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莆田第六中2015—2016学年(下)高一期末考试数学(A)卷


莆田第六中 2015—2016 学年(下)高一期末考试数学(A)卷
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确(每小题 5 分,共 60 分) . 1 . 若 数 列 ?an ? 的 前 4 项 分 别 是 ( A. )

1 1 1 1 , ? , , ? ,则此数列的一个通项公式为 2 3 4

5
C.

an ?

(?1) n ?1

n ?1

B.

(?1) n n ?1

(?1) n n

D.

(?1) n ?1 n
( )

2.下列命题中,正确的是 A.若 a ? b ,则 ac 2 ? bc 2 C.若 a ? b ? 0, m ? 0, 则

B. ? 2 ? a ? 3, 1 ? b ? 2 ,则 ? 3 ? a ? b ? 1

m m ? a b
2

D.若 a ? b , c ? d ,则 ac ? bd

3.已知集合 P ? { 0 , m }, Q ? {x | 2 x ? 5x ? 0, x ? Z} ,若 P ? Q ? ? ,则 m 等于 ( ) A.1 B.2 2 C.1 或 5 D.1 或 2

4.用△ABC 的内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为( A.直角三角形 ) B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 ( )

5.在等差数列 {an } 中,a3 ? a5 ? 2a10 ? 4 ,则此数列的前 13 项的和等于 A.8 B.13 C.16
2 2

D.26

6.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a , b , c .若( (a ? c ? b2 ) tan B ? 3ac 则角 B 的值为 A. π 6
2

( B. π 3 C. π 5π 或 6 6 D. π 2π 或 3 3 (

)

7.若 ax ? x ? a ? 0 的解集为 ? ,则实数 a 取值范围 A. a ?

)

1 2
*

B. a ?

1 2

C. ?

1 1 ?a? 2 2

D. a ? ?

1 1 或a ? 2 2

8.设{an} (n∈N )是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错 . 误 的是( . A.d<0 ) B.a7=0 C.S9>S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值

0 9.在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,且 A ? 30 , a ? 1 .现在给出

? 下列四个条件:① B ? 45 ;② b ? 2 sin B ;③ c ? 3 ;④ 2c ? 3b ? 0 ; 若从中选

择一个条件就可以确定唯一 ?ABC ,则可以选择的条件是(


1

A.①或②

B.②或③

C.③或④

D.④或①

10.已知圆的半径为 4, a, b, c 为该圆的一个内接三角形的三条边,若 abc ? 16 2 ,则该 三角形的面积为 A. 2 2 B. 8 2 C. ( )

2

D.

2 2

11.各项为正数的等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,且 a2 , 值是 A.

a ? a4 1 的 a3 , a1 成等差数列,则 3 2 a4 ? a5
( )

5 ?1 2

B.

5 ?1 2

C.

1? 5 2

D.

5 ?1 5 ?1 或 2 2

12.设 a, b ? R ,定义运算“ ? ”和“ ? ”如下: a ? b ? ? 若正数 a, b, c, d 满足 ab ? 4 , c ? d ? 4 ,则 A. a ? b ? 2 , c ? d ? 2 C. a ? b ? 2 , c ? d ? 2

?a , a ? b, ?b , a ? b,

?b , a ? b, a?b ? ? ?a , a ? b,
( )

B. a ? b ? 2 , c ? d ? 2 D. a ? b ? 2 , c ? d ? 2

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ?

2 ,则其前 n 项的和 Sn ? ________. (n ? 1)(n ? 2)

14.下面是一道选择题的两种解法,两种解法看似都对,可结果并不一致,问题出在哪儿? 【题】在△ABC 中,a=x,b=2,B= 45 ,若△ABC 有两解,则 x 的取值范围是( ) A. ? 2, ? ? ? B.(0,2) C. 2, 2 2
? ?

?

?
2x 4

D.

?

2, 2

?

【解法 1】△ABC 有两解,asinB<b<a,xsin 45 <2<x, 即 2 ? x ? 2 2, 故选 C.

【解法 2】

a sin A

?

b sin B

, sin A ?

a sin B b 2x 4

?

x sin 45? 2

?

.

△ABC 有两解,bsinA<a<b, 2 ? 你认为解法

? x ? 2, 即 0<x<2, 故选 B.

是正确的 (填“1”或“2” )

15.已知 f ( x) ? 2 x , 则

x ?1

2

? 1 ? ? 1 ? ?1? f? ?? f? ? ? ? f ? ? ? f ?1? ? f ?2? ? ? ? f ?2016? =____________. ? 2016? ? 2015? ?2?
16.对正整数 m 的 3 次幂进行如下方式的“分裂” :

仿此规律,若 m3 的“分裂”中最小的数是 211 , 则 m 的值是____________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演 算步骤) 17. (本小题满分 10 分)设函数 f ( x) ? mx2 ? mx ? 1 (1)若对于一切实数 x , f ( x) ? 0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)对于 m ?[ ? 2 , 2 ] , f ( x) ? ?m ? 5 恒成立,求 x 的取值范围. .

18. (本小题满分 12 分)在等差数列 {an } 中,已知第 10 项等于 17 ,前 10 项的和等于 80 . 从该数列中依次取出第 3 项、第 3 项??第 3 项,并按原来的顺序组成一个新数列 {bn } . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn
2 n

19.(本小题满分 12 分) 某工厂今年年初用 98 万元购进一台数控机床, 并立即投入生产使用, 计划第一年维修、 保养费用 12 万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加 4 万元,该机床 使用后,每年的总收入为 50 万元,设使用 x 年后数控机床的盈利额为 y 万元.( x ? N ) (Ⅰ)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (Ⅱ)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值) 。
?

20. (本小题满分 12 分) 已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别为 a , b , c ,且 a cos C ? (1)求角 A 的大小;

1 c?b。 2

(2)若 a =1,求△ABC 的周长 l 的取值范围.

3

21. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? an ? 2 ? ? ? (Ⅰ)令 bn ? 2n an ,求证:数列 ?bn ? 是等差数列; (Ⅱ)令 cn ? .s.5.u.c.o.m 22. (本小题满分 12 分)

?1? ?2?

n ?1

(n ? N ? ).

n ?1 an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . n

OP ? 2 2 , 如图, 在等腰直角三角形 ?OPQ 中,?POQ ? 90? , 点 M 在线段 PQ 上.(1)
若 OM ? 5 ,求 PM 的长; (2)若点 N 在线段 MQ 上,且 ?MON ? 30? ,问:当 ?POM 取何值时, ?OMN 的面 积最小?并求出面积的最小值.

4

莆田第六中 2015—2016 学年(下)高一段期末考试 数学(A)卷答案 一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确(每小题 5 分,共 60 分) . 1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.D 7.B 8.C 9.D 10. C 11. A 12.D

来二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.

n n?2

14.

1

15. 4031

16.

15

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演 算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 解:(1)当 m=0 时,-1<0,显然恒成立;
? ?m<0, 当 m≠0 时,应有? ?Δ <0, ?

解得-4<m<0.

∴m 的取值范围为-4<m≤0. (2)将 f(x)<-m+5 变换成关于 m 的不等式 m(x -x+1)-6<0, 则此结论等价于:当 m∈[-2,2]时,g(m)=m(x -x+1)-6<0 恒成立. ∵x -x+1>0,∴g(m)在[-2,2]上单调递增. ∴只要 g(2)=2(x -x+1)-6<0,即 x -x-2<0, ∴-1<x<2, ∴x 的取值范围是-1<x<2. 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 由已知,设 {an } 公差为 d ,则
2 2 2 2 2

?a10 ? a1 ? 9d ? 17 , 解得 a1 ? ?1 , d ? 2 ? S ? 10 a ? 45 d ? 80 1 ? 10
(Ⅱ) bn ? a3n ? 2 ? 3 ? 3
n



an ? 2n ? 3

.

Tn ? b 1 ?b2 ? ?bn = 2(3 ? 32 ? ? ? 3n ) ? 3n =
19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)依题得: y ? 50 x ? ?12 x ?
2

6(1 ? 3n ) ? 3n 1? 3

=

3n?1 ? 3n ? 3 .

? ?

x( x ? 1) ? ? 4? ? 98 ? ?2 x 2 ? 40 x ? 98 ( x ? N ? ) 2 ?

(II)解不等式 ?2 x ? 40 x ? 98 ? 0 ? 10 ? 51 ? x ? 10 ? 51
? ∵ x ? N ,∴ 3 ? x ? 17 ,故从第 3 年开始盈利

20. (本小题满分 12 分)

5

1 1 解:(1)由 acosC+ c=b 和正弦定理得,sinAcosC+ sinC=sinB, 2 2 又 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, 1 ∵sinC≠0,∴cosA= , 2 (2)由正弦定理得,b= 则 l=a+b+c=1+ 2 1 ∴ sinC=cosAsinC, 2

π ∵0<A<π ,∴A= . 3

asinB 2 asinC 2 = sinB,c= = sinC, sinA sinA 3 3

2 (sinB+sinC)=1+ [sinB+sin (A+B)] 3 3

=1+2(

3 1 π sinB+ cosB)=1+2sin(B+ ). 2 2 6

π 2π π π 5π ∵A= ,∴B∈(0, ),∴B+ ∈( , ), 3 3 6 6 6 π 1 ∴sin(B+ )∈( ,1], ∴△ABC 的周长 l 的取值范围为(2,3]. 6 2 21. (本小题满分 12 分) 解(I)在 S n ? ? an ? ( )

1 2

n ?1

? 2 中,令 n=1,得 S1 ? ?a1 ?1 ? 2 ? a1 ,得 a1 ?
n?2

1 2

当 n ? 2 时, Sn ?1 ? ? an ?1 ? ( )

1 2

1 ? 2, ? an ? Sn ? Sn ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 2

1 ? 2a n ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 即2n an ? 2n ?1 an ?1 ? 1 . 2

?bn ? 2n an ,?bn ? bn?1 ?1,即当n ? 2时,bn ? bn?1 ? 1 .
又 b1 ? 2a1 ? 1,?数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列.

?

n n ?1 1 an ? (n ? 1)( ) n , .得 cn ? n 2 n 2 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ? 3 ? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? K ? ( n ? 1)( ) n 所以 ① 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? 4 ? ( ) 4 ? K ? (n ? 1)( ) n ?1 ② 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 由①-②得 Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? K ? ( ) ? ( n ? 1)( ) 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n 2
(II)由(I) bn ? 1 ? ( n ? 1) ?1 ? n ? 2 an ,? an ?
n

6

22. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)在 ?OMP 中, ?OPM ? 45? , OM ? 5 , OP ? 2 2 , 由余弦定理得, OM 2 ? OP2 ? MP2 ? 2 ? OP ? MP ? cos 45? , 得 MP 2 ? 4MP ? 3 ? 0 , 解得 MP ? 1 或 MP ? 3 . (Ⅱ)设 ?POM ? ? , 0? ? ? ? 60? ,在 ?OMP 中,由正弦定理, 得

OP sin 45? OP sin 45? OM OP ? , 所以 OM ? ,同理 ON ? sin ?OPM sin ?OMP sin ? 45? ? ? ? sin ? 75? ? ? ?
1 1 OP2 sin 2 45? ? OM ? ON ? sin ?MON ? ? 2 4 sin ? 45? ? ? ? sin ? 75? ? ? ?

故 S ?OMN ?

?
?

1 sin ? 45? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? 30? ?
1

? 3 ? 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? ? cos ? 45? ? ? ?? 2 ? 2 ?
1 3 2 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? cos ? 45? ? ? ? 2 2 1 3 1 1 ? cos ? 90? ? 2? ? ? ? sin ? 90? ? 2? ? ? ? ? 4 4
? 1 3 3 1 ? sin 2? ? cos 2? 4 4 4 ? 1 3 1 ? sin ? 2? ? 30? ? 4 2

?

?

因为 0? ? ? ? 60? , 30? ? 2? ? 30? ? 150? ,所以当 ? ? 30? 时, sin ? 2? ? 30?? 的最大值 为 1 ,此时 ?OMN 的面积取到最小值.即 2 ?POM ? 30? 时, ?OMN 的面积的最小值为

8?4 3 .

7


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