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第二章 §2.2.2(二) 习题课


习题课

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【学习要求】 1.巩固和深化对有关对数基础知识的理解与掌握; 2.重点掌握好对数函数的图象及性质的应用及对数函数与其 它有关知识的综合应用.

试一试·双基题目、基础更牢固

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1.若点(a,b)在 y=lg x

图象上,a≠1,则下列点也在此图象
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上的是 1 A.(a,b) 10 C.( a ,b+1)

( B.(10a,1-b) D.(a2,2b)

)

解析 由点(a,b)在 y=lg x 图象上,知 b=lg a.
1 1 1 对于 A,点(a,b),当 x=a时,y=lga=-lg a=-b≠b,
∴不在图象上.

试一试·双基题目、基础更牢固

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对于 B,点(10a,1-b),
当 x=10a 时, y=lg(10a)=lg 10+lg a=1+b≠1-b,

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∴不在图象上. 10 对于 C,点( a ,b+1), 10 10 当 x= a 时, y=lg a =1-lg a=1-b≠b+1,

∴不在图象上.

对于 D,点(a2,2b),

当 x=a2 时,y=lg a2=2lg a=2b,
∴该点在此图象上.

答案 D

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1-x 2.已知函数 f(x)=lg ,若 f(a)=b, 则 f(-a)等于 ( B ) 1+x 1 1 A.b B.-b C.b D.-b 1+x 1-x -1 1-x 解析 f(-x)=lg =lg( ) =-lg =-f(x), 1-x 1+x 1+x
则 f(x)为奇函数,故 f(-a)=-f(a)=-b.

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3.已知函数 y=f(2x)的定义域为[-1,1],则函数 y=f(log2x)的 定义域为
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A.[-1,1] C.[1,2]

1 B.[ ,2] 2

( D )

D.[ 2,4] 1 ∴2-1≤2x≤2, 解析 ∵-1≤x≤1, 即2≤2x≤2. 1 1 ∴y=f(x)的定义域为[2,2],即2≤log2x≤2,
∴ 2≤x≤4.

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4.已知函数 f(x)满足: 当 x≥4
?1? 时, f(x)=?2?x; 当 ? ?

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x<4 时, f(x) ( A )

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=f(x+1).则 f(2+log23)的值为 1 1 1 A. B. C. 24 12 8 解析 因为 3<2+log23<4,

3 D. 8

故 f(2+log23)=f(2+log23+1)=f(3+log23).
又 3+log23>4, 1 log 2 1 3? log 2 3 1 3 ?1 log2 3 1 (2 ) 故 f(3+log23)=( ) =(2) · =8× 2 3 2 1 1 1 =8×3=24.

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1 5.定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上递增,f( )=0,则 3 满足 f(log1x)>0 的 x 的取值范围是 ( B )
8

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1 A.(0,+∞) B.(0, )∪(2,+∞) 2 1 1 1 C.(0, )∪( ,2) D.(0, ) 8 2 2 1 1 解析 由题意可得: f(x)=f(-x)=f(|x|), f(|log x|)>f(3), f(x) 8 1 1 在[0,+∞)上递增, 于是|log x|>3, 8 1 解得 x 的取值范围是(0,2)∪(2,+∞). 6.已知 0<a<b<1<c,m=logac,n=logbc,则 m 与 n 的大
m ∵ n =logac· logcb=logab<logaa=1, 解析 ∵m<0,n<0, ∴m>n.

m>n . 小关系是________

研一研·题型解法、解题更高效

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题型一
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对数式的化简与求值 x 2) . y
3)(2-

例1

计算:(1)log(2+ 3)(2- 3); x-y (2)已知 2lg =lg x+lg y,求 log(3-2 2

解 (1)方法一 利用对数定义求值:设 log(2+
x

3)=x,

1 ∴x=-1. 则(2+ 3) =2- 3= =(2+ 3)-1, 2+ 3

方法二
log(2+

利用对数的运算性质求解:
1 =log(2+ 3) 2+ 3
-1 (2 + 3) =-1. 3)

3)(2- 3)=log(2+

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x-y 2 (2)由已知得 lg( ) =lg xy, 2 x-y 2 x2 x 2 2 ∴( 2 ) =xy, 即 x -6xy+y =0. ∴(y) -6(y)+1=0. ?x-y>0, ? x x x ∴y=3+2 2, ∴y=3± 2 2. ∵?x>0, ∴y>1, ?y>0, ?

∴log(3-2
小结

x 2) =log(3-2 y

2)(3+2

2)=log(3-2

1 =-1. 2) 3-2 2

在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行

变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再 运用对数运算法则化简合并,在运算中要注意化同底,指 数与对数互化.

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跟踪训练 1 计算: 7 1 (1)log2 +log212- log242-1; 48 2
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(2)(lg 2)2+lg 2· lg 50+lg 25.

7 解 (1)原式=log2 +log212-log2 42-log22 48
=log2 7×12 1 3 log 2 =log2 = 2 =-2. 48× 42×2 2 2
? 3 2

(2)原式=lg 2· (lg 2+lg 50)+lg 25=2lg 2+lg 25=lg 100=2.

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题型二 对数函数的图象与性质

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例2 已知 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),如果对于任意的 x∈ 1 [ ,2]都有|f(x)|≤1 成立,试求 a 的取值范围. 3 解 ∵f(x)=logax,则 y=|f(x)|的图象如右下图. 1 由图示,可使 x∈[3,2]时恒有|f(x)|≤1,只需 1 1 |f(3)|≤1,即-1≤loga3≤1, 1 -1 即 logaa ≤loga3≤logaa, 1 -1 亦当 a>1 时,得 a ≤3≤a,即 a≥3; 1 1 -1 当 0<a<1 时,得 a ≥3≥a,得 0<a≤3. 1 综上所述,a 的取值范围是(0,3]∪[3,+∞).

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小结
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1 本题属于函数恒成立问题,即对于 x∈[ ,2]时,|f(x)| 3

恒小于等于 1,恒成立问题一般有两种思路:一是利用图象 转化为最值问题;二是利用单调性转化为最值问题.由于本 题底数 a 为参数,需对 a 进行分类讨论.

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跟踪训练 2

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已知函数 f(x)=|lg x|, 若 0<a<b, 且 f(a)=f(b), ( C ) B.[2 2,+∞) D.[3,+∞)

则 a+2b 的取值范围是 A.(2 2,+∞)
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C.(3,+∞)
解析

画出函数 f(x)=|lg x|的图象如图所示.

∵0<a<b,f(a)=f(b), ∴0<a<1,b>1,

∴lg a<0,lg b>0. ∴0<a<1,b>1, 由 f(a)=f(b), ∴-lg a=lg b,ab=1, 1 2 ∴b=a, ∴a+2b=a+a, 2 又 0<a<1,函数 t=a+a在(0,1)上是减函数, 2 2 ∴a+a>1+1=3,即 a+2b>3.

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题型三 例3 对数函数的综合应用

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已知函数 f(x)=log2x, x∈[2,8], 函数 g(x)=f2(x)-2af(x)

+3 的最小值为 h(a). (1)求 h(a);
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(2)是否存在实数 m,n,同时满足以下条件:①m>n>3; ②当 h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2],若存在, 求出 m,n 的值;若不存在,说明理由. 解 (1)∵x∈[2,8] , ∴log2x∈[1,3] .
设 log2x=t,t∈[1,3] , 则 g(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2 当 a<1 时, ymin=g(1)=4-2a, 当 1≤a≤3 时,ymin=g(a)=3-a2,
当 a>3 时,ymin=g(3)=12-6a.

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?a<1? ?4-2a ? 2 所以 h(a)=?3-a ?1≤a≤3? ?12-6a ?a>3? ?
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.

(2)因为 m>n>3,
所以 h(a)=12-6a 在(3,+∞)上为减函数,

因为 h(a)的定义域为[ n,m],值域为[ n2,m2] ,
2 ? ?12-6m=n 所以? 2 ? ?12-6n=m



两式相减得 6(m-n)=(m-n)(m+n)

所以 m+n=6,但这与“m>n>3”矛盾,
故满足条件的实数 m,n 不存在.

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小结
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本题利用了换元法, 把 log2x 看作一个整体用 t 来表示,

从而得到一个新函数,因此需要求出函数的定义域.所示函 数的最值本身也是关于 a 的分段函数,所以函数思想是中学 阶段常用的重要思想.

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跟踪训练 3 已知函数 f(x)=loga(x+1)(a>1), 若函数 y=g(x) 图象上任意一点 P 关于原点对称的点 Q 在函数 f(x)的图象上. (1)写出函数 g(x)的解析式; (2)当 x∈[0,1)时总有 f(x)+g(x)≥m 成立,求 m 的取值范围.
本 课 解 (1)设 P(x,y)为 g(x)图象上任意一点,则 Q(-x,-y)是 时 ∵Q(-x,-y)在 f(x)的图象上, 栏 点 P 关于原点的对称点, 目 即 y=g(x)=-loga(1-x). 开 ∴-y=loga(-x+1), 关

x+1 (2)f(x)+g(x)≥m,即 loga ≥m. 1-x 1+x 2 设 F(x)=loga =loga(-1+ ),x∈[0,1), 1-x 1-x

由题意知,只要 F(x)min≥m 即可.
∵F(x)在[0,1)上是增函数, ∴F(x)min=F(0)=0.故 m≤0 即为所求.

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1.指数式 ab=N 与对数式 logaN=b 的关系以及这两种形式的
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互化是对数运算法则的关键. 2.指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算,对于指数 式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式;对数运算的 实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积. n n log b m 3.注意对数恒等式、对数换底公式及等式 = m· logab, a 1 logab= 在解题中的灵活应用. logba

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4.在运用性质 logaMn=nlogaM 时,要特别注意条件,在无 M >0 的条件下应为 logaMn=nloga|M|(n∈N*,且 n 为偶数).
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5.指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0, 且 a≠1)互为反函数,应从概念、图象和性质三个方面理解 它们之间的联系与区别. 6.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质, 要记忆 函数的性质可借助于函数的图象. 因此要掌握指数函数和对 数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象.


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