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数学 必修2:直线的点斜式、斜截式方程 教案


课题:直线的点斜式、斜截式方程
课 型:新授课 教学目标: 1、知识与技能 (1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围; (2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。 (3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 2、过程与方法 在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础 上,通过师生探讨,得出直线的点斜式方程;学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。 3、情态与价值观 通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系,进一步培养学生数形结合的思想, 渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点,使学生能用联系的观点看问题。 教学重点:直线的点斜式方程和斜截式方程。 教学难点:直线的点斜式方程和斜截式方程的应用 教学过程:[来源:学|科|网 Z|X|X|K] 问 题 设计意图 师生活动 1、在直线坐标系内确定一条直 使学生在已有知 学生回顾,并回答。然后 线,应知道哪些条件? 识和经验的基础 教师指出,直线的方程,就 上,探索新知。 是直线上任意一点的坐标 ( x, y) 满足的关系式。 2、直线 l 经过点 P ( x0 , y0 ) , 0 且斜率为 k 。设点 P( x, y) 是直 线 l 上的任意一点,请建立 x, y 与 k , x0 , y0 之间的关系。 培养学生自主探 索的能力,并体会 直线的方程,就是 直线上任意一点的 坐标 ( x, y) 满足的 关系式,从而掌握 根据条件求直线方 程的方法。 学生根据斜率公式,可以 得到,当 x ?

k?

y P P0

y ? y0 ,即 x ? x0 y ? y0 ? k ( x ? x0 )

x0 时,

(1) 教师对基础薄弱的学生 给予关注、引导,使每个学 生都能推导出这个方程。

O

x
使学生了解方程 为直线方程必须满 两个条件。 设计意图 使学生了解方程 为直线方程必须满 两个条件。 学生验证,教师引导。

3、 (1)过点 P ( x0 , y0 ) ,斜率 0 是 k 的直线 l 上的点,其坐标都 满足方程(1)吗? 问 题 (2)坐标满足方程(1)的点都 在经过 P ( x0 , y0 ) , 斜率为 k 的 0 直线 l 上吗?

师生活动 学生验证,教师引导。然 后教师指出方程(1)由直 线上一定点及其斜率确定, 所以叫做直线的点斜式方 程,简称点斜式(point

4、 直线的点斜式方程能否表示坐 标平面上的所有直线呢? 5、 (1)x 轴所在直线的方程是什 么? y 轴所在直线的方程是什 么? (2)经过点 P ( x0 , y0 ) 且平行 0 于 x 轴(即垂直于 y 轴)的直线 方程是什么? (3) 经过点 P ( x0 , y0 ) 且平行 0 于

使学生理解直线的 点斜式方程的适用 范围。 进一步使学生理 解直线的点斜式方 程的适用范围,掌 握特殊直线方程的 表示形式。

slope form). 学生分组互相讨论,然后 说明理由。 教师学生引导通过画图分 析,求得问题的解决。
y P0

y 轴(即垂直于 x 轴)的直线

O

x

方程是什么?

y P0

O
6、例 1 的教 学。(教材 93 页) 学会运用点斜式方 程解决问题,清楚 用点斜式公式求直 线方程必须具备的 两个条件: (1)一 个定点; (2)有斜 率。同时掌握已知 直线方程画直线的 方法。 引入斜截式方 7、已知直线 l 的斜率为 k ,且 与 y 轴的交点为 (0, b) ,求直线 程,让学生懂得斜 截式方程源于点斜 l 的方程。 式方程,是点斜式 方程的一种特殊情 形。

x

教师引导学生分析要 用点斜式求直线方程应已 知那些条件?题目那些条 件已经直接给予,那些条件 还有待已去求。在坐标平面 内,要画一条直线可以怎样 去画。

学生独立求出直线 l 的 方程: y ? kx ? b (2) 再此基础上,教师给出 截距的概念,引导学生分析 方程(2)由哪两个条件确 定,让学生理解斜截式方程 概念的内涵。 学生讨论,教师及时给予 评价。

8、观察方程 y ? kx ? b ,它 的形式具有什么特点? 问 题 9、直线 y ? kx ? b 在 x 轴上的 截距是什么?

深入理解和掌 握斜截式方程的特 点?

设计意图 师生活动 使学生理解 学生思考回答,教师评价。 “截距”与“距离” 两个概念的区别。

10、你如何从直线方程的角度认 识一次函数 y ? kx ? b ?一次 函数中 k 和 b 的几何意义是什 么?你能说出一次函数

体会直线的斜截 式方程与一次函数 的关系.

学生思考、 讨论, 教师评价、 归纳概括。[来源:学+科+ 网]

y ? 2x ? 1, y ? 3x, y ? ? x ? 3
掌握从直线方程 的角度判断两条直 线相互平行,或相 互垂直;进一步理 解斜截式方程中 k, b 的几何意义。 教师引导学生分析:用斜 率判断两条直线平行、垂直 结论。思考(1) l1 //l2 时,

图象的特点吗? 11、例 2 的教学。(教材 94 页)

k1 , k2 ; b1 , b2 有何关系? (2) l1 ? l2 时, k1 , k2 ; b1 , b2 有何关系?在
此由学生得出结论:

l1 // l2 ? k1 ? k2 , 且 b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1
12、课堂练 习第 95 页练习第 1, 巩固本节课所学过 2,3,4 题。 的知识。 13、小结 使学生对本节课所 学的知识有一个整 体性的认识,了解 知识的来龙去脉。 学生独立完成,教师检查反 馈。 教师引导学生概括: (1)本 节课我们学过那些知识点; (2)直线方程的点斜式、 斜截式的形式特点和适用 范围是什么?(3)求一条 直线的方程,要知道多少个 条件? 学生课后独立完成。

14、布置作业:第 106 页第 1 题 的 (1) 、 、 和第 3、 题[来 (2) (3) 5 源:学科网 ZXXK]

巩固深化

例 3.如果直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位,再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后,又回到原来的 位置,求直线 l 的斜率.( -

1 ) 3

归纳小结: (1)本节课我们学过那些知识点; (2)直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适 用范围是什么?(3)求一条直线的方程,要知道多少个条件? 作业布置:第 100 页第 1 题的(1)(2)(3)和第 3、5 题 、 、 课后记:

课题:直线的两点式和截距式方程
课 型:新授课 教学目标:[来源:学科网 ZXXK] 1、知识与技能[来源:Z#xx#k.Com] (1)掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围; (2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。 2、过程与方法 让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论,并通过新旧知识的比较、分析、应用获 得新知识的特点。 3、情态与价值观 (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化; (2)培养学生用联系的观点看问题。 教学重点:直线方程两点式。 教学难点:两点式推导过程的理解 教学过程: 问 题 设计意图 师生活动 1、利用点斜式解答如下 遵循由浅及 教师引导学生:根据已有的知识,要求 问题: 深,由特殊 直线方程,应知道什么条件?能不能把问 (1)已知直线 l 经过两 到一般的认 题转化为已经解决的问题呢?在此基础 点 P (1,2), P (3,5) ,求 知规律。使 上,学生根据已知两点的坐标,先判断 是 1 2 学生在已有 否存在斜率,然后求出直线的斜率,从而 l 的方程. 直线 的知识基础 可求出直线方程: (2)已知两点 上获得新结 3 P ( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y2 ) 论,达到温 (1) y ? 2 ? ( x ? 1) 1 2 其中 故知新的目

求 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , 通过这两点的直线方程。

的。

y 2 ? y1 ( x ? x1 ) x2 ? x1 教师指出:当 y1 ? y2 时,方程可以写成 y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) y 2 ? y1 x2 ? x1
(2) y

? y1 ?

2、若点

P ( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y2 ) 1 中有 x1 ? x2 ,或 此时这两点的 y1 ? y2 ,
直线方程是什么?

问 题 3、例 3 教学 已知直线 l 与 x 轴的 交点为 A (a,0) , y 轴 与 的交点为 B (0, b) ,其中 求直线 l a ? 0, b ? 0 , 的方程。

使学生懂得 两点式的适 用范围和当 已知的两点 不满足两点 式的条件时 它的方程形 式。 设计意图 使学生学会 用两点式求 直线方程; 理解截距式 源于两点 式,是两点 式的特殊情 形。 让学生学 会根据题目 中所给的条 件,选择恰 当的直线方 程解决问 题。

由于这个直线方程由两点 确定,所以我们 把它叫直线的两点式方程,简称两点式 (two-point form). 教师引导学生通过画图、观察和分析,

? x2 时,直线与 x 轴垂直,所 以直线方程为: x ? x1 ;当 y1 ? y2 时, 直线与 y 轴垂直,直线方程为: y ? y1 。
发现当 x1

师生活动 教师引导学生分析题目中所给的条件有什 么特点?可以用多少方法来求直线 l 的方 程?那种方法更为简捷?然后由求出直线 方程:

x y ? ?1 a b 教师指出: a, b 的几何意义和截距式方
程的概念。 教师给出中点坐标公式, 学生根据自己 的理解, 选择恰当方法求出边 BC 所在的直 线方程和该边上中线所在直线方程。在此 基础上,学生交流各自的作法,并进行比 较。

4、例 4 教学 已知三角形的三个顶 点A (-5, ,(3, , 0) B -3) C(0,2) ,求 BC 边所在 直线的方程, 以及该边上 中线所在直线的方程。

5、课堂练习 第 97 页第 1、 3 题。 2、 6、小结 增强学生对 直线方种四 种形式(点 斜式、斜截 式、 两点式、 截距式)互 相之间的联 系的理解。

学生独立完成,教师检查、反馈。 教师提出: (1)到目前为止,我们所学过 的直线方程的表达形式有多少种?它们之 间有什么关系? (2) 要求一条直线的方程, 必须知道多少 个条件?

7、布置作业[来源:学。 科。网]

巩固深化, 培养学生的 独立解决问 题的能力。

学生课后完成

归纳小结: 1)到目前为止,我们所学过的直线方程的表达形式有多少种?它们之间有什么关系? 2)要求一条直线的方程,必须知道多少个条件? 作业布置:第 100 页第 1 题的(4)(5)(6)和第 2、4 题 、 、 课后记:

课题:直线的一般式方程
课 型:新授课 教学目标: 1、知识与技能 (1)明确直线方程一般式的形式特征; (2)会把直线方程的一般式化为斜截式,进而求斜率和截距; (3)会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。 2、过程与方法:学会用分类讨论的思想方法解决问题。 3、情态与价值观 (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化; (2)用联系的观点看问题。 教学重点:直线方程的一般式。 教学难点:对直线方程一般式的理解与应用 教学过程: 问 题 设计意图 师生活动 1、 (1)平面直角坐标系中 使学生理解直线 教师引导学生用分类讨论的方 的每一条直线都可以用一 和二元一次方程 法思考探究问题 (1) 即直线存在 , 个关于 x, y 的二元一次方 的关系。 斜率和直线不存在斜率时求出的 直线方程是否都为二元一次方程。 程表示吗? 对于问题 (2) 教师引导学生理解 , (2) 每一个关于 x, y 的二 要判断某一个方程是否表示一条 元一次方程 直线, 只需看这个方程是否可以转 Ax ? By ? C ? 0(A,B 化为直线方程的某种形式。 为此要 不同时为 0) 都表示一条直 对 B 分类讨论,即当 B ? 0 时和 线吗? 当 B=0 时两种情形进行变形。 然后 由学生去变形判断,得出结论: 关于 x, y 的二元一次方程,它 都表示一条直线。 教师概括指出: 由于任何一条直 线都可以用一个关于 x, y 的二元 一次方程表示; 同时, 任何一个关 于 x, y 的二元一次方程都表示一

条直线。 我们把关于关于 x, y 的二 元一次方程 Ax

? By ? C ? 0

2、直线方程的一般式与其 他几种形式的直线方程相 比,它有什么优点? 问 题

使学生理解直线 方程的一般式的 与其他形 设计意图 式的不同点。

3、在方程

使学生理解二元 A, Ax ? By ? C ? 0 中, 一次方程的系数 B,C 为何值时,方程表示 和常数项对直线 的位置的影响。 的直线 (1)平行于 x 轴; (2)平 [来源:学,科,网 行于 y 轴; (3)与 x 轴重 Z,X,X,K] 合; (4)与 y 重合。 4、例 5 的教学 使学生体会把 已知直线经过点 A(6, 直线方程的点斜 式转化为一般 4 -4) ,斜率为 ? ,求直线 式,把握直线方 3 程一般式的特 的点斜式和一般式方程。 点。

(A,B 不同时为 0)叫 做直线的 一般式方程, 简称一般式 (general form). 学生通过对比、 讨论, 发现直线 方程的一般式与其他形式的直线 方程的一个不同点是: 师生活动 直线的一般式方程能够表示平面 上的所有直线, 而点斜式、 斜截式、 两点式方程, 都不能表示与 x 轴垂 直的直线。[来源:学科网] 教 师引导学生回顾前面所学过 的与 x 轴平行和重合、与 y 轴平 行和重合的直线方程的形式。 然后 由学生自主探索得到问题的答 案。

学生独立完成。 然后教师检查、 评 价、反馈。指出:对于直线方程的 一般式, 一般作如下约定: 一般按 含 x 项、含 y 项、常数项顺序排 列; x 项的系数为正; x , y 的 系数和常数项一般不出现分数; 无 特加要时, 求直线方程的结果写成 一般式。 先由学生思考解答, 并让一个学 生上黑板板书。 然后教师引导学生 归纳出由直线方程的一般式, 求直 线的斜率和截距的方法: 把一般式 转化为斜截式 可求出直线的斜率 的和直线在 y 轴上的截距。求直 线与 x 轴的截距,即求直线与 x 轴交点的横坐标, 为此可在方程中 令 y =0,解出 x 值,即为与直线 与 x 轴的截距。 在直角坐标系中画直线时, 通 常找出直线下两个坐标轴的交点。 学生阅读教材第 105 页, 从中获 得对问题的理解。

5、例 6 的教学 把直线 l 的一般式方程 x ? 2 y ? 6 ? 0 化成斜 截式, 求出直线 l 的斜率以 及它在 x 轴与 y 轴上的截 距,并画出图形。

使学生体会直线 方程的一般式化 为斜截式,和已 知直线方程的一 般式求直线的斜 率和截距的方 法。

6、二元一次方程的每一个 解与坐标平面中点的有什 么关系?直线与二元一次 方程的解之间有什么关

使学生进一步理 解二元一次方程 与直线的关系, 体会直解坐标系

系? 7、课堂练习 第 99 练习第 2 题和第 3 (2) 问 题 8、小结

把直线与方程联 系起来。 巩固所学知识和 方法。 设计意图 使学生对直线方 程的理解有一个 整体的认识。

学生独立完成, 教师检查、 评价。

巩固课堂上所学 的知识和方法。

师生活动 (1)请学生写出直线方程常见 的几种形式, 并说明它们之间的关 系。 (2)比较各种直线方程的形式 特点和适用范围。 (3)求直线方程应具有多少个 条件? (4)学习本节用到了哪些数学 思想方法? 学生课后独立思考完成。

归纳小结: (1)请学生写出直线方程常见的几种形式,并说明它们之间的关系。 (2)比较各种直线方程的形式特点和适用范围。 (3)求直线方程应具有多少个条件? (4)学习本节用到了哪些数学思想方法? 作业布置:第 101 页习题 3.2 第 10,11 题 课后 记:

课题:直线方程综合
课 型:习题课 教学目标:直线方程的各种形式及其在解题中的应用. 教学重点:直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式等形式的相互转 化,及各种形式在解题中的灵活运用. 教学难点:各种形式在解题中的灵活运用;加深对数学思想方法的理解与应用 教学过程: 一、复习回顾:直线方程的各种形式用适用范围

二.课前练习 1.下列四命题中的真命题是 A. 经过定点 P( x0 , y0 ) 的直线都可以写成 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ; B.经过任意两个不同的点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 的直线都可以用 1 ( y ? y1 )(x2 ? x1 ) ? ( x ? x1 )( y2 ? y1 ) 表示; x y C.不经过原点的直线都可以用 ? ? 1 表示; a b D.经过定点 A(0, b) 的直线都可以用 y ? kx ? b 表示; 2.若直线(2t–3)x+y+6=0 不经过第二象限,则 t 的取值范围是 3 3 3 3 (A)( , +∞) (B)(–∞, ) (C)[ , +∞] (D)(–∞, ) 2 2 2 2 3.过点 M(1, 2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程是 . 4.若 2x1+3y1=4, 2x2+3y2=4,则过不重合两点 A(x1, y1), B(x2, y2)的直线的方程是 (A)2x+3y=4 (B)2x–3y=4 (C)3x+2y=4 (D)不能确定 三、例题分析 ? ? 例 1.已知在第一象限的 Δ ABC 中,A(1,1) 、B(5,1) ?A ? , ?B ? , 求: , (1) 3 4 AB 边的方程; (2)AC 和 BC 所在的直线方程.

例 2.求过点 P(-5,-4)且分别满足下列条件的直线方程: (1)与两坐标轴围成的三角形面积为 5; (2)与 x 轴 y 轴分别交于 A、B 两点,且|AP|:|BP|=3:5.

例 3.(第 100 页第 6 题)一根弹簧,挂 4N 的物体时,长为 20cm.在弹性限度内,所 挂物体的重量每增加 1N,弹簧就伸长 1.5cm,试写出弹簧的长度 L 与所挂物体重量 G 之间关系的方程.

四、提高练习 1.一条直线 l 被两条直线 4x+y+6=0 和 3x–5y–6=0 截得的线段的中点恰好是坐标 原点,则直线 l 的方程为 (A)6x+y=0 (B)6x–y=0 (C)x+6y=0 (D)x–6y=0 2.设 A(0, 3), B(3, 3), C(2, 0),直线 x=m 将△ABC 面积两等分,则 m 的值是 (A) 3 +1 (B) 3 –1 (C)2 3 (D) 3 3.若 A、B 是 x 轴上两点,点 P 的横坐标是 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x –y–1=0,则直线 PB 的方程是 (A)2x–y–1=0 (B)x+y–3=0 (C)2x+y–7=0 (D)2x–y–4=0 4.直线 l 过原点,且平分平行四边形 ABCD 的面积,若平行四边形有两个顶点的坐 标是 A(2, 3), C(–4,–1),则直线 l 的方程是 . 5.过点 P(–2, 2),且在第二象限与两坐标轴围成的三角形的面积最小时的直线的 方程是 . 6.在直线 3x–y+1=0 上有一点 A,它到点 B(1,–1)和点 C(2, 0)等距离,则 A 点坐 标为 . 归纳小结:直线方程的各种形式要根据条件灵活选用;分析问题要突出数学思想方 法的运用。 作业布置:习题 3.2 第 100 页 7、8、9 题,课外完成 B 组题 课后记:



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