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2014年数学二真题+答案解析


2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题 目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ... (1) 当 x ? 0 时, 若 ln? (1 ? 2 x) , 则 ? 的取值范围是( (1 ? cos x)? 均是比 x 高阶的无穷小,
?

1

)

(A) (2, ??)

(B) (1, 2)

(C) ( ,1)

1 2

(D) (0, ) ( )

1 2

(2) 下列曲线中有渐近线的是 (A) y ? x ? sin x (C) y ? x ? sin (B) y ? x ? sin x
2

1 x

(D) y ? x ? sin
2

1 x
( )

(3) 设函数 f ( x ) 具有 2 阶导数,g ( x) ? f (0)(1 ? x) ? f (1) x , 则在区间 [0,1] 上 (A) 当 f ?( x) ? 0 时, f ( x) ? g ( x) (C) 当 f ??( x) ? 0 时, f ( x) ? g ( x) (B) 当 f ?( x) ? 0 时, f ( x) ? g ( x) (D) 当 f ??( x) ? 0 时, f ( x) ? g ( x)

?x ? t2 ? 7 ? (4) 曲线 ? 上对应于 t ? 1 的点处的曲率半径是 2 ? ? y ? t ? 4t ? 1
(A)





10 50

(B)

10 100

(C) 10 10

(D) 5 10

i l (5) 设函数 f ( x) ? arctan x , 若 f ( x) ? xf ?(? ) , 则m
(A) 1 (B)

?2
x2
1 2

x ?0

?
(D)





2 3

(C)

1 3

(6) 设函数 u ( x, y ) 在有界闭区域 D 上连续, 在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数, 且满足

? 2u ?0 ?x?y
( )

? 2u ? 2u 及 2 ? 2 ? 0, 则 ?x ?y
(A) u ( x, y ) 的最大值和最小值都在 D 的边界上取得 (B) u ( x, y ) 的最大值和最小值都在 D 的内部上取得
1

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二

(C) u ( x, y ) 的最大值在 D 的内部取得,最小值在 D 的边界上取得 (D) u ( x, y ) 的最小值在 D 的内部取得,最大值在 D 的边界上取得

0 a (7) 行列式 0 c

a 0 c 0
2

b 0 0 b ? d 0 0 d
(B) ?(ad ? bc) (D) b c ? a d
2 2 2





(A) (ad ? bc)
2 2

2

(C) a d ? b c

2 2

2

(8) 设 ?1 , ? 2 , ? 3 均为 3 维向量,则对任意常数 k , l ,向量组 ?1 ? k?3 , ?2 ? l?3 线性无关是向量组

?1 , ? 2 , ?3 线性无关的
(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 二、填空题:9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 指定位置上. ... ((9)





?

1 dx ? __________. ?? x ? 2 x ? 5
1 2

(10) 设 f ( x ) 是周期为 4 的可导奇函数, 且 f ?( x ) ? 2( x ? 1), (11) 设 z ? z ( x, y ) 是由方程 e
2 yz

x ? [0, 2] , ( ) 则 f7

? __________.

? x ? y2 ? z ?

7 确定的函数,则 dz 4

1 1 ( , ) 2 2

? __________.

(12) 曲线 r ? r (? ) 的极坐标方程是 r ? ? , 则 L 在点 (r , ? ) ? ( __________.

? ?

, ) 处的切线的直角坐标方程是 2 2
2

(13) 一根长为 1 的细棒位于 x 轴的区间 [0,1] 上,若其线密度 ? ? x ? ? ? x ? 2x ? 1,则该细棒的质 心坐标 x ? __________. (14) 设二次型 f ? x1 , x2 , x3 ? ? x1 ? x2 ? 2ax1x3 ? 4x2 x3 的负惯性指数为 1,则 a 的取值范围为
2 2

_______. 三、解答题:15~23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证 ... 明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)
2

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二

?
求极限 lim
x ???

x

1

? 2? 1 ? ? ?t ? e t ? 1? ? t ? dt ? ? ? ? ? ? . ? 1? 2 x ln ?1 ? ? ? x?

(16)(本题满分 10 分) 已知函数 y ? y ? x ? 满足微分方程 x2 ? y 2 y? ? 1 ? y? ,且 y ? 2? ? 0 ,求 y ? x ? 的极大值与极小 值. (17)(本题满分 10 分) 设平面区域 D ?

?? x, y ? 1 ? x

2

? y ? 4, x ? 0, y ? 0 , 计算 ??
2

?

x sin ? x 2 ? y 2 x? y

?

? dxdy .

D

(18)(本题满分 10 分) 设函数 f (u ) 具有二阶连续导数, z ? f (e x cosy) 满足 ,求 f (u ) 的表达式. f (0) ? 0,f ' (0) ? 0 (19)(本题满分 10 分) 设函数 f ( x), g ( x) 的区间 [a, b] 上连续,且 f ( x ) 单调增加, 0 ? g ( x) ? 1 .证明: (I) 0 ? (II)

?2 z ?2 z ? 2 ? (4 z ? e x cos y) e2 x ,若 2 ?x ?y

?

x

a
b

g (t )dt ? x ? a, x ?[a, b] ,

?

a?

a

?a g (t ) dt f ( x) d x ? b f ( x) g( x) dx . ?
a

(20)(本题满分 11 分) 设函数 f (x) ?

x , x ? ? 0,1? ,定义函数列 f1 ( x) ? f ( x), f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)), 1? x

,

f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)),
极限 lim nS n .
n ??

,记 Sn 是由曲线 y ? f n ( x) ,直线 x ? 1 及 x 轴所围成平面图形的面积,求

(21)(本题满分 11 分) 已知函数 f ( x, y ) 满足

?f ? 2( y ? 1) ,且 f (y, y) ?( y ?1) 2 ?(2 ? y )ln y , 求曲线 f ( x, y) ? 0 ?y

所围成的图形绕直线 y ? ?1 旋转所成的旋转体的体积.
3

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二

(22)(本题满分 11 分)

?1 ? 2 3 ? 4 ? ? ? 设矩阵 A ? ? 0 1 ? 1 1 ? , E 为三阶单位矩阵. ?1 2 0 ? 3 ? ? ?
(I)求方程组 Ax ? 0 的一个基础解系; (II)求满足 AB ? E 的所有矩阵. (23)(本题满分 11 分)

?1 1 ? 1 1 证明 n 阶矩阵 ? ? ? ?1 1

1? ? 0 ? ? 1? ? 0 与 ? ? ? ? 1? ? 0

0 1? ? 0 2? 相似. ? ? 0 n?

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题
4

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二

目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ... (1) 当 x ? 0 时, 若 ln? (1 ? 2 x) , 则 ? 的取值范围是( (1 ? cos x)? 均是比 x 高阶的无穷小,
?

1

)

(A) (2, ??) 【答案】B 【解析】由定义 lim

(B) (1, 2)

(C) ( ,1)

1 2

(D) (0, )

1 2

ln? (1 ? 2 x) (2 x)? ? lim ? lim 2? x? ?1 ? 0 x ?0 x ?0 x ?0 x x 所以 ? ? 1 ? 0 ,故 ? ? 1 .
2

当 x ? 0 时, (1 ? cos x) ? ~ 故选 B (2) 下列曲线中有渐近线的是 (A) y ? x ? sin x (C) y ? x ? sin 【答案】C

?

1

x 2

?
1

是比 x 的高阶无穷小,所以

2

?

?

? 1 ? 0 ,即 ? ? 2 .

( (B) y ? x ? sin x
2

)

1 x

(D) y ? x ? sin
2

1 x

1 1 sin x ? lim1 ? lim x ? 1? 0 ? 1 . 【解析】关于 C 选项: lim x ?? x ?? x ?? x x 1 1 1 lim[ x ? sin ? x] ? lim sin ? 0 ,所以 y ? x ? sin 存在斜渐近线 y ? x . x ?? x ?? x x x x ? sin
故选 C (3) 设函数 f ( x ) 具有 2 阶导数,g ( x) ? f (0)(1 ? x) ? f (1) x , 则在区间 [0,1] 上 (A) 当 f ?( x) ? 0 时, f ( x) ? g ( x) (C) 当 f ??( x) ? 0 时, f ( x) ? g ( x) 【答案】D 【解析】令 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? f (0)(1 ? x) ? f (1) x ? f ( x) ,则 (B) 当 f ?( x) ? 0 时, f ( x) ? g ( x) (D) 当 f ??( x) ? 0 时, f ( x) ? g ( x) ( )

F (0) ? F (1) ? 0 , F ?( x) ? ? f (0) ? f (1) ? f ?( x) , F ??( x) ? ? f ??( x) .
若 f ??( x) ? 0 ,则 F ??( x) ? 0 , F ( x ) 在 [0,1] 上为凸的.
5

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二

又 F (0) ? F (1) ? 0 ,所以当 x ? [0,1] 时, F ( x) ? 0 ,从而 g ( x) ? f ( x) . 故选 D.
2 ? ?x ? t ? 7 (4) 曲线 ? 上对应于 t ? 1 的点处的曲率半径是 2 ? ? y ? t ? 4t ? 1





(A)

10 50

(B)

10 100

(C) 10 10

(D) 5 10

【答案】C 【解析】

dy dx

t ?1

?

2t ? 4 2t

t ?1

?3 ?

d2y dx 2

dy ' ? t ?1 dx

2 t2 t ?1 ? 2t

t ?1

? ?1

k?

y ''

?1 ? y ?

3 '2 2

?

1

?1 ? q ?

3 2

,? R ?

1 ? 10 10 k

故选 C

i l x) ? x f ( ?) ? , (5) 设函数 f ( x) ? arctan x , 若 f( 则m
(A) 1 【答案】D 【解析】因为 (B)

?2
x2
1 2

x ?0

?
(D)





2 3

(C)

1 3

f ( x) 1 x ? f ( x) 2 ? f ' (? ) ? ,所以 ? ? 2 x 1? ? f ( x)
2 2

lim
x ?0

?
x

? lim
x ?0

x ? f ( x) x ? arctan x ? lim 2 ? lim 2 x ? 0 x f ( x) x arctan x x ?0

1?

1 1 ? x2 ? 1 3x 2 3

故选 D. (6) 设函数 u ( x, y ) 在有界闭区域 D 上连续, 在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数, 且满足

? 2u ?0 ?x?y

6

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二



? 2u ? 2u 则 ? ? 0, ?x 2 ?y 2
(A) u ( x, y ) 的最大值和最小值都在 D 的边界上取得 (B) u ( x, y ) 的最大值和最小值都在 D 的内部上取得 (C) u ( x, y ) 的最大值在 D 的内部取得,最小值在 D 的边界上取得 (D) u ( x, y ) 的最小值在 D 的内部取得,最大值在 D 的边界上取得





【答案】A

? 2u ? 2u ? 2u 【解析】记 A ? 2 , B ? , C ? 2 , B ? 0, A, C相反数 ?x ?x?y ?y
则 ?=AC-B ? 0 ,所以 u (x, y) 在 D 内无极值,则极值在边界处取得.
2

故选 A

(7) 行列式

0 a b a 0 0

0 b

0 c d 0 c 0 0 d
2

?

(

)

(A) (ad ? bc)

(B) ?(ad ? bc)

2

(C) a d ? b c
2 2

2 2

(D) b c ? a d
2 2 2

2

【答案】B 【解析】由行列式的展开定理展开第一列

0 a 0 c

a 0 c 0

b 0 a b 0 a b 0 0 b ? ?a c d 0 ? c 0 0 b d 0 0 0 d c d 0 0 d
? ?ad (ad ? bc) ? bc(ad ? bc)

? ?(ad ? bc)2 .
(8) 设 a1 , a2 , a3 均为三维向量,则对任意常数 k , l , 向量组 a1 ? ka3 , a2 ? la3 线性无关是向量组

a1 , a2 , a3 线性无关的
(A)必要非充分条件
7

( (B)充分非必要条件

)

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二

(C)充分必要条件 【答案】A 【解析】 ??1 ? k? 3

(D)既非充分也非必要条件

? 2 ? l? 3 ? ? ??1 ? 2

? 1 0? ? ?3 ? ? ? 0 1? . ?k l ? ? ? ? 1 0? ? ? ?3 ? ,C ? ? 0 1 ? . 若 ?1 , ? 2 , ?3 线性无 ?k l ? ? ?

?) 记 A ? ??1 ? k?3 ?2 ? l?3 ? ,B ? ??1 ?2

关,则 r ( A) ? r ( BC ) ? r (C ) ? 2 ,故 ?1 ? k?3 , ?2 ? l?3 线性无关.

? ) 举反例. 令 ?3 ? 0 ,则 ?1 ,?2 线性无关,但此时 ?1 , ? 2 , ?3 却线性相关.
综上所述,对任意常数 k , l ,向量 ?1 ? k?3 , ?2 ? l?3 线性无关是向量 ?1 , ? 2 , ? 3 线性无关的必 要非充分条件. 故选 A 二、填空题:9 (9)

14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 指定位置上. ...

1 dx ? __________. ?? x ? 2 x ? 5 3 【答案】 ? 8

?

1

2

【解析】

?

1 1 1 1 x ?1 dx ? ? dx ? arctan 2 ?? x ? 2 x ? 5 ?? 2 2 ? x ? 1? ? 4 1 2

1 ??

?

1 ?? 2? ?4

? ? ?? 3 ? ? ? ?? ? ? ? 2 ?? 8
x ? [0, 2] , ( ) 则 f7 ? __________.

(10) 设 f ( x ) 是周期为 4 的可导奇函数, 且 f ?( x ) ? 2( x ? 1), 【答案】1 【解析】 f 则f
' '

? x? ? 2 ? x ?1?,x ??0,2? 且为偶函数

? x? ? 2 ? ?x ?1?,x ???2,0?
2

又 f ? x ? ? ?x ? 2x ? c 且为奇函数,故 c =0

8

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二

? f ? x ? ? ?x2 ? 2x,x ???2,0?


f ? x ? 的周期为 4,? f ? 7? ? f ? ?1? ? 1
2 yz

(11) 设 z ? z ( x, y ) 是由方程 e 【答案】 ?

? x ? y2 ? z ?

7 确定的函数,则 dz 4

1 1 ( , ) 2 2

? __________.

1 (dx ? dy ) 2
2 yz

【解析】对 e

? x ? y2 ? z ?

7 方程两边同时对 x , y 求偏导 4

?z ?z ? 2 yz e ? 2 y ? ?1? ? 0 ? ?x ?x ? ? ?e2 yz (2 z ? 2 y ?z ) ? 2 y ? ?z ? 0 ?y ?y ? ?
当x?

1 1 , y ? 时, z ? 0 2 2
1 1 ( , ) 2 2



?z ?x

1 ?z ?? , 2 ?y

1 1 ( , ) 2 2

??

1 2

故 dz

1 1 ( , ) 2 2

1 1 1 ? ? dx ? (? )dy ? ? (dx ? dy ) 2 2 2

(12) 曲线 lim nS n 的极坐标方程是 r ? ? ,则 L 在点 (r , ? ) ? (
n ??

? ?

, ) 处的切线的直角坐标方程是 2 2

__________. 【答案】 y ? ?

2

?

x?

?
2

【解析】由直角坐标和极坐标的关系 ?

? x ? r cos ? ? ? cos ? , ? y ? r sin ? ? ? sin ?

于是 ? r ,? ? ? ?

?? ? ? ? ?? , ? , 对应于 ? x, y ? ? ? 0, ? , ?2 2? ? 2?
? dy dx ?? 2

dy dy d? ? cos ? ? sin ? ? ? 切线斜率 dx dx cos ? ? ? sin ? d?

? ?? ? 0, ? ? 2?

?

9

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二

所以切线方程为 y ? 即 y= ?

?
2

??

2

2

?

x?

?
2

?

? x ? 0?

(13) 一根长为 1 的细棒位于 x 轴的区间 [0,1] 上,若其线密度 ? ? x ? ? ? x2 ? 2x ? 1,则该细棒的质 心坐标 x ? __________. 【答案】

11 20
1 0

? x? ? x ? dx 【解析】质心横坐标 x ? ? ? ? x ? dx
1 0

?

1

0 1

? ? x ? dx = ? ? ? x 2 ? 2 x ? 1? dx ? ? ?
1 0

? x3 ? 5 ? x2 ? x ? 1 0 ? 3 ? 3 ?

1 ? x 4 2 3 x 2 ? 1 11 2 x ? x dx = x ? x ? 2 x ? 1 dx ? ? ? ? 4 ? 3 x ? 2 ? 0 ? 12 ?0 ? ? ?0 ? ? ? 11 11 ? x ? 12 = 5 20 3

(13) 设二次 型 f ? x1, x2 , x3 ? ? x1 ? x2 ? 2ax1x3 ? 4x2 x3 的负惯 性指 数是 1 , 则 a 的取 值范围
2 2

_________. 【答案】 ? ?2, 2?
2 2 2 【解析】配方法: f ? x1 , x2 , x3 ? ? ? x1 ? ax3 ? ? a x3 ? ? x2 ? 2 x3 ? ? 4 x3 2 2

由于二次型负惯性指数为 1,所以 4 ? a ? 0 ,故 ?2 ? a ? 2 .
2

三、解答题:15~23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证 ... 明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)

?
求极限 lim
x ???

x

1

? 2? 1 ? ? ?t ? e t ? 1? ? t ? dt ? ? ? ? ? ? . 1 ? ? x 2 ln ?1 ? ? ? x?

10

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二

? 【解析】 lim
x ???

x ?2 1 ?dt ?2 1 ?dt t ? ?t (e ? 1) ? t ? ? ?t (e t ? 1) ? t ? ? 1? 1? ? lim x ??? 1 1 x 2 ln(1 ? ) x2 ? x x x

? lim [ x 2 (e x ? 1) ? x]
x ???

1

1 ?t x

et ? 1 ? t et ? 1 t 1 ? lim ? lim ? lim ? . 2 ? ? ? t ?0 t ?0 t ?0 2t t 2t 2

(16)(本题满分 10 分) 已知函数 y ? y ? x ? 满足微分方程 x2 ? y 2 y? ? 1 ? y? ,且 y ? 2? ? 0 ,求 y ? x ? 的极大值与极小 值. 【解析】 由 x ? y y? ? 1 ? y? ,得
2 2

( y 2 ? 1) y? ? 1 ? x2 ………………………………………………………①
此时上面方程为变量可分离方程,解的通解为

1 3 1 y ? y ? x ? x3 ? c 3 3 2 由 y (2) ? 0 得 c ? 3

1 ? x2 y2 ?1 当 y?( x) ? 0 时, x ? ?1 ,且有: x ? ?1, y?( x) ? 0 ?1 ? x ? 1, y?( x) ? 0 x ? 1, y?( x) ? 0
又由①可得 y?( x) ? 所以 y ( x) 在 x ? ?1 处取得极小值,在 x ? 1 处取得极大值

y(?1) ? 0, y(1) ? 1
即: y ( x) 的极大值为 1,极小值为 0. (17)(本题满分 10 分) 设平面区域 D ?

?? x, y ? 1 ? x

2

? y 2 ? 4, x ? 0, y ? 0 , 计算 ??
D

?

x sin ? x 2 ? y 2 x? y

?

? dxdy .

【解析】D 关于 y ? x 对称,满足轮换对称性,则:

x sin(? x 2 ? y 2 ) y sin(? x 2 ? y 2 ) dxdy ? dxdy ?? ?? x? y x? y D D
11

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二

? I ? ??
D

x sin(? x 2 ? y 2 ) 1 ? x sin(? x 2 ? y 2 ) y sin(? x 2 ? y 2 ) ? dxdy ? ?? ? ? ?dxdy x? y 2D? x ? y x ? y ? ? ?

?

1 sin(? x 2 ? y 2 )dxdy ?? 2D

2 1 ? ? ? 2 d? ? sin ? r ? rdr 1 2 0 ? 1 2 ? (? ) ? rd cos ? r 4 ? 1
2 1 2 ? ? ?cos ? r ? r |1 ? ? cos ? rdr ? ? ? 1 ? 4?

1? 1 2? ? ? ? 2 ? 1 ? sin ? r |1 ? 4? ? ?
?? 3 4

(18)(本题满分 10 分) 设函数 f (u ) 具有二阶连续导数, z ? f (e x cosy) 满足 ,求 f (u ) 的表达式. f (0) ? 0,f ' (0) ? 0
x 【解析】由 z ? f e cos y ,

?2 z ?2 z ? 2 ? (4 z ? e x cos y) e2 x ,若 2 ?x ?y

?

?

?z ?z ? f ?(e x cos y) ? e x cos y, ? f ?(e x cos y ) ? ? ?e x sin y ? ?x ?y

?2 z ? f ??(e x cos y) ? e x cos y ? e x cos y ? f ?(e x cos y) ? e x cos y , 2 ?x

?2 z ? f ??(e x cos y) ? ? ?e x sin y ? ? ? ?e x sin y ? ? f ?(e x cos y) ? ? ?e x cos y ? 2 ?y


?2 z ?2 z + ? ? 4 z ? e x cos y ? e2 x ,代入得, ?x 2 ?y 2
f ?? ? e x cos y ? ? e 2 x ? [4 f ? e x cos y ? ? e x cos y ]e 2 x


12

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二

f ?? ? e x cos y ? ? 4 f ? e x cos y ? ? e x cos y ,
令 e x cos y =t , 得 f ?? ? t ? ? 4 f ? t ? ? t 特征方程

? 2 ? 4 ? 0, ? ? ?2

得齐次方程通解 y ? c1e2t ? c2e?2t

1 1 , b ? 0 ,特解 y* ? ? t 4 4 1 2t ?2 t 则原方程通解为 y =f ? t ? ? c1e ? c2 e ? t 4 1 1 ' , c2 ? ? , 则 由 f ? 0? ? 0, f ? 0? ? 0 ,得 c1 ? 16 16 1 2u 1 ?2u 1 y =f ? u ? ? e ? e ? u . 16 16 4
设特解 y* ? at ? b ,代入方程得 a ? ? (19)(本题满分 10 分) 设函数 f ( x), g ( x) 在区间 [ a, b] 上连续,且 f ( x ) 单调增加, 0 ? g ( x) ? 1 ,证明: (I)

0 ? ? g (t )dt ? x ? a, x ?[a, b] ,
a

x

(II)

?

a?

a

?a g (t ) dt f ( x) d x ? b f ( x) g( x) dx . ?
a

b

【解析】 (I)由积分中值定理

? g ?t ? dt ? g ?? ?? x ? a ? , ? ?[a, x]
a

x

0 ? g ? x ? ? 1,?0 ? g ?? ?? x ? a ? ? ? x ? a ?
? 0 ? ? g ? t ? dt ? ? x ? a ?
a x

(II)直接由 0 ? g ? x ? ? 1,得到

0 ? ? g ? t ? dt ? ? 1dt = ? x ? a ?
a a

x

x

(II)令 F ? u ? ?

? f ? x ? g ? x ? dx ? ?
a

u

a?

F ' ? u ? ? f ? u ? g ? u ? ? f a ? ? g ? t ? dt ? g ? u ?
u ? g ? u ? ? f ? u ? ? f a ? ? g ? t ? dt ? ? ? a ? ?

?

?

a

?a g ?t ?dt f x dx ? ?

u

u

a

?

?

由(I)知 0 ?

?

u

a

g ? t ? dt ? ? u ? a ?

?a ? a ? ?
13

u

a

g ? ?t d t? u

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二

又由于 f ? x ? 单增,所以 f ? u ? ? f a ?

?

? g ? t ? dt ? ? 0
u a

? F ' ?u ? ? 0, ? F ?u ? 单调不减,? F ?u ? ? F ? a ? ? 0
取 u ? b ,得 F ?b? ? 0 ,即(II)成立. (20)(本题满分 11 分) 设函数 f (x) ?

x , x ? ? 0,1? ,定义函数列 1? x

f1 ( x) ? f ( x), f2 ( x) ? f ( f1 ( x)),

, f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)),
n ??

, 记 Sn 是由曲线 y ? f n ( x) , 直线 x ? 1

及 x 轴所围成平面图形的面积,求极限 lim nS n . 【解析】 f1 ( x) ?

x x x x , f 2 ( x) ? , f 3 ( x) ? , , f n ( x) ? , 1? x 1? 2x 1 ? 3x 1 ? nx 1 1 x? ? 1 1 1 x n n dx ? Sn ? ? f n ( x)dx ? ? dx ? ? 0 0 1 ? nx 0 1 ? nx 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1dx ? ? dx ? ? 2 ln(1 ? nx) 1 0 0 0 n n 1 ? nx n n 1 1 ? ? 2 ln(1 ? n) n n ln(1 ? n) ln(1 ? x) 1 ? 1? 0 ? 1 ? lim nSn ? 1 ? lim ? 1 ? lim ? 1 ? lim n ?? n ?? x ?? x ?? 1 ? x n x

(21)(本题满分 11 分) 已 知 函 数 f ( x, y ) 满 足

?f ?2 ( y ? 1, ) 且 f ( y, y? ) ?y

(y ? 21? )

( ?2y

曲线 )求 y ln ,

f ( x, y) ? 0 所围成的图形绕直线 y ? ?1 旋转所成的旋转体的体积.
【解析】因为

?f ? 2( y ? 1) ,所以 f ( x, y) ? y 2 ? 2 y ? ? ( x), 其中 ? ( x) 为待定函数. ?y
2

又因为 f ( y, y) ? ( y ?1) ? ? 2 ? y ? ln y, 则 ? ( y) ? 1 ? ? 2 ? y ? ln y ,从而

f ( x, y) ? y2 ? 2 y ?1? ? 2 ? x ? ln x ? ( y ?1)2 ? ? 2 ? x ? ln x .
2 令 f ( x, y) ? 0, 可得 ( y ?1) ? ? 2 ? x ? ln x ,当 y ? ?1 时, x ? 1 或 x ? 2 ,从而所求的体积为

14

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二

V ??? ???
2 1

? y ? 1? dx ? ? ?1 ? 2 ? x ? ln xdx 1

2

2

2

? x2 ? ln xd ? 2 x ? ? 2? ?
2

2? ? x2 ? x? ? ? ?ln x(2 x ? ) ? ? ? ? ? 2 ? ? dx 1 2 ?1 2? ? ?

x2 ? ? 2 ln 2 ? ? (2 x ? ) 4
(22)(本题满分 11 分)

2 1

5 5? ? ? ? 2 ln 2 ? ? ? ? ? ? 2 ln 2 ? ? . 4 4? ?

?1 ? 2 3 ? 4 ? ? ? 设矩阵 A ? ? 0 1 ? 1 1 ? , E 为三阶单位矩阵. ?1 2 0 ? 3 ? ? ?
(I)求方程组 Ax ? 0 的一个基础解系; (II)求满足 AB ? E 的所有矩阵 B . 【解析】

?1 ?2 3 ?4 1 0 0 ? ? 1 ?2 3 ?4 1 0 0 ? ? ? ? ? A E? ? ? ? 0 1 ?1 1 0 1 0 ? ? ? 0 1 ?1 1 0 1 0 ? ? 1 2 0 ?3 0 0 1 ? ? 0 4 ?3 1 ?1 0 1 ? ? ? ? ?
6 ?1 ? ? 1 ?2 3 ?4 1 0 0 ? ? 1 0 0 1 2 ? ? ? ? ? ? 0 1 ?1 1 0 1 0 ? ? ? 0 1 0 ?2 ?1 ?3 1 ? , ? 0 0 1 ?3 ?1 ?4 1 ? ? 0 0 1 ?3 ?1 ?4 1 ? ? ? ? ?
(I) Ax ? 0 的基础解系为 ? ? ? ?1, 2,3,1?
T T T T T

(II) e1 ? ?1, 0, 0 ? , e2 ? ? 0,1, 0 ? , e3 ? ?0, 0,1 ?
T

Ax ? e1 的通解为 x ? k1? ? ? 2, ?1, ?1, 0 ? ? ? 2 ? k1 , ?1 ? 2k1 , ?1 ? 3k1 , k1 ?
T

Ax ? e2 的通解为 x ? k2? ? ? 6, ?3, ?4, 0 ? ? ? 6 ? k2 , ?3 ? 2k2 , ?4 ? 3k2 , k2 ? Ax ? e3 的通解为 x ? k3? ? ? ?1,1,1, 0 ? ? ? ?1 ? k3 ,1 ? 2k3 ,1 ? 3k3 , k3 ?
T T

T

6 ? k2 ? 1 ? k3 ? ? 2 ? k1 ? ? ?1 ? 2k1 ? 3 ? 2k2 1 ? 2k3 ? ? ?B ? ? ?1 ? 3k1 ? 4 ? 3k2 1 ? 3k3 ? ? ? ? k k2 k3 ? 1 ? ?
(23)(本题满分 11 分)
15

( k1 , k2 , k3 为任意常数)

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?1 1 ? 1 1 证明 n 阶矩阵 ? ? ? ?1 1

1? ? 0 ? ? 1? ? 0 与 ? ? ? ? 1? ? 0

0 1? ? 0 2? 相似. ? ? 0 n? 1? ,

? 1? ?1 ? ? ? ? ? 2 【解析】已知 A ? ? ? ?1 , 1? B = ? ? ? 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ?n? 则 A 的特征值为 n , 0 ( n ? 1 重).
A 属于 ? ? n 的特征向量为 (1,1,

,1)T ; r ( A) ? 1 ,故 Ax ? 0 基础解系有 n ? 1 个线性无关

的 解 向 量 , 即 A 属 于 ? ? 0 有 n ?1 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ; 故 A 相 似 于 对 角 阵

?n ? 0 ?=? ? ? ?

? ? ?. ? ? 0? B 的特征值为 n , 0 ( n ? 1 重),同理 B 属于 ? ? 0 有 n ? 1 个线性无关的特征向量,故 B 相

似于对角阵 ? . 由相似关系的传递性, A 相似于 B .

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