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2.7指数函数、对数函数及幂函数(1)


第二章 函数与导数第 7 课时

指数函数、对数函数及幂函数(1)

考情分析 ① 幂的运算是解决与指数函数有关问题的 基础,要引起重视. ② 对数式和指数式的相互转化,应用对数运

考点新知 ① 理解指数和指数函数的概念,会进行根式 与分数指数幂的互化,掌握有理指数幂的性 质和运算法则,并能运用它们进行化简和求

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值. 算性质及换底公式灵活地求值、化简是研究 ② 理解对数的概念,熟练地进行指数式和对 指、对数函数的前题,高考的涉及面比较广. 数式的互化,掌握对数的性质和对数运算法 则,并能运用它们进行化简和求值.

, 1. (必修 1P63 习题 2 改编)用分数指数幂表示下列各式(a>0,b>0): (1) 3 a2 =________;(2) a a a =________;

3 ?2 (3) ? ?3 a ? · ab =________.

2. (必修 1P80 习题 6 改编)计算:(lg5) +lg2×lg50=________. 3. (必修 1P80 习题 12 改编)已知 lg6=a,lg12=b,则用 a、b 表示 lg24=________.
3 3 4. (必修 1P63 习题 6 改编)若 a+a-1 =3,则 a2-a- =______. 2 1 1 5. 已知实数 a、b 满足等式? ?a=? ?b ,下列五个关系式: ?2? ?3?

2

① 0<b<a;② a<b<0;③ 0<a<b;④ b<a<0;⑤ a=b. 其中所有不可能成立的关系式为________.(填序号)

1. 根式 (1) 根式的概念 根式的概念 如果 a=x ,那么 x 叫做 a 的 n 次实数方根 当 n 为奇数时,正数的 n 次实数方根是一个正 数,负数的 n 次实数方根是一个负数 当 n 为偶数时,正数的 n 次实数方根有两个, 它们互为相反数 (2) 两个重要公式 n a
n

符号表示

备注 n>1 且 n∈N* 0 的 n 次实数方根是 0 负数没有偶次方根

n ± a



n

a(n为奇数), ? ? ? a =? ?a(a≥0), ? |a| = (n为偶数); ? ? ? ?-a(a<0)
n

n n n ② ( a) =a(注意 a 必须使 a 有意义). 2. 有理指数幂 (1) 分数指数幂的表示
m n ① 正数的正分数指数幂是 a n = am (a>0,m、n∈N* ,n>1);

m 1 1 * ② 正数的负分数指数幂是 a- = m= (a>0,m、n∈N ,n>1); n a n n am ③ 0 的正分数指数幂是 0,0 的负分数指数幂无意义. (2) 有理指数幂的运算性质 ① as at =as +t (a>0,t、s ∈Q); ② (as )t =ast (a>0,t、s ∈Q); ③ (ab)t =at bt (a>0,b>0,t∈Q). 3. 对数的概念 (1) 对数的定义 如果 ab =N, 那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数, 记作 logaN=b, 其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数. (2) 几种常见对数 对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 4. 对数的性质与运算法则 (1) 对数的性质 ① alogaN=N;② logaaN =N(a>0 且 a≠1). (2) 对数的重要公式 ① 换底公式:logb N= logaN 1 (a、b 均大于零且不等于 1);② logab= . logab logb a 特点 底数为 a(a>0 且 a≠1) 底数为 10 底数为 e 记法 logaN lgN lnN

(3) 对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ① loga(MN)=logaM+logaN; M ② loga =logaM-logaN; N ③ logaMn =nlogaM(n∈R); n n ④ logamM = logaM. m

题型 1

指数幂的运算

例 1 化简下列各式(其中各字母均为正数): 4 3 1 7 (1) 1.5- ×?- ?0 +80.25 × 2 +( 2 × 3)6 - 3 ? 6?
2 1 1 1 (a 3· b-1 )- ·a- ·b3 2 2 (2) ; 6 5 a·b 4 1

?2?3 ; ?3?

2

(3)

a 3-8a3 b
2 3 4b3+2 2 ab +a3

÷?1-2

? ?

3 b? 3 ?× a. a?

备选变式(教师专享) 化简下列各式: (1)
2 1253+ -2 1 - 1

?1? +3433 -? 1 ? 3; ?2? ?27?

2 1 5 1 -2 1 -1 -3 (2) a3·b ·(-3a- b )÷ (4a3·b )2. 6 2

例 2 求下列各式的值. (1) log5 35+2log1
2

2-log5

1 -log5 14; 50

(2) log2

1 1 1 ×log3 ×log5 . 25 8 9

变式训练 1 5 (1) 计算:lg -lg +lg12.5-log8 9·log27 8; 2 8 (2) 已知 log18 9=a,18 =5,用 a、b 表示 log36 45.
b

题型 3

指数与对数的混合运算

例 3 已知实数 x、y、z 满足 3x=4y =6z>1. 2 1 2 (1) 求证: + = ; x y z (2) 试比较 3x、4y、6z 的大小.

备选变式(教师专享) 若 xlog3 4=1,求 2 -2 的值. 2x+2- x
3x
-3x

1. (2013· 四川)计算:lg 5+lg 20=________.
x ? ??1? ,x≥4, 2. (2013· 长春调研)已知函数 f(x)=??2? 则 f(2+log2 3)=________. ?f(x+1), ?

3. (2013· 新课标)已知 a=log3 6, b=log5 10, c =log7 14, 则 a、 b、 c 的大小关系为________. 4. (2013· 温州二模)已知 2a=3b =6c,若 a+b ∈(k,k+1),则整数 k 的值是________. c

1. 设 a=lge,b=(lge) ,c =lg e,则 a、b、c 的大小关系是________. 2. 已知三数 x+log27 2,x+log9 2,x+log3 2 成等比数列,则公比为________. 3. 设 a>1,若对任意的 x∈[a,2a],都有 y∈[a,a ]满足方程 logax+logay=3,则 a 的 取值范围是________. 1 ? 1? ? 4. 已知 m、n 为正整数,a>0 且 a≠1,且 logam+log a ? ?1+m?+loga ?1+m+1?+…+ loga? ?1+ 1 ?=log m+log n,求 m、n 的值. a a m+n-1?
2

2

1. 根式与分数指数幂的实质是相同的,通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化 为幂的运算,从而可以简化计算过程. 2. 对数运算法则是在化同底的情况下进行的,在对含有字母的对数式化简时必须保证 恒等变形. 3. 在解决指数、对数问题时,指数式与对数式的互化起着重要作用.

请使用课时训练(B)第7课时(见活页). [备课札记]


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