ? x ? 在 [ ?3,1] 上的最大值和最小值.

20.(本小题满分 12 分) 已知动点 M 到点 ? 4, 0 ? 的距离比它到直线 l : x ? ?3 的距离多 1. (Ⅰ)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)求过点 ( 4,0) 且倾斜角为 30 ? 的直线被曲线 C 所截得线段的长度.

21.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ? x ? ? ? x ? a ? e ,( a ?R).
x

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在区间 [ ?3, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若

f ( x) ? e2 x 在 x ? [0,2] 时恒成立,求实数 a 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 ? ?c,0? , F2 ? c,0? ,椭圆上两点 a 2 b2 3 A, B 坐标分别为 A ? a,0? , B ? 0, b ? ,若 ?ABF2 面积为 , ?BF2 A ? 1200 . 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;
已知椭圆 C : (Ⅱ) 过点 O 作两条互相垂直的射线, 与椭圆 C 分别交于 M , N 两点, 证明: 点 O 到直线 MN 的距离为定值.

2014~2015 学年第一学期期末考试答案 高二数学(文科)
1~12 13. CBADD BBADB AC 14.

?? ?,0? ? ?9, ? ??

==

2x ? 2 y ? 1 ? 0

15.

11 15

16. ? ? 1

17.解(1) 男 25 35 女 40 30 合计 65 65

看电视 运动

60 70 130 合计 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分

130(25 ? 30 ? 35 ? 40) 2 65 ? ? 3.095 ? 3.841 (2) ? ? 60 ? 70 ?130 ?130 21
2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 ? 没有 95%的把握认为休闲方式与性别有关.· 18.解: (1) :
2

a1 , a , a 成等比数列,? a42 ? a1a13 , 4 3 1

即? ? a1 ? 3d ? ? a1 ? a1 ? 12d ? 又 d ? 2 解得 a1 ? 3 则 an ? 2n ? 1 Sn ? n(n ? 2) ············· 6 分 ,

(2)

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) sn n(n ? 2) 2 n n ? 2
?( 1 1 1 1 ? )?( ? )] n ?1 n ? 1 n n?2

1 1 1 1 Tn ? [(1 ? )+( ? ) ? 2 3 2 4
?
?

1 1 1 1 (1 ? ? ? ) 2 2 n ?1 n ? 2

3 1? 1 1 ? ? ? ? ? 4 2 ? n ? 1 n ? 2 ? ························ 12 分

19. 解:(1)f(x)=x3+2x2-4x+5,
∴f′(x)=3x2+4x-4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分

2 2 ,令 f ?( x) ? 0 ,则 - 2 ? x ? , 3 3 2 2 (- 2, )· - 2? ,( , ? ?) 所以增区间为 ?- ?, ,减区间为 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 3 3
令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? ?2 或 x ? 2 (2)令 f′(x)=0,得 x=-2 或 x= , 3 [-3,-2) -2 x

?-2,2? 3? ?
-

f ? ? x?
f ? x?

2 3
0 95 27

?2,1? ?3 ?
+

+

0 13

2 为极小值点, 3 2? 95 又 f(-3)=8,f(-2)=13,f? ?3?=27,f(1)=4,
∴ x ? ?2 为极大值点, x ? 95 ∴y=f(x)在[-3,1]上的最大值为 13,最小值为 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 27 20. 解: (1)由题意易知,动点 M 到点 ?4,0? 的距离与到直线 x ? ?4 的距离相等,故 M 点的 轨迹为以 ?4,0? 为焦点, x ? ?4 为准线的抛物线,此抛物线方程为 y ? 16 x ··· 4 分
2

(2)设直线与抛物线交点为 A, B ,直线 AB 方程为 y ? 0 ? 3 ( x ? 4) , 即 y ? 3 x? 3

3

3

4 3
·············· 6 分

? 3 4 3 x? ?y ? 2 3 3 ,得 x ? 56x ? 16 ? 0 , 将直线方程与抛物线方程联立 ? ? y 2 ? 16x ?
故 xA ? xB ? 56, xA ? xB ? 16

AB ? xA ? xB ? p ? 56 ? 8 ? 64
(其他方法请酌情给分) 21.解: (1) f '( x) ? ( x ? a+1)e x , x ? R .

············· 12 分

因为函数 f ( x ) 是区间 [?3, ??) 上的增函数, 所以 f '( x ) ? 0 ,即 x ? a ? 1 ? 0 在 [?3, ??) 上恒成立. 因为 y ? x ? a ? 1 是增函数,所以满足题意只需 ?3 ? a ? 1 ? 0 ,即 a ? 2 . ···· 6 分
x 2x x 2x (2) f ( x)e ? e ,即 ?x ? a ?e ? e ,a ? e ? x 在 x ?[0, 2] 时恒成立,即 a ? (e x ? x) max
x

设 g ( x) ? e ? x , g?( x) ? e ?1 ,易知 g?( x) ? e ?1 ? 0 ,在 x ?[0, 2] 上恒成立,
x x x

? g ( x)max ? g (2) ? e2 ? 2 ,? a ? e 2 ? 2

············· 12 分

22.解:(1)由题意,易知 a ? 2c, b ? 3c , S ?ABF2 ?

1 3 2 3 ? (2c ? c) ? 3c ? c ? 2 2 2

?c ? 1, a ? 2, b ? 3

? 椭圆方程为


x2 y2 ? ?1 4 3 ············· 4 分

(2)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,当直线 MN 的斜率不存在时, MN ? x 轴, ?MNO 为等腰直角 三角形,?

y1 ? x1 ,又

x12 y12 12 2 21 ? ? 1 ,解得 x1 ? ? , 4 3 7 7

即 O 到直线 MN 的距离 d ?

2 21 ···················· 6 分 7

当直线的斜率存在时,直线 MN 的方程为 y ? kx ? m , 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 联立消去 y 得 4 3

3x 2 ? 4(k 2 x 2 ? 2km ? m2 ) ? 12 ? 0 ,
8km 4m 2 ? 12 ? x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
? OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,

? x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0
即 (k ? 1) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? 0
2 2

? (k 2 ? 1)

4m 2 ? 12 8k 2 m 2 ? ? m2 ? 0 , 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k
2 2

整理得 7m ? 12(k ? 1)

? O 到直线 MN 的距离 d ?

m 1? k 2

?

12 2 21 ? 7 7

··········· 12 分


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