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3.5对数函数图象的与性质 教学设计(北师大版必修1)


课题:对数函数的图像和性质(第一课时) 一、 教材内容解析
1, “对数函数的图像与性质”是普通高中课程标准实验教科书必修 1(北师大 版)第三章“指数函数和对数函数”一章中的重点内容。此前,学生已对函数、 定义域、值域等相关概念及函数的单调性、奇偶性、对称性等函数性质有了很深 刻的了解和掌握。 同时本节课又是在刚刚学习了对数函数的概念和对数函数与指 数函数互为反函数的

关系后, 对对数函数的进一步深入学习。 也是让学生进一步 体会研究函数的方法,即“概念---图像---性质--应用”的过程。同时,为后面函 数的学习做好铺垫。 2, “对数函数”是基本初等函数之一,对数函数的知识在其他章节和其他学科 中有着广泛应用。同时,对数函数作为常用的数学模型在解决社会生活问题(统 计、规划)中也有着广泛的应用。本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和 实际生活提供了必要的数学基本技能。同时,本节课对对数函数的性质研究不仅 反映出对数函数与指数函数的关系,同时也蕴含了函数、数形结合等数学思想, 也是高考的重点内容之一。

二、学生学情分析
1,心理生理上:高一年级的学生已入校两个月,现处于相对稳定的时期,所 以在学习情绪和学习态度上也相对稳定。加之,新入高一不久,学生渴望知识和 学习的情绪也都空前高涨,主动积极,不畏艰难。 2,知识上:从初中到现在学生已学习了一次函数、反比例函数、二次函数、 幂函数、指数函数等初等函数,已对函数的相关概念、研究函数的方法有了一定 的了解和掌握, 加之对数函数与指数函数的关系学生已明白, 可以通过类比的方 法研究学习,同时对数函数的应用不管在数学上、生活中都应用广泛。所以,自 然就激发了学生学习本节课的热情与兴趣。

三、 教学目标设置
a) 教学目标 1,知识与技能:掌握对数函数的图像与性质,并且在掌握性质的基础上能进 行必要的应用。同时培养学生数形结合的思想及观察、分析、归纳的思维过程。 2,过程与方法:通过类比的方法画出对数函数的图像,研究对数函数的性质; 同时对数函数和指数函数互为反函数,利用反函数的性质(图像关于直线 y=x 对称) 验证对数函数的性质, 让学生体会类比、 数形结合、 转化等数学思想方法。 3,情感、态度、价值观:通过指数函数和对数函数在图像与性质上的对比, 使学生欣赏数学的美妙和神奇之处,激发学生学习数学的积极性。 b)教材的重点、难点和关键 本节的重点是理解掌握对数函数的图像与性质,并能简单应用;难点是利用指 数函数与对数函数的关系研究对数函数的图像与性质,体会类比、转化的思想。 而整个学习过程中的思考、观察、对比、归纳就成了学习的关键。

四、教学策略分析
1,本节课采用了构建式学习法,教学过程教师和学生共同参与,学生为主体,

教师主导,充分发挥学生积极、主导、自主的学习过程,最终在教师的引导下得 出对数函数的图像,总结出性质,并简单应用。同时,使学生对指数函数和对数 函数的内在关系达到比较深刻的认识与理解; 2,本节课采用多媒体辅助教学,尤其是借助于几何画板的强大功能更能使学 生直观的体会对数函数与指数函数图像的关系, 得出对数函数的性质并利用图像 的动态变化验证性质,有助于学生的理解。同时,增大教学容量,亦提高数学对 学生的吸引力。

五、教学过程
教 学 环 节 教 学 内 容 设计 意图

温 故 知 新

同学们, 大家好!今天非常高兴能和大家一起学习。 我们今天要探究的内容是《对数函数的图像与性质》 ①温故而知 大家还记得对数函数的定义吗? 新,提醒学 生: (1)对数函数的定义. 生旧知,引 出新知; 我们把形如 y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 的函数叫做对数函 ②回顾旧知 数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).a 是对数 中的反函数 函数的底数. 及其性质, (2)对数函数与指数函数的关系:互为反函数.(反 为本节课学 函数的性质) 习对数函数 仅仅知道对数函数的概念显然是不够的, 同学们都 图像埋下伏 知道每一个函数的学习都要经历“概念—图像—性质 笔; —应用”的过程。 ③培养学生 今天,就让我们一起来探究: 温故而知新 《对数函数的图像与性质》 (板书课题) 的学习习 惯,注重方 法教育。 大家还记得画函数图像的一般步骤吗? ①列表;②描点;③连线.

自 主 探 究

①通过小组 合作,亲自 自主探究: (学生活动) 动手,让学 分组合作: 分别作出下列对数函数的图像,并说说你 生经历知识 是怎么作的?还有什么发现? 的产生过 程,并对函 ① y ? log2 x ② y ? lg x 数的图像留 下深刻的印 ③ y ? log 1 x ④ y ? log 1 x 2 10 象。 (各组派代表展示,并发言谈谈自己的发现) 方法一:列表、描点、连线

②学生展示 发言,培养 学生善于表 达和总结的 能力。

自 主 探 究 (各组派代表展示图像,并说出自己通过图像发现的 函数性质) 生:对数函数与指数函数互为反函数,而互为反函数 的图像又关于 y=x 对称,所以我们可以指数函数 1 1 y ? 2 x , y ? 10x , y ? ( ) x , y ? ( ) x 的图像画出上 2 10 述对数函数的图像. 师:非常好,学以致用!你能给大家展示一下你的做 法吗? 方法二:反函数法(与对数函数图像关于 y=x 对称)

③引出反函 数法画函数 图像,让学 生体会一题 多法的同 时,要学好 思考,学会 致用。

④现在教育 技术的发 展,几何画 板的强大数 学功能能激 发学生利用 现在教育技 术学习的欲 望,也能激 发学生学习 的动力。

方法三:利用几何画板
我们只画出了四个对数函数的图像,是不是所有的对数函数 都像上面两类函数的图像呢?现在科技可以带个我们答案。 (老师用几何画板画出含参数 a 的对数函数

y ? loga x(a ? 0且a ? 1) )的图像,展示给学生)
学生活动: (总结归纳) ①通过讨论

对数函数 y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 的性质
0 ? a ?1 a ?1

图像 归 纳 总 结 定义域 (0,+∞) (0,+∞) 值域 R R 定点 (1,0) (1,0) 单调性 单调递减 单调递减 a a 越小图像越靠近 x 轴 a 越大图像越靠近 x 轴 取值 0<x<1,y>0;x>1,y<0 0<x<1,y<0,x>1,y>0 对称性 y ? loga x与y ? log 1 x的图像关于 x轴对称
a

交流,达到 解决问题的 目的,让学 生感受团队 合作的力 量,从而培 养学生团队 合作的意 识。 ②通过表格 的形式总结 函数性质, 学生易形成 对比和体系 化,有助于 学生理解记 忆。

全班交流,共同进步。 巩固练习 例 1:求下列函数的定义域 ① y ? log4 x 2 ③ y ? ln(x 2 ? 2x ? 8) ② y ? log( x?1) (3 ? x) ④ y ? log2 x ? 2

总结:对数函数的求定义域有几点需注意: (1)真数 N>0; (2)底数 a ? 0且a ? 1 (3)分式形式的分母不为零; (4)开偶次方根的被开方数非负; 升 华 应 用 (5) a 0 中 a 不等于零; 例 2:比较大小

①通过简单 的练习,增 加学生对对 数函数性质 的理解,同 时增加学生 应用性质解 决数学问题 的兴趣。

②在解决问 题的过程中 培养学生总 ③ log1 6与log1 6 ④ log11 12与 log12 11 3 2 结方法的意 总结:对数比较大小方法 识,养成良 (1)若只同底,可利用对数函数的单调性直接比较; 好的学习习 (2)若只同真数,可根据 a 的大小进行判断; 惯。 (3)若底数和真数都不同,可找中间量过渡(如 1,0 等) (4)对于含有参数的对数往往要分类讨论比较大小; ① log2 3.4与log2 5.3 ② loga 12与loga 7(a ? 0且a ? 1) 拓展思考:解关于 x 的不等式: ③利用思考

2 (log x ) 2 ? 1( x ? 0且x ? 1) 3

课 堂 小 结

1, “谈谈你这节课的收获吧! ” (学生各述,老师总结) 知识上:对数函数的图像与性质; 方法上:体会从特殊到一般,从理解到应用; 2,更深的收获:
过程 问题 方法 解决 反思

课 外 读 物

《对数的诞生与发展》
(了解对数的起源与发展,认识苏格兰数学家纳皮尔)

作 业 设 计

1. P97 A 组 第 3,4 题; 2. 求下列函数的值域 ① y ? log2 ( x 2 ? 4) ② y ? log1 (3 ? 2x ? x 2 )
3

题提高学生 学习兴趣; ①让学生自 己总结,老 师可以更好 的把握他们 的学习情 况,老师总 结可帮学生 梳理知识。 ②更深的总 结让学生明 白,总结的 重要性。 ①缓解紧张 的课堂气 氛;②普及 数学史小知 识;③激发 数学学习 欲。 ①作业布置 可使学生发 现和弥补不 足,并强化 基本技能。 ②作业 2 为 下一节课的 学习埋下伏 笔。 合理的板书 设计能给学 生一知识体 系理解的启 发和对本节 课知识的把 握。

板 书 设 计

一、回顾 1,定义: 2,关系: 二、图像 1. 2. 3. 4.

5.2 对数函数的图像与性质(一) 三、性质: 例 2: (表格) 四、应用 例 1: 例 3:

六、评价分析
本节课主要是以自主探究、 讨论总结为主及简单的性质应用练习为辅的函数性 质探究课。故本节从以下几个环节来作评价: 1,通过画对数函数图像的方法,考察学生对函数学习一般性方法的掌握和思 维多样性评价;

2,在探究讨论的过程中,评价学生的参与程度、活动过程中的思维方式、与 同学合作交流、团队意识的情况; 3,关注学生思维的多样性,关注学生观察、交流、总结的能力; 4,通过简单例题的解决,评价学生对运用知识解决问题的能力; 5,通过作业的布置,评价学生解决问题的能力和激发深入了解性质解决更复 杂问题的能力。 6,在学习的过程中,积极开展自评和小组内互评、师生共评的评价体系,激 发学生学习数学的积极性。 附:课外读物
对数的诞生与发展 对数是中学初等数学中的重要内容,那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数 学史上,一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔 (Napier,1550-1617 年)男爵。 在纳皮尔所处的年代,哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行,这导致天文学成为当时 的热门学科。 可是由于当时常量数学的局限性, 天文学家们不得不花费很大的精力去计算那 些繁杂的“天文数字” ,因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。纳皮尔也是当时的一位天 文爱好者,为了简化计算,他多年潜心研究大数字的计算技术,终于独立发明了对数。 当然,纳皮尔所发明的对数,在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样。在纳皮 尔那个时代, “指数”这个概念还尚未形成,因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样,通 过指数来引出对数,而是通过研究直线运动得出对数概念的。 那么,当时纳皮尔所发明的对数运算,是怎么一回事呢?在那个时代,计算多位数之间的 乘积,还是十分复杂的运算,因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法。 让我们来看看下面这个例子: 0、1、2、3、4、5、6、7 、8 、9 、10 、11 、12 、13 、14 、…… 1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、…… 这两行数字之间的关系是极为明确的:第一行表示 2 的指数,第二行表示 2 的对应幂。如 果我们要计算第二行中两个数的乘积,可以通过第一行对应数字的加和来实现。 比如,计算 64×256 的值,就可以先查询第一行的对应数字:64 对应 6,256 对应 8;然 后再把第一行中的对应数字加和起来:6+8=14;第一行中的 14,对应第二行中的 16384, 所以有:64×256=16384。 纳皮尔的这种计算方法,实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了。回忆一 下,我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候,采用的不正是这种思路吗:计算两个复 杂数的乘积,先查《常用对数表》 ,找到这两个复杂数的常用对数,再把这两个常用对数值 相加,再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值,就是原先那两个复杂数的乘 积了。这种“化乘除为加减” ,从而达到简化计算的思路,不正是对数运算的明显特征吗? 经过多年的探索,纳皮尔男爵于 1614 年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》 ,向 世人公布了他的这项发明,并且解释了这项发明的特点。 所以,纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者” ,理应在数学史上享有这份殊荣。伟大的导 师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中,曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布 尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明。法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯 (PierreSimonLaplace,1749-1827)曾说:对数,可以缩短计算时间, “在实效上等于把天 文学家的寿命延长了许多倍” 。

—————教学设计————

普通高中课程标准实验教科书(必修 1)第三章 第五节

工作单位:西安市铁一中 姓 时 名:田群向 间:2014 年 11 月


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