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高考数学难点突破— 难点41:应用问题


难点 41 应用性问题 数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题 . 高考对应用题的考查已逐步成 熟,大体是三道左右的小题和一道大题,注重问题及方法的新颖性,提高了适应陌生情境的 能力要求. 1.(★★★★★)一只小船以 10 m/s 的速度由 南向北匀速驶过湖面,在离湖面高 20 米的桥上, 一辆汽车由西向东以 20 m/s 的速度前进(如图) , 现在小船在水平 P 点以南的 40 米处,汽车在桥上 以西 Q 点 30 米处(其中 PQ⊥水面) ,则小船与汽 车间的最短距离为 .(不考虑汽车与小船本 身的大小). 2.(★★★★★)小宁中午放学回家自己煮面条吃,有下面几道工序: (1)洗锅盛水 2 分钟; (2)洗菜 6 分钟; (3)准备面条及佐料 2 分钟; (4)用锅把水烧开 10 分钟; (5)煮 面条和菜共 3 分钟.以上各道工序除(4)之外,一次只能进行一道工序,小宁要将面条煮好, 最少用分钟. 3.(★★★★★)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规 律:每生产产品 x(百台) ,其总成本为 G(x)万元,其中固定成本为 2 万元,并且每生产 100 台 的 生 产 成 本 为 1 万 元 ( 总 成 本 = 固 定 成 本 + 生 产 成 本 ) , 销 售 收 入 R(x) 满 足 R(x)= ? ?? 0.4 x 2 ? 4.2 x ? 0.8 ?10.2 (0 ? x ? 5) .假定该产品销售平衡,那么根据上述统计规律. ( x ? 5) (1)要使工厂有盈利,产品 x 应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时赢利最大?并求此时每台产品的售价为多少? [例 1]为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱(如图) ,污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱体的长度为 a 米,高度为 b 米,已知流出的水 中该杂质的质量分数与 a、b 的乘积 ab 成反比,现有制箱材料 60 平方米,问当 a、b 各为多少米时,经沉淀后流出的水中该 杂质的质量分数最小(A、B 孔的面积忽略不计)? 命题意图:本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学 知识、思想与方法解决实际问题能力,属★★★★级题目. 知识依托:重要不等式、导数的应用、建立函数关系式. 错解分析:不能理解题意而导致关系式列不出来,或 a 与 b 间的等量关系找不到. 技巧与方法: 关键在于如何求出函数最小值, 条件最值可应用重要不等式或利用导数解 决. 解法一:设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为 y,则由条件 y= 系数)其中 a、b 满足 2a+4b+2ab=60 ① 要求 y 的最小值,只须求 ab 的最大值. 由①(a+2)(b+1)=32(a>0,b>0)且 ab=30–(a+2b) k (k>0 为比例 ab 应用重要不等式 a+2b=(a+2)+(2b+2)–4≥ 2 (a ? 2)(2b ? 2) ? 4 ? 12 ∴ab≤18,当且仅当 a=2b 时等号成立 将 a=2b 代入①得 a=6,b=3. 故当且仅当 a=6,b=3 时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二:由 2a+4b+2ab=60,得 b ? 记 u ? ab ? 由 u? ? 30 ? a , 2?a (30 ? a)a (0<a<30)则要求 y 的最小值只须求 u 的最大值. 2?a 64 ? (a ? 2) 2 ,令 u′=0 得 a=6 (a ? 2)


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