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【数学】2014版《6年高考4年模拟》:第二章 函数与基本初等函数 第一节 函数的概念与性质


【数学】2014 版《6 年高考 4 年模拟》 第二章 第一节 函数与基本初等函数 I 函数的概念与性质

第一部分 六年高考荟萃 2013 年高考题
1 . (2013 年高考江西卷(理) )函数 y=

x ln(1-x)的定义域为
D.[0,1]

A.(0,1) 答案:B

>B.[0,1)

C.(0,1]

考查函数的定义域。要使函数有意义,则 ? B.

?x ? 0 ?x ? 0 ,即 ? ,解得 0 ? x ? 1 ,选 ?1 ? x ? 0 ?x ? 1
? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 ,若| f ( x) |≥ ax ,则 a ? ln( x ? 1), x ? 0 ?

2 . (2013 年高考新课标 1(理))已知函数 f ( x) ?

的取值范围是 A. (??, 0] B. (??,1] C. [?2,1] D. [?2,0]

答案:D 由题意可作出函数 y=|f(x)|的图象,和函数 y=ax 的图象,

由图象可知:函数 y=ax 的图象为过原点的直线,当直线介于 l 和 x 轴之间符合题意,直线 l 2 为曲线的切线,且此时函数 y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为 y=x ﹣2x, 求其导数可得 y′ =2x﹣2,因为 x≤0,故 y′ ≤﹣2,故直线 l 的斜率为﹣2, 故只需直线 y=ax 的斜率 a 介于﹣2 与 0 之间即可,即 a∈[﹣2,0]。故选 D

3 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理))函数

? 1? f ? x ? = log 2 ?1 ? ? ? x ? 0 ? ? x?

的反函数 f ?1 ? x ? = (A)

1 ? x ? 0? 2 ?1
x

(B)

1 ? x ? 0? 2 ?1
x

(C) 2x ?1? x ? R?

(D) 2x ?1? x ? 0?

答案:A 设 y=log2(1+ ) ,把 y 看作常数,求出 x:1+ =2 ,x=
y

,其中 y>0,

x,y 互换,得到 y=log2(1+ )的反函数:y=

,故选 A.

4 .(2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))已知函数 f ( x ) 为

奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ?
2

1 ,则 f (?1) ? x
(D) 2

(A) ?2 答案:A

(B)

0

(C) 1

因为函数为奇函数,所以 f (?1) ? ? f (1) ? ?(1 ? 1) ? ?2 ,选 A.
5. (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学 (理) ) 已知函数

f ? x ? 的定义域为 ? ?1,0? ,

则函数 f ? 2x ?1? 的定义域为 (A) ? ?1,1? (B) ? ?1, ?

? ?

1? 2?

(C) ? -1,0?

(D) ?

?1 ? ,1? ?2 ?

答案:B 因为原函数的定义域为(﹣1,0) , 所以﹣1<2x﹣1<0,解得﹣1<x< . 所以则函数 f(2x﹣1)的定义域为 故选 B.
6 .(2013 年高考陕西卷(理))设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有







A.[-x] = -[x] 答案:D

B.[2x] = 2[x]

C.[x+y]≤[x]+[y] D.[x-y]≤[x]-[y]

代值法。 对 A, 设 x = - 1.8, 则[-x] = 1, -[x] = 2, 所以 A 选项为假。 所以 B 选项为假。

对 B, 设 x = - 1.4, [2x] = [-2.8] = - 3, 2[x] = - 4,

对 C, 设 x = y = 1.8, 对 A, [x+y] = [3.6] = 3, [x] + [y] = 2, 所以 C 选项为假。 故 D 选项为真。所以选 D
7.(2013 年高考湖南卷(理))函数

f ? x ? ? 2ln x 的图像与函数 g ? x ? ? x2 ? 4x ? 5 的图像
D.0

的交点个数为 A.3 B.2 答案:B

C.1

本题考查函数与方程的应用以及函数图象的应用。因为 g ? x ? ? x2 ? 4x ? 5 ? ( x ? 2)2 ?1 , 所以作出函数 f ? x ? ? 2ln x 与 g ? x ? ? x2 ? 4x ? 5 的图象, 由图象可知两函数图象的交点个

数有 2 个,选 B.
8. (2013 年高考上海卷 (理) ) 对区间 I 上有定义的函数 g ( x) ,记 g ( I ) ? { y | y ? g ( x), x ? I } ,

已 知 定 义 域 为 [0,3] 的 函 数

y ? f ( x) 有 反 函 数 y ? f ?1 ( x) , 且

f ?1 ([0,1)) ? [1, 2), f ?1 ((2, 4]) ? [0,1) ,若方程 f ( x) ? x ? 0 有解 x0 ,则 x0 ? _____
答案: x0 ? 2 . 【解答】根据反函数定义,当 x ? [0,1) 时, f ( x) ? (2, 4] ; x ? [1, 2) 时, f ( x) ? [0,1) ,而

y ? f ( x) 的 定 义 域 为 [0,3] , 故 当 x ? [ 2 , 3 ] , f ( x) 的 取 值 应 在 集 合 时 (??,0) ? [1, 2] ? (4, ??) ,故若 f ( x0 ) ? x0 ,只有 x0 ? 2 .
9. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 (数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) )
2 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x ,则不等式 f ( x) ? x 的解集

用区间表示为___________. 答案: ?? 5,0? ? ?5,??? 因为 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,所以易知 x ? 0 时, f ( x) ? ? x ? 4 x
2

解不等式得到 f ( x) ? x 的解集用区间表示为 ? ?5,0?

?5, ???

10.(2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版))设函数

f ( x) ? ax ? (1 ? a2 ) x2 ,其中 a ? 0 ,区间 I ?| x f (x)>0
(Ⅰ)求的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ); (Ⅱ)给定常数 k ? (0,1) ,当时,求 l 长度的最小值. 解: (Ⅰ) f ( x) ? x[a ? (1 ? a ) x] ? 0 ? x ? (0,
2

a a ) .所以区间长度为 . 2 1? a2 1? a

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, l ?

a ? 1? a2

1 a? 1 a
1 1 ? 1- k ? k 2 ? 0? ? 1 - k恒成立 . 1? k 1? k

已知 k ? (0,1), 0 ? 1 - k ? a ? 1 ? k .令

1 1? k 1? k ? g (a) ? a ? 在a ? 1 ? k时取最大值? 这时l ? ? 2 a 1 ? (1 ? k ) 1 ? (1 ? k ) 2
所以 当a ? 1 ? k时,l取最小值

1? k . 1 ? (1 ? k ) 2

2012 年高考题
1.[2012· 安徽卷] 下列函数中,不满足 ) ...f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x| C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x 答案:C [解析] 本题考查函数的新定义,复合函数的性质. (解法一)因为 f(x)=kx 与 f(x)=k|x|均满足 f(2x)=2f(x),所以 A,B,D 满足条件;对于 C 项, 若 f(x)=x+1,则 f(2x)=2x+1≠2f(x)=2x+2. (解法二)对于 A 项, f(2x)=2|x|,2f(x)=2|x|, 可得 f(2x)=2f(x); 对于 B 项, f(2x)=2x-2|x|, 2f(x) =2x-2|x|,可得 f(2x)=2f(x);对于 C 项,f(2x)=2x+1,2f(x)=2x+2,可得 f(2x)≠2f(x);对于 D 项,f(2x)=-2x,2f(x)=-2x,可得 f(2x)=2f(x),故选 C 项. 2.[2012· 江西卷] 下列函数中,与函数 y= 1 3 x 定义域相同的函数为( )

1 lnx sinx A.y= B.y= C.y=xex D.y= sinx x x 答案:D [解析] 考查函数的定义域、解不等式等;解题的突破口为列出函数解析式所满足 的条件,再通过解不等式达到目的.函数 y= 1 3 x 的定义域为 {x|x≠0} . y = 1 的定义域为 sinx

{x|x≠kπ},y= 选 D.

lnx sinx 的定义域为{x|x>0},y=xex 的定义域为 R,y= 的定义域为{x|x≠0},故 x x

?x2+1,x≤1, ? 3. [2012· 江西卷] 若函数 f(x)=? 则 f(f(10))=( ? ?lgx,x>1,

)

A.lg101 B.2 C.1 D.0 答案:B [解析] 考查分段函数的定义、对数的运算、分类讨论思想;解题的突破口是根据 自变量取值范围选择相应的解析式解决问题.∵10>1,∴f(10)=lg10=1≤1, ∴f(f(10))=f(1)=12+1=2,故选 B. 4.[2012· 辽宁卷] 设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当 x∈[0,1]时,f(x)=x3. 1 3? 又函数 g(x)=|xcos(πx)|,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在? ?-2,2?上的零点个数为( )

A.5 B.6 C.7 D.8 答案:B [解析] 本小题主要考查函数的奇偶性与周期性和函数零点的判断.解题的突破口 为根据函数的性质得到函数 f(x)的解析式,结合函数图象求解. f(-x)=f(x),所以函数 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(2-x)=f(x-2),所以函数 f(x)为周期为 2 1? ? 1? ?3? 的周期函数, 且 f(0)=0, f(1)=1, 而 g(x)=|xcos(πx)|为偶函数, 且 g(0)=g? ?2?=g?-2?=g?2? 1 3? ? 1 3? =0,在同一坐标系下作出两函数在? ?-2,2?上的图像,发现在?-2,2?内图像共有 6 个公 1 3? 共点,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在? ?-2,2?上的零点个数为 6.

5.[2012· 山东卷] 设 a>0 且 a≠1,则“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A [解析] 本题考查充分必要条件及函数的单调性,考查推理论证能力,容易题. 当 f(x)=ax 为 R 上的减函数时,0<a<1,2-a>0,此时 g(x)=(2-a)x3 在 R 上为增函数成立; 当 g(x)=(2-a)x3 为增函数时,2-a>0 即 a<2,但 1<a<2 时,f(x)=ax 为 R 上的减函数不成 立,故选 A. 6.[2012· 北京卷] 某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图 1-6 所示. 从目前记录的 结果看,前 m 年的年平均产量最高,m 值为( )

图 1-6 A.5 B.7 C.9 D.11 答案:C [解析] 本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势,也就是函数增减速度的快 Sn 慢.法一:因为随着 n 的增大,Sn 在增大,要使 取得最大值,只要让随着 n 的增大 Sn+1 n Sn+1-S1 Sn+1-S1 -Sn 的值超过 (平均变化)的加入即可,Sn+1-Sn 的值不超过 (平均变化)的舍 n n 去,由图像可知,6,7,8,9 这几年的改变量较大,所以应该加入,到第 10,11 年的时候,改变 量明显变小,所以不应该加入,故答案为 C. Sm-0 Sm+1-0 Sm Sn Sm Sm +1 法二:假设 是 取的最大值,所以只要 > 即可,也就是 > ,即可以看 m n m m+1 m-0 m+ -0 作点 Qm(m,Sm)与 O(0,0)连线的斜率大于点 Qm+1(m+1,Sm+1)与 O(0,0)连线的斜率,所以观 察可知到第 Q9(9,S9)与 O(0,0)连线的斜率开始大于点 Q10(10,S10)与 O(0,0)连线的斜率.答 案为 C. 7.[2012· 陕西卷] 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A.y=x+1 B.y=-x3 1 C.y= x D.y=x|x|

答案:D [解析] 本小题主要考查函数的单调性、奇偶性,解题的突破口为单调性的定义、 奇偶性的定义与函数图像的对应关系.若函数为单调增函数,其图像为从左向右依次上升; 若函数为奇函数,其图像关于原点对称.经分析,A 选项函数的图像不关于原点对称,不是 奇函数,排除;B 选项函数的图像从左向右依次下降,为单调减函数,排除;C 选项函数的 图像从左向右依次下降, 为单调减函数, 排除; 故选 D.其实对于选项 D, 我们也可利用 x>0、 x=0、x<0 分类讨论其解析式,然后画出图像,经判断符合要求. π 8.[2012· 四川卷] 设函数 f(x)=2x-cosx,{an}是公差为 的等差数列,f(a1)+f(a2)+…+f(a5) 8 =5π,则[f(a3)]2-a1a5=( 1 1 13 )A.0 B. π2C. π2 D. π2 16 8 16

π π π π 答案:D [解析] 设 a3=α,则 a1=α- ,a2=α- ,a4=α+ ,a5=α+ , 4 8 8 4 由 f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π, π? ? π? ? π? ? π? 得 2× 5α-cos? ?α-4?+cos?α-8?+cosα+cos?α+8?+cos?α+4?=5π, 即 10α-( 2+ 2+ 2+1)cosα=5π. π 当 0≤α≤π 时,左边是 α 的增函数,且 α= 满足等式; 2 当 α>π 时,10α>10π,而( 2+ 2+ 2+1)cosα<5cosα≤5,等式不可能成立; 当 α<0 时,10α<0,而-( 2+ 2+ 2+1)cosα<5,等式也不可能成立. π 故 a3=α= . 2 π π 13 α- ??α+ ?= π2. [f(a3)]2-a1a5=π2-? ? 4?? 4? 16

9.[2012· 山东卷] 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x). 当-3≤x<-1 时, f(x)=-(x+2)2; 当-1≤x<3 时,f(x)=x,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)=( ) A.335 B.338C.1 678 D.2 012 答案:B [解析] 本题考查函数的性质,考查运算求解能力,应用意识,偏难. 由 f(x)=f(x+6)知函数的周期为 6,f(1)=1, f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1, f(4)=f(-2)=-(-2+2)2=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)=1, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 012) =335[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(1)+f(2)=335× 1+3=338. 10.[2012· 广东卷] 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) 1?x 1 A.y=ln(x+2) B.y=- x+1 C.y=? ?2? D.y=x+x |x2-1| 11.[2012· 天津卷] 已知函数 y= 的图象与函数 y=kx-2 的图象恰有两个交点,则实数 x-1 k 的取值范围是________. 答案:(0,1)∪(1,4) [解析] 本题考查函数的表示及图象应用,考查应用意识,偏难. y=
?-x+ ,-1≤x<1, |x2-1| ? =? x-1 ? ?x+1,x<-1或x>1,

在同一坐标系内画出 y=kx-2 与 y=

|x2-1| 的图象如 x-1

图,

|x2-1| 结合图象当直线 y=kx-2 斜率从 0 增到 1 时,与 y= 在 x 轴下方的图象有两公共点; x-1 当斜率从 1 增到 4 时,与 y= |x2-1| 的图象在 x 轴上下方各有一个公共点. x-1

12.[2012· 江苏卷] 函数 f(x)= 1-2 log6x的定义域为________. 答案:(0, 6] [解析] 本题考查函数定义域的求解.解题突破口为寻找使函数解析式有意
?x>0, ? 义的限制条件.由? 解得 0<x≤ 6. ?1-2log6x≥0, ?

13.[2012· 上海卷] 已知函数 f(x)=e|x a|(a 为常数).若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则 a 的取值范围是________. 答案:(-∞,1] [解析] 考查复合函数的单调性,实为求参数 a 的取值范围. 令 t=|x-a|,又 e>1,函数 f(x)在[1,+∞)上是增函数,只需函数 t=|x-a|在[1,+∞)上是 增函数,所以参数 a 的取值范围是(-∞,1]. 14.[2012· 北京卷] 已知 f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若同时满足条件: ①? x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0;②? x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0.则 m 的取值范围是________.


答案:(-4,-2) [解析] 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数 函数等基础知识和基本技能. 满足条件①时,由 g(x)=2x-2<0,可得 x<1,要使? x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0,必须使 x≥1 时, f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0 恒成立, 当 m=0 时,f(x)=m(x-2m)(x+m+3)=0 不满足条件,所以二次函数 f(x)必须开口向下,也
? ?2m<1, 就是 m<0, 要满足条件, 必须使方程 f(x)=0 的两根 2m, -m-3 都小于 1, 即? ?-m-3<1, ?

可得 m∈(-4,0). 满足条件②时,因为 x∈(-∞,-4)时,g(x)<0,所以要使? x∈(-∞,-4)时,f(x)g(x)<0, 只要? x0∈(-∞,-4)时,使 f(x0)>0 即可,只要使-4 比 2m,-m-3 中较小的一个大即可, 当 m∈(-1,0)时,2m>-m-3,只要-4>-m-3,解得 m>1 与 m∈(-1,0)的交集为空集; 当 m=-1 时,两根为-2;-2>-4,不符合;当 m∈(-4,-1)时,2m<-m-3,所以只 要-4>2m, 所以 m∈(-4,-2). 综上可知 m∈(-4,-2). 15.[2012· 上海卷] 已知 y=f(x)+x2 是奇函数, 且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2, 则 g(-1)=________. 答案: -1 [解析] 考查函数的奇偶性和转化思想, 此题的关键是利用 y=f(x)+x2 为奇函数. 已知函数 y=f(x)+x2 为奇函数,则 f(-1)+(-1)2=-[f(1)+1]=-2,解得 f(-1)=-3,所 以 g(-1)=f(-1)+2=-3+2=-1. 16.[2012· 北京卷] 设 A 是由 m× n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,满足:每个数的绝对值不 大于 1,且所有数的和为零,记 S(m,n)为所有这样的数表构成的集合. 对于 A∈S(m, n), 记 ri(A)为 A 的第 i 行各数之和(1≤i≤m), cj(A)为 A 的第 j 列各数之和(1≤j≤n); 记 k(A)为|r1(A)|,|r2(A)|,…,|rm(A)|,|c1(A)|,|c2(A)|,…,|cn(A)|中的最小值. (1)对如下数表 A,求 k(A)的值; 1 0.1 (2)设数表 A∈S(2,3)形如 1 a 1 b c -1 1 -0.3 -0.8 -1

求 k(A)的最大值; (3)给定正整数 t,对于所有的 A∈S(2,2t+1),求 k(A)的最大值. 答案:(1)因为 r1(A)=1.2,r2(A)=-1.2,c1(A)=1.1,c2(A)=0.7,c3(A)=-1.8, 所以 k(A)=0.7. (2)不妨设 a≤b.由题意得 c=-1-a-b. 又因 c≥-1,所以 a+b≤0,于是 a≤0. r1(A)=2+c≥1,r2(A)=-r1(A)≤-1, c1(A)=1+a,c2(A)=1+b,c3(A)=-(1+a)-(1+b)≤-(1+a). 所以 k(A)=1+a≤1. 当 a=b=0 且 c=-1 时,k(A)取得最大值 1. (3)对于给定的正整数 t,任给数表 A∈S(2,2t+1)如下: a1 b1 a2 b2 … … a2t+1 b2t+1

任意改变 A 的行次序或列次序,或把 A 中的每个数换成它的相反数,所得数表 A*∈S(2,2t +1),并且 k(A)=k(A*). 因此,不妨设 r1(A)≥0,且 cj(A)≥0(j=1,2,…,t+1). 由 k(A)的定义知,k(A)≤r1(A),k(A)≤cj(A)(j=1,2,…,t+1). 又因为 c1(A)+c2(A)+…+c2t+1(A)=0, 所以(t+2)k(A)≤r1(A)+c1(A)+c2(A)+…+ct+1(A) =r1(A)-ct+2(A)-…-c2t+1(A)= ?aj- ?bj
j=1 j=t+2 t+1 2t+1

≤(t+1)-t× (-1)=2t+1. 2t+1 所以 k(A)≤ . t+2 对数表 A0: 第1列 1 t-1 t+2 第2列 1 t-1 t+2 … … … 第 t+1 列 1 t-1 t+2 第 t+2 列 t-1 -1+ tt+ -1 … … … 第 2t+1 列 -1+ -1 t-1 tt+

2t+1 2t+1 则 A0∈S(2,2t+1), 且 k(A0)= .综上, 对于所有的 A∈S(2,2t+1), k(A)的最大值为 . t+2 t+2

2011 年高考题
1.(福建理 9)对于函数 f ( x) ? a sin x ? bx ? c (其中, a, b ? R, c ? Z ),选取 a, b, c 的 一 组值计算 f (1) 和 f (?1) ,所得出的正确结果一定不可能是( A.4 和 6 【答案】D B.3 和 1 C.2 和 4 )

D.1 和 2

f ( x) ?
2.(广东文 4)函数 A. (??, ?1) 【答案】C

1 ? lg( x ? 1) 1? x 的定义域是
C. (?1,1)



) D. (??, ??)

B. (1, ??)

(1, ??)

f ( x) ?
3.(江西文 3)若

1 log 1 (2 x ? 1)
2

,则 f ( x ) 的定义域为(

)

1 (? , 0) 2
【答案】C

1 (? , ??) B. 2

1 (? , 0) ? (0, ?? ) C. 2

1 (? , 2) D. 2

log1 ?2 x ? 1? ? 0,? 2 x ? 1 ? 0,2 x ? 1 ? 1
2

? 1 ? ? x ? ? ? ,0 ? ? ?0,??? ? 2 ? 【解析】

f ( x) ?
4.(江西理 3)若

1 log 1 (2 x ? 1)
2

,则 f ( x) 定义域为(



1 (? ,0) 2 A.
【答案】A

1 (? ,0] B. 2

1 (? ,?? ) 2 C.

D. (0,??)

1 ? ?2 x ? 1 ? 0 ?x ? ? ? 2 ? 1 ?log 1 ( 2 x ? 1) ? 0 ? ?x?0 ? ? x ? 0 2 【解析】由 ? 解得 ? ,故 2 ,选 A

?x 2 x?0 f ?x ? ? ? ? f ( x ? 1), x ? 0 ,则 f ?2? ? f ?? 2? 的值为( 5.(浙江理 1)已知
A.6 【答案】B B.5 C.4 D.2



x 2 6. (湖南文 8) 已知函数 f ( x) ? e ?1, g ( x) ? ? x ? 4x ? 3, 若有 f (a) ? g (b), 则 b 的取值范

围为 A. [2 ? 2, 2 ? 2] 【答案】B 【 解 析 】 由 题 可 知 f ( x) ? e ? 1 ? ?1 , g ( x) ? ? x ? 4 x ? 3 ? ?( x ? 2) ? 1 ? 1 , 若 有
x 2 2

B. (2 ? 2, 2 ? 2)

C. [1,3]

D. (1,3)

f ( a) ? g ( b) 则 , g (b) ? (?1,1] ,即 ?b2 ? 4b ? 3 ? ?1 ,解得 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 。
y?
7. (全国Ⅰ理 12)函数 坐标之和等于 (A)2 【答案】D

1 x ? 1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横
(C) 6 (D)8

(B) 4

8. (四川理 16) 函数 f ( x) 的定义域为 A, 若 x1 , x2 ? A 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总有 x1 ? x2 , 则称 f ( x) 为单函数.例如,函数 f ( x) =2x+1( x ? R )是单函数.下列命题:
2 ①函数 f ( x) ? x (x ? R)是单函数;

②若 f ( x) 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ③若 f:A→B 为单函数,则对于任意 b ? B ,它至多有一个原象; ④函数 f ( x) 在某区间上具有单调性,则 f ( x) 一定是单函数. 其中的真命题是_________.(写出所有真命题的编号) 【答案】②③ 【解析】对于①,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? ? x2 ,不满足;②实际上是单函数命题的逆否命 题,故为真命题;对于③,若任意 b ? B ,若有两个及以上的原象,也即当 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时, 不一定有 x1 ? x2 ,不满足题设,故该命题为真;根据定义,命题④不满足条件.
?1 ?1 9.(上海文 3)若函数 f ( x) ? 2 x ? 1 的反函数为 f ( x) ,则 f (?2) ?

3 【答案】 2 ?
10.(上海文 14)设 g ( x) 是定义在 R 上,以 1 为周期的函数,若函数 f ( x) ? x ? g ( x) 在区 间 [0,1] 上的值域为 [?2,5] ,则 f ( x ) 在区间 [0,3] 上的值域为 【答案】 [?2, 7]

a b (a, b, c, d ?{?1,1, 2}) c d 11.(上海理 10)行列式 所有可能的值中,最大的是
【答案】 6

.

12.(上海理 13) 设 g ( x) 是定义在 R 上,以 1 为周期的函数,若函数 f ( x) ? x ? g ( x) 在区 间 [3, 4] 上的值域为 [?2,5] ,则 f ( x ) 在区间 [?10,10] 上的值域为 【答案】 [?15,11] .

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3 13(广东文 12)设函数 f ( x) ? x cos x ? 1. 若 f (a) ? 11,则 f (?a) ?



【答案】-9

y?
14.(安徽文 13)函数

1 6 ? x ? x 2 的定义域是
.

【答案】(-3,2)【命题意图】本题考查函数的定义域,考查一元二次不等式的解法.
2 2 ? x+3?? x ? 2? ? 0 ,所以 ?3 ? x ? 2 . 【解析】由 6 ? x ? x ? 0 可得 x ? x ? 6 ? 0 ,即

15. (浙江文 11) 设函 数 k 【答案】-1

f ( x) ?

4 1 ? x ,若 f (a) ? 2 ,则实数 a =________________________

f ( x) ?
16(上海理 1)函数

1 ?1 x ? 2 的反函数为 f ( x) ?

.

1 ?2 【答案】 x

?2 x ? a, x ? 1 f ( x) ? ? ?? x ? 2a, x ? 1,若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ,则 17.(江苏 11)已知实数 a ? 0 ,函数
a 的值为________

a??
【答案】 【解析】

3 4

a?0.

a ? 0, 2 ? 2a ? a ? ?1 ? a ? 2a, a ? ?

3 3 a ? 0, ?1 ? a ? 2a ? 2 ? 2a ? a, a ? ? 2, 4 . 不符合;

本题主要考查函数概念,函数与方程,函数模型及其应用,含参的分类讨论,中档题. 18.(湖北理 21)(Ⅰ)已知函数 f ( x) ? ln x ? x ? 1 , x ? (0, ??) ,求函数 f ( x ) 的最大值;

解:(Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,令

f / ( x) ?

1 ?1 ? 0 ? x ? 1 x ,

f ( x) 在 (0,1) 上递增,在 (1, ??) 上递减,故函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得最大值 f (1) ? 0

2010 年高考题
一、选择题 1.(2010 湖南文)8.函数 y=ax + bx 与 y= log b x (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐
| | a
2

标系中的图像可能是

答案 D 2. (2010 (10) 设 合 浙江理) 函数的集

? ? 1 1 P ? ? f ( x) ? log 2 ( x ? a) ? b a ? ? ,0, ,1; b ? ?1,0,1? , 2 2 ? ?
平面上点的集合

? ? 1 1 Q ? ?( x, y) x ? ? ,0, ,1; y ? ?1,0,1? , 2 2 ? ?
则在同一直角坐标系中, P 中函数 f ( x ) 的图象恰好 经过 Q 中两个点的函数的个数是 .. (A)4 答案 B (B)6 (C)8 (D)10

解析:当 a=0,b=0;a=0,b=1;a=

1 1 ,b=0; a= ,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1 时满足题意,故答案 2 2

选 B,本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点,对数学 素养有较高要求,体现了对能力的考察,属中档题
2 3. (2010 辽宁文)(4)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,若 x0 满足关于 x 的方程

2ax ? b ? 0 ,则下列选项的命题中为假命题的是
(A) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) (C) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) 答案 C 解析:选 C.函数 f ( x) 的最小值是 f (? (B) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) (D) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 )

b ) ? f ( x0 ) 2a

等价于 ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) ,所以命题 C 错误. 4.(2010 江西理)9.给出下列三个命题: ①函数 y ?

1 1 ? cos x x ln 与 y ? ln tan 是同一函数; 2 1 ? cos x 2

②若函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的图像关于直线 y ? x 对称,则函数

y ? f ? 2x ? 与 y ?

1 g ? x ? 的图像也关于直线 y ? x 对称; 2

③若奇函数 f ? x ? 对定义域内任意 x 都有 f ? x ? ? f (2 ? x) ,则 f ? x ? 为周期函数。 其中真命题是 A. ①② 答案 C 【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同,①错误;排除 A、B,验证③, f ? ?x ? ? f [2 ? (?x)] ? f (2 ? x) ,又通过奇函数得 f ? ? x ? ? ? f ( x) ,所以 f(x)是周期为 2 的周期函数,选择 C。 5.(2010 重庆理)(5) 函数 f ? x ? ? A. 关于原点对称 答案 D 解析: f (? x) ? B. ①③ C.②③ D. ②

4x ? 1 的图象 2x

B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称

4?x ? 1 1 ? 4 x ? ? f ( x) 2?x 2x

? f ( x) 是偶函数,图像关于 y 轴对称

6.(2010 天津文)(5)下列命题中,真命题是 (A) ?m ? R,使函数f(x)=x ? mx(x ? R)是偶函数
2

(B) ?m ? R,使函数f(x)=x ? mx(x ? R)是奇函数
2

(C) ?m ? R,使函数f(x)=x2 ? mx(x ? R)都是偶函数 (D) ?m ? R,使函数f(x)=x2 ? mx(x ? R)都是奇函数 答案 A 【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念,与存在量词、全称量词的含义,属于容易题。当 m=0 时,函数 f(x)=x 是偶函数,所以选 A. 【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。 7.(2010 天津理)(3)命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是 (A)若 f(x) 是偶函数,则 f(-x)是偶函数 (B)若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 (C)若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 (D)若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 答案 B 【解析】本题主要考查否命题的概念 ,属于容易题。 否命题是同时否定命题的条件结论,故否命题的定义可知 B 项是正确的。 【温馨提示】解题时要注意否命题与命题否定的区别。 8.(2010 广东理)3.若函数 f(x)=3 +3 与 g(x)=3 -3 的定义域均为 R,则 A.f(x)与 g(x)均为偶函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数 答案 D 【解析】 f (? x) ? 3
?x
x
-x 2

x

-x

B. f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 D. f(x)为奇函数,g(x)为偶函数

? 3x ? f ( x), g (? x) ? 3? x ? 3x ? ? g ( x) .
x ?x x ?x

9.(2010 广东文)3.若函数 f ( x) ? 3 ? 3 与 g ( x) ? 3 ? 3 A. f ( x) 与 g ( x) 与均为偶函数 C. f ( x) 与 g ( x) 与均为奇函数 答案 D 解:由于 f (? x) ? 3
?x

的定义域均为 R,则

B. f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数 D. f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数

? 3?( ? x) ? f ( x) ,故 f ( x) 是偶函数,排除 B、C

由题意知,圆心在 y 轴左侧,排除 A、C

在 Rt ? 0 AO ,

OA 1 0A 5 1 ? k ? ,故 ? ? ? 0O ? 5 ,选 D 0A 2 0O 0O 5

10.(2010 广东文)2.函数 f ( x) ? lg( x ? 1) 的定义域是 A. (2,??) 答案 B 解: x ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 ,选 B. 11.(2010 全国卷 1 理)(10)已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取 值范围是 (A) (2 2, ??) (B) [2 2, ??) (C) (3, ??) (D) [3, ??) B. (1,??) C. [1,??) D. [2,??)

12.(2010 湖北文)5.函数 y ?

1 的定义域为 log 0.5 (4 x ? 3)
C(1,+∞) D. (

A.(

3 ,1) 4

B(

3 ,∞) 4

3 ,1)∪(1,+∞) 4

13.(2010 山东理)(11)函数 y=2 - x 的图像大致是

x

2

【答案】A 【解析】因为当 x=2 或 4 时,2 - x =0,所以排除 B、C;当 x=-2 时,2 - x = 排除 D,所以选 A。 【命题意图】 本题考查函数的图象, 考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的
x

2

x

2

1 ? 4<0 ,故 4

思维能力。 14.(2010 山东理)(4)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= 2 +2x+b(b 为 常数),则 f(-1)= (A) 3 【答案】D (B) 1 (C)-1 (D)-3
x

15. ( 2010 湖 南 理 ) 8. 用

表示 a,b 两数中的最小值。若函数

的图像关于直线 x= ? A.-2 B.2 C.-1 D.1

1 对称,则 t 的值为 2

16.(2010 安徽理)

17.(2010 重庆文数)(4)函数 y ? 16 ? 4x 的值域是 (A) [0, ??) (C) [0, 4) 答案 B 解析: (B) [0, 4] (D) (0, 4)

4 x ? 0,? 0 ? 16 ? 4 x ? 16 ? 16 ? 4 x ? ?0, 4 ?

二、填空题 1.(2010 重庆文数)(12)已知 t ? 0 ,则函数 y ? 答案 -2

t 2 ? 4t ? 1 的最小值为____________ . t

t 2 ? 4t ? 1 1 ? t ? ? 4 ? ?2( t ? 0) ,当且仅当 t ? 1 时, ymin ? ?2 解析: y ? t t
2.(2010 广东理)9. 函数 f ( x ) =lg( x -2)的定义域是 答案(1,+∞) . 【解析】∵ x ? 1 ? 0 ,∴ x ? 1 . 3.(2010 全国卷 1 理)(15)直线 y ? 1 与曲线 y ? x ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围
2

.



.

(0, ? ?) (0, ? ?) 4.(2010 福建理)15.已知定义域为 的函数 f(x) 满足:①对任意 x ? ,恒

(1,2] 时, f(x)=2-x 。给出如下结论: 有 f(2x)=2f(x) 成立;当 x ?
m ? ?) ① 对 任 意 m ? Z , 有 f( 2 ; ② 函 数 f(x) 的 值 域 为 [0, ;③存在 n ? Z ,使得 )=0

;④“函数 f(x) 在区间 (a, b) 上单调递减”的充要条件是 “存在 k ? Z ,使得 f(2n +1)=9

(a, b) ? (2k , 2k ?1 ) ”。
其中所有正确结论的序号是 【答案】①②④ 【解析】对①,因为 2 >0 ,所以 f(2m )=0 ,故①正确;经分析,容易得出②④也正确。 【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件,熟练基础知识是解答好本题的关键。 5.(2010 江苏卷)5、设函数 f(x)=x(e +ae )(x ? R)是偶函数,则实数 a=________________
x -x



m

答案 a=-1 【解析】考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e +ae 为奇函数,由 g(0)=0,得 a=-1。 三、解答题 1.(2010 上海文)22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小 题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分。 若实数 x 、 y 、 m 满足 x ? m ? y ? m ,则称 x 比 y 接近 m . (1)若 x ? 1比 3 接近 0,求 x 的取值范围;
2
x -x

(2)对任意两个不相等的正数 a 、 b ,证明: a b ? ab 比 a ? b 接近 2ab ab ;
2 2 3 3

(3)已知函数 f ( x ) 的定义域 D x x ? k? , k ? Z , x ? R .任取 x ? D , f ( x ) 等于 1 ? sin x 和 1 ? sin x 中接近 0 的那个值.写出函数 f ( x ) 的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、

?

?

最小值和单调性(结论不要求证明). 解析:(1) x?(?2,2); (2) 对任意两个不相等的正数 a、b,有 a2b ? ab2 ? 2ab ab , a3 ? b3 ? 2ab ab , 因为 | a2b ? ab2 ? 2ab ab | ? | a3 ? b3 ? 2ab ab |? ?(a ? b)(a ? b)2 ? 0 , 所以 | a2b ? ab2 ? 2ab ab |?| a3 ? b3 ? 2ab ab | ,即 a b?ab 比 a ?b 接近 2ab ab ;
2 2 3 3

?1 ? sin x, x ? (2k? ? ? , 2k? ) (3) f ( x) ? ? ? 1? | sin x |, x ? k? ,k?Z, ?1 ? sin x, x ? (2k? , 2k? ? ? )

f(x)是偶函数,f(x)是周期函数,最小正周期 T??,函数 f(x)的最小值为 0,
函数 f(x)在区间 [k? ?

?

, k? ) 单调递增,在区间 (k? , k? ? ] 单调递减,k?Z. 2 2

?

2.(2010 北京文)(20)(本小题共 13 分) 已 知 集 合

Sn ? {X | X ? ( x1, x2 ,…,xn ), x1 ?{0,1}, i ? 1, 2,…, n}(n ? 2) 对 于

A ? (a1 , a2 ,…an ,) , B ? (b1, b2 ,…bn ,) ? Sn ,定义 A 与 B 的差为 A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,…| an ? b n |);
A 与 B 之间的距离为 d ( A, B) ?

?
i ?1

| a1 ? b1 |

(Ⅰ)当 n=5 时,设 A ? (0,1,0,0,1), B ? (1,1,1,0,0) ,求 A ? B , d ( A, B) ; (Ⅱ)证明: ?A, B, C ? Sn , 有A ? B ? Sn ,且 d ( A ? C, B ? C ) ? d ( A, B) ; (Ⅲ) 证明: ?A, B, C ? Sn , d ( A, B), d ( A, C), d ( B, C) 三个数中至少有一个是偶数 (Ⅰ)解: A ? B ? ( 0 ?1 , 1?1 , 0 ?1 , 0 ? 0 , 1 ? 0 ) =(1,0,1,0,1)

d ( A, B) ? 0 ?1 ? 1 ?1 ? 0 ?1 ? 0 ? 0 ? 1 ? 0 =3
(Ⅱ)证明:设 A ? (a1 , a2 , ???, an ), B ? (b1 , b2 , ???, bn ), C ? (c1, c2 , ???, cn ) ? Sn 因为 a1 , b1 ?{0,1} ,所以 a1 ? b1 ?{0,1}(i ? 1,2, ???, n) 从而 A ? B ? ( a1 ? b1 , a2 ? b2 , ??? an ? bn ) ? Sn 由题意知 ai , bi , ci ?{0,1}(i ? 1, 2, ???, n) 当 ci ? 0 时, ai ? ci ? bi ? ci ? ai ? bi

当 ci ? 1 时, ai ? ci ? bi ? ci ? (1 ? ai ) ? (1 ? bi ) ? ai ? bi 所以 d ( A ? C , B ? C ) ?

? a ?b
i ?1 i

n

i

? d ( A, B)

(Ⅲ)证明:设 A ? (a1 , a2 , ???, an ), B ? (b1 , b2 , ???, bn ), C ? (c1, c2 , ???, cn ) ? Sn

d ( A, B) ? k , d ( A, C) ? l , d ( B, C) ? h
记 0 ? (0,0, ???0) ? Sn 由(Ⅱ)可知

d ( A, B) ? d ( A ? A, B ? A) ? d (0, B ? A) ? k d ( A, C ) ? d ( A ? A, C ? A) ? d (0, C ? A) ? l d ( B, C ) ? d ( B ? A, C ? A) ? h
所以 bi ? ai (i ? 1,2, ???, n) 中 1 的个数为 k, ci ? ai (i ? 1,2, ???, n) 中 1 的个数为 l 设 t 是使 bi ? ai ? ci ? ai ? 1成立的 i 的个数。则 h ? l ? k ? 2t 由此可知, k , l , h 三个数不可能都是奇数 即 d ( A, B), d ( A, C ), d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数。

2009 年高考题
1 ) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数, 1. (2009 全国卷Ⅰ理) 函数 f ( x ) 的定义域为 R, 若 f (x ? 则(
A. f ( x ) 是偶函数 C. f ( x) ? f ( x ? 2) 答案 D 解析 B. f ( x ) 是奇函数 D. f ( x ? 3) 是奇函数 )

f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,

? f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1), f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) ,

? 函数 f ( x) 关于点 (1, 0) ,及点 (?1, 0) 对称,函数 f ( x) 是周期 T ? 2[1 ? (?1)] ? 4的周
期函数 .? f (? x ? 1 ? 4) ? ? f ( x ? 1 ? 4) , f (? x ? 3) ? ? f ( x ? 3) ,即 f ( x ? 3) 是奇函

数。故选 D 2.(2009 浙 江 理 ) 对 于 正 实 数 ? , 记 M ? 为 满 足 下 述 条 件 的 函 数 f ( x ) 构 成 的 集 合 :

?x1 , x2 ? R 且 x2 ? x1 ,有 ?? ( x2 ?x1 ) ?f (x 2) ? f (x ) 1


? (? x 2 x? ) 1

. 下列结论中正确的 ( )

A.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M? 1?? 2 B.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 g ( x) ? 0 ,则

f ( x) ? M ?1 g ( x) ?2

C.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 D.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 ?1 ? ?2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 答案 C 解析 对于 ?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) ,即有 ?? ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?? , x2 ? x1



f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? k , 有 ?? ? k ? ? , 不 妨 设 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 , 即 有 x2 ? x1

??1 ? k f ? ?1 , ??2 ? kg ? ?2 , 因 此 有 ??1 ? ?2 ? k f ? kg ? ?1 ? ?2 , 因 此 有
f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 .
3.(2009 浙江文)若函数 f ( x) ? x ?
2

a (a ? R) ,则下列结论正确的是( x



A. ?a ? R , f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数 B. ?a ? R , f ( x ) 在 (0, ??) 上是减函数 C. ?a ? R , f ( x ) 是偶函数 D. ?a ? R , f ( x ) 是奇函数 答案 C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识,通过对量词的考查 结合函数的性质进行了交汇设问.
2 解析 对于 a ? 0 时有 f ? x ? ? x 是一个偶函数

4. (2009 山东卷理)函数 y ?

e x ? e? x 的图像大致为 e x ? e? x
y y

(

).

y 1 O 1 x 1

y 1 x O D 1 x

1 O1 x O 1

A 答案 A

B

C

解 析 函 数 有 意 义 , 需 使 e ?e
x

?x

? 0 , 其 定 义 域 为 ?x | x ? 0? , 排 除 C,D, 又 因 为

y?

e x ? e? x e2 x ? 1 2 ? 2x ? 1? 2x ,所以当 x ? 0 时函数为减函数,故选 A. x ?x e ?e e ?1 e ?1

【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难 点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 5.(2009 山东卷理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? 则 f(2009)的值为 A.-1 答案 C B. 0 C.1 D. 2

?log2 (1 ? x), x ? 0 , ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
( )

解析 由已知得 f (?1) ? log 2 2 ? 1, f (0) ? 0 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? ?1 ,

f (2) ? f (1) ? f (0) ? ?1 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? ?1 ? (?1) ? 0 , f (4) ? f (3) ? f (2) ? 0 ? (?1) ? 1 , f (5) ? f (4) ? f (3) ? 1 , f (6) ? f (5) ? f (4) ? 0 ,
所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f(2009)= f(5)=1,故选 C. 【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算. 6.(2009 山东卷文)函数 y ?

e x ? e? x 的图像大致为( e x ? e? x

).

y 1 O 1 x 1

y

y

y 1 x O D 1 x

1 O1 x O 1

A 答案 A. 解析

B

C

函数有意义,需使 e ?e
x

?x

? 0 , 其 定 义 域 为 ?x | x ? 0? , 排 除 C,D, 又 因 为

y?

e x ? e? x e2 x ? 1 2 ? 2x ? 1? 2x ,所以当 x ? 0 时函数为减函数,故选 A. x ?x e ?e e ?1 e ?1

【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点 在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 7. (2009 山东卷文)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? 则 f(3)的值为 A.-1 答案 B 解析 由已知得 f (?1) ? log 2 5 , f (0) ? log2 4 ? 2 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? 2 ? log2 5 , B. -2 C.1 D. 2

x?0 ?log2 (4 ? x), , ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
( )

f (2) ? f (1) ? f (0) ? ? log2 5 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? ? log2 5 ? (2 ? log2 5) ? ?2 ,故选 B.
【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程. 8.(2009 山东卷文)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2] 上是增函数,则 A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) 答案 D B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11) ( ).

解析 因为 f ( x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ? 8) ? f ( x) ,所以函数是以 8 为周期的 周期函数, 则 f (?25) ? f (?1) , f (80) ? f (0) , f (11) ? f (3) ,又因为 f ( x) 在 R 上是奇函

数, f (0) ? 0 ,得 f (80) ? f (0) ? 0 , f (?25) ? f (?1) ? ? f (1) ,而由 f ( x ? 4) ? ? f ( x) 得

f (11) ? f (3) ? ? f (?3) ? ? f (1 ? 4) ? f (1) , 又因为 f ( x) 在区间 [0,2] 上是增函数 , 所以 f (1) ? f (0) ? 0 ,所以 ? f (1) ? 0 ,即 f (?25) ? f (80) ? f (11) ,故选 D.
【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想 和数形结合的思想解答问题. 9.(2009 全国卷Ⅱ文)函数 y= ? x (x ? 0)的反函数是 (A) y ? x2 (x ? 0) (B) y ? x2 (x ? 0) 答案 B 解析 本题考查反函数概念及求法,由原函数 x ? 0 可知 AC 错,原函数 y ? 0 可知 D 错. 10.(2009 全国卷Ⅱ文)函数 y= y ? log 2 (A) 关于原点对称 (C) 关于 y 轴对称 答案 A 解析 本题考查对数函数及对称知识, 由于定义域为 (-2, 2) 关于原点对称, 又 f(-x)=-f(x), 故函数为奇函数,图像关于原点对称,选 A。 11.(2009 全国卷Ⅱ文)设 a ? lg e, b ? (lg e)2 , c ? lg e, 则 (A) a ? b ? c 答案 B 解析 本题考查对数函数的增减性,由 1>lge>0,知 a>b,又 c= (B) a ? c ? b (C) c ? a ? b ( (D) c ? b ? a ) (B) y ? ? x2 (x ? 0) (D) y ? ? x2 (x ? 0) ( )

2? x 的图像 2? x
(B)关于主线 y ? ? x 对称 (D)关于直线 y ? x 对称





1 lge, 作商比较知 c>b,选 B。 2

x 12.( 2009 广 东 卷 理 ) 若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的反函数,其图像

经过点 ( a , a) ,则 f ( x) ? A. log 2 x 答案 B B. log 1 x
2

( C.

) D. x
2

1 2x

解析

f ( x) ? l o g a x ,代入 ( a , a) ,解得 a ?

1 ,所以 f ( x) ? log 1 x ,选 B. 2 2

13.( 2009 广 东 卷 理 )已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线) 行驶. 甲车、 乙车的速度曲线分别为 v甲和v乙(如图 2 所示) . 那么对于图中给定的 t0和t1 , 下列判断中一定正确的是 A. 在 t1 时刻,甲车在乙车前面 B. t1 时刻后,甲车在乙车后面 C. 在 t 0 时刻,两车的位置相同 D. t 0 时刻后,乙车在甲车前面 答案 A 解析 由图像可知,曲线 v甲 比 v乙 在 0~ t 0 、0~ t1 与 x 轴所围成图形面积大,则在 t 0 、t1 时刻,甲车均在乙车前面,选 A. 14.(2009 安徽卷理)设 a <b,函数 y ? ( x ? a)2 ( x ? b) 的图像可能是 ( ) ( )

答案 C 解析

y/ ? ( x ? a ) ( 3x? 2a? ,由 b) y / ? 0 得 x ? a, x ?

大值 0,当 x ?

2a ? b 时 y 取极小值且极小值为负。故选 C。 3

2a ? b ,∴当 x ? a 时, y 取极 3

或当 x ? b 时 y ? 0 ,当 x ? b 时, y ? 0 选 C 15.(2009 安徽卷文)设 ,函数 的图像可能是 ( )

答案 C 解析 可得 x ? a, x ? b为y ? ( x ? a)2 ( x ? b) ? 0 的两个零解. 当 x ? a 时,则 x ? b ? f ( x) ? 0 当 a ? x ? b 时,则 f ( x) ? 0, 当 x ? b 时,则 f ( x) ? 0. 选 C。

? x 2 ? 3x ? 4 16.(2009 江西卷文)函数 y ? 的定义域为 ( x A. [?4, 1] B. [?4, 0) C. (0, 1] D. [?4, 0) (0, 1]
答案 D 解析 由?



x?0 得 ?4 ? x ? 0 或 0 ? x ? 1 ,故选 D. 2 ? x ? 3 x ? 4 ? 0 ? ?

17. ( 2009 江 西 卷 文 ) 已 知 函 数 f ( x ) 是 (??, ??) 上 的 偶 函 数 , 若 对 于 x ? 0 , 都 有

f ( x? 2 ) ? f ( x),且当 x ? [0, 2) 时, f ( x) ? log2 ( x ? 1 ,则 f (?2008) ? f (2009) 的 )
值为 A. ? 2 答案 C 解析 ( B. ? 1 C. 1 D. 2 )

2 f (?2008) ? f (2009) ? f (0) ? f (1) ? log1 2 ? log 2 ? 1 ,故选 C.

y

18.(2009 江西卷文)如图所示,一质点 P( x, y) 在 xOy 平面上沿曲线运动, 速度大小不 变,其在 x 轴上的投影点 Q ( x, 0) 的运动速度 V ? V (t ) 的图象 大致为 ( )

P( x, y)

O

Q( x, 0)

x

V (t )

V (t )

V (t )

V (t )

A

O
答案 B 解析

t

O

B

t

O

C

t O

D

t

由图可知,当质点 P( x, y) 在两个封闭曲线上运动时,投影点 Q ( x, 0) 的速度先

由正到 0、到负数,再到 0,到正,故 A 错误;质点 P( x, y) 在终点的速度是由大到小 接近 0,故 D 错误;质点 P( x, y) 在开始时沿直线运动,故投影点 Q ( x, 0) 的速度为常 数,因此 C 是错误的,故选 B . 19.(2009 江西卷理)函数 y ? A. (?4, ? 1) 答案 C 解析 由?

ln( x ?1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为

( D. (?1,1]

)

B. (?4, 1)

C. (?1, 1)

?x ?1 ? 0

? x ? ?1 ? ? ?1 ? x ? 1.故选 C ? 2 ? 4 ? x ? 1 ? x ? 3 x ? 4 ? 0 ? ?

20. ( 2009 江 西 卷 理 ) 设 函 数 f ( x) ?

ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的 定 义 域 为 D , 若 所 有 点
( D.不能确定 )

(s, f (t ))(s, t ? D) 构成一个正方形区域,则 a 的值为
A. ? 2 答案 B B. ?4 C. ? 8

解析

| x1 ? x2 |? fmax ( x) ,

b2 ? 4ac 4ac ? b2 , | a |? 2 ?a , a ? ?4 ,选 B ? a2 4a

21. (2009 天津卷文) 设函数 f ( x) ? ? A. (?3,1) ? (3,??) C. (?1,1) ? (3,??) 答案 解析

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是 ( ) x ? 6 , x ? 0 ?
B. (?3,1) ? (2,??) D. (??,?3) ? (1,3)

A 由已知,函数先增后减再增

当 x ? 0 , f ( x) ? 2 f (1) ? 3 令 f ( x) ? 3, 解得 x ? 1, x ? 3 。

当 x ? 0 , x ? 6 ? 3, x ? ?3 故 f ( x) ? f (1) ? 3 ,解得 ? 3 ? x ? 1或x ? 3 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 22.(2009 天津卷文)设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f’(x),且 2f(x)+xf’(x)>x ,x 下面的不等式 在 R 内恒成立的是 A. f ( x) ? 0 B. f ( x) ? 0 C. f ( x) ? x D. f ( x) ? x ( )
2

答案 A 解析 由已知,首先令 x ? 0 ,排除 B,D。然后结合已知条件排除 C,得到 A 【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点,考查 了分析问题和解决问题的能力。 23.(2009 湖北卷理)设 a 为非零实数, 函数 y ? A、 y ? C、 y ? 答案 解析

1 ? ax 1 ( x ? R, 且x ? ? ) 1 ? ax a

1 ? ax 1 ( x ? R, 且x ? ? )的反函数是 ( 1 ? ax a 1 ? ax 1 ( x ? R, 且x ? ? ) B、 y ? 1 ? ax a
D、 y ?

)

1? x ( x ? R, 且x ? 1) a(1 ? x)
D 由原函数是 y ?

1? x ( x ? R, 且x ? ?1) a(1 ? x)

1 ? ax 1 ( x ? R, 且x ? ? ) ,从中解得 1 ? ax a

x?

1? y 1? y ( y ? R, 且y ? ?1) 即原函数的反函数是 x ? ( y ? R, 且y ? ?1) , 故选 a(1 ? y) a(1 ? y)

择D 24..(2009 湖北卷理)设球的半径为时间 t 的函数 R ? t ? 。 若球的体积以均匀速度 c 增长, 则球 的表面积的增长速度与球半径 A.成正比,比例系数为 C C.成反比,比例系数为 C 答案 D 解析 由题意可知球的体积为 V (t ) ? ( B. 成正比,比例系数为 2C D. 成反比,比例系数为 2C )

4 ? R 3 (t ) ,则 c ? V ' (t ) ? 4? R2 (t ) R' (t ) ,由此可 3

c ? 4? R(t ) ,而球的表面积为 S (t ) ? 4? R2 (t ) , ' R(t ) R (t )
所以 v表=S (t ) ? 4? R (t ) ? 8? R(t )R (t ) ,
' 2 '

即 v表=8? R(t ) R (t )=2 ? 4? R(t ) R (t )=
' '

2c 2c R ' (t )= ,故选 ' R(t ) R (t ) R(t )

25.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意 实数 x 都有

5 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是 2 1 A. 0 B. C. 1 2
答案 解析 A 若 x ≠0,则有 f ( x ? 1) ?

( D.

)

5 2

1? x 1 f ( x) ,取 x ? ? ,则有: x 2

1 2 f (? 1 ) ? ? f (? 1 ) ? ? f ( 1 ) (∵ f ( x) 是偶函数,则 1 2 2 2 ? 2 1 1 1 f (? ) ? f ( ) )由此得 f ( ) ? 0 于是 2 2 2 3 1 1? 1? 5 3 2 f ( 3 ) ? 5 f ( 3 ) ? 5 f ( 1 ? 1) ? 5 [ 2 ] f ( 1 ) ? 5 f ( 1 ) ? 0 f ( ) ? f ( ? 1) ? 3 2 2 2 3 2 3 2 3 1 2 2 2 2 b 26.(2009 福建卷理)函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 的图象关于直线 x ? ? 对称。据此 2a 1 1 f ( ) ? f (? ? 1) ? 2 2 1?
可推测,对任意的非零实数 a,b,c,m,n,p,关于 x 的方程 m ? f ( x) ? ? nf ( x) ? p ? 0
2

的解集都不可能是 A. ?1, 2? 答案 解析 D B ?1, 4? C ?1,2,3,4?

( D ?1,4,16,64?

)

本题用特例法解决简洁快速,对方程 m[ f ( x)] ? nf ( x) ? P ? 0 中 m, n, p 分别
2

赋值求出 f ( x ) 代入 f ( x) ? 0 求出检验即得. 27.(2009 辽宁卷文)已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 (A)( 答案 解析 ( B.[ )

1 3

1 2 , ) 3 3

1 2 , ) 3 3

C.(

1 2 , ) 2 3

D.[

1 2 , ) 2 3

A 由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|)

∴得 f(|2x-1|)<f( 得|2x-1|<

1 3

1 ),再根据 f(x)的单调性 3 1 2 解得 <x< 3 3

28.(2009 宁夏海南卷理)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值 设 f(x)=min{, x+2,10-x} (x ? 0),则 f(x)的最大值为 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 答案 C 29.(2009 陕西卷文)函数 f ( x) ? 2x ? 4( x ? 4) 的反函数为

(

)

(

)

1 2 x ? 4( x ? 0) 2 1 2 ?1 (C) f ( x) ? x ? 2( x ? 0) 2
(A) f
?1

( x) ?

1 2 x ? 4( x ? 2) 2 1 2 ?1 (D) f ( x) ? x ? 2( x ? 2) 2
B. f
?1

( x) ?

学科

答案 解析

D 令原式

y ? f ( x) ? 2 x ? 4( x ? 2)
故选 D.

则y 2 ? 2 x ? 4,即x ?

?1 故 f ( x) ?

1 2 x ? 2( x ? 2) 2

y2 ? 4 y2 ? ?2 2 2

30.(2009 陕西卷文)定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足:对任意的 x1 , x2 ?[0, ??)( x1 ? x2 ) , 有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .则 x2 ? x1
B. f (1) ? f (?2) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f (?2)

(

)

(A) f (3) ? f (?2) ? f (1) C. f (?2) ? f (1) ? f (3) 答案 解析 A

由 ( x2 ? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 等价,于

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 则 f ( x) 在 x2 ? x1

x1 , x2 ? (??,0]( x1 ? x2 ) 上单调递增, 又 f ( x) 是偶函数,故 f ( x) 在 x1 , x2 ? (0, ??]( x1 ? x2 ) 单调递减.且满足 n ? N * 时, f (?2) ? f (2) , 3>2 ? 1 ? 0 ,得
f (3) ? f (?2) ? f (1) ,故选 A.
31.(2009 陕西卷理)定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足:对任意 的 x1 , x2 ? (??,0]( x1 ? x2 ) ,有 ( x2 ? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 . 则当 n ? N 时,有
*

( B. f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1) D. f (n ? 1) ? f (n ? 1) ? f (?n)

)

(A) f (?n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 1) C. C. f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1)

答案

C

解析:x1 , x2 ? (??, 0]( x1 ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 ? x2 ? x1时,f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x)在( ??, 0]为增函数 f ( x)为偶函数 ? f ( x)在(0, ? ?]为减函数 而n+1>n>n-1>0,? f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1)

32.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意 实数 x 都有 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是 A. 0 答案 解析 A 若 x ≠0,则有 f ( x ? 1) ? B.

5 2

( D.

)

1 2

C. 1

5 2

1? x 1 f ( x) ,取 x ? ? ,则有: x 2

1 1 1 2 f (? 1 ) ? ? f (? 1 ) ? ? f ( 1 ) ( ∵ f ( x ) 是 偶 函 数 , 则 f ( ) ? f (? ? 1) ? 1 2 2 2 2 2 ? 2 1 1 f (? ) ? f ( ) ) 2 2 1 由此得 f ( ) ? 0 于是, 2 3 1 1? 1? 5 3 2 f ( 3 ) ? 5 f ( 3 ) ? 5 f ( 1 ? 1) ? 5 [ 2 ] f ( 1 ) ? 5 f ( 1 ) ? 0 f ( ) ? f ( ? 1) ? 3 2 2 2 3 2 3 2 3 1 2 2 2 2 1?
33.(2009 湖北卷文)函数 y ? A. y ? C. y ? 答案 解析
1 ? 2x 1 ( x ? R, 且x ? ) 1 ? 2x 2 1 ? 2x 1 ( x ? R, 且x ? ? ) 的反函数是 1 ? 2x 2

(

)

B. y ? D. y ?

1 ? 2x 1 ( x ? R, 且x ? ? ) 1 ? 2x 2

1? x ( x ? R, 且x ? 1) 2(1 ? x)

1? x ( x ? R, 且x ? ?1) 2(1 ? x)

D 可反解得 x ?

1? y 1? x 且可得原函数中 y ∈ R 、 y ≠ -1 所以 故f ?1 ( x ) 2(1 ? y ) 2(1 ? x )

f ?1 ( x )

1? x 且 x∈R、x≠-1 选 D 2(1 ? x )
x ( x ? 0) 的图像分别对应 1? ? x

34.(2009 湖南卷理)如图 1,当参数 ? ? ?2 时,连续函数 y ?

曲线 C1 和 C2 , 则 A 0 ? ?1 ? ? C B 0 ? ? ? ?1 D

(

)

?1 ? ?2 ? 0
B

?2 ? ?1 ? 0

答案 解析

解析由条件中的函数是分式无理型函数,先由函

数在 (0, ??) 是连续的,可知参数 ?1 ? 0, ?2 ? 0 ,即排除 C,D 项,又取 x ? 1 ,知对应函 数值 y1 ?

1 1 ,由图可知 y1 ? y2 , 所以 ?1 ? ?2 ,即选 B 项。 , y2 ? 1 ? ?1 1 ? ?2

35.(2009 湖南卷理)设函数 y ? f ( x) 在( ?? ,+ ? )内有定义。对于给定的正数 K,定义函 数 ( )

? f ( x), f ( x) ? K f k ( x) ? ? ? K , f ( x) ? K
取函数 f ( x ) = 2 ? x ? e 。若对任意的 x ? (??, ??) ,恒有 fk ( x) = f ( x ) ,则 ( A.K 的最大值为 2 C.K 的最大值为 1 答案 D 解析 由 f '( x) ? 1 ? e
?x
?1

)

B. K 的最小值为 2 D. K 的最小值为 1

0 ,? ? ) 所以 x ? (??,0) 时, f '( x) ? 0 , 当 x ?( ? 0, 知 x ? 0 ,

时, f '( x) ? 0 , 所以 f ( x)max ? f (0) ? 1, 即 f ( x ) 的值域是 (??,1] , 而要使 f k ( x) ? f ( x) 在 R 上恒成立,结合条件分别取不同的 K 值,可得 D 符合,此时 f k ( x) ? f ( x) 。故选 D 项。

? x 2 ? 4 x, 36. (2009 天津卷理) 已知函数 f ( x ) ? ? 2 ?4 x ? x ,
的取值范围是 A (??, ?1) ? (2, ??) B (?1, 2)

x?0 x?0

若 f (2 ? a ) ? f (a), 则实数 a
2

( C (?2,1) D (??, ?2) ? (1, ??)

)

【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。
2 解析:由题知 f ( x ) 在 R 上是增函数,由题得 2 ? a ? a ,解得 ? 2 ? a ? 1 ,故选择 C。

37.(2009 四川卷理)已知函数 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意

实数 x 都有 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( f ( )) 的值是 A.0 B.

5 2

( D.

)

1 2

C.1

5 2

【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法,综合题。(同文 12) 答案 A 解析 令x??

1 1 1 1 1 1 1 1 ,则 ? f ( ) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? 0 ;令 x ? 0 ,则 2 2 2 2 2 2 2 2

f ( 0) ? 0
由 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) 得 f ( x ? 1) ?

x?1 f ( x ) ,所以 x

5 3 5 3 5 3 5 1 5 f ( ) ? 2 f ( ) ? f ( ) ? ? 2 f ( ) ? 0 ? f ( f ( )) ? f (0) ? 0 ,故选择 A。 3 2 2 3 2 3 1 2 2 2 2
38.(2009 福建卷文)下列函数中,与函数 y ? A . f ( x) ? ln x 答案 A 解析 解析 由 y ? B. f ( x) ?

1 有相同定义域的是 x
D. f ( x) ? e
x

(

)

1 x

C. f ( x) ?| x |

1 1 可得定义域是 x ? 0. f ( x) ? ln x 的定义域 x ? 0 ; f ( x) ? 的定 x x

x 义域是 x ≠0; f ( x) ?| x | 的定义域是 x ? R; f ( x) ? e 定义域是 x ? R 。故选 A.

39.(2009 福建卷文)定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 的部分图像如右图所示,则在 ? ?2,0 ? 上, 下列函数中与 f ? x ? 的单调性不同的是 ( A. y ? x ? 1
2

)

B. y ?| x | ?1 C. y ? ?

?2 x ? 1, x ? 0
3 ? x ? 1, x ? 0

D. y ? ? 答案 C

?e x , x ? o ? ?x ? ?e , x ? 0

解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反, 故可知求在 ? ?2,0 ? 上单调 递减,注意到要与 f ? x ? 的单调性不同,故所求的函数在 ? ?2,0 ? 上应单调递增。而函数

y ? x2 ? 1 在 ? ??,1? 上 递 减 ; 函 数 y ? x ?1 在 ? ??,0? 时 单 调 递 减 ; 函 数
?2 x ? 1, x ? 0 y?? 3 在( ? ?,0] 上单调递减,理由如下 y’=3x2>0(x<0),故函数单调递增, x ? 1 , x ? 0 ?
x ? ?e , x ? 0 ?x 显然符合题意;而函数 y ? ? ? x ,有 y’=- e <0(x<0),故其在( ? ?,0] 上单调递减, ? ?e , x ? 0

不符合题意,综上选 C。 40.(2009 重庆卷文)把函数 f ( x) ? x ? 3x 的图像 C1 向右平移 u 个单位长度,再向下平移
3

v 个单位长度后得到图像 C2 .若对任意的 u ? 0 ,曲线 C1 与 C2 至多只有一个交点,则 v
的最小值为 A. 2 B. 4 答案 B 解析 ( C. 6 D. 8
3



根据题意曲线 C 的解析式为 y ? ( x ? u) ? 3( x ? u) ? v, 则方程

1 ( x ? u)3 ? 3( x ? u) ? v ? x3 ? 3x ,即 3ux2 (u3 ? 3u ? v) ? 0 ,即 v ? ? u 3 ? 3u 对任意 4 1 3 1 u ? 0 恒成立,于是 v ? ? u ? 3u 的最大值,令 g (u ) ? ? u 3 ? 3u (u ? 0), 则 4 4 3 3 u?0 g ((u ) ? ? u 2 ? 3 ? ? (u ? 2)(u ? 2) 由此知函数 g (u ) 在(0,2)上为增函 4 4
数, 在 (2, ??) 上为减函数, 所以当 u ? 2 时, 函数 g (u ) 取最大值, 即为 4, 于是 v ? 4 。 41.(2009 重庆卷理)若 f ( x) ? 答案

1 ? a 是奇函数,则 a ? 2 ?1
x



1 2

解析

1 2x ?a ? ? a, f ( ? x ) ? ? f ( x ) 解法 1 f (? x) ? ? x 2 ?1 1 ? 2x

?

2x 1 1 2x 1 ? a ? ? ( ? a ) ? 2 a ? ? ? 1故a ? x x x x 1? 2 2 ?1 1? 2 1? 2 2

42(2009 上海卷文) 函数 f(x)=x3+1 的反函数 f-1(x)=_____________. 答案 解析
3

x ?1

由 y=x3+1,得 x= 3 y ? 1 ,将 y 改成 x,x 改成 y 可得答案。 .

?3x , x ? 1, 44(2009 北京文)已知函数 f ( x) ? ? 若 f ( x) ? 2 ,则 x ? ?? x, x ? 1,
.w.w.k.s.5

答案
5.u.c

log3 2

.w

解析 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值. 属于基础知识、 基本运算的 考查. 由?

?x ? 1
x

?x ? 1 无解,故应填 log3 2 . ? x ? log3 2 , ? ?? x ? 2 ? x ? ?2 ?3 ? 2
1 的解集为____________. 3

?1 , x?0 ? ?x 45. (2009 北京理) 若函数 f ( x) ? ? ?( 1 ) x , x ? 0 ? ? 3
答案

则不等式 | f ( x ) |?

??3,1?

解析 本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算 的考查.

?x ? 0 1 ? (1)由 | f ( x) |? ? ? 1 1 ? ?3 ? x ? 0 . 3 ? ? ?x 3
?x ? 0 ?x ? 0 1 ? ? x x (2)由 | f ( x) |? ? ? ? 1 ? 1 ? ?? 1 ? 1 ? 0 ? x ? 1 . ? 3 ?? ? ?? ? ? 3 ? ?3? 3 ??3? 1 ∴不等式 | f ( x ) |? 的解集为 ?x | ?3 ? x ? 1 ? ,∴应填 ??3,1? . 3 5 ?1 x 46.(2009 江苏卷)已知 a ? ,函数 f ( x) ? a ,若实数 m 、 n 满足 f (m) ? f (n) , 2
则 m 、 n 的大小关系为 解析 . 考查指数函数的单调性。

a?

5 ?1 ? (0,1) ,函数 f ( x) ? a x 在 R 上递减。由 f (m) ? f (n) 得:m<n 2

47.(2009 山东卷理)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]

上 是 增 函 数 , 若 方 程 f(x)=m(m>0) 在 区 间 ?? 8,8? 上 有 四 个 不 同 的 根 x1 , x2 , x3 , x4, 则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________.
答案 -8 解析 因为定义在 R 上的奇函数,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ? 4) ? f (? x) ,所以, 由 f ( x) 为奇函数,所以函数图象关于直线 x ? 2 对称且 f (0) ? 0 ,由 f ( x ? 4) ? ? f ( x) 知

f ( x ? 8) ? f ( x) ,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为 f ( x) 在区间[0,2]上是增函数,
所以 f ( x) 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程 f(x)=m(m>0)在区间 ?? 8,8? 上有 四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,不妨设 x1 ? x2 ? x3 ? x4 由对称性知 x1 ? x2 ? ?12 x3 ? x4 ? 4 所以 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?12 ? 4 ? ?8

y f(x)=m (m>0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x

【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性, 对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题, 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题. 14.(2009 四川卷文)设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合,对于映射 f : V ? V , a ?V , 记 a 的象为 f ( a ) 。若映射 f : V ? V 满足:对所有 a、b ? V 及任意实数 ? , ? 都有

f (? a ? ? b) ? ? f ( a) ? ? f ( b),则 f 称为平面 M 上的线性变换。现有下列命题:
①设 f 是平面 M 上的线性变换, a、b ? V ,则 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ②若 e 是平面 M 上的单位向量,对 a ?V , 设f (a) ? a ? e ,则 f 是平面 M 上的线性变 换; ③对 a ?V , 设f (a) ? ?a ,则 f 是平面 M 上的线性变换; ④设 f 是平面 M 上的线性变换, a ?V ,则对任意实数 k 均有 f (ka) ? kf (a) 。 其中的真命题是 (写出所有真命题的编号)

答案 解析

①③④ ①:令 ? ? ? ? 1 ,则 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) 故①是真命题

同理,④:令 ? ? k , ? ? 0 ,则 f (ka) ? kf (a) 故④是真命题 ③:∵ f (a) ? ?a ,则有 f (b) ? ?b

f (?a ? ?b) ? ?(?a ? ?b) ? ? ? (?a) ? ? ? (?b) ? ?f (a) ? ?f (b) 是线性变换,故③是
真命题 ②:由 f (a) ? a ? e ,则有 f (b) ? b ? e

f (?a ? ?b) ? (?a ? ?b) ? e ? ? ? (a ? e) ? ? ? (b ? e) ? e ? ?f (a) ? ?f (b) ? e
∵ e 是单位向量, e ≠0,故②是假命题 【备考提示】本小题主要考查函数,对应及高等数学线性变换的相关知识,试题立意新 颖,突出创新能力和数学阅读能力,具有选拔性质。 48.(2009 年广东卷文)(本小题满分 14 分) 已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x) 在 x =-1 处取 得最小值 m-1(m ? 0 ).设函数 f ( x ) ?

g ( x) x

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值 (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点. 解 (1)设 g ? x ? ? ax ? bx ? c ,则 g? ? x ? ? 2ax ? b ;
2

又 g? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行 又 g ? x ? 在 x ? ?1 取极小值,

? 2a ? 2


a ?1

?

b ? ? 1 2

b?2

?g ? ? 1? ?a ?b ?c 1 ? 2 ? ? c ? m, 1?
f ? x? ?
2

c ? m;

g ? x? m ? x? ?2, x x
2 0 2 2 0

设 P xo , yo
2

?

?

则 PQ ? x ? ? y0 ? 2 ?

? m? m2 2 ? x ? ? x0 ? ? ? 2 x0 ? 2 ? 2 ? 2 2m2 ? 2 x0 ? x0 ?

?2 2 m2 ? 2 ? 4

m??

2 ; 2

(2)由 y ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ? 得

m ? 2? 0 , x

?1? k ? x2 ? 2x ? m ? 0

?*?

m m ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2 1 当 k ? 1 时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 ,若 m ? 0 , k ? 1 ? , m
当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 x ? ? 函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?
?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ? ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1

;若 m ? 0 ,

k ? 1?

1 ?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ? ; ? m 2 ?1 ? k ? k ?1
, 0

当 k ? 1 时 , 方 程 ?*? 有 一 解 ? ? ? 4 ? 4 m? 1 ?k? ?

k ? 1?

1 , 函数 m

x? y ? f? x x ? ? k有一零点

1 k ?1

49. ( 2009 浙江理)(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? (k 2 ? k ? 1) x2 ? 5x ? 2 ,

g ( x) ? k 2 x2 ? kx ? 1 ,
其中 k ? R . (I)设函数 p( x) ? f ( x) ? g ( x) .若 p ( x) 在区间 (0,3) 上不单调 ,求 k 的取值范围; ... (II)设函数 q( x) ? ?

? g ( x), x ? 0, ? f ( x), x ? 0.

是否存在 k ,对任意给定的非零实数 x1 ,存在惟一

的非零实数 x2 ( x2 ? x1 ),使得 q?( x2 ) ? q?( x1 ) 成立?若存在,求 k 的值;若不存 在,请说明理由. 解 (I)因 P( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x3 ? (k ?1) x2 ? (k ? 5) ?1 , 所以 p? ? x ? ? 0 在 p? ? x ? ? 3x2 ? 2(k ?1) x ? (k ? 5) ,因 p( x) 在区间 (0,3) 上不单调, ....

? 0,3? 上有实数解,且无重根,由 p? ? x? ? 0 得 k (2x ? 1) ? ?(3x2 ? 2x ? 5),
?k ? ? (3x 2 ? 2 x ? 5) 3? 9 10 ? ? ? ?? 2 x ? 1? ? ? ? ,令 t ? 2 x ? 1, 有 t ? ?1,7 ? ,记 2x ?1 4? 2x ?1 3 ?

9 h(t ) ? t ? , 则 h ? t ? 在 ?1,3? 上单调递减,在 ?3,7 ? 上单调递增,所以有 h ?t ? ??6,10? , t
于是 ? 2 x ? 1? ?

9 ? ? 6,10 ? ,得 k ? ??5, ?2 ? ,而当 k ? ?2 时有 p? ? x ? ? 0 在 ? 0,3? 2x ?1

上有两个相等的实根 x ? 1 ,故舍去,所以 k ? ? ?5, ?2? ;

(II)当 x ? 0 时有 q? ? x ? ? f ? ? x ? ? 3x2 ? 2(k 2 ? k ? 1) x ? 5 ; 当 x ? 0 时有 q? ? x ? ? g? ? x ? ? 2k 2 x ? k ,因为当 k ? 0 时不合题意,因此 k ? 0 , 下面讨论 k ? 0 的情形, 记 A ? (k , ??) , B= ?5, ???(ⅰ ) 当 x1 ? 0 时,q? ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增,所以要使 q? ? x2 ? ? q? ? x1 ? 成立,只能 x2 ? 0 且 A ? B ,因此有 k ? 5 , (ⅱ )当 x1 ? 0 时, q? ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递减,所以要使 q? ? x2 ? ? q? ? x1 ? 成立,只 能 x2 ? 0 且 A ? B ,因此 k ? 5 ,综合(ⅰ )(ⅱ )k ? 5; 当 k ? 5 时 A=B, 则 ?x1 ? 0, q? ? x1 ? ? B ? A , 即 ?x2 ? 0, 使得 q? ? x2 ? ? q? ? x1 ? 成立, 因为 q? ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增,所以 x2 的值是唯一的; 同理,?x1 ? 0 ,即存在唯一的非零实数 x2 ( x2 ? x1 ) ,要使 q? ? x2 ? ? q? ? x1 ? 成立,所 以 k ? 5 满足题意. 7.(2009 江苏卷)(本小题满分 16 分) 设 a 为实数,函数 (1)若 (2)求

f ( x) ? 2 x 2 ? ( x ? a ) | x ? a | .

f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围;

f ( x) 的最小值;
直接写出 (不需给出演算步骤)不等式 h( x) ? 1 的 f ( x), x ? (a, ??) , ....

(3)设函数 h( x) ? 解集. 解

本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识,考查

灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分 (1)若

f (0) ? 1 ,则 ?a | a |? 1 ? ?
2

?a ? 0
2 ?a ? 1

? a ? ?1
2 ? f (a), a ? 0 ?2a , a ? 0 ? ? 2 ?? a ? ? 2a f ( ), a ? 0 ? ,a ? 0 ? ? 3 ? 3

(2)当 x ? a 时, f ( x) ? 3x ? 2ax ? a , f ( x) min
2

2 2 当 x ? a 时, f ( x) ? x ? 2ax ? a , f ( x) min ? ?

??2a 2 , a ? 0 ? f (?a), a ? 0 ? ?? 2 ? 2a , a ? 0 ? f (a), a ? 0 ?

综上 f ( x)min

??2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? ? 3
2 2

(3) x ? (a, ??) 时, h( x) ? 1 得 3x ? 2ax ? a ? 1 ? 0 ,

? ? 4a2 ?12(a2 ?1) ? 12 ? 8a2
当a ? ?

6 6 时, ? ? 0, x ? (a, ??) ; 或a ? 2 2

? a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 6 6 ? ( x ? )( x ? )?0 当? 时,△>0,得: ? ?a? 3 3 2 2 ? ?x ? a

讨论得:当 a ? (

2 6 , ) 时,解集为 (a, ??) ; 2 2

6 2 a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 当 a ? (? ,? ) 时,解集为 (a, ] ?[ , ??) ; 2 2 3 3
当 a ? [?

a ? 3 ? 2a 2 2 2 , ] 时,解集为 [ , ??) . 2 2 3

50.(2009 年上海卷理)已知函数 y ? f ( x) 的反函数。定义:若对给定的实数 a(a ? 0) ,函 数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f ?1 ( x ? a) 互为反函数,则称 y ? f ( x) 满足“ a 和性质”;若函 数 y ? f (ax) 与 y ? f ?1 (ax) 互为反函数,则称 y ? f ( x) 满足“ a 积性质”。 (1) 判断函数 g ( x) ? x 2 ? 1( x ? 0) 是否满足“1 和性质” ,并说明理由; (2) 求所有满足“2 和性质”的一次函数; (3) 设函数 y ? f ( x)( x ? 0) 对任何 a ? 0 ,满足“ a 积性质” 。求 y ? f ( x) 的表达式。 解 (1)函数 g ( x) ? x 2 ? 1( x ? 0) 的反函数是 g ?1 ( x) ?

x ?1( x ? 1)

? g ?1 ( x ?1) ? x ( x ? 0)
而 g ( x ? 1) ? ( x ? 1)2 ? 1( x ? ?1), 其反函数为 y ? 故函数 g ( x) ? x ? 1( x ? 0) 不满足“1 和性质”
2

x ?1 ?1( x ? 1)

(2)设函数 f ( x) ? kx ? b( x ? R) 满足“2 和性质”, k ? 0.

? f ?1 ( x) ?

x ?b x ? 2?b ( x ? R),? f ?1 ( x ? 2) ? …….6 分 k k x ? b ? 2k 而 f ( x ? 2) ? k ( x ? 2) ? b( x ? R), 得反函数 y ? ………….8 分 k x ? 2 ? b x ? b ? 2k 由“2 和性质”定义可知 = 对 x ? R 恒成立 k k

? k ? ?1, b ? R, 即所求一次函数为 f ( x) ? ? x ? b(b ? R) ………..10 分

(3)设 a ? 0 , x0 ? 0 ,且点 ( x0 , y0 ) 在 y ? f (ax) 图像上,则 ( y0 , x0 ) 在函数 y ? f ?1 (ax) 图象上,

故 分

f (ax0 ) ? y0 ,可得 ay0 ? f ( x0 ) ? af (ax0 ) ,

......12

f ?1 (ay0 ) ? x0
令 ax0 ? x ,则 a ? 分 综上所述, 1 ? b1qn?1 ? bn f ( x) ? 而f
?1

x f ( x0 ) x x 。? f ( x0 ) ? 。 f ( x) ,即 f ( x ) ? 0 x x0 x0

......14

k k k (k ? 0) ,此时 f (ax) ? ,其反函数就是 y ? , x ax ax

(ax) ?

k ,故 y ? f (ax) 与 y ? f ?1 (ax) 互为反函数 。 ax

2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 年山东文科卷)设函数 f ( x) ? ? A.
2 ? x ≤1, ?1 ? x , 则 2 x ? x ? 2 , x ? 1 , ? ?

? 1 ? f? ? 的值为( ? f (2) ?
D.18



15 16

B. ?

27 16

C.

8 9

答案 A 2.(07 天津)在 R 上定义的函数 f ?x ? 是偶函数,且 f ?x ? ? f ?2 ? x ? ,若 f ?x ? 在区间 ?1,2? 是减函数,则函数 f ?x ? A.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是增函数 B.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是减函数 C.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是增函数 D.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是减函数 答案 B ( )

3. (07 福建)已知函数 f ?x ? 为 R 上的减函数,则满足 f ? ? 是 A. ?? 1,1? C. ?? 1,0? ? ?0,1? 答案 C

?1 ?x

? ? ? ? f ?1? 的实数 x 的取值范围 ?
( )

B. ?0,1? D. ?? ?,?1? ? ?1,???

4.(07 重庆)已知定义域为 R 的函数 f ?x ? 在区间 ?8,??? 上为减函数, 且函数 y ? f ?x ? 8? 为 偶函数,则 A. f ?6? ? f ?7? C. f ?7? ? f ?9? 答案 D 5.(07 安徽)图中的图象所表示的函数的解析式为 A. y ? B. f ?6? ? f ?9? D. f ?7? ? f ?10? ( )

(

)

3 | x ?1| (0≤x≤2) 2 3 3 B. y ? ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 2 2 3 C. y ? ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 2
D. y ? 1? | x ? 1 | (0≤x≤2)

答案

B

第二部分

四年联考汇编

2013-2014 年联考题 一.基础题组
1. 【山西省太原市太远五中 2014 届高三 12 月月考】设

a ? 20.3 , b ? 0.32 , c ? logx x 2 ? 0.3 ?x ? 1? ,则 a, b, c 的大小关系是(
A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? b ? a

?

?

) D. b ? c ? a

2. 【唐山市 2013-2014 学年度高三年级第一学期期末考试】f (x) 是 R 上的奇函数, 当x ? 0 时, f (x) ? x3 ? ln(1 ? x) ,则当 x ? 0 时, f ( x) ? ( A. ? x 3 ? ln(1 ? x) B. x 3 ? ln(1 ? x) ) D. ? x 3 ? ln(1 ? x)

C. x 3 ? ln(1 ? x)

二.能力题组
1. 【河北省唐山市一中 2014 届高三 12 月月考】已知函数 f ( x) ( x ? R) 是偶函数,且 当 x ? [0 , 2] 时,f ( x) ? 1 ? x , 则方程 f ( x) ? f (2 ? x) ? f (2 ? x) , 上的解的个数是 ( A.8 【答案】B 【解析】 试题分析:∵函数 f ( x) ( x ? R) 是偶函数,且 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,∴函数的周期为 4,对称 轴为 x ? 2 , ∵当 x ? [0 , 2] 时, f ( x) ? 1 ? x , ∴图像如图所示,所以交点个数为 9 个. B.9 ) C.10 D.11

1 在区间 [?10 ,10] 1? | x |

考点:1.函数图像;2.函数的奇偶性、周期性、对称轴.

2. 【山西省太原市太远五中 2014 届高三 12 月月考】已知函数

f ( x) ? xn?1 (n ? N*) 的图

象与直线 x ? 1 交于点 P, 若图象在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 x n , 则 log2013 x1 +

log2013 x2 +?+ log2013 x2012 的值为(
A.-1 B. 1-log20132012

) D.1

C.-log20132012

3. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】函数

?2 x 2 ? 8ax ? 3?x ? 1? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 满足对任意 x1 ? x2 , 都有 ? 0 ,则 a 的取值范 f ?x ? ? ? x ? x ? ? log x x ? 1 1 2 ? a
围( )

A. ? 0, ? 2

? ?

1? ?

B. [ ,1)

1 2

C. ? , ? 2 8

?1 5? ? ?

D. ? ,1?

?5 ? ?8 ?

【答案】C 【解析】

4. 【山西省太原市太远五中 2014 届高三 12 月月考】现有四个函数① y ? x ? sin x ②

y ? x ? cos x ③ y ? x? | cos x | ④ y ? x ? 2 x 的部分图象如下,但顺序被打乱,则按照从左
到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A. ①④②③

B. ①④③②

C. ④①②③

D. ③④②①

5. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校 2014 届高三第二次联考】函数

y?

3x cos3 x 的图像大致为( 9x ? 1



【答案】D 【解析】

6. 【唐山市 2013-2014 学年度高三年级第一学期期末考试】 f (x) ? 2sin ? x ? x ? 1 的零点 个数为( A.4 B.5 ) C.6 D.7

7.【河北省衡水中学 2014 届高三上学期四调考试】 已知定义在 R 上的偶函数 y ? f ( x) 满足: f ( x ? 4) ? f ( x) ? f (2) ,且当 x ? [0, 2] 时, y ? f ( x) 单调递减,给出以下四个命题: ① f (2) ? 0 ; ② x ? ?4 为函数 y ? f ( x) 图像的一条对称轴; ③函数 y ? f ( x) 在 [8,10] 单调递增; ④若关于 x 的方程 f ( x) ? m 在 [?6, ?2] 上的两根 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 ? ?8 . 以上命题中所有正确的命题的序号为_______________.

三.拔高题组
1. 【河北省唐山市一中 2014 届高三 12 月月考】定义在(0, 它的导函数,且恒有 A. 3 f ( ) ? )上的函数 f ( x), f ( x) 是
/

f ( x) ? f / ( x) tan x 成立,则(
B. f (1) ? 2 f ( ) sin 1 D.



?

4

C.

2f( )? f( ) 6 4

?

2f( ) 3

?

?

?

3f ( ) ? f ( ) 6 3

?

6

?

2. 【山西省曲沃中学 2014 届高三上学期期中考试】 已知关于 X 的方程 解集为 P,则 P 中所有元素的和可能是( A. 3,6,9 【答案】B B. 6,9,12 ) C. 9,12,15 D. 6,12,15



3. 【山西省曲沃中学 2014 届高三上学期期中考试】如图,直角坐标平面内的正六边形 ABCDEF,中心在原点,边长为 a,AB 平行于 x 轴,直线 形交于 M、N 两点,记 ( ) B. —定是偶函数 D.奇偶性与 k 有关 的面积为 S,则关于函数 (k 为常数)与正六边 的奇偶性的判断正确的是

A.一定是奇函数 C.既不是奇函数,也不是偶函数

【答案】B 【解析】 试题分析: : ∵当直线 y ? kx ? t 与 ED 边重合时,f ( 重合时,

3 3 当直线 y ? kx ? t 与 AB a) ? a, 2 4

4. 【山西省太原市太远五中 2014 届高三 12 月月考】 已知 f ( x ) 是偶函数, 且 f ( x ) 在 ?0,??? 上是增函数,如果 f (ax ? 1) ? f ( x ? 2) 在 x ? [ ,1] 上恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) A. [?2,1] B. [?5, 0] C. [?5,1] D. [?2, 0]

1 2

5. 【山西省太原市太远五中 2014 届高三 12 月月考】若函数 y ? f ? x ?

? x ? R ? 满足
? x ? 0? ? x ? 0?
,则函数

?lg x ? f ? x ? 2? ? f ? x ? 且 x ???1,1? 时, f ? x ? ? 1 ? x ,函数 g ? x ? ? ? 1 ?? x ?
2

h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ? ?5,5? 内的零点的个数为 (
A.7 【答案】B 【解析】 B.8 C.9 D.10



试题分析:当 x ?? ?1,1? 时, f ( x ) 是一段开口向下的抛物线, y 的最大值为 1,∵

f ? x ? 2? ? f ? x ? ,
∴ f ( x ) 是以 2 为周期的周期函数,f ( x ) 和 g ( x) 图像如图所示, 有 8 个交点, 所以函数 h( x) 有 8 个零点.

考点:1.函数的周期性;2.函数图像;3.函数零点问题. 6. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校 2014 届高三第二次联考】定义 在 R 上的奇函数 y ? f ( x) 满足 f (3) ? 0 ,且不等式 f ( x) ? ? xf ?( x) 在 (0,??) 上恒成 立,则函数 g ( x) = xf ( x) ? lg x ? 1 的零点的个数为( A. 4 B. 3 C. 2 ) D. 1

7. 【河南省郑州市 2014 届高中毕业年级第一次质量预测试题】定义在 R 上的函数

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx (a ? 0) 的单调增区间为 (?1,1) ,若方程 3a( f ( x))2 ? 2bf ( x) ? c ? 0
恰有 6 个不同的实根,则实数 a 的取值范围是 【答案】 a ? ? 【解析】 试题分析:∵函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx (a ? 0) 的单调增区间为 (?1,1) ,∴-1 和 1 是
3 2

.

1 2

f ' ( x) ? 0 的根,
2b ? ?1 ? 1 ? ? ? ? 3a ' 2 3 ∴ f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c ,∴ ? ,∴ b ? 0 , c ? ?3a ,∴ f ( x) ? ax ? 3ax , ? ?1 ? 1 ? c ? 3a ?
∴ 3a( f ( x)) ? 2b( f ( x)) ? c ? 0 ,∴ 3a( f ( x)) ? 3a ? 0 ,∴ f ( x) ? 1 ,∴ f ( x) ? ?1 ,
2 2 2

∴?

? f (1) ? 1 ? a ? 3a ? 1 1 ,即 ? ,∴ a ? ? . 2 ? f (?1) ? ?1 ??a ? 3a ? ?1

考点:1.函数的单调性;2.韦达定理;3.函数的最值. 8. 【山西省曲沃中学 2014 届高三上学期期中考试】 若函数 f ? x ? ? 上的值域为 ? a , b ? ? b ? a ? 1? ,则实数 m 的取值范围为______ .

x ? 1 ? m 在区间 ? a, b ?

? ?2 2? ?

9. 【山西省曲沃中学 2014 届高三上学期期中考试】 已知偶函数 y ? f ( x) 满足:当 x ? 2 时,
f ( x) ? ( x ? 2)(a ? x), a ? R ,当 x ? [0,2) 时, f ( x) ? x(2 ? x) .

(1) 求当 x ? ?2 时, f ( x) 的表达式; (2) 试讨论:当实数 a, m 满足什么条件时,函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有 4 个零点,且这 4 个零 点从小到大依次构成等差数列.

2012-2013 年联考题
1 【 山 东 省 烟 台 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 理 】 已 知

f ? x ? ? a x?2 , g ? x ? ? loga x ? a ? 0, a ? 1? ,若 f ? 4? ? g ? ? 4 ? ?0 ,则 y= f ? x ? ,y= g ? x ? 在
同一坐标系内的大致图象是

【答案】B 【解析】由 f ? 4? ? g ? ?4? ? 0 因此可排除 A、C,而 知

a2 ? loga 4 ? 0,? loga 4 ? 0 ? 0 ? a ? 1. ? f ( x) 为减函数,
减函数,故选 B.
2.5

g ( x) 在 x ? 0 时也为

2 【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】 设a ? 2 的大小关系是 A. a ? c ? b 【答案】D 【解析】 a ? 1, b ? 1,0 ? c ? 1, 所以 a ? b ? c .故选 D. B. c ? a ? b

1 , b ? 2.5 0 , c ? ( ) 2.5 , 则 a, b, c 2

C. b ? a ? c

D. a ? b ? c

3.【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】已知函数 f ( x) 是 R 上的偶函数,若对于

x ? 0 , 都 有 f ( x ? 2) ? f ( x) , 且 当 x ? [0,2) 时 , f ( x) ? l o 2g ( x ? 1) , 则

f (?2 0 1 )? 1 f (2 0 1 ) 的值为 2
A. ? 2 【答案】C 【 解 析 】 由 函 数 f ( x ) 是 R 上 的 偶 函 数 及 x ? 0 时 f ( x ? 2) ? f ( x) 得 B. ? 1 C.1 D.2

f (?2011 ) ? f (2012 ) ? f (2011 ) ? f (0) ? f (1) ? f (0) ? log2 2 ? log2 1 ? 1. 故选 C.
4. 【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考 (理) 】 设a 则 a, b, c 的大小关系是 A. a ? c ? b 【答案】D
1 2

1 ? 0.5 2 , b

1 ? 0.9 4 , c

? log5 0.3 ,

B. c ? a ? b
1 4 1 4

C. a ? b ? c

D. b ? a ? c

【 解 析 】 a ? 0.5 ? 0.25 , b ? 0.9 , 所 以 根 据 幂 函 数 的 性 质 知 b ? a ? 0 , 而

c ? log5 0.3 ? 0 ,所以 b ? a ? c ,选 D.
5.【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(理)】函数 y ?

x ? sin x 的图象大致是 3

【答案】C 【解析】函数 y ?

x ? sin x 为奇函数,图象关于原点对称,排除 B. 在同一坐标系下做出函 3

数 f ( x) ?

x , f ( x) ? ? sin x 的 图 象 3

,由图象可知函数

y?

x ? sin x 只有一个零点 0,所以选 C. 3

?log2 x, x ? 0 ? 6【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(理)】若函数 f ( x) ? ?log (? x), x ? 0 , 1 ? ? 2
若 af (?a) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是

(? 1,0) ? (0,1 ) A. (? 1,0) ? ( 1, ? ?) C.
【答案】A

( ? ?, ?1 ) ? ( 1, ? ?) B.

(? ?, ?1 ) ? (0,1 ) D.

【解析】若 a ? 0 ,则由 af (?a) ? 0 得, a log 1 a ? 0 ,解得 0 ? a ? 1 ,若 a ? 0 ,则由
2

af (?a) ? 0 得, a log2 (?a) ? 0 ,即 log2 (?a ) ? 0 解得 0 ? ?a ? 1 ,所以 ?1 ? a ? 0 ,综
上 0 ? a ? 1 或 ?1 ? a ? 0 ,选 A. 7【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(理)】已知 x0 是 f ( x ) ? ( ) ? 个零点, x1 ? (??, x0 ), x2 ? ( x0 ,0) ,则

1 2

x

1 的一 x

A. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 C. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 【答案】C

B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

【 解 析 】 在 同 一 坐 标 系 下 做 出 函 数 f ( x ) ? ( ) , f ( x) ? ?
x

1 2

1 的 图 象 , x

由图象可知当 x ? (??, x0 ) 时,( ) ? ?
x

1 2

1 ,x ? ( x0 ,0) x

时, ( ) ? ?
x

1 2

1 ,所以当 x1 ? (??, x0 ), x2 ? ( x0 ,0) ,有 f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 ,选 C. x

8【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试理】下列函数图象中,正确的是

【答案】C 【解析】A 中幂函数中 a ? 0 而直线中截距 a ? 1 ,不对应。B 中幂函数中 a ?

1 而直线中截 2

距 a ? 1 ,不对应。D 中对数函数中 a ? 1 ,而直线中截距 0 ? a ? 1 ,不对应,选 C. 9【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理】下列函数中,在其定义域内,既是奇 函数又是减函数的是( A. f ( x) ? 【答案】C 【解析】 f ( x) ? )

1 x

B. f ( x) ?

?x

C. f ( x) ? 2? x ? 2 x

D. f ( x) ? ? tan x

1 在定义域上是奇函数,但不单调。 f ( x) ? ? x 为非奇非偶函数。 x

f ( x) ? ? tan x 在定义域上是奇函数,但不单调。所以选 C.

10【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理】函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x 的零点有 ( ) A.0 个 【答案】B

B.1 个

C.2 个

D.3 个

【解析】由 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? 0 得

ln x ?

1 1 y ? ln x, y ? ,做出函数 x ?1 x ? 1 的图象,如

图 选 B.

由图象中可知交点个数为 1 个,即函数的零点个数为 1 个,

11【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理】已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? sin x ,则 2

f ' ( x) 的大致图象是(



【答案】B

) ? x 【 解 析 】 f ' (x ?

c o, xs ) ? x 所 以 f ' (x ?

c o非 xs 奇 非 偶 , 排 除 A,C.

f '( ) ? ? cos ? ( , ) 2 2 2 2 ,即过点 2 2 ,选 B.
12【山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试 理】已知幂函数 f ( x) 的图像经过(9, 3),则 f (2) ? f (1) = A.3 B. 1 ? 2 C. 2 ? 1 D.1

?

?

?

?

? ?

【答案】C
? 【 解 析 】 设 幂 函 数 为 f ( x)=x? , 则 f (9) =9 ,即 3 =3
1
2?

=3 , 所 以 2? =1,? =

1 ,即 2

f ( x) =x2 = x,所以 f (2) ? f (1)= 2 ?1 ,选 C.
13【山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试 理】若 loga 2 ? logb 2 ? 0 ,则 A. 0 ? a ? b ? 1 C. a ? b ? 1 【答案】B B. 0 ? b ? a ? 1 D. b ? a ? 1

1 1 ? ?0 【解析】由 log , 即 log2 b ? log2 a ? 0 , 所 以 log 2 b a 2?log b 2 ? 0 得 log 2 a
0 ? b ? a ? 1 ,选 B.
14【山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试 理】函数 y ?

lg | x | 的图象大致是 x

【答案】D 【解析】函数 y ? f ( x)=

lg | x | 为奇函数,所以图象关于原点对称,排除 A,B.当 x =1 时, x

f (1)=

lg | x | ? 0 ,排除 C,选 D. x
理 】 由 等 式

15 【 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 二 次 诊 断 性 测 试

x4 ? a1x3 ? a2 x2 ? a3 x ? a4 ? ( x ?1)4 ? b1( x ?1)3 ? b2 ( x ?1)2 ? b3 ( x ?1) ? b4 定 义 映 射
f (a1, a2 , a3 , a4 ) ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ,则 f (4,3,2,1) ?
A.10 【答案】D 【 解 B.7 析 】 C. -1 由 定 D.0 义 可 知

x4 ? 4x3 ? 3x2 ? 2x ? 1 ? ( x ? 1)4 ? b1 ( x ? 1)3 ? b2 ( x ? 1)2 ? b3 ( x ? 1) ? b4 , 令 x ? 0 得 ,
1 ? b1 ? b 2? b 3 ?b ? 4 1 ,所以 b 1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 0 ,即 f (4,3, 2,1) ? 0 ,选 D.
16【山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试 理】方程 log 1 ( a ? 2 ) ? 2 ? x 有解,
2 x

则 a 的最小值为

A.2 【答案】B 【解析】 方

B.1

C.

3 2

D.

1 2



l

o( a ? g2 1 2

x

) ? 2? x







1 ( ) 2? x ? a ? 2 x 2





a ? 2x ?

1 2? x 1 x1 ( ?) ? ? 2x ? 2 4 2

1 1 1 1 1 x ,当且仅当 2 ? ? ? 2xx ? 2 1 ? x ,即 2 x ? , 4 2 2 4 2
理 】 已 知

x ? ?1 取等号,所以选 B.
17 【 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 二 次 诊 断 性 测 试

f ( x ? 1) ? f ( x ? 1), f ( x) ? f (? x ? 2) , 方程 f ( x) ? 0 在 [0, 1] 内有且只有一个根 x ?
则 f ( x) ? 0 在区间 ?0,2013 ? 内根的个数为 A.2011 【答案】C B.1006 C.2013 D.1007

1 , 2

【解析】由 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,可知 f ( x ? 2) ? f ( x ) ,所以函数 f ( x ) 的周期是 2,由

f ( x) ? f (? x ? 2)可知函数 f ( x) 关于直线 x ? 1 对称,因为函数 f ( x) ? 0 在[0,1]内有
且只有一个根 x ?

1 ,所以函数 f ( x) ? 0 在区间 ?0,2013 ? 内根的个数为 2013 个,选 C. 2

18 【 山 东 省 师 大 附 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 理 】 已 知 a ? 0,a ? 1 , 函 数

y ? loga x, y ? a x , y ? x ? a 在同一坐标系中的图象可能是

【答案】C 【解析】当 a ? 1 时,A,B,C,D 都不正确;当 0 ? a ? 1 时,C 正确,选 C.

a ? 2 是函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 3 19 【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】
2

在区间 ?1, 2? 上单调的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 【答案】A B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要

【解析】 要使函数 f ? x ? ? x2 ? 2ax ? 3 在区间 ?1, 2? 上单调, 则有对称轴 x ? a 满足 a ? 2 或

a ? 1 ,所以 a ? 2 是函数 f ? x ? ? x2 ? 2ax ? 3 在区间 ?1, 2? 上单调的充分而不必要条件,选
A, 20 【 山 东 省 师 大 附 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 理 】 已 知

a?2

1 . 2

?1? , b? ? ? ? 2?

?0 . 8

,? c

,则 2 5l o g a 2, b, c 的大小关系是 C. c ? b ? a D. b ? c ? a

A. a ? b ? c 【答案】C 【解析】 b ? ( )

B. b ? a ? c

1 2

?0.8

? 20.8 ,所以 a ? b ? 1 , c ? 2log5 2 ? log5 4 ? 1 ,所以 a, b, c 的大小关

系是 c ? b ? a ,选 C. 21【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】函数 f ? x ? ?

1 的图像是 1 ? 2x

【答案】C 【 解 析 】 特 值 法 , 取 x ? 1 , 得 f ?1? ?

1 ? ? 1? 0, 所 以 排 除 A,B; 取 x ? 3 , 1? 2

f ?1? ?

1 1 ? ? ,排除 D,选 C. 3 1? 2 7

22 【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】函数 f ? x? ? cos? x 与函数

g ? x ? ? log 2 x ? 1 的图像所有交点的横坐标之和为
A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【 解 析 】 将 两 个 函 数 同 时 向 左 平 移

1

个 单 位 , 得 到 函 数

y ? f ? x+1? ? cos ? (x+1 ) =cos (? x+?) = ? cos ? x , y ? g ? x ? 1? ? log 2 x ,则此时两个
新 函 数 均 为 偶 函 数 . 在 同 一 坐 标 系 下 分 别 作 出 函 数 y ? f ? x+1? ? ? cos ? x 和

y ? g ? x ? 1? ? log 2 x 的图象如图

, 由偶函数的性质

可知,四个交点关于原点对称,所以此时所有交点的横坐标之和为 0,所以函数

f ? x ? ? cos ? x 与函数 g ? x ? ? log 2 x ? 1 的图像所有交点的横坐标之和为 4,选 B.
23 【 山 东 省 师 大 附 中 2013 届 高 三 12 月 第 三 次 模 拟 检 测 理 】 设 函 数

f ? x ? ? x3 ? 4x ? a ? 0 ? a ? 2? 有三个零点 x1、x2、x3 , 且x1 ? x2 ? x3 , 则下列结论正确的
是( ) B.

A. x1 ? ?1 【答案】C

x2 ? 0

C.

0 ? x2 ? 1

D.

x3 ? 2

【解析】因为 f (?3) ? a ? 15? 0, f (?1) ? 3 ? a ? 0 , f (0) ? a ? 0 f (1) ? a ? 3 ? 0 ,

f (2) ? a ? 0 ,所以函数的三个零点分别在 (?3, ?1),(0,1),(1, 2) 之间,又因为 x1 ? x2 ? x3 ,
所以

?3 ? x1 ? ?1,0 ? x2 ? 1 ? x3 ? 2 ,选 C.

24【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】如图,函数 y ? f ? x ? 的图象为 折 线 ABC , 设 g ? x ??

f? ?

?f ? ? ?x ,

则 函 数 y ? g? ? x的图象为(



【答案】A 【 解 析 】 由 图 象 可 知 ,

1 f (0) ? 1, f (1) ? ?1, f ( ) ? 0 2







g( 0 ? )?f
选 A.

f ?

? ( 0 ) f ?

1 g1 ( ) ?0f ,排除 C,D. 2

?( 1 ? )

? 1 ? f ( ) ? f (0) ? 1 ? 0 ? ,排除 C, ? 2 ? ?

25 【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】 若函数 f ( x) ? 3ax ? 1 ? 2a 在区间 (?1,1) 上存在一个零点,则 a 的取值范围是 A. a ?

1 5

B. a ?

1 或 a ? ?1 5

C. ? 1 ? a ?

1 5

D. a ? ?1

【答案】B

)( ? 5 a? 1 ) ? 0 , 【解析】要使函数在 (?1,1) 上存在一个零点,则有 f (?1) f (1) ? 0 ,即 (a ?1
所以 (a ? 1)(5a ? 1) ? 0 ,解得 a ?

1 或 a ? ?1 ,选 B. 5

26 【 山 东 省 济 南 外 国 语 学 校 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 理 科 】 已 知 函 数

?0( x ? 0) ? f ( x) ? ?? ( x ? 0) ,则 f ( f ( f (?1))) 的值等于( ?? 2 ? 1( x ? 0) ?
A. ? ? 1
2



B. ? ? 1
2

C. ?

D.0

【答案】C 【解析】 f (?1)=? ? 1 ,所以 f ( f ( f (?1)))=f ( f (? ? 1))=f (0)=? ,选 C.
2 2

27 【山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试 】 为了得到函数 y = log2 图象,可将函数 y = log 2 x 的图象上所有的点的( A.纵坐标缩短到原来的 )

x- 1的

1 倍,横坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 2 1 B.纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 2
C.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 D.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 【答案】A 【解析】 y = log 2

x- 1 =

1 log 2 ( x - 1) y = log2 x 的图象上所有的点纵坐标 ,所以可将 2

缩短到原来的

1 1 倍,横坐标不变,得到 y = log 2 x 横坐标不变,再向右平移 1 个 ,然后 2 2 1 log 2 ( x - 1) ,选 A. 2
1 的一个 x

单位长度,得到 y =

28【山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试 】函数 f ( x ) ? log 2 x ? 零点落在下列哪个区间 A.(0,1) 【答案】B 【解析】因为 f ( x ) ? log 2 x ? ( ) C.(2,3)

B.(1,2)

D.(3,4)

1 x ,那么利用零点存在性定理可知,f(1)=-1<0,f(2)>0,故可

函数的零点区间为(1,2),选 B 知 29【山东省临沂市 2013 届高三上学期期中考试理】下列函数既是奇函数又是减函数的是 A. f ( x) ? x C. f ( x ) ?
3

B. f ( x) ? sin x D. f ( x ) ? ? x | x |

ln x x

【答案】D 【解析】A,B,D 为奇函数,排除 C.A 为增函数,B 在 R 上不单调,所以选 D. 30 【 山 东 省 临 沂 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 理 】 已 知 函 数

?2 x ? 1, x ? 1, f ( x) ? ? 则函数 f ( x) 的零点为 ?1 ? log 2 x, x ? 1.

A.

1 ,0 2

B.—2,0

C.

1 2

D.0

【答案】D 【解析】当 x ? 1 时,由 f ( x) ? 0 ,得 2 ?1 ? 0 ,所以 x ? 0 .当 x ? 1 时,由 f ( x) ? 0 ,得
x

1 ? log 2 x ?0 ,所以 x ?

1 ,不成立,所以函数的零点为 0,选 D. 2

31 【山东省临沂市 2013 届高三上学期期中考试理】 已知 a ? b,函数f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) 的

图象如右图,则函数 g ( x) ? loga ( x ? b) 的图象可能为

【答案】B 【解析】由函数 f ( x ) 图象知 a ? 1, 0 ? b ? 1 ,所以选 B. 32【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足

f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且 x ??0,2 ? 时, f ( x) ? log2 ( x ? 1) ,甲、乙、丙、丁四位同学有下列
结论: 甲: f ? 3? ? 1 ; 乙: 函数 f ( x ) 在 ? ?6, ?2? 上是减函数; 丙: 函数 f ( x ) 关于直线 x ? 4 对称;丁:若 m ? ? 0,1? ,则关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 0 在 ? ?8,8? 上所有根之和为 ?8 ,其 中正确的是 A.甲、乙、丁 【答案】A 【解析】由 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,得 f ( x ? 8) ? f ( x) ,所以周期是 8.所以 B.乙、丙 C.甲、乙、丙 D.甲、丙

f (3) ? ? f (?1) ? f (1) ? log 2 2 ?1 ,所以甲正确.当 x ? [0, 2] 时,函数 f ( x) 递增,因为是
奇函数,所以在 [?2, 0] 也是增函数,由 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ? f (? x) ,所以关于直线 x ? 2 对 称,所以丙不正确,所以在 [2, 6] 上函数递减,在 [?6, ?2] 上函数递增,所以乙不正确.由于 函数关于直线 x ? 2 对称,且周期是 8,所以函数也关于直线 x ? ?6 对称.由图象可知

f ( x) ? m ? 0 的根有四个,两个关于直线 x ? 2 对称,另外两个根关于 x ? ?6 对称,所以所
有根之和为 4 ? (?12) ? ?8 ,丁正确,所以答案选 A. 33【山东省临沂市 2013 届高三上学期期中考试理】设定义在 B 上的函数 f ( x ) 是最小正周 期 为

2?











f ?( x)是f ( x)













x ? [0, ? ]时, 0 ? f ( x) ? 1;当x ? (0, ? )且x ? f( x ? )
A.2 【答案】C 【解析】 由 (x ?

?

时, ( x ? ) f ?( x) ? 0. 2 2

?

则 方 程

c 在o x ? ? s ? 上的根的个数为 [ 2 , 2
B.5

]
C.4 D.8

?
2

) f ?( x) ? 0. 知, 当

?
2

? x ? ? 时, 导函数 f '( x) ? 0 , 函数递减, 当0 ? x ?

?
2

时 , 导 函 数 f '( x) ? 0 , 函 数 递 增 . 由 题 意 可 知 函 数 f ( x ) 的 草 图 为

, 由图象可知方程 f ( x) ? cos x在 [ ?2? , 2? ] 上 的根的个数为为 4 个,选 C. 34 【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 理科】 下列函数中既是偶函数又在 (0,+∞)上是增函数的是( A. y ? x
3

) C. y ? ? x ? 1
2

B. y ?| x | ?1

D. y ? 2

?| x|

【答案】B 【解析】函数 y ? x 为奇函数,排除 A.当 x ? 0 时,函数 y ? ? x ? 1 和 y ? 2
3 2 ?| x|

为减函数,

排除 C,D,选 B. 35【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 理科】函数 f ( x) ? x ? 3x ? 2 的
3

零点为( A.1,2 【答案】C

) B. ±1,-2

C.1,-2

D.±1, 2

【解析】由 f ( x) ? x ? 3x ? 2 ? 0 得 x ? x ? (2x ? 2) ? 0 ,即 ( x ? 1) (x ? 2)? 0,解得
3 3 2

x ? 1 或 x ? ?2 ,选 C.

36【 山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检数学理】 已知对数函数
是增函数,则函数 的图象大致是()

【答案】B 【解析】因为函数是增函数,所以 a ? 1 ,函数 f ( x)= ?

? f ( x ? 1), x ? 0 ,所以选 B. ? f (1 ? x), x ? 0

37 【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学理】 如果若干个函数的图象经过平移 后能够重合,则称这些函数为“互为生成函数”.给出下列函数① f ( x) ? sin x ? cos x ;②

f ( x) ? 2 (sin x ? cos x) ;③ f ( x) ? 2 sin x ? 2 ;④ f ( x) ? sin x. 其中“互为生成函
数”的是( ) A.①② 【答案】B B.①③ C.③④ D.②④

x? 【 解 析 】 f ( x)? s i n

co x?s

2 x s?i n ) 移 , (向 左 平 个单位得到函数 4 4
的图象, 2 si nx? 2

?

?

f ( x) ? 2 sin x 的 图 象 , 向 上 平 移 2 个 单 位 得 到 f ( x) ?
f ( x) ? 2 (sin x ? c ox s ?)

2 s ixn ?( 与 f)( x) ? sin x 中的振幅不同,所以选 B. 4

?

38【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学理】设奇函数 ( x)在(0, ??) 上是增 函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 x[ f ( x) ? f (? x)] ? 0 的解集为( A. {x | ?1 ? x ? 0, 或x ? 1} C. {x | x ? ?1, 或x ? 1} 【答案】D 【解析】∵奇函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数, f (? x) ? ? f ( x) , x[ f ( x) ? f (? x)] ? 0 , ∴ xf ( x) ? 0 ,又 f (1) ? 0 ,∴ f (?1) ? 0 ,从而有函数 f ( x ) 的图象如图 )

B. {x | x ? ?1, 或0 ? x ? 1} D. {x | ?1 ? x ? 0, 或0 ? x ? 1}

,则有不等式 x[ f ( x) ? f (? x)] ? 0 的解集为解集为 {x | ?1 ? x ? 0 或

0 ? x ? 1} ,选 D.
39【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试理】已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满 足 以 下 三 个 条 件 : ① 对 于 任 意 的 x ? R , 都 有 f ( x ? 4)? f ( x ); ② 对 于 任 意 的

x1, x2 ? R, 且0 ? x1 ? x2 ? 2, 都有f ( x1 ) ? f ( x2 ); ③函数 y ? f ( x ? 2) 的图象关于 y 轴
对称,则下列结论中正确的是 A. f (4.5) ? f (7) ? f (6.5) C. f (7) ? f (6.5) ? f (4.5) 【答案】A 【解析】由 f ( x ? 4) ? f ( x) 知函数的周期是 4,由②知,函数在 [0, 2] 上单调递增,函数 即函数函数 y ? f ( x) 的图象关于 x ? 2 对称, 即函 y ? f ( x ? 2) 的图象关于 y 轴对称, 数 在 [ 2 , 4上 ] 单 调 递 减 。 所 以 f (4.5) ? f (0.5) , f (6.5) ? f (2.5) ? f (1.5) , B. f (7) ? f (4.5) ? f (6.5) D. f (4.5) ? f (6.5) ? f (7)

f (7) ? f (3) ? f (1) ,由 f (0.5) ? f (1) ? f (1.5) 可知 f (4.5) ? f (7) ? f (6.5) ,选 A.
40【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学理】两个函数的图象经过平移后能够重 合 , 称 这 两 个 函 数 为 “ 同 形 ” 函 数 , 给 出 四 个 函 数 : 则 “同形” f1 ? x ? ? 2log2 ? x ?1? , f2 ? x ? ? log2 ? x ? 2? , f3 ? x ? ? log2 x2 , f4 ? x ? ? log2 ? 2x ? , 函数是 A. f2 ? x ? 与 f4 ? x ? C. f1 ? x ? 与 f4 ? x ? 【答案】A 【解析】因为 f 4 ( x) ? log2 (2 x) ? 1 ? log2 x ,所以 f 2 ( x) ? log2 ( x ? 2) ,沿着 x 轴先向右平移 两 个 单 位 得 到 y ? log 2 x 的 图 象 , 然 后 再 沿 着 y 轴 向 上 平 移 1 个 单 位 可 得 到 B. f1 ? x ? 与 f3 ? x ? D. f3 ? x ? 与 f4 ? x ?

f4 ( x) ? log2 (2 x) ? 1 ? log2 x ,根据“同形”的定义可知选 A.
41【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学理】若函数 f ? x ? ? ka ? a ( a ? 0
x ?x

且 a ? 1 )在( ??, ?? )上既是奇函数又是增函数,则 g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图象是

【答案】C

1 是奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即 k ? 1 ? 0 ,所以 k ? 1 , ax 1 1 x x 即 f ( x) ? a ? x ,又函数 y ? a , y ? ? x 在定义域上单调性相同,由函数是增函数可知 a a
x ?x x 【解析】 f ( x) ? ka ? a ? ka ?

a ? 1 ,所以函数 g ( x) ? loga ( x ? k ) ? loga ( x ? 1) ,选 C.
42【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学理】定义在 R 上的函数 f ( x ) 在(- ∞,2)上是增函数,且 f ( x ? 2) 的图象关于 y 轴对称,则 A. f (?1) ? f (3) 【答案】A 【解析】函数 f ( x ? 2) 的图象关于 y 轴对称,则 f ( x ) 关于直线 x ? 2 对称,函数 f ( x ) 在 B. f (0) ? f (3) C. f (?1) ? f (3) D. f (0) ? f (3)

(??, 2) 上是增函数,所以在 (2, ??) 上是减函数,所以 f (?1) ? f (5) ? f (4) ? f (3) ,
选 A. 43 【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学理】 若对任意的 x ? R , 函数 f ( x) 满

) ? ? f ( x ? 2011 ) ,且 f (2012 ) ? ?2012,则 f (?1) ? ( 足 f ( x ? 2012
A.1 【答案】C B.-1 C.2012 D.-2012



?) ? f 【 解 析 】 由 f ( x? 2 0 1 2

x(?

20 1 ) f ( x? 2 0 1? 1 1 ?) ?f x (? ,1得

2, 01 1) 即

f ( t? 1 )? ? f (t, ) 所 以 f ( t ? 2 )? f (t ), 即 函 数 的 周 期 是 2. 所 以 令 x ? 0 得 ,

f (2012) ? ? f (2011) ? ?2012 ,即 f (2011) ? 2012 ,又 f (2011) ? f (1) ? f (?1) ,
所以 f (?1) ? 2012 ,选 C.

2011-2012 年联考题
? cos ? x f ( x) ? ? ? f ( x ? 1) ? 1 【2012 山东青岛市期末文】已知


( x ≤ 0) 4 4 f ( ) ? f (? ) ( x ? 0) ,则 3 3 的值

1 A. 2
【答案】D

1 B. 2 ?

C. ? 1

D. 1

f(
【 解 析 】 由 题

4 ?) 3

f

1 (? 3

2 )? f 1 ? 3

( ?? ) ?

2 2 3

?c


3 o ? s 2

( ?

4 4 1 4 4 f (? ) ? cos(? ) ? ? f ( ) ? f (? ) ? 1 3 3 2 ,所以 3 3 ,选 D。
【江西省新钢中学 2012 届高三第一次考试】9.函数 f ? x ? ? A. [1, 2 ] B. [1, 3] C. [1,

x ? 3 ? 12 ? 3x 的值域为
D. [1,2]

3 ] 2

【解】: f ? x ? 的定义域为 3 ? x ? 4, 则 0 ? x ? 3 ? 1 ,令 x ? 3 ? sin 2 ? , 0 ? ? ? ? ,则
2
f ? x ? ? x ? 3 ? 3 ? 4 ? x ? ? sin ? ? 3 1 ? sin 2 ? ? sin ? ? 3 cos ? ? 2sin(? ?

?

?

?
3

)

因 ? ? ? ? ? ? 5? ,则 1 ? sin(? ? ? ) ? 1, 1 ? 2sin(? ? ? ) ? 2 .
3 3 6
2 3 3

y?
【2012 山东青岛市期末文】函数 的

x sin x , x ? (?? ,0) (0, ? ) 的图象可能是下列图象中

【答案】C

y?
【解析】因函数

x ? x x ? (0, ) ?1 sin x 是偶函数,故排除A,又 2 时, x ? sin x ,即 sin x ,

排除B,D,故选C。

【 2012 江 西师大附 中高三 下学期 开学考卷 文】已 知函数

?1 ? x, f ? x? ? ? x ?a ,

x ? 0, x ? 0.


f ?1? ? f ? ?1?

,则实数 a 的值等于(

)

A.1 B.2 C .3 D.4 【答案】B 【解析】本题主要考查分段函数、指数的运算. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵

f ?1? ? a, f ? ?1? ? 1 ? (?1) ? 2

∴a ? 2

【2012 唐山市高三上学期期末统一考试文】函数 A.

y ? 1 ? lg( x ? 2) 的定义域为 (



? 0,8?

B.

? ?2,8?

C.

? 2,8?

D.

?8, ?? ?

【答案】 B 【解析】本题主要考查函数的定义域、对数不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.

?x ? 2 ? 0 ? x ? ?2 ?? ? ?2 ? x ? 8 ? 1 ? lg( x ? 2) ? 0 ? x ? 8 由?
x 【2012 唐山市高三上学期期末统一考试文】设 f ( x) ? e ? x ? 4 ,则函数 f ( x ) 的零点位于

区间( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 【答案】 C 【解析】本题主要考查函数的零点的判断方法. 属于基础知识、基本运算的考查.

f (1) ? e ? 3 ? 0 , f (2) ? e2 ? 2 ? 0 故函数 f ( x) 的零点位于区间(1,2)
【2012 唐山市高三上学期期末统一考试文】若 0 ? a ? 1, ?1 ? b ? 0 ,则函数 的图象为 ( )

y ?b?

1 x?a

【答案】 C 【解析】本题主要考查函数的图像与数形结合法. 属于基础知识、基本方法的考查. 从定义域看, x ? ?a; ?1 ? ?a ? 0 ,排除 C,D;从值域看, y ? b; ?1 ? b ? 0 ,排除 B.

1 1 ? 【2012 唐山市高三上学期期末统一考试文】已知 2 ? 5 ? 10 ,则 a b =
a b



) C. 2 D.2

1 A. 2

B.1

【答案】 D 【解析】本题主要考查指数和对数的互化以及对数的运算公式. 属于基础知识、基本运算 的考查. ∵ 2 ? 5 ? 10
a b



a ? log2 10, b ? log5 10,
5


1 ? log a

10

2,

1 ? log b

10

1 1 ? ? log a b

1 0

2 ? log

5 ? log 1 0

101?02

【2012 年石家庄市高中毕业班教学质检 1 文】下列函数中与函数 y=x 相等的是

A.y=|x|

1 B.y= x

C.y=

x2

D.y= x

3

3

【答案】D 【解析】本题主要考查函数的概念. 属于基础知识、基本运算的考查. 两个函数相同,必须定义域相同,对应法则相同。y= x , y ? x 符合。
3 3

1 f ( x) ? ( ) x ? sin x 2 【2012 年石家庄市高中毕业班教学质检 1 文】已知函数 ,则 f ( x) 在[0,
2 ? ]上的零点个数为 A.1 C.3 B.2 D .4

【答案】B 【解析】本题主要考查函数零点的判断和数形结合法. 属于基础知识、基本方法的考查.

1 1 ( ) x ? sin x ? 0 ? ( ) x ? sin x 2 零点就是使得函数值为 0 的 x 值。由 2 1 f ( x) ? ( ) x , g ( x) ? sin x 2 在同一坐标系中作出 在[0,2 ? ]上的图像,可以看出交点个数为 2

1 1 A ? [0, ), B ? [ ,1] 2 2 ,函数 【 2012 年 石 家 庄 市 高 中 毕 业 班 教 学 质 检 1 文 】 设 集 合

f ( x) ? ?

1 x ? , ( x ? A), 2 2(1 ? x ), ( x ? B ), x0 ? A, 且 f [ f ( x0 )]? A,
1 1 1 1 1 3 , , 4 ] B.( 4 2 ] C.( 4 2 ) D.[0, 8 ]



x0 的取值范围是

0,
A.(

【答案】B 【解析】本题主要考查集合、不等式、函数的定义域、值域的基本运算. 属于基础知识、基 本运算的考查.

1 1 1 x0 ? [0, ) ? x0 ? ? [ ,1) 2 2 2 f ( x0 ) ? x0 ? 1 1 1 1 1 1 f [ f ( x0 )] ? f ( x0 ? ) ? 2(1 ? x0 ? ) ? (1 ? 2 x0 ) ? [0, ) ? x0 ? ( , ], 2, 2 2 2 4 2

1 1 , x0 的取值范围是( 4 2 ]
【2012 三明市普通高中高三上学期联考文】函数 f ( x) ? 3 ? log2 (? x) 的零点所在区间是
x

5 ( ? , ?2) A. 2

B. (?2,?1)

C.(1,2)

5 (2, ) 2 D.

【答案】B 【解析】本题主要考查函数点的概念、数形结合的解 题方法. 属于基础知识、基本方法的考查.
x 3 ? log2 (? x) ,零 由 f ( x) ? 3 ? log2 (? x) =0 得
x

点个数即是 y ? 3 和
x

y ? log2 (? x) 的图像交点的个
x

数,在同一坐标系中分别作出 y ? 3 和

y ? log2 (? x) 的图像,易知零点个数为 1

【2012 三明市普通高中高三上学期联考文】已知函数 y ? f ( x) 是奇函数, 当 x ? 0 时,

f ( x) = lg x ,则

f(f(

1 )) 100 的值等于

1 A. lg 2

1 B. lg 2 ?

C. lg 2

D. ? lg 2

【答案】D 【解析】 本题主要考查函数的奇偶性、 分段函数以及分段函数值的求法计算, 属于基础知识、 基本计算的考查.

1 1 1 f( ) ? lg ? ?2 f ( f ( )) ? f (?2) 100 100 当 x ? 0 时, f ( x) = lg x ,∴ 100 ,
y ? f ( x) 是奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x)

f (?2) ? ? f (2) ? ? lg 2

1 n ? {?1, ,1, 2,3} n 2 【2012 黄冈市高三上学期期末考试文】设 ,则使得 f ( x) ? x 为奇函数,
且在 (0, ??) 上单调递减的 n 的个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 A 【解析】本题主要考查幂函数及其单调性判断. 属于基础知识、基本运算的考查.

1 n ? {?1, ,1, 2,3} ?1 n 2 设 , 则使得 f ( x) ? x 为奇函数, 且在 (0, ??) 上单调递减的函数是 y ? x

一个. 【2012 年西安市高三年级第一次质检文】已知甲、乙两车由同一起 点 同 时 出 发,并 沿 同 一 路 线(假 定 为 直线) 行驶.甲车、乙车的速度曲线分 别为 V 甲和 V 乙(如图所示).那 么对于图中给定的 t0 和 t1,, 下 列判断中一定正确的是 A. 在 t1 时刻,甲车在乙车前面 B. t1 时刻后,甲车在乙车后面 C. 在 t0 时刻,两车的位置相同 D. T0 时刻后,乙车在甲车前面 【答案】A 【解析】本题主要考查函数的应用问题,物理知识和数学的交汇. 属于基础知识、基本思维 的考查. 甲车、乙车的速度曲线分别为 V 甲和 V 乙,路程分别为 S 甲和 S 乙,由图知,在 t0 到 t1 时刻,甲比乙快得多。到 t0 时刻,两车行驶的路程相同。曲边多边形的面积表示路程,由 图知曲边多边形 DCBE 面积<曲边多边形 DCAE 面积,∴S 乙< S 甲, 又沿同一直线路线行 使,于是甲车在乙车前面。

? S乙=? V乙dt=S曲边三角形 S甲=? V甲dt=S曲边三角形;
0 0

t1

t1

【2012 年西安市高三年级第一次质检文】 已知 f(n),则 m、n 满足的关系为

, 函数

, 若实数 M,N 满足 f(M) >

A. m + n< 0 B. m +n > 0 C. m > n D. m < n 【答案】D 【解析】本题主要指数函数的单调性. 属于基础知识、基本运算的考查.

f ( x) ? (

3 x ) 2 是 R 上的减函数,实数 M,N 满足 f(M) > f(n),故 M<N

【2012 浙江宁波市期末文】已知 f ( x) 是定义在实数集 R 上的增函数,且 f (1) ? 0 ,函数

g ( x) 在 (??,1] 上 为 增 函 数 , 在 [1, ??) 上 为 减 函 数 , 且 g (4) ? g (0) ? 0 , 则 集 合 {x | f ( x) g ( x) ? 0} = (


{x | 0 ? x ? 4} {x | x ? 4} (D) {x | 0 ? x ? 1或x ? 4} (A) {x | x ? 0或1 ? x ? 4} (B) (C)

【答案】A

x ? 0或x ? 4时g ( x) ? 0 , 【解析】 由题, 结合函数性质可得 x ? 1, f ( x) ? 0, x ? 1, f ( x) ? 0 , 0 ? x ? 4时g ( x) ? 0 ,故 f ( x) g ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? 0或1 ? x ? 4} 。
【 2012 浙 江 宁 波 市 期 末 文 】 设 函 数 y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 以 1 为 周 期 的 函 数 , 若

g ( x) ? f ( x) ? 2 x 在区间 [2,3] 上的值域为 [?2,6] ,则函数 g ( x) 在 [?12, 12] 上的值域为
( ) (B) [?20, 34] (C) [?22, 32] (D) [?24, 28] (A) [?2,6] 【答案】B 【解析】由题可设

g ( x)min ? f (a) ? 2a ? ?2 , g (b)max ? f (b) ? 2b ? 6 , a, b ? [2,3] 由周

期性可知, x ? [?12, ?11] , a ? 14 ?[?12, ?11] , g ( x) ?[26,34] ,同理 x ? [?11, ?10] ,

a ? 13 ?[?11, ?10] , g ( x) ?[24,32] , ? ? x ? [ 1 1 , , 1 2 a? ] 9 ? [11,12] , g ( x) ?[?20, ?12] ,故函数 g ( x) 在 [?12, 12] 上的值域为 [?20, 34] 。

2010 年联考题
题组二
一、选择题 1. (安徽两地三校国庆联考) 在 R 上定义的函数 f ?x ? 是偶函数, 且 f ?x ? ? f ?2 ? x ? , 若 f ?x ? 在区间 ?1,2? 是减函数,则函数 f ?x ? ( )

A.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是增函数 B.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是减函数 C.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是增函数 D.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是减函数 答案 B 2.(昆明一中一次月考理)下列函数既是奇函数,又在区间 ??1,1? 上单调递减的是 A .

f ( x) ? sin x

B .

f ( x) ? ? x ? 1

C .

f ( x) ? ln

2? x 2? x

D. f ( x ) ? 答案:C

1 x a ? a? x ? ? 2

f ( x) ? ln
3.(岳野两校联考)已知函数

e? x e ? x ,若 f (?a) ? ?b ,则 f (a) ? (
C. b D. ? b



1 A. b
答案 C

?
B.

1 b

4.(安徽两地三校国庆联考)(安徽两地三校国庆联考)函数 f ( x) ? 2x ? 4( x ? 4) 的反 函数为 ( )

f ?1 ( x) ?
(A)

1 2 x ? 4( x ? 0) 2 1 2 x ? 2( x ? 0) 2

f ?1 ( x) ?
B.

1 2 x ? 4( x ? 2) 2 1 2 x ? 2( x ? 2) 2

f ?1 ( x) ?
(C) 答案 D

f ?1 ( x) ?
(D)

5.(师大附中理)已知函数 f ( x) ? sin ?

?x ?? ? ? ,如果存在实数 x1 , x2 使得对任意实数 x , ?4 3?

都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) ,则 | x1 ? x2 | 的最小值是 A. 8? 答案:B B.4 ? C. 2? D. ?

6.(安徽六校联考)函数 f ( x) ? log 2 x ? 3sin(2? x) 零点的个数是(

)

A. 13
答案 C

B. 14

C. 15

D. 16

f ( x) ? M x 7.如果函数 f ( x ) 对任意的实数 x ,存在常数 M,使得不等式 恒成立,那么就
称函数 f ( x ) 为有界泛函,下面四个函数:

① f ( x) ? 1 ;

② f ( x) ? x ;③ f ( x) ? (sin x ? cos x) x ; ④ ). C. ①③

2

f ( x) ?

x x ? x ?1 .
2

其中属于有界泛函的是( A. ①② B. ③④ 答案 B

D. ②④

8.(师大附中理) ?ABC 中,如果边 a, b, c 满足 a ? A.一定是锐角 答案:A B.一定是钝角

1 (b ? c ) ,则 ? A 2
D.以上情况都有可能 ( )

C.一定是直角

9.(三明市三校联考)函数 f(x) = ln x ? A.(1, 2) 答案 B B.(2,e)

2 的零点所在的大致区间是 x
C.(e,3)

D.(e,+∞)

10.(昆明一中一次月考理)二次方程 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0,(a ? 0) 有一个正根和一个负根的充 分不必要条件是 A、 a ? 0 答案:C B、 a ? 0 C 、 a ? ?1 D、 a ? 1

11.(昆明一中一次月考理)已知 y ? f ( x) 是其定义域上的单调递增函数,它的反函数是

y ? f ?1 ( x) ,且 y ? f (x ? 1) 的图象过 A(?4,0), B(2,3) 两点,若 | f ?1 ( x ? 1) |? 3 ,则
x 的取值范围是 A、 [?4, 2] 答案:B B、 [?1, 2] C、 [0,3] D、 [1,3]

二、填空题 1. 对于任意 a ? [?1,1] ,函数 f ( x) ? x ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值恒大于零,那么 x 的取值
2

范围是 答案 (??,1) ? (3,??)

.

1 1 (? , ) 2.(安徽两地三校国庆联考)若函数 f (x) = 4x3-ax+3 的单调递减区间是 2 2 ,则实
数 a 的值为 答案 3 三、解答题 1.(池州市七校元旦调研)设函数 f ? x ? ? x ? aIn ?1 ? x ? 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ? x2 ,
2

求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性; 解: (I) f ? ? x ? ? 2 x ?

a 2x2 ? 2x ? a ? ( x ? ?1) 1? x 1? x

令 g ( x) ? 2 x2 ? 2 x ? a ,其对称轴为 x ? ?

1 。由题意知 x1、x2 是方程 g ( x) ? 0 的两个均 2

大于 ?1 的不相等的实根,其充要条件为 ?

?? ? 4 ? 8a ? 0 1 ,得 0 ? a ? 2 ? g (?1) ? a ? 0

⑴当 x ? (?1, x1 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 (?1, x1 ) 内为增函数; ⑵当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x1 , x2 ) 内为减函数; ⑶当 x ? ( x2, ? ?) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x2, ? ?) 内为增函数;

2.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? 2 x ? ln x ? 2 . (I)求 f ( x ) 的单调区间;

x?m ? x (II)若不等式 ln x 恒成立,求实数 m 的取值组成的集合.

解:(I)由已知得 x ? 0 .因为
/

f / ( x) ?

1 1 ? ? x x
/

x ?1 x ,????????2 分

所以当 x ? (0,1) ? f ( x) ? 0, x ? (1, ??), ? f ( x) ? 0 . 故区间 (0,1) 为 f ( x ) 的单调递减区间, 区间 (1, ??) 为 f ( x ) 的单调递增区间. ????????5 分

x?m ? x ? m ? x ? x ln x (II)(i)当 x ? (0,1) 时, ln x .

令 g ( x) ? x ? x ln x ,则

g / ( x) ? 1 ?

ln x 1 2 x ? ln x ? 2 f ( x) ? ? ? 2 x x 2 x 2 x .??7 分

/ 由(1)知当 x ? (0,1) 时,有 f ( x) ? f (1) ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 ,

即得 g ( x) ? x ? x ln x 在 (0,1) 上为增函数,所以 g ( x) ? g (1) ? 1 , 所以 m ? 1 . ????????10 分

x?m ? x ? m ? x ? x ln x x ? (1, ?? ) (ii)当 时, ln x .

由①可知,当 x ? (1, ??) 时, g ( x) ? x ? x ln x 为增函数,所以 g ( x) ? g (1) ? 1 , 所以 m ? 1 。 综合以上,得 m ? 1 .故实数 m 的取值组成的集合为 {1} . ????????13 分

3. (安庆市四校元旦联考)(满分 16 分)设函数 f ( x) ? 当 x ? 1?

1 3 x ? x 2 ? ax , g ( x) ? 2 x ? b , 3

2 时, f ( x) 取得极值。

⑴求 a 的值,并判断 f (1 ? 2 ) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值; ⑵当 x ? [?3,4] 时,函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有两个公共点,求 b 的取值范围。

解:(1)由题意

f ?( x) ? x 2 ? 2 x ? a

? 当 x ? 1 ? 2 时, f ( x) 取得极值,
? 1? 2

? 所以 f ?(1 ? 2 ) ? 0
?即
a ? ?1

?

?

2

? 21? 2 ? a ? 0

?

?

此时当 x ? 1 ?

2 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,

f (1 ? 2 ) 是函数 f ( x) 的最小值。
(2)设 f ( x) ? g ( x) ,则 设 F ( x) ?

1 3 1 x ? x 2 ? 3x ? b ? 0 , b ? x 3 ? x 2 ? 3x 3 3

1 3 x ? x 2 ? 3x , G ( x) ? b 3

F ?( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ,令 F ?( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 解得 x ? ?1 或 x ? 3
列表如下:

x
F ?( x)
F ( x)

?3

(?3,?1)

?1

(?1,3)
__

3
0

(3,4)
+

4

?
?9

0

5 3

?9

?

20 3

? 函数 F ( x) 在 (?3,?1) 和 (3,4) 上是增函数,在 (?1,3) 上是减函数。

当 x ? ?1 时, F ( x) 有极大值 F ( ?1) ?

5 ;当 x ? 3 时, F ( x) 有极小值 F (3) ? ?9 3

? 函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有两个公共点,? 函数 F ( x) 与 G ( x) 的图象有两个公共点
20 5 ?b? 或 3 3 20 5 ? b ? (? , ) ? ?? 9? 3 3 ??
b ? ?9

4.(哈师大附中、 东北师大附中、 辽宁省实验中学) 已知函数 f ( x) ? ln x ? (1)若函数 f ( x ) 在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; (2) 若a ? ?

1 2 ax ? 2 x(a ? 0). 2

1 1 且关于 x 的方程 f ( x ) ? ? x ? b 在 ?1, 4? 上恰有两个不相等的实数根, 求实 2 2

数 b 的取值范围; (3)设各项为正的数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? ln an ? an ? 2, n ? N *. 求证: an ? 2 n ? 1 解:(1) f ?( x) ? ?

ax 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0). x
2

依题意 f ?( x) ? 0 在 x ? 0 时恒成立,即 ax ? 2 x ? 1 ? 0 在 x ? 0 恒成立.

1? 2x 1 1 ? ( ? 1) 2 ? 1 在 x ? 0 恒成立,即 a ? (( ? 1) 2 ? 1) min ( x ? 0) 2 x x x 1 2 当 x ? 1 时, ( ? 1) ? 1 取最小值 ?1 x
则a ? ∴ a 的取值范围是 (??, ?1] (2) a ? ? ?? 4 ?

1 1 1 3 , f ( x) ? ? x ? b ? x 2 ? x ? ln x ? b ? 0. 2 2 4 2 1 2 3 ( x ? 2)( x ? 1) . 列表: 设 g ( x) ? x ? x ? ln x ? b( x ? 0). 则 g ?( x ) ? 4 2 2x

x
g ?( x )
g ( x)
∴ g ( x)


(0,1)

1

(1, 2)

2

(2, 4)

?
?
小 值

0
极大值

?
?

0
极小值

?
?
极 大 值

? g ( 2? )

? l bn ? 2 , g( 2 x)

? g ( 1? )?b ?

5 , 又 4

g ( 4? )

2? b l? n 2 ?? 6 ?2

方程 g ( x) ? 0 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.

? g (1) ? 0 5 ? 则 ? g (2) ? 0 , 得 ln 2 ? 2 ? b ? ? 4 ? g (4) ? 0 ?
(3)设 h( x) ? ln x ? x ?1, x ? ?1, ?? ? ,则 h?( x ) ?

???? 8 ?

1 ?1 ? 0 x

? h( x) 在 ?1, ?? ? 为减函数,且 h( x)max ? h(1) ? 0, 故当 x ? 1 时有 ln x ? x ? 1 .

a1 ? 1. 假设 ak ? 1(k ? N * ), 则 ak ?1 ? ln ak ? ak ? 2 ? 1 ,故 an ? 1(n ? N * ).
从而 an?1 ? ln an ? an ? 2 ? 2an ? 1. ?1 ? an?1 ? 2(1 ? an ) ? 即 1 ? an ? 2n ,∴ an ? 2n ?1

? 2n (1 ? a1 ).
???? 12?

题组一(1 月份更新)
一、选择题 1、(2009 广东三校一模)2.函数 f ?x ? ? a ln x ? x 在 x ? 1 处取到极值,则 a 的值为

A.

1 2

B. ? 1

C.0

D. ?

1 2

答案 B 2、(2009 昆明市期末)函数 y ? 27 A.
x2 ? 2 3

的最小值是 C.9 D.27





1 27

B.

1 9

答案 B 3 、( 2009 滨州一模)设函数 f ( x) ?

2x 1 ? , [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则函数 x 1? 2 2

y ? [ f ( x)] ? [ f (? x)] 的值域为
A . ?0? 答案 B 4、(2009 昆明一中第三次模拟)设 f ? x ? ? 3 ? x ,则在下列区间中,使函数 f ? x ? 有零
x 2

B . ??1,0?

C .

??1,0,1?

D .

??2,0?

点的区间是( ) A.

?0,1?

B ?1, 2?

C.

??2, ?1?

D.

??1,0?

答案 D 5、(2009 东莞一模)下列四个函数中,在(0,1)上为增函数的是 A. y ? sin x 答案 A 6、(2009 牟定一中期中)将函数 y ? 2x ? 1 的图象按向量 a 平移后得到函数 y ? 2x?1 的图 象,则 答案 A 7、(2009 聊城一模)若 a>2,则函数 f ( x ) ? ( ) A.0 个零点 答案 B ( ) B y ? ? log2 x C. y ? ( )

1 2

x

D. y ? x

?

1 2

, ? 1) A. a ? (?1

, ? 1) B. a ? (1

C.

a ? (11) ,

, D. a ? (?11)

1 3 x ? ax 2 ? 1 在区间(0,2)上恰好有 3
C.2 个零点 D.3 个零点

B.1 个零点

8、 (2009 茂名一模) 已知函数 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数,且 f ( x ? 1) ?

1 ,若 f ( x ) 在 f ( x)

[?1, 0] 上是减函数,那么 f ( x) 在 [2,3] 上是 ( )
A. 增函数 答案 A 9、 (2009 玉溪一中期中)函数 y ? f ( x) 的图像过点 ? 1, 1 ? ,则函数 y ? f ( x ? 4) 的图像过 ( ) (B) ?? 3 , 1? (C) B. 减函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函数

, 5? (A) ?1

? 5, 1?

(D)

? 1, 1?

答案 C 二、填空题 1、(2009 滨州一模)给出下列四个结论: ①命题“ ?x ? R, x2 ? x ? 0" 的否定是“ ?x ? R, x2 ? x ? 0 ”; ②“若 am2 ? bm2 , 则 a ? b ”的逆命题为真; ③函数 f ( x) ? x ? sin x (x ? R )有 3 个零点; ④对于任意实数 x,有 f (? x) ? ? f ( x), g ( ? x) ? g ( x), 且 x>0 时, f ?( x) ? 0, g ?( x) ? 0, 则 x<0 时 f ?( x) ? g ?( x). 其中正确结论的序号是 答案 ①④ .(填上所有正确结论的序号)

2 2、(2009 宣威六中第一次月考)已知函数 f ( x) ? x ? 2 xf ?(1) , f ?(1)=



答案 -2 3、 (2009 泰安一模)已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,对于 x∈R 都 有 f(x+60=f(x)+f(3)成立,当 x1 , x2 ?[0,3] ,且 x1 ? x2 时,都有 命题: ①f(3)=0; ②直线 x=一 6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[一 9,一 6]上为增函数; ④函数 y=f(x)在[一 9,9]上有四个零点. 其中所有正确 命题的序号为______________(把所有正确 命题的序号都 填上) .. .. . 答案 ①②④ 4、(2009 上海闸北区)函数 y ? 答案 (0,1] 5、(2009 重点九校联考)函数 y ? 答案

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 给出下列 x1 ? x2

log0.5 x 的定义域为___________.

2 ? x ? log3 (1 ? x) 的定义域为

.

? ?1, 2?

三、解答题 1、 (2009 上海八校联考)对定义在 [0, 1] 上,并且同时满足以下两个条件的函数 f ( x ) 称为

G 函数。
① 对任意的 x ? [0, 1] ,总有 f ( x) ? 0 ; ② 当 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 时,总有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立。 已知函数 g ( x) ? x2 与 h( x) ? 2x ? b 是定义在 [0, 1] 上的函数。 (1)试问函数 g ( x) 是否为 G 函数?并说明理由; (2)若函数 h( x) 是 G 函数,求实数 b 组成的集合; 解:(1)当 x ??0,1? 时,总有 g(x ) ? x ? 0 ,满足①,
2

当 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 时,

g(x1 ? x2 ) ? (x1 ? x 2 )2 ? x12 ? x 22 ? 2x1x 2 ? x12 ? x 22 ? g(x1 ) ? g(x 2 ) ,满足②
(2) h( x) ? 2x ? b

( x ?[0,1]) 为增函数, h( x ) ? h(0) ? 1 ? b ? 0
x1 ? x 2

?b ?1

由 h( x1 ? x 2 ) ? h( x1 ) ? h( x 2 ) ,得 2 即 b ? 1 ? (2 1 ?1)(2 1 ?1)
x x

? b ? 2x1 ? b ? 2x 2 ? b ,

因为 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 所以 0 ? 2 1 ? 1 ? 1
x

0 ? 2x 2 ? 1 ? 1

x1 与 x 2 不同时等于 1
?0 ? 1 ? (2x1 ?1)(2x1 ?1) ? 1

?0 ? (2x1 ?1)(2x1 ?1) ? 1 ;

x x 当 x1 ? x 2 ? 0 时, (1 ? (2 1 ?1)(2 1 ?1))max ? 1 ; ? b ? 1

综合上述: b ? {1} 2、(2009 滨州一模)设函数 f ( x) ? p ( x ? ) ? 2 ln x, g ( x) ? x .
2

1 x

(I)若直线 l 与函数 f ( x), g ( x) 的图象都相切,且与函数 f ( x) 的图象相切于点 (1,0),求实数 p 的值; (II)若 f ( x) 在其定义域内为单调函数,求实数 p 的取值范围;

x )?p ? 解:(Ⅰ)方法一:∵ f (
'

p 2 ? , 2 x x

∴ f( 1 )? 2 (p ? 1 ).
'

设直线 ly , :? 2 ( p ? 1 ) ( x ? 1 ) 并设 l 与 g(x)=x 相切于点 M( x0 , y0 )
2



g ?( x) ? 2 x

∴2 x0 ? 2( p ? 1)

∴ x0 ? p ?1, y0 ? ( p ?1)2 代入直线 l 方程解得 p=1 或 p=3. 方法二: 将直线方程 l 代入 y ? x 得
2

2( p ? 1)( x ? 1) ? 0
∴ ? ? 4( p ?1) ? 8( p ?1) ? 0
2

解得 p=1 或 p=3 .
2 px ? 2 x ? p , 2 x ' ) ?0在 (0, ??) 恒成立, ①要使 f (x) 为单调增函数,须 f (x

x )? (Ⅱ)∵ f (
'

即 px 在 (0, ??) 恒成立,即 p? ? 2 x ? p ? 0
2

2x 2 ? 在 (0, ??) 恒成立, 1 x ?1 x? x
2

? 1 ,所以当 p ?1时, f (x) 在 (0, ??) 为单调增函数; ②要使 f (x) 为单调 1 x? x ' 减函数,须 f (x ) ?0在 (0, ??) 恒成立, 2x 2 2 ? 即 px 在 (0, ??) 恒成立,即 p? 2 在 (0, ??) 恒成立, ? 2 x ? p ? 0 1 x ?1 x? x 2 又 ? 0 ,所以当 p ? 0时, f (x) 在 (0, ??) 为单调减函数. 1 x? x 综上,若 f (x) 在 (0, ??) 为单调函数,则 p的取值范围为 p ?1或 p ? 0.
又 3、 (2009 上海十校联考) 已知函数 f ? x ? ? x ? 2tx ?1 ,x ? ? 2,5? 有反函数, 且函数 f ? x ?
2

2

的最大值为 8 ,求实数 t 的值. 解:因为函数有反函数,所以在定义域内是一一对应的
2 函数 f ? x ? ? x ? 2tx ?1 的对称轴为 x ? t ,所以 t ? 2 或 t ? 5

若t ? 2, 在区间 ? 2,5? 上函数是单调递增的, 所以 f ? x ?max ? f ?5? ? 25 ?10t ?1 ? 8 , 解得 t ?

9 ,符合 5

若 t ? 5 ,在区间 ? 2,5? 上函数是单调递减的,所以 f ? x ?max ? f ? 2? ? 4 ? 4t ?1 ? 8 , 解得 t ? ?

3 ,与 t ? 5 矛盾,舍去 4 9 5

综上所述,满足题意的实数 t 的值为

4、(2009 江门一模)已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? x , a ? R 是常数, x ? R . ⑴若 y ? 2 x ? 1 是曲线 y ? f ( x) 的一条切线,求 a 的值;
/ ⑵ ?m ? R ,试证明 ? x ? (m , m ? 1) ,使 f ( x) ? f (m ? 1) ? f (m) .

/ 2 / ⑴ f ( x) ? 3x ? 2ax ? 1 -------1 分,解 f ( x) ? 1 得, x ? 0 或 x ? ?

2a -------2 分 3

当 x ? 0 时, f (0) ? 0 , y ? 0 ? 1 ? 0 ,所以 x ? 0 不成立-------3 分 当x ? ?

2a 8a 3 4a 3 2a 2a 33 2 ? ? ?? ? 1 ,得 a ? 时,由 f ( x) ? y ,即 ? -----5 分 3 27 9 3 3 2

⑵作函数 F ( x) ? f / ( x) ? [ f (m ? 1) ? f (m)]-------6 分

F ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? (3m2 ? 3m ? 2am ? a ? 1) ,函数 y ? F ( x) 在 [m , m ? 1] 上的图
象是一条连续不断的曲线------7 分, F (m) ? F (m ? 1) ? ?(3m ? a ? 1)(3m ? a ? 2) ------8 分 ① 若 (3m ? a ? 1)(3m ? a ? 2) ? 0 , F (m) F (m ? 1) ? 0 , ? x ? (m , m ? 1) , 使

F ( x) ? 0 ,即 f / ( x) ? f (m ? 1) ? f (m) -------10 分
②若 (3m ? a ? 1)(3m ? a ? 2) ? 0 , ? 2 ? 3m ? a ? ?1, F (m ? 1) ? 3m ? a ? 2 ? 0 ,

F (m) ? ?(3m ? a ? 1) ? 0 , F ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? (3m2 ? 3m ? 2am ? a ? 1) 当 x ? ?
有 最 小 值 Fmin ( x) ? ?(3m ? 3m ? 2am ? a ? 1) ?
2

a 时 3

a2 3 ? 2a 2 1 ? ?3(m ? ) ? ? 0 ,且当 3 6 4

? 2 ? 3m ? a ? ?1时 m ? m ?

1 a 2 ? ? ? m ? ? m ? 1 -------11 分, 3 3 3 a a 所 以 存 在 ? x ? (m , ? ) ( 或 ? x ? (? , m ? 1) ) 从 而 ? x ? (m , m ? 1) , 使 3 3

F ( x) ? 0 ,即 f / ( x) ? f (m ? 1) ? f (m) -------12 分
5、(2009 南华一中 12 月月考)设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取
3 2

得极值. (Ⅰ)求 a、b 的值;

3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围. (Ⅱ)若对于任意的 x ? [0,
2 2 解:(Ⅰ) f ?( x) ? 6 x ? 6ax ? 3b ,

因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 .

即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, 解得 a ? ?3 , b ? 4 .?????????6 分 ?24 ? 12a ? 3b ? 0.
3 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2x ? 9x ? 12x ? 8c ,

f ?( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) . ?????????7 分
1) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (0, , 2) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (1

3) 时, f ?( x) ? 0 . 当 x ? (2,

?????????8 分

所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c . 则当 x ??0, 3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . 因为对于任意的 x ??0, 3? ,有 f ( x) ? c2 恒成立, 所以 解得 ?????????10 分

9 ? 8c ? c 2 ,
c ? ?1 或 c ? 9 ,

? 1) 因此 c 的取值范围为 (??,

(9, ? ?) .?????????12 分


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