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【数学】2014版《6年高考4年模拟》:第二章 函数与基本初等函数 第一节 函数的概念与性质


【数学】2014 版《6 年高考 4 年模拟》 第二章 第一节 函数与基本初等函数 I 函数的概念与性质

第一部分 六年高考荟萃 2013 年高考题
1 . (2013 年高考江西卷(理) )函数 y=

x ln(1-x)的定义域为
D.[0,1]

A.(0,1) 答案:B

>B.[0,1)

C.(0,1]

考查函数的定义域。要使函数有意义,则 ? B.

?x ? 0 ?x ? 0 ,即 ? ,解得 0 ? x ? 1 ,选 ?1 ? x ? 0 ?x ? 1
? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 ,若| f ( x) |≥ ax ,则 a ? ln( x ? 1), x ? 0 ?

2 . (2013 年高考新课标 1(理))已知函数 f ( x) ?

的取值范围是 A. (??, 0] B. (??,1] C. [?2,1] D. [?2,0]

答案:D 由题意可作出函数 y=|f(x)|的图象,和函数 y=ax 的图象,

由图象可知:函数 y=ax 的图象为过原点的直线,当直线介于 l 和 x 轴之间符合题意,直线 l 2 为曲线的切线,且此时函数 y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为 y=x ﹣2x, 求其导数可得 y′ =2x﹣2,因为 x≤0,故 y′ ≤﹣2,故直线 l 的斜率为﹣2, 故只需直线 y=ax 的斜率 a 介于﹣2 与 0 之间即可,即 a∈[﹣2,0]。故选 D

3 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理))函数

? 1? f ? x ? = log 2 ?1 ? ? ? x ? 0 ? ? x?

的反函数 f ?1 ? x ? = (A)

1 ? x ? 0? 2 ?1
x

(B)

1 ? x ? 0? 2 ?1
x

(C) 2x ?1? x ? R?

(D) 2x ?1? x ? 0?

答案:A 设 y=log2(1+ ) ,把 y 看作常数,求出 x:1+ =2 ,x=
y

,其中 y>0,

x,y 互换,得到 y=log2(1+ )的反函数:y=

,故选 A.

4 .(2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))已知函数 f ( x ) 为

奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ?
2

1 ,则 f (?1) ? x
(D) 2

(A) ?2 答案:A

(B)

0

(C) 1

因为函数为奇函数,所以 f (?1) ? ? f (1) ? ?(1 ? 1) ? ?2 ,选 A.
5. (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学 (理) ) 已知函数

f ? x ? 的定义域为 ? ?1,0? ,

则函数 f ? 2x ?1? 的定义域为 (A) ? ?1,1? (B) ? ?1, ?

? ?

1? 2?

(C) ? -1,0?

(D) ?

?1 ? ,1? ?2 ?

答案:B 因为原函数的定义域为(﹣1,0) , 所以﹣1<2x﹣1<0,解得﹣1<x< . 所以则函数 f(2x﹣1)的定义域为 故选 B.
6 .(2013 年高考陕西卷(理))设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有







A.[-x] = -[x] 答案:D

B.[2x] = 2[x]

C.[x+y]≤[x]+[y] D.[x-y]≤[x]-[y]

代值法。 对 A, 设 x = - 1.8, 则[-x] = 1, -[x] = 2, 所以 A 选项为假。 所以 B 选项为假。

对 B, 设 x = - 1.4, [2x] = [-2.8] = - 3, 2[x] = - 4,

对 C, 设 x = y = 1.8, 对 A, [x+y] = [3.6] = 3, [x] + [y] = 2, 所以 C 选项为假。 故 D 选项为真。所以选 D
7.(2013 年高考湖南卷(理))函数

f ? x ? ? 2ln x 的图像与函数 g ? x ? ? x2 ? 4x ? 5 的图像
D.0

的交点个数为 A.3 B.2 答案:B

C.1

本题考查函数与方程的应用以及函数图象的应用。因为 g ? x ? ? x2 ? 4x ? 5 ? ( x ? 2)2 ?1 , 所以作出函数 f ? x ? ? 2ln x 与 g ? x ? ? x2 ? 4x ? 5 的图象, 由图象可知两函数图象的交点个

数有 2 个,选 B.
8. (2013 年高考上海卷 (理) ) 对区间 I 上有定义的函数 g ( x) ,记 g ( I ) ? { y | y ? g ( x), x ? I } ,

已 知 定 义 域 为 [0,3] 的 函 数

y ? f ( x) 有 反 函 数 y ? f ?1 ( x) , 且

f ?1 ([0,1)) ? [1, 2), f ?1 ((2, 4]) ? [0,1) ,若方程 f ( x) ? x ? 0 有解 x0 ,则 x0 ? _____
答案: x0 ? 2 . 【解答】根据反函数定义,当 x ? [0,1) 时, f ( x) ? (2, 4] ; x ? [1, 2) 时, f ( x) ? [0,1) ,而

y ? f ( x) 的 定 义 域 为 [0,3] , 故 当 x ? [ 2 , 3 ] , f ( x) 的 取 值 应 在 集 合 时 (??,0) ? [1, 2] ? (4, ??) ,故若 f ( x0 ) ? x0 ,只有 x0 ? 2 .
9. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 (数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) )
2 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x ,则不等式 f ( x) ? x 的解集

用区间表示为___________. 答案: ?? 5,0? ? ?5,??? 因为 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,所以易知 x ? 0 时, f ( x) ? ? x ? 4 x
2

解不等式得到 f ( x) ? x 的解集用区间表示为 ? ?5,0?

?5, ???

10.(2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版))设函数

f ( x) ? ax ? (1 ? a2 ) x2 ,其中 a ? 0 ,区间 I ?| x f (x)>0
(Ⅰ)求的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ); (Ⅱ)给定常数 k ? (0,1) ,当时,求 l 长度的最小值. 解: (Ⅰ) f ( x) ? x[a ? (1 ? a ) x] ? 0 ? x ? (0,
2

a a ) .所以区间长度为 . 2 1? a2 1? a

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, l ?

a ? 1? a2

1 a? 1 a
1 1 ? 1- k ? k 2 ? 0? ? 1 - k恒成立 . 1? k 1? k

已知 k ? (0,1), 0 ? 1 - k ? a ? 1 ? k .令

1 1? k 1? k ? g (a) ? a ? 在a ? 1 ? k时取最大值? 这时l ? ? 2 a 1 ? (1 ? k ) 1 ? (1 ? k ) 2
所以 当a ? 1 ? k时,l取最小值

1? k . 1 ? (1 ? k ) 2

2012 年高考题
1.[2012· 安徽卷] 下列函数中,不满足 ) ...f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x| C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x 答案:C [解析] 本题考查函数的新定义,复合函数的性质. (解法一)因为 f(x)=kx 与 f(x)=k|x|均满足 f(2x)=2f(x),所以 A,B,D 满足条件;对于 C 项, 若 f(x)=x+1,则 f(2x)=2x+1≠2f(x)=2x+2. (解法二)对于 A 项, f(2x)=2|x|,2f(x)=2|x|, 可得 f(2x)=2f(x); 对于 B 项, f(2x)=2x-2|x|, 2f(x) =2x-2|x|,可得 f(2x)=2f(x);对于 C 项,f(2x)=2x+1,2f(x)=2x+2,可得 f(2x)≠2f(x);对于 D 项,f(2x)=-2x,2f(x)=-2x,可得 f(2x)=2f(x),故选 C 项. 2.[2012· 江西卷] 下列函数中,与函数 y= 1 3 x 定义域相同的函数为( )

1 lnx sinx A.y= B.y= C.y=xex D.y= sinx x x 答案:D [解析] 考查函数的定义域、解不等式等;解题的突破口为列出函数解析式所满足 的条件,再通过解不等式达到目的.函数 y= 1 3 x 的定义域为 {x|x≠0} . y = 1 的定义域为 sinx

{x|x≠kπ},y= 选 D.

lnx sinx 的定义域为{x|x>0},y=xex 的定义域为 R,y= 的定义域为{x|x≠0},故 x x

?x2+1,x≤1, ? 3. [2012· 江西卷] 若函数 f(x)=? 则 f(f(10))=( ? ?lgx,x>1,

)

A.lg101 B.2 C.1 D.0 答案:B [解析] 考查分段函数的定义、对数的运算、分类讨论思想;解题的突破口是根据 自变量取值范围选择相应的解析式解决问题.∵10>1,∴f(10)=lg10=1≤1, ∴f(f(10))=f(1)=12+1=2,故选 B. 4.[2012· 辽宁卷] 设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当 x∈[0,1]时,f(x)=x3. 1 3? 又函数 g(x)=|xcos(πx)|,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在? ?-2,2?上的零点个数为( )

A.5 B.6 C.7 D.8 答案:B [解析] 本小题主要考查函数的奇偶性与周期性和函数零点的判断.解题的突破口 为根据函数的性质得到函数 f(x)的解析式,结合函数图象求解. f(-x)=f(x),所以函数 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(2-x)=f(x-2),所以函数 f(x)为周期为 2 1? ? 1? ?3? 的周期函数, 且 f(0)=0, f(1)=1, 而 g(x)=|xcos(πx)|为偶函数, 且 g(0)=g? ?2?=g?-2?=g?2? 1 3? ? 1 3? =0,在同一坐标系下作出两函数在? ?-2,2?上的图像,发现在?-2,2?内图像共有 6 个公 1 3? 共点,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在? ?-2,2?上的零点个数为 6.

5.[2012· 山东卷] 设 a>0 且 a≠1,则“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A [解析] 本题考查充分必要条件及函数的单调性,考查推理论证能力,容易题. 当 f(x)=ax 为 R 上的减函数时,0<a<1,2-a>0,此时 g(x)=(2-a)x3 在 R 上为增函数成立; 当 g(x)=(2-a)x3 为增函数时,2-a>0 即 a<2,但 1<a<2 时,f(x)=ax 为 R 上的减函数不成 立,故选 A. 6.[2012· 北京卷] 某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图 1-6 所示. 从目前记录的 结果看,前 m 年的年平均产量最高,m 值为( )

图 1-6 A.5 B.7 C.9 D.11 答案:C [解析] 本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势,也就是函数增减速度的快 Sn 慢.法一:因为随着 n 的增大,Sn 在增大,要使 取得最大值,只要让随着 n 的增大 Sn+1 n Sn+1-S1 Sn+1-S1 -Sn 的值超过 (平均变化)的加入即可,Sn+1-Sn 的值不超过 (平均变化)的舍 n n 去,由图像可知,6,7,8,9 这几年的改变量较大,所以应该加入,到第 10,11 年的时候,改变 量明显变小,所以不应该加入,故答案为 C. Sm-0 Sm+1-0 Sm Sn Sm Sm +1 法二:假设 是 取的最大值,所以只要 > 即可,也就是 > ,即可以看 m n m m+1 m-0 m+ -0 作点 Qm(m,Sm)与 O(0,0)连线的斜率大于点 Qm+1(m+1,Sm+1)与 O(0,0)连线的斜率,所以观 察可知到第 Q9(9,S9)与 O(0,0)连线的斜率开始大于点 Q10(10,S10)与 O(0,0)连线的斜率.答 案为 C. 7.[2012· 陕西卷] 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A.y=x+1 B.y=-x3 1 C.y= x D.y=x|x|

答案:D [解析] 本小题主要考查函数的单调性、奇偶性,解题的突破口为单调性的定义、 奇偶性的定义与函数图像的对应关系.若函数为单调增函数,其图像为从左向右依次上升; 若函数为奇函数,其图像关于原点对称.经分析,A 选项函数的图像不关于原点对称,不是 奇函数,排除;B 选项函数的图像从左向右依次下降,为单调减函数,排除;C 选项函数的 图像从左向右依次下降, 为单调减函数, 排除; 故选 D.其实对于选项 D, 我们也可利用 x>0、 x=0、x<0 分类讨论其解析式,然后画出图像,经判断符合要求. π 8.[2012· 四川卷] 设函数 f(x)=2x-cosx,{an}是公差为 的等差数列,f(a1)+f(a2)+…+f(a5) 8 =5π,则[f(a3)]2-a1a5=( 1 1 13 )A.0 B. π2C. π2 D. π2 16 8 16

π π π π 答案:D [解析] 设 a3=α,则 a1=α- ,a2=α- ,a4=α+ ,a5=α+ , 4 8 8 4 由 f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π, π? ? π? ? π? ? π? 得 2× 5α-cos? ?α-4?+cos?α-8?+cosα+cos?α+8?+cos?α+4?=5π, 即 10α-( 2+ 2+ 2+1)cosα=5π. π 当 0≤α≤π 时,左边是 α 的增函数,且 α= 满足等式; 2 当 α>π 时,10α>10π,而( 2+ 2+ 2+1)cosα<5cosα≤5,等式不可能成立; 当 α<0 时,10α<0,而-( 2+ 2+ 2+1)cosα<5,等式也不可能成立. π 故 a3=α= . 2 π π 13 α- ??α+ ?= π2. [f(a3)]2-a1a5=π2-? ? 4?? 4? 16

9.[2012· 山东卷] 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x). 当-3≤x<-1 时, f(x)=-(x+2)2; 当-1≤x<3 时,f(x)=x,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)=( ) A.335 B.338C.1 678 D.2 012 答案:B [解析] 本题考查函数的性质,考查运算求解能力,应用意识,偏难. 由 f(x)=f(x+6)知函数的周期为 6,f(1)=1, f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1, f(4)=f(-2)=-(-2+2)2=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)=1, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 012) =335[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(1)+f(2)=335× 1+3=338. 10.[2012· 广东卷] 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) 1?x 1 A.y=ln(x+2) B.y=- x+1 C.y=? ?2? D.y=x+x |x2-1| 11.[2012· 天津卷] 已知函数 y= 的图象与函数 y=kx-2 的图象恰有两个交点,则实数 x-1 k 的取值范围是________. 答案:(0,1)∪(1,4) [解析] 本题考查函数的表示及图象应用,考查应用意识,偏难. y=
?-x+ ,-1≤x<1, |x2-1| ? =? x-1 ? ?x+1,x<-1或x>1,

在同一坐标系内画出 y=kx-2 与 y=

|x2-1| 的图象如 x-1

图,

|x2-1| 结合图象当直线 y=kx-2 斜率从 0 增到 1 时,与 y= 在 x 轴下方的图象有两公共点; x-1 当斜率从 1 增到 4 时,与 y= |x2-1| 的图象在 x 轴上下方各有一个公共点. x-1

12.[2012· 江苏卷] 函数 f(x)= 1-2 log6x的定义域为________. 答案:(0, 6] [解析] 本