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填空题西华三高高考真题解析分类汇编(文科数学) - 副本


西华三高◆高二数学组

整理者:王洪来

校对: 轩爱芳 王秋红

西华三高近年数学高考试题解析分类汇编 ——函数与方程填空题部分
整理者:王洪来
【整理者心得】 :

校对: 轩爱芳 王秋红

通过做高考题、研究高考题,掌握高考命题规律,领悟高考命 题思想,把

这种思想用到平时教学中,拉近高考题与课本的距离,使 平时的教学成为从课本知识通向高考试题的桥梁, 给学生开通一个通 向成功的捷径!

填空题
1 错误!未指定书签。 . ( 2013 年 高 考安徽 (文 14 ) ) 定 义在 R 上 的函数 f ( x) 满 足

f ( x ? 1) ? 2 f ( x) . 若 当 0 ? x ? 1 时 . f ( x) ? x(1 ? x) , 则 当 ?1 ? x ? 0
时, f ( x) =________________. 【答案】 f ( x) ? ?

x( x ? 1) 2

【解析】当 ?1 ? x ? 0 ,则 0 ? x ? 1 ? 1 ,故 f ( x ? 1) ? ( x ? 1)(1 ? x ? 1) ? ? x( x ? 1) 又 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ,所以 f ( x) ? ?

x( x ? 1) 2

2 错误!未指定书签。 . (2013 年高考大纲卷(文 11) ) 设 f ? x ? 是以2为周期的函数,且当x ? ?1,3? 时,f ? x ? = ____________. 【答案】-1 【解析】 f (?1) ? f (1) ? 1 ? 2 ? ?1 ,故填 ? 1 .

3 错误!未指定书签。 . (2013 年高考北京卷(文 13) )函数 f ( x) ? ? 为 【答案】(-∞,2) 。

?log 1 x,???? x ? 1 ? 2 ? ?2 ,??????????x ? 1
x

的值域

近年数学高考试题汇编

第 1 页

函数与方程——填空题部分

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【解析】当 x ? 1时, log 1 x ? 0 ,当 x ? 1时,0 ? 2 ? 2 ,故值域是 (??,2) 。
x

2

4 错误!未指定书签。 . (2013 年高考安徽(文 11) )函数 y ? ln(1 ? ) ? 1 ? x 2 的定义域 为_____________. 【答案】 ? 0,1?

1 x

? 1 ?1 ? ? 0 ? x ? 0或x ? ?1 【解析】 ? ,求交集之后得 x 的取值范围 ? 0,1? x 2 ? ? 1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1
【考点定位】考查函数定义域的求解,对数真数位置大于 0,分母不为 0,偶次根式底下大 于等于 0. 5 错误!未指定书签。 . (2013 年高考浙江卷(文) )已知函数 f(x)= x-1 若 f(a)=3,则实数 a= ____________. 【答案】10 【解析】由已知得到 f (a) ?

a ? 1 ? 3 所以 a-1=9 所以 a=10 ,所以答案为 10

【考点定位】此题考查求函数值。

?2 x 3 , x ? 0 ? 6 错误!未指定书签。 . (2013 年高考福建卷(文 13) )已知函数 f ( x) ? ? ? , ?? tan x,0 ? x ? 2 ?
4 【答案】 ? 2
则 f ( f ( )) ? ________

?

【解析】本题考查的是分段函数求值. f ( f ( )) ? f ( ? tan

?

?
4

4

) ? f (?1) ? 2(?1) 3 ? ?2 .

7 错误!未指定书签。 . (2013 年高考四川卷(文 11) ) lg 5 ? lg 20 的值是___________. 【答案】1 【解析】 lg 5 ? lg 20 ? lg 5 ? 20 ? lg 10 ? 1 .故填 1.

8 错误!未指定书签。 . (2013 年上海高考数学试题(文科 8) )方程 为_______. 【答案】 log 3 4

9 ? 1 ? 3x 的实数解 3 ?1
x

9 9 ? 1 ? 3x ? x ? 3x ? 1 ? 3x ? 1 ? ?3 ? 3x ? ?3 ? 1 ? 0 3 ?1 【解析】 3 ? 1 ,
x

所以

3x ? 4 ? x ? log3 4


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9 错误! 未指定书签。 . (2012 年高考 (上海文) ) 方程 4 ? 2
x

x ?1

? 3 ? 0 的解是_________.错误!

未找到引用源。

[解析] (2 ) ? 2 ? 2 ? 3 ? 0 , (2 ? 1)( 2 ? 3) ? 0 , 2 ? 3 , x ? log2 3 .
x 2 x x x

x

ì ? x , x ? 0, ? ? 10 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2012 年 高 考 ( 陕 西 文 ) ) 设 函 数 发 f ( x) = í 1 ,则 x ? ( ) , x < 0, ? ? ? ? 2

f ( f (- 4)) =_____

错误!未找到引用源。解析:

1 f (- 4) = ( )- 4 = 16 , f ( f (- 4)) = f (16) = 16 = 4 2

错误!未找到引用源。 【答案】 (?4,0) 11 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2012 年 高 考 ( 北 京 文 )) 已 知

f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) , g ( x) ? 2 x ? 2 . 若 ?x ? R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 , 则 m
的取值范围是________.
错误!未找到引用源。 【答案】 (?4,0)

【 解 析 】 首 先 看 g ( x) ? 2 ? 2 没 有 参 数 , 从 g ( x) ? 2 ? 2 入 手 , 显 然 x ? 1
x x

时, g ( x) ? 0 , x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,而对 ?x ? R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成立即可,故只要

?x ? 1 时, f ( x) ? 0 (*) 恒成立即可 .当 m ? 0 时, f ( x) ? 0 ,不符合 (*),所以舍去 ;当
m ? 0 时,由 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) ? 0 得 ?m ? 3 ? x ? 2m ,并不对 ?x ? 1 成立,
舍 去 ; 当 m ? 0 时 , 由 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) ? 0 , 注 意 ?2m ? 0, x ? 1 , 故

x ? 2m ? 0 , 所以 x ? m ? 3 ? 0 , 即 m ? ?( x ? 3) , 又 x ? 1 , 故 ?( x ? 3) ? (??, ?4] , 所
以 m ? ?4 ,又 m ? 0 ,故 m ? (?4, 0) ,综上, m 的取值范围是 (?4,0) . 【考点定位】 本题考查学生函数的综合能力,涉及到二次函数的图像的开口,根的大小, 涉及到指数函数 ,还涉及到简易逻辑中的“或”,还考查了分类讨论的思想,对 m 进行 讨论.
12 错误!未指定书签。 . ( 2012 年高考(北京文) ) 已知函数 f ( x) ? lg x , 若 f ( ab) ? 1 , 则

f (a 2 ) ? f (b2 ) ? _________.

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【答案】 2 【解析】? f ( x) ? lg x, f (ab) ? 1 ,? lg(ab) ? 1

? f (a 2 ) ? f (b2 ) ? lg a 2 ? lg b2 ? 2lg(ab) ? 2
【考点定位】本小题考查的是对数函数 ,要求学生会利用对数的运算公式进行化简 ,同 时也要求学生对于基础的对数运算比较熟悉.
13 错误!未指定书签。 . (2012 年高考(江苏) )函数 f ( x) ?

1 ? 2 log 6 x 的定义域为____.

【答案】 0, 6 ? ?. 【考点】函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不等式. 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得

?

?x > 0 ?x > 0 ?x > 0 ? ? ?? ? 0< x ? 6 . 1 ? 1?? 2= 6 ?1 ? 2log 6 x ? 0 ?log 6 x ? ? x ? 6 2 ? ?
14.(2013 年高考上海卷(理) )方程

3 1 ? ? 3x ?1 的实数解为________ 3 ?1 3
x

【答案】 x ? log3 4 . 【解答】原方程整理后变为 3 ? 2 ? 3 ? 8 ? 0 ? 3 ? 4 ? x ? log 3 4 .
2x x x

15 错误!未指定书签。 . ( 2013 年高考上海卷(理) ) 对区间 I 上有定义的函数 g ( x) , 记
?1 ,已知定义域为 [0, 3]的函数 y ? f ( x) 有反函数 y ? f ( x) ,且 g ( I ) ? { y | y ? g ( x), x? I }

f ?1 ([0,1)) ? [1, 2), f ?1 ((2, 4]) ? [0,1) ,若方程 f ( x) ? x ? 0 有解 x0 ,则 x0 ? _____
【答案】 x0 ? 2 . 【解答】根据反函数定义,当 x ? [0,1) 时, f ( x) ? (2, 4] ; x ? [1, 2) 时, f ( x) ?[0,1) ,而

y ? f ( x) 的 定 义 域 为 [0,3] , 故 当 x ? [2,3] 时 , f ( x) 的 取 值 应 在 集 合 (??,0) ? [1, 2] ? (4, ??) ,故若 f ( x0 ) ? x0 ,只有 x0 ? 2 .
16
错 误 ! 未 指 定 书 签 。. ( 2013 年 高 考 湖 南 卷 ( 理 )) 设 函 数

f ( x) ? a x ? b x ? c x , 其中c ? a ? 0, c ? b ? 0.
且a=b? ,则 (1)记集合 M ? ?(a, b, c) a, b, c不能构成一个三角形的三条边长,

(a, b, c) ? M 所对应的 f ( x) 的零点的取值集合为____.
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(2)若 a, b, c是?ABC的三条边长,则下列结论正确的是 ______.(写出所有正确结论的 序号) ① ?x ? ? ??,1? , f ? x ? ? 0; ② ?x ? R, 使xa , b , c 不能构成一个三角形的三条边长;
x x x

③若 ?ABC为钝角三角形,则?x ? ?1, 2 ? , 使f ? x ? ? 0. (【答案】1) (0, 1] (2)①②③

c , 所以方程 2 c c c a x ? b x ? c x ? 0 可化为 2a x ? c x ? 0 , 即 ( ) x ? 2 又 ? 2 , 所以当 x ? 0 时 2 x ? ( ) x ? 2. a a a c x 此时 0 ? x ? 1 ;当 x ? 0 时 ( ) ? 1 ? 2 ,无解.所以 f ( x) 的零点的取值集合为 {x 0 ? x ? 1} . a
【解析】本题考查函数与方程以及命题的真假判断。 (1) 由题意知 a ? b ? (2)①令 F ( x) ?

f ( x) a x ? b x ? c x a b ? ? ( ) x ? ( ) x ?1 , x x c c c c
x

则 F ' ( x) ? ( ) ln( ) ? ( ) ln( ) ,因为 c ? a ? 0, c ? b ? 0. 所以 ln( ) ? 0, ln( ) ? 0 ,
x

a c

a c

b c

b c

a c

b c

即 F ' ( x) ? ( ) x ln( ) ? ( ) x ln( ) ? 0 , 所以 F ( x) ? 递减函数,所以在 (??,1) 上 F ( x) ? F (1) ?

a c

a c

b c

b c

ax ? bx ? cx a b ? ( ) x ? ( ) x ? 1 是单调 x c c c

a?b ?1 , c

? a ? b ? c F ( x) ? F (1) ? 又 a, b, c是?ABC的三条边长,
所以 ?x ? ? ??,1? , f ? x ? ? 0;

a?b ?1 ? 0 , c

② 又 因 为 F ( x) 是 单 调 递 减 函 数 , 所 以 在 R 一 定 存 在 零 点 x0 , 即 a

x0

? b x0 ? c x0 , 此 时

a x0 , b x0 , c x0 不能构成三角形的三边.
③ ?ABC为钝角三角形,则 由余弦定理易知 a ? b ? c ? 0 ,即 f (2) ? 0 ,又 f (1) ? 0 ,
2 2 2

且 f ( x) 连续,所以 ?x ? ?1, 2 ? , 使f ? x ? ? 0. 故①②③都正确。

17 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对 纯 WORD 版含附加题) )已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x ,则不
2

等式 f ( x) ? x 的解集用区间表示为___________.
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【答案】 ?? 5,0? ? ?5,?? ? 【解析】 因为 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,所以易知 x ? 0 时, f ( x) ? ? x ? 4 x
2

解不等式得到 f ( x) ? x 的解集用区间表示为 ? ?5, 0 ? ? ? 5, ?? ?

18 错误!未指定书签。 . (2013 年高考上海卷(理) )设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的

奇函数 , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? 9 x ? 围为________ 【答案】 a ? ?

a2 ? 7 , 若 f ( x) ? a ? 1 对一切 x ? 0 成立 , 则 a 的取值范 x

8 . 7
a2 ? 7 ? a ?1 x

【解答】 f (0) ? 0 ,故 0 ? a ? 1 ? a ? ?1 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? 即 6 | a |? a ? 8 ,又 a ? ?1 ,故 a ? ?

8 . 7
, ,则 的

19. (2011 年重庆文 15)若实数 , , 满足 最大值是 【答案】 .

2 ? log 2 3

20.(2011 年浙江文 11)设函数 k

f ( x) ?

4 1 ? x ,若 f (a) ? 2 ,

则实数 a =________________________ 【答案】-1

21. (2011 年天津文 16) 设函数 成立,则实数 m 的取值范围是 【答案】

f ? x? ? x ?


1 x ? ?1, ?? ? f ? mx ? ? mf ? x ? ? 0 x. 对任意 , 恒

? ??, ?1? .
f ? x? ? x ? 1 x 对 x ? ?1, ?? ? 是增函数,

【解析】解法 1.显然 m ? 0 ,由于函数 则当 m ? 0 时,

f ? mx ? ? mf ? x ? ? 0

不恒成立,因此 m ? 0 .

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当 m ? 0 时,函数

h ? x ? ? f ? mx ? ? mf ? x ?



x ? ?1, ?? ?

是减函数,

因此当 x ? 1 时, 于是

h ? x?

取得最大值

h ?1? ? m ?

1 m,
h ? x ? ? x ? ?1, ?? ? ?
的最大值 ? 0 ,

h ? x ? ? f ? mx ? ? mf ? x ? ? 0

恒成立等价于

1 ? ? m ? ? 0, m ? 1 h ?1? ? m ? ? 0 ? m ? 0, ? ??, ?1? . m 即 ,解 ? 得 m ? ?1 .于是实数 m 的取值范围是
解法 2.然 m ? 0 ,由于函数

f ? x? ? x ?

1 x 对 x ? ?1, ?? ? 是 增 函 数, 则 当 m ? 0 时 ,

f ? mx ? ? mf ? x ? ? 0

不成立,因此 m ? 0 .

1 m 1 ? m 2 2m 2 x 2 ? 1 ? m 2 f ? mx ? ? mf ? x ? ? mx ? ? mx ? ? 2mx ? ? ?0 mx x mx mx ,
因为

x ? ?1, ?? ?

2 2 2 g ? x ? ? 2m x ? 1 ? m , m ? 0 ,则 2m x ? 1 ? m ? 0 ,设函数 ,则当
2 2 2

x ? ?1, ?? ?

g ?1? ? m2 ? 1 g ? x? x ? 1 时为增函数,于是 时, 取得最小值 .

2 ? ? g ?1? ? m ? 1 ? 0, ? m ? 0, ? ??, ?1? . ? 解? 得 m ? ?1 .于是实数 m 的取值范围是

解法 3 .因为对任意

x ? ?1, ?? ?



f ? mx ? ? mf ? x ? ? 0

恒成立,所以对 x ? 1 ,不等式

1 ? ? m ? ? 0, m ? 1 m ? ? 0 ? f ? mx ? ? mf ? x ? ? 0 f ? m ? ? mf ?1? ? 0 m ? 0, m 也成立,于是 ,即 ,解 ? 得

m ? ?1 .于是实数 m 的取值范围是 ? ??, ?1? .
?3 ? x ? ? , ?? ? f ? x ? ? x ?1 ?2 ?, 22.(2011 年天津理 16)设函数 .对任意
2

?x? f ? ? ? 4m 2 f ? x ? ? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ?m? 恒成立,则实数 m 的取值范围是
? ? 3? ? 3 ?? , ? U , ?? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 【答案】 .



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?x? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ? f ? ? ? 4m 2 f ? x ? ? 0 ?m? 【解析】解法1.不等式化为 ,即

? x ? 1?

2

? 1 ? 4m 2 ? 4 ?

x2 ? 1 ? 4m 2 x 2 ? 4m 2 ? 0 2 m ,

1 ? 2? 2 ? 1 ? 2 ? 4m ? x ? 2 x ? 3 ? 0 m ? 整理得 ? ,

因为 x ? 0 ,所以
2

1?

1 2x ? 3 2 x ? 3 x ? ? 3 , ?? ? ? 4m 2 ? g ? x? ? ? ? 2 2 ?2 ?. m x ,设 x2 ,

1?
于是题目化为

?3 ? 1 x ? ? , ?? ? ? 4m 2 ? g ? x ? 2 ?2 ? 恒成立的问题. m ,对任意

为此需求

g ? x? ?

2 x ? 3 x ? ? 3 , ?? ? 1 2 u? 0?u? ? ? 2 ?2 ? 的最大值.设 x ,则 x , 3.
2

? 2? 2 u? ? 0, ? g ? x ? ? h ? u ? ? 3u ? 2u 3 ? 上是增函数,因而在 3 处取得最大值. 函数 在区间 ? 4 2? 2 8 ?2? 1 8 h ? ? ? 3? ? ? 1 ? 2 ? 4m2 ? umax ? x ? ? 9 3 3 ,所以 m ?3? 3,
4 2 4m ? 3 3m ? 1 ? 0 整理得 12m ? 5m ? 3 ? 0 ,即 ,
2 2

?

??

?

所以 4m ? 3 ? 0 ,解得
2

m??

3 3 m? 2 或 2 ,

? ? 3? ? 3 m?? ?? , ? U , ?? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? m 因此实数 的取值范围是 .

1?
解法 2.同解法 1,题目化为

?3 ? 1 x ? ? , ?? ? ? 4m 2 ? g ? x ? 2 ?2 ? 恒成立的问题. m ,对任意

为此需求

g ? x? ?

2 x ? 3 x ? ? 3 , ?? ? ? ? ?2 ? 的最大值. x2 ,

g ? x ? ? h ?t ? ?
t ? ? 6, ?? ? 设 t ? 2 x ? 3 ,则 .

4t 4 ? t ? 6t ? 9 t ? 9 ? 6 t .
2

t?
因为函数

9 9 3 t? 6? 3, ?? ? ? t 在 t 取得最小值 2. 上是增函数,所以当 t ? 6 时,
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4 8 ? 1 8 3 1 ? 2 ? 4m2 ? g max ? x ? ? 6? ?6 3 h ?t ? 2 m 3 ,整理得 从而 有最大值 .所以
12m4 ? 5m2 ? 3 ? 0 ,

? 4m 即

2

? 3?? 3m 2 ? 1? ? 0

,所以 4m ? 3 ? 0 ,解得
2

m??

3 3 m? 2 或 2 ,

? ? 3? ? 3 m?? ?? , ? U , ?? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? m 因此实数 的取值范围是 .

?x? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ? f ? ? ? 4m 2 f ? x ? ? 0 ?m? 解法 3.不等式化为 ,即
x2 ? x ? 1? ? 1 ? 4m ? 4 ? 2 ? 1 ? 4m2 x 2 ? 4m2 ? 0 m ,
2 2

1 ? 2? 2 ? 1 ? 2 ? 4m ? x ? 2 x ? 3 ? 0 m ? 整理得 ? , 1 ? ? F ( x ) ? ? 1 ? 2 ? 4m 2 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? m ? 令 .
由于 到,

F ? 0 ? ? ?3 ? 0

,则其判别式 ? ? 0 ,因此

F ? x?

的最小值不可能在函数图象的顶点得

?3 ? ?3? x ? ? , ?? ? F? ? ?2 ? 恒成立,必须使 ? 2 ? 为最小值, 所以为使 F ( x) ? 0 对任意
即实数 m 应满足

? ? 1 ?1 ? 2 ? 4m 2 ? 0; ? m ? ? ?3? ? F ? ? ? 0; ? ?2? ? 2 3 ? ? 1 2 2? ?2? ?1 ? 2 ? 4m ? ? ? m ? ?
? ? 3? ? 3 3 m ? ?? , ? U , ?? ? ? ? ? m ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? m 4 解得 ,因此实数 的取值范围是 .
2

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?3 ? x ? ? , ?? ? ?2 ?, 解法 4.(针对填空题或选择题)由题设,因为对任意 ?x? f ? ? ? 4m 2 f ? x ? ? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ?m? 恒成立,

x?
则对

3 2 ,不等式

?x? f ? ? ? 4m 2 f ? x ? ? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ?m? 也成立, ? 3 ? 2 f? ? ? 4m f ? 2m ? ?3? ?1? ? ? ? f ? ? ? 4 f ?m? ?2? ?2? ,即

x?


3 2 代入上式得

9 9 1 ? 1 ? 4m 2 ? ? 4m 2 ? ? 1 ? 4 m 2 ? 4 2 2 2 4 4 4m ,因为 4m ? 0 ,上式两边同乘以 4 m ,并整
理得

12m ? 5m
4

2

? 3 ? 0 ,即 ? 4m

2

? 3?? 3m 2 ? 1? ? 0

,所以 4m ? 3 ? 0 ,解得
2

m??

3 2 或

m?

3 2 ,

? ? 3? ? 3 m?? ?? , ? U , ?? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? m 因此实数 的取值范围是 .
1 ? 1 (lg ? lg 25) ?100 2 = 23.(2011 年四川理 13)计算 4 _______.

【答案】-20
1 ? 1 lg 2 ? lg 5 1 (lg ? lg 25) ? 100 2 ? ?2 ? ? ?2 ? lg10 ? ? ?20 1 ? 4 10 100 2 【解析】 .

24 (2011 年四川理 16)函数 f ( x) 的定义域为 A,若 x1 , x2 ? A 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总有 x1 ? x2 , 则称 f ( x) 为单函数.例如,函数 f ( x) =2x+1( x ? R )是单函数.下列命题:
2 ①函数 f ( x) ? x (x ? R)是单函数;

②若 f ( x) 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ③若 f:A→B 为单函数,则对于任意 b ? B ,它至多有一个原象; ④函数 f ( x) 在某区间上具有单调性,则 f ( x) 一定是单函数.

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第 10 页

函数与方程——填空题部分

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其中的真命题是_________. (写出所有真命题的编号) 【答案】②③ 【解析】对于①,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? ? x2 ,不满足;②实际上是单函数命题的逆否命 题,故为真命题;对于③,若任意 b ? B ,若有两个及以上的原象,也即当 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时, 不一定有 x1 ? x2 ,不满足题设,故该命题为真;根据定义,命题④不满足条件. 25.(2011 年上海文 3)若函数 f ( x) ? 2 x ? 1 的反函数为 f
?1

( x) ,则 f ?1 (?2) ?

3 【答案】 2 ?
a
26.(2011 年上海文 12)行列式

b d

c

(a, b, c, d ?{?1,1, 2}
所有可能的值中,最大的是

15 【答案】 2
26. (2011 年上海文 14) 设 g ( x) 是定义在 R 上, 以 1 为周期的函数, 若函数 f ( x) ? x ? g ( x) 在区间 [0,1] 上的值域为 [?2,5] ,则 f ( x) 在区间 [0,3] 上的值域为 【答案】 [?2,7]

f ( x) ?
27.(2011 年上海理 1)函数

1 ?1 x ? 2 的反函数为 f ( x) ?

.

1 ?2 【答案】 x
a
28. ( 2011 年上海理 10 )行列式 是 【答案】 6 29. (2011 年上海理 13)设 g ( x) 是定义在 R 上, 以 1 为周期的函数, 若函数 f ( x) ? x ? g ( x) 在区间 [3, 4] 上的值域为 [?2,5] ,则 f ( x) 在区间 [?10,10] 上的值域为 【答案】 [?15,11] . .

b d

c

(a, b, c, d ? {?1,1, 2})
所有可能的值中,最大的

近年数学高考试题汇编

第 11 页

函数与方程——填空题部分

西华三高◆高二数学组

整理者:王洪来

校对: 轩爱芳 王秋红

?lg x, x ? 0 f ( x) ? ? x ?10 , x ? 0 ,则 f ( f (?2)) ? ______. 30.(2011 年陕西文 11)设
【答案】 ?2 【分析】由 x ? ?2 算起,先判断 x 的范围,是大于 0,还是不大于 0,;再判断 f (?2) 作为 自变量的值时的范围,最后即可计算出结果. 【 解 析 】 ∵ x ? ?2 ? 0 , ∴

f (?2) ? 10?2 ?

1 ?0 ?2 ?2 100 , 所 以 f (10 ) ? lg10 ? ?2 , 即

f ( f (?2)) ? ?2 .

lg x ? ? f ( x) ? ? a x ? ? 3t 2dt ? 0 ? 30. (2011 年陕西理 11) 设

x?0 x? 0
, 若 f ( f (1)) ? 1 , 则a ? .

【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断,从 x ? 1 算起是解答本题的突破口.

f ( x) ? x ? ? 3t 2dt ? x ? a3 0 【解析】因为 x ? 1 ? 0 ,所以 f (1) ? lg1 ? 0 ,又因为 ,
3 所以 f (0) ? a ,所以 a ? 1 , a ? 1 .
3

a

【答案】1 31.(2011 年陕西理 12)设

n ? N?

,一元二次方程 x ? 4 x ? n ? 0 有整数根的充要条件是
2

. 【答案】3 或 4 【分析】直接利用求根公式进行计算,然后用完全平方数、整除等进行判断计算.

n?

x?
【解析】

4 ? 16 ? 4n ? 2? 4?n , 2 因为 x 是整数, 即 2 ? 4 ? n 为整数, 所以 4 ? n

n ? N? 为整数, 且n? 4, 又因为 , 取 n ? 1, 2,3, 4 , 验证可知 n ? 3,4 符合题意; 反之 n ? 3,4
时,可推出一元二次方程 x ? 4 x ? n ? 0 有整数根.
2

32.(2011 年山东理 16)已知函数 f(x) = 时,函数 f(x) 的零点 【答案】5 【解析】 方程

log a x ? x ? b(a>0,且a ? 1).
.

当 2<a<3<b<4

x0 ? (n, n ? 1), n ? N * , 则n=

log a x ? x ? b(a>0,且a ? 1)

=0 的根为

x0

,即函数

y ? log a x(2 ? a ? 3)
*

的图

x x ? (n, n ? 1), n ? N 象与函数 y ? x ? b(3 ? b ? 4) 的交点横坐标为 0 , 且 0 , 结合图象 ,因为
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整理者:王洪来

校对: 轩爱芳 王秋红

当 x ? a(2 ? a ? 3) 时, y ? 1 ,此时对应直线上 y ? 1 的点的横坐标 x ? 1 ? b ? (4,5) ;当 y ? 2 时 , 对 数 函 数

y ? log a x(2 ? a ? 3)

的 图 象 上 点 的 横 坐 标 x ? (4,9) , 直 线

y ? x ? b(3 ? b ? 4) 的图象上点的横坐标 x ? (5,6) ,故所求的 n ? 5 .
x 33. (2011 年辽宁文 16) 已知函数 f ( x) ? e ? 2 x ? a 有零点, 则 a 的取值范围是___________.

【答案】 (??, 2ln 2 ? 2] 34.(2011 年江苏 2)函数

f ( x) ? log 5 (2 x ? 1)

的单调增区间是__________

1 (- , +?) 【答案】 2 1 x ? ( ? , ??), y ? log5 u (0, ??) ? . u ? 2x ? 1 2 【解析】 在 在 大于零,且增.
本题主要考查函数的概念,基本性质,指数与对数,对数函数图象和性质,容易题 35. (2011 年江苏 8) 在平面直角坐标系 xOy 中, 过坐标原点的一条直线与函数 图象交于 P、Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是________. 【答案】4.

f ( x) ?

2 x的

4 2 2 PQ ? (2 x) 2 ? ( ) 2 ? 4 ( x , ) ( ? x, ? ) x x , x , 【解析】 设经过原点的直线与函数的交点为 则 .
本题主要考查幂函数,函数图象与性质,函数与方程,函数模型及其应用,两点间距离公式 以及基本不等式,中档题.

?2 x ? a , x ? 1 f ( x) ? ? ?? x ? 2 a , x ? 1 , 36. (2011 年江苏 11) 已知实数 a ? 0 , 函数 若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ,
则 a 的值为________

a??
【答案】

3 4

【解析】 ? a ? 0 .

a ? 0, 2 ? 2a ? a ? ?1 ? a ? 2a, a ? ?

3 3 a ? 0, ?1 ? a ? 2a ? 2 ? 2a ? a, a ? ? 2, 4 . 不符合;
x

本题主要考查函数概念,函数与方程,函数模型及其应用,含参的分类讨论,中档题. 37.(2011 年江苏 12)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f ( x) ? e ( x ? 0) 的图

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象上的动点,该图象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线 段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的最大值是_____________

1 1 (e ? ) e 【答案】 2
【解析】设

P( x0 , e x0 ),



l : y ? e x0 ? e x0 ( x ? x0 ),? M (0, (1 ? x0 )e x0 )


,过点 P 作 l 的垂线

y ? e x0 ? ?e? x0 ( x ? x0 ),? N (0, e x0 ? x0e? x0 )

1 1 ? t ? [(1 ? x0 )e x0 ? e x0 ? x0e? x0 ] ? e x0 ? x0 (e? x0 ? e x0 ) 2 2
1 t ? ? (e x0 ? e? x0 )(1 ? x0 ) 2 , 所 以 , t 在 (0,1) 上 单 调 增 , 在 (1, ??) 单 调 减 , 1 1 ? x0 ? 1, tmax ? (e ? ) 2 e .
本题主要考查指数运算,指数函数图象、导数的概念,导数公式,导数的运算与几何意义、利用 导数研究函数,导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置关系,运算求解能力,综合应用 有关知识的能力,本题属难题. 38.(2011 年湖南文 12) 已知 f ( x) 为奇函数, 【答案】6 【 解 析 】 g (?2) ? f (?2) ? 9 ? 3, 则f (?2) ? ?6 , 又 f ( x) 为 奇 函 数 , 所 以

g ( x)? f ( x) ? 9 ,g?( 2 ? )则 3 ,f

? (2 ) .

f (2) ? ? f (?2) ? 6 。
39.(2011 年湖北文 15)里氏震级 M 的计算公式为:

M ? l g A ? l g A 0

,其中 A 是测震仪记

录的地震曲线的最大振幅 是相应的标准地震的振幅,假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是 1000,此时标准地 震的振幅为 0.001,则此次地震的震级为__________级;9 级地震的最大的振幅是 5 级地震 最大振幅的__________倍。 【答案】6,10000 40. (2011 年广东文 12) 设函数 f ( x) ? x cos x ? 1. 若 f (a) ? 11 , 则 f ( ?a ) ?
3



【答案】-9 41.(2011 年广东理 12)函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 在 x ?
3 2

处取得极小值.

【答案】

解析 : f ' (x) ? 3x 2 ? 6 x ? 3 x( x ? 2),? f ( x)的单调递增区间为: (??,0), (2,??), 递减区间为(0,2), ? f ( x)在x ? 2处取得极小值.
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?2 x?2 ? , f ( x) ? ? x ?( x ? 1)3 , x ? 2 ? 42.(2011 年北京理 13)已知函数 ,若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两
个不同的实根,则实数 k 的取值范围是________. 【答案】

2 f ( x) ? ( x ? 2) 3 x 39.【解析】 单调递减且值域为(0,1], f ( x) ? ( x ? 1) ( x ? 2) 单调递增且值
域为 (??,1) , f ( x) ? k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是(0,1) 。

y?
43.(2011 年安徽文 13)函数

1 6 ? x ? x 2 的定义域是
.

【答案】 (-3,2) 【命题意图】本题考查函数的定义域,考查一元二次不等式的解法.

? x +3?? x ? 2 ? ? 0 ,所以 ?3 ? x ? 2 . 【解析】由 6 ? x ? x ? 0 可得 x ? x ? 6 ? 0 ,即
2 2

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