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河北省石家庄市第二中学2015届高三下学期“冲刺一”(15模)数学(理)试题


2015 届石家庄二中高三“冲刺一”模拟考试试题 科目 数学(理)

第 I 卷(选择题,共 60 分) 考试时间 120 分钟 一、选择题(每题 5 分) 1.已知全集 U=R,集合 A ? x y ? lg( x ? 1) 则 A∩(C U B)= A. B. D.(1,2)
??? ? ??? ? 2.如图,在复平面内,若复数 z1 , z2

对应的向量分别是 OA, OB ,则复数 z1 ? z2 所对应的点位

?

? ,集合 B ? ? y

y ? x2 ? 2x ? 5

?,

于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
y A

D.第四象限

O B

x

3.有甲,乙,丙,丁四位同学参加歌唱比赛,其中只有一位获奖。有同学走访这四位同学, 甲说: “是乙或丙获奖” ,乙说: “甲、丙都未获奖” ,丙说: “我获奖了” ,丁说: “是乙获奖了” 。 若四位同学中只有两人说的话是对的,则获奖的同学是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

4. 将函数 f ?x ? ? sin?2 x ? ? ? 的图象向左平移 则 ? 的一个可能取值为 A.

? 个单位,所得到的函数图象关于 y 轴对称, 8

3? 4

B.

? 4

C. 0

D. ?

?
4

5.如图,执行程序框图后,输出的结果为 A.8 B.10 C.12 D.32

?x ? 2 y ? 0 ? 6. 设 z ? x ? y ,其中实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z 的最大为 6 ,则 z 的最小值为 ?0? y?k ?
A. ?3 B. ?2 C. ?1 D.

0
7.如图是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最大值为 A.4 B.5 C. 3 2 D. 3 3

8.若从区间 (0, e) 内随机取两个数,则这两个数之积不小于 ...e 的概率为 A. 1 ?
1 e

B. 1 ?

2 e

C.

1 e

D.

2 e

9.对于函数 y ? f ( x) ,部分 x 与 y 的对应关系如下表:

x
y

1 3

2 7

3 5

4 9
*

5 6

6 1

7 8

8 2

9 4

数列 {xn } 满足: x1 ? 1 ,且对于任意 n ? N ,点 ( xn , xn?1 ) 都在函数 y ? f ( x) 的图像上,则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ? ? x2013 ? x2014 的值为
A. 7549 B. 7545 C. 7539 D. 7553

10.已知 ?ABC 中, ?ACB ? 90?,AB ? 2 BC ? 2 ,将 ?ABC 绕 BC 旋转得 ?PBC ,当直线

PC 与平面 PAB所成角的正弦值为
A. 2 11.已知双曲线 B. 4

6 时, P、A 两点间的距离是 6
D. 2 3

C. 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2, P 为双曲线上任一点, a 2 b2
3 2 1 2 c , ? c ] ,则该双曲线的离心率的取值范围为 4 2

且 PF1 · PF2 最小值的取值范围是 [ ? A. 1, 2

????

???? ?

?

?

B. ? 2, 2 ?

?

?, 12. 已 知 点 A( 1

C. 1, 2 ? D. ? 2, ??? ? ? 1 ) B(4, 0) , C (2, 2) . 平 面 区 域 D 由 所 有 满 足 ,

?

??? ? ??? ? ??? ? 则a ?b 的 AP ? ? AB ? ? AC (1 ? ? ? a,1 ? ? ? b) 的点 P( x, y ) 组成.若区域 D 的面积为 8,
最小值为 A.

3 2

B.2

C.4

D.8

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(每题 5 分) 13. 已知 a ?

? (2 ? 2 x)dx ,在二项式 ( x
0

1

2

a ? ) 5 的展开式中,含 x 的项的系数为 x

.

2 14. 设随机变量 X ~ N (3, ? ) ,若 P( X ? m) ? 0.3 ,则 P( X ? 6 ? m) ? ____________.

?1 ? x 2 , x ? 1 1 15.函数 f ( x) ? ? , 若方程 f ( x) ? mx ? 恰有四个不相等的实数根, 则实数 m 的 2 ?ln x, x ? 1
取值范围是____________. 16.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? a , a n ?1 ? 1 ? 则 a 的取值范围为 三、解答题 17. (本题 12 分) 如图,在△ABC 中,已知 B ? .

3 1 ,若对任意的自然数 n ? 4 ,恒有 ? a n ? 2 , 2 an

?
3

,AC= 4 3 , D 为 BC 边上一点.

(1)若 AD=2,S△DAC= 2 3 ,求 DC 的长;

(2)若 AB=AD,试求△ADC 的周长的最大值.

18.(本题 12 分) 在一次考试中,5 名同学数学、物理成绩如下表所示:

学生 数学(x 分) 物理(y 分)

A 89 87

B 91 89

C 93 89

D 95 92

E 97 93

(1)根据表中数据,求物理分 y 对数学分 x 的回归方程: (2)要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选出 2 名参加一项活动,以 X 表示选中的同学 中物理成绩高于 90 分的人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E ? X ? . ( 附:回归

?? ? ?a ? ? bx ? 中, b 方程 y

? ( x ? x )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (x ? x )
i ?1 i

n

? ) ? ? y ? bx ,a

2

19. (本题 12 分)

B1

D

A1 C1

E ,F 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? AB ? AC ? 1 ,
分别是 CC1 、 BC 的中点, AE ? A1B1 , D 为棱 A1B1 上的点.
A B F

E

C

(1)证明: DF ? AE ; (2)是否存在一点 D ,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 在,说明点 D 的位置,若不存在,说明理由.

14 ?若存 14

20. (本题 12 分) 椭圆 C :

x2 y 2 4 b ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 A, P( , ) 是 C 上的一点,以 AP 为直径的圆经过 2 3 3 a b

椭圆 C 的右焦点 F . (1)求椭圆 C 的方程; (2)动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,问:在 x 轴上是否存在两个定点,它们到直 线 l 的距离之积等于 1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由.

21. (本小题 12 分) 已知关于 x 函数 g ? x ? ?

2 ? a ln x ? a ? R ? , f ? x ? ? x 2 ? g ? x ? , x

(I)试求函数 g ? x ? 的单调区间; (II)若 f ? x ? 在区间 ? 0,1? 内有极值,试求 a 的取值范围; (III) a ? 0 时,若 f ? x ? 有唯一的零点 x0 ,试求 ? x0 ? . (注: ? x ? 为取整函数,表示不超过 x 的最大整数,如 ? 0.3? ? 0, ? 2.6? ? 2, ? ?1.4? ? ?2 ;以下 数据供参考: ln 2 ? 0.6931, ln 3 ? 1.099, ln 5 ? 1.609, ln 7 ? 1.946 )

请考生在第 22、23、24 题中任选一道 作答,如果多做,则按所做的第 1 题计分.作答时请写 .... 清题号. 22、(本题 1 0 分)选修 4 — 1 :几何证明选讲. 如图,⊙ O 的半径为 6,线段 AB 与⊙ O 相交于点 C 、 D , AC =4 , ?BOD ? ?A , OB 与 ⊙ O 相交于点 E . (1)求 BD 长; (2)当 CE ⊥ OD 时,求证: AO ? AD .

O E A C D B

23. (本题 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 ? 非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)直线 l 的极坐标方程是 2? sin(? ?

? x ? 1 ? cos ? (?为参数) .以 O 为极点, x 轴的 ? y ? sin ?

?
3

) ? 3 3 ,射线 OM : ? ?

?
3

与圆 C 的交点为 O、P,

与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长.

24. (本题 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f ( x ) = | x ? 1| ? | x ? 1| . (1)求 f ( x) ? x ? 2 的解集; (2)若不等式 f ( x) ?

| a ? 1| ? | 2a ? 1| 对任意实数 a ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范围. |a|

2015 届石家庄二中高三“冲刺一”模拟考试 数学(理)答题纸 一、1____ 2____ 3___ 4____ 5___ 6____

7____ 8_____ 9______ 二、填空题

10______

11____ 12____

13.__________ 三、解答题 17.

14._________________

15._____________

16.____________

(17 题图)

18.

19.

B1

D

A1 C1

A B F

E

C

(19 题图)

20.

高三数学冲刺一 1.5 模(理科)数学答案 一、 1. D 7. 选择题 2. A 3. C 4. B 10. C 5. B 6. A 11.B 12.C

D 8. B 9. A

二、填空题 13. -10 14. 0.7 15. ( ,

1 1 ) 2 e

16. a ? 0

三、解答题 17.

18. 解: (1)? x ?

89 ? 91 ? 93 ? 95 ? 97 ? 93 , 5 87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93 y? ? 90 5

??????2 分

? ? xi ? x
i ?1

5

?

?

2

? ? ?4 ? ? ? ?2 ? ? 02 ? 22 ? 42 ? 40 ,
2 2

? ? x ? x ?? y ? y ? ? ? ?4 ? ? ? ?3? ? ? ?2 ? ? ? ?1? ? 0 ? ? ?1? ? 2 ? 2 ? 4 ? 3 ? 30
5 i ?1 i i

?? ?b

30 ? ? 20.25 . ? ? y ? bx ? 0.75, a 40
??????6

? ? 0.75 x ? 20.25 ; 所以,物理分 y 对数学分 x 的回归方程为 y
分 (2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2

P ? X ? 0? ?
故 X 的分布列为

2 1 1 2 C2 C2 C2 2 C2 1 1 ; ; ? P X ? 1 ? ? P X ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 C4 6 C4 3 C4 6

????9 分

X
P

0

1

2

1 6

2 3

1 6

----------------------------10 分

1 2 1 ? E ? X ? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 6 3 6 19. (1)证明:? AE ? A1B1 , A1B1 ∥ AB
? AB ? AE
又? AB ? AA1

??????12 分
z B1 D A1 C1

AE ? AA1 ? A

? AB ? 面 A1 ACC1
? AB ? AC

又? AC ? 面 A 1 ACC1 ???2 分
A x B F

(不能少)

以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz

E C y

? 1? ?1 1 ? 则 A? 0,0,0? , E ? 0,1, ? , F ? , ,0 ? , A 1 (0,0,1) , B 1 (1,0,1) ? 2? ? 2 2 ? ???? ? ???? ? 设 D ? x, y, z ? , A 且 ? ? [0,1] , 即 : 1D ? ? A 1B 1

? x,

y, ? z ?1 ? ? ? 1 , ?0 ? ,D 0? ?, 0 , ?1

???? ? 1 1 ? ? DF ? ? ? ? , , ?1? 2 ?2 ? ??? ? ? 1? ? AE ? ? 0,1, ? 2? ?
???? ??? ? 1 1 ? DF ?AE ? ? ? 0 ? DF ? AE 2 2
???5 分

???6 分

(2)假设存在,设面 DEF 的法向量为

? n ? ? x, y, z ? ,

? ??? ? ? n?FE ? 0 则 ? ? ???? ?n?DF ? 0

??? ? ? 1 1 1 ? ???? ? 1 1 ? ? FE ? ? ? , , ? DF ? ? ? ? , , ?1? 2 ? 2 2 2? ?2 ?

1 1 ? 1 ? x? y? z ?0 ? 2 2 ? 2 ?? 1 1 ? ?? ???x? y? z ? 0 ? ? 2 ? ?? 2

3 ? ? x ? 2 ?1 ? ? ? z ? 即: ? ? y ? 1 ? 2? z ? 2 ?1 ? ? ? ?

令 z ? 2 ?1 ? ? ?

? ? n ? ? 3,1 ? 2? , 2 ?1 ? ? ? ? .
由题可知面 ABC 的法向量 m ? ? 0,0,1?

???8 分

??

???9 分

? 平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面的余弦值为

14 14

?? ? m?n ?? ? 14 ? cos m, n ? ?? ? ? 14 m n

?

?

即:

2 ?1 ? ? ? 9 ? ?1 ? 2? ? ? 4 ?1 ? ? ?
2 2

?

14 14

?? ?

1 7 或? ? (舍) 2 4

???11 分 ???12 分

? 当点 D 为 A1B1 中点时,满足要求.
??? ? ??? ? 20.解: (1) F (c,0), A(0, b) ,由题设可知 FA ? FP ? 0 ,得

4 b2 c2 ? c ? ? 0 3 3
又点 P 在椭圆 C 上,?

① ???1 分 ② ③ ???3 分 ???4 分 ???5 分

16 b2 ? 2 ? 1, ? a2 ? 2 2 9a 9b

b2 ? c 2 ? a 2 ? 2

①③联立解得, c ? 1, b2 ? 1 故所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 2

(2)当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? m ,代入椭圆方程,消去 y, 整理得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 (﹡)

方程(﹡)有且只有一个实根,又 2k 2 ? 1 ? 0 , 所以 ? ? 0, 得 m2 ? 2k 2 ? 1 假设存在 M1 (?1 ,0), M 2 (?2 ,0) 满足题设,则由
d1 ? d 2 ? (?1k ? m)(?2 k ? m) k2 ?1 ?

???8 分

?1?2 k 2 ? (?1 ? ?2 )km ? 2k 2 ? 1
k2 ?1

?

(?1?2 ? 2)k 2 ? (?1 ? ?2 )km ? 1 ? 1 对任意的实数 k 恒成立, k2 ?1
?? ? 1 ?? ? ?1 解得, ? 1 或? 1 ??2 ? ?1 ??2 ? 1 ------------------10 分

?? ? ? 2 ? 1 所以, ? 1 2 ??1 ? ?2 ? 0

当直线 l 的斜率不存在时,经检验符合题意. 总上,存在两个定点 M1 (1,0), M 2 (?1,0) ,使它们到直线 l 的距离之积等于 1. ???12 分

21.解: (I)由题意 g ( x) 的定义域为 (0,??)

g ?( x) ? -

2 a ax ? 2 -----------1 分 ? ?? 2 x x x2
'

(i)若 a ? 0 ,则 g ( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立, (0,??) 为其单调递减区间;-----2 分 (ii)若 a ? 0 ,则由 g ( x) ? 0 得 x ? ?
'

2 , a

2 2 x ? (0,? ) 时, g ' ( x) ? 0 , x ? (? ,??) 时, g ' ( x) ? 0 , a a 2 2 所 以 (0,? ) 为 其 单 调 递 减 区 间 ; (? ,??) 为 其 单 调 递 增 区 间 ; a a
-----------------------4 分 (II)? f ( x) ? x ? g ( x)
2

所以 f ( x) 的定义域也为 (0,??) ,且

f ' ( x) ? ( x 2 )' ? g ' ( x) ? 2 x ?
3

ax ? 2 2 x 3 ? ax ? 2 ? x2 x2

令 h( x) ? 2 x ? ax ? 2, x ? [0,??) (*) 则

h' ( x) ? 6 x 2 - a

(**)---------------------------------------------------------------------------5分

a ? 0 时 , h' ( x) ? 0 恒 成 立 , 所 以 h( x) 为 [0,??) 上 的 单 调 递 增 函 数 , 又

h(0) ? ?2 ? 0, h(1) ? -a ? 0 ,所以在区间 (0,1) 内 h( x) 至少存在一个变号零点 x0 ,且 x0 也是

f ' ( x) 的 变 号 零 点 , 此 时

f ( x)

在 区 间

(0,1)

内 有 极 值 .

----------------------------------------7 分

a ? 0 时 h( x) ? 2( x3 ? 1) ? ax ? 0, x ? (0,1) , 即在区间 (0,1) 上 f ' ( x) ? 0 恒成立 , 此时 ,
f ( x) 无极值.
综上所述,若 f ( x) 在区间 (0,1) 内有极值,则 a 的取值范围为 (??,0) . --------------8 分 (III) ? a ? 0 ,由(II)且 f (1) ? 3 知 x ? (0,1] 时 f ( x) ? 0 , ? x0 ? 1 . 又由(*)及(**)式知 f ?( x) 在区间 (1,??) 上只有一个极小值点,记为 x1 , 且 x ? (1, x1 ) 时 f ( x) 单调递减, x ? ( x1 ,??) 时 f ( x) 单调递增,由题意 x1 即为 x0 ,

? f ( x0 ) ? 0 -------------------------------------------------------------------?? ? f ?( x0 ) ? 0
--------------------9 分

? 2 2 ? x0 ? ? a ln x0 ? 0 x0 ?? ? 2 x 3 ? ax ? 2 ? 0 0 0 ?
消 去

a,



2 ln x0 ? 1 ?
---10 分

3 ---------------------------------------------------------------x ?1
3 0

a ? 0 时令 t1 ( x) ? 2 ln x( x ? 1), t2 ( x) ? 1 ?

3 ( x ? 0) , x ?1
3

则在区间 (1,??) 上为 t1 ( x) 单调递增函数, t2 ( x) 为单调递减函数, 且 t1 (2) ? 2 ln 2 ? 2 ? 0.7 ?

7 10 ? ? t2 (2) 5 7

t1 (3) ? 2 ln 3 ? 2 ? 1 ?

3 ? t2 (3) 26

?2 ? x0 ? 3

?[ x0 ] ? 2 -----------------------------------------------------------------------------------------12 分 22. 解: (1)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠OAC=∠ODB. ∵∠BOD=∠A,∴△OBD∽△AOC. ∵OC=OD=6,AC=4,∴ ∴

BD OD , ? OC AC

BD 6 ? ,∴BD=9.????????5 分 6 4

(2)证明:∵OC=OE,CE⊥OD.∴∠COD=∠BOD=∠A. ∴∠AOD=180?–∠A–∠ODC=180?–∠COD–∠OCD=∠ADO. ∴AD=AO ????????10 分

23. 解: (1)圆 C 的普通方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,又 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 所 以 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为 ???

? ? 2 cos ?
5分
? ? ? 2 cos ? (2)设 P( ?1 ,?1 ) ,则由 ? ? ? ?? ? 3 ?

解得 ?1 ? 1, ?1 ?

?
3

???7 分

? ? (sin ? ? 3 cos ? ) ? 3 3 ? 设 Q( ?2 ,?2 ) ,则由 ? 解得 ? 2 ? 3, ? 2 ? ???9 分 ? ? 3 ? ? ? 3 ?

所以 | PQ |? 2

???10 分

24. 解: (1)由 f ( x) ? x ? 2 得:
? x?2?0 ? x?2?0 ? x?2?0 ? ? ? 或 或 ???3 分 x ? ? 1 ? 1 ? x ? 1 ? ? ?x ?1 ?1 ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ?1 ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 1 ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ?

解得 0 ? x ? 2 所以 f ( x) ? x ? 2 的解集为 {x | 0 ? x ? 2} (2) | a ? 1| ? | 2a ? 1| ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3
|a| a a a a

???5 分

当且仅当 ?1 ? 1 ? ? 2 ? 1 ? ? 0 时,取等号.
? ? ?? a ?? ? a?

???8 分

由不等式 f ( x) ? | a ? 1| ? | 2a ? 1| 对任意实数 a ? 0 恒成立,可得 | x ? 1| ? | x ? 1|? 3
|a|

解得: x ? ?

3 3 或 x ? . ------------10 分 2 2


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