tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

圆锥曲线特训44道


圆锥曲线 44 道特训(做不死就给屎里做)
1.已知双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1 的离心率为 3 ,点 ( 3,0) 是双曲线的一个顶点. b2

(1)求双曲线的方程; (2)经过的双曲线右焦点 F2 作倾斜角为 30°直线 l ,直线 l 与双曲线交于不同的 A, B 两点, 求 AB

的长.

x2 y 2 1 2.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过椭圆右 2 a b
焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD .当直线 AB 斜率为 0 时, AB ? CD ? 7 .

(1)求椭圆的方程; (2)求 AB ? CD 的取值范围. 3.已知椭圆 C :

x2 y 2 2 + 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为 F (1, 0) ,离心率为 错误!未找到 2 a b 2

引用源。 .设 P 是 椭 圆 C 长 轴 上 的 一 个 动 点 , 过 点 P 且斜率为1 的 直 线 l 交 椭 圆 于 A , B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 | PA | ? | PB | 的 最 大 值 .
2 2

4.已知椭圆 C : 等于焦距.

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1, 0) ,短轴的一个端点 B 到 F 的距离 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N ,是否存在直线 l ,使得△ BFM 与 △ BFN 的面积比值为 2 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 5. 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? =1(a>b>0)过点 P(-1, -1), c 为椭圆的半焦距, 且 c= 2 b. 过 a 2 b2

点 P 作两条互相垂直的直线 l1,l2 与椭圆 C 分别交于另两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程;
试卷第 1 页,总 10 页

(2)若直线 l1 的斜率为-1,求△PMN 的面积; (3)若线段 MN 的中点在 x 轴上,求直线 MN 的方程. 6.已知椭圆 E 的两个焦点分别为 (?1, 0) 和 (1, 0) ,离心率 e ? (1)求椭圆 E 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m ( k ? 0 )与椭圆 E 交于不同的两点 A 、 B ,且线段 AB 的垂直平分线过定点 P ( , 0) ,求实数 k 的取值范围. 7.已知椭圆 E 的两个焦点分别为 (?1, 0) 和 (1, 0) ,离心率 e ? (1)求椭圆 E 的方程; (2)设直线 l : y ? x ? m ( m ? 0 )与椭圆 E 交于 A 、 B 两点,线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 T ,当 m 变化时,求 ?TAB 面积的最大值. 8.已知椭圆错误!未找到引用源。的长轴长为错误!未找到引用源。,离心率为错误!未找 到引用源。,错误!未找到引用源。分别为其左右焦点.一动圆过点错误!未找到引用源。, 且与直线错误!未找到引用源。相切. (1)(ⅰ)求椭圆错误!未找到引用源。的方程; (ⅱ)求动圆圆心轨迹错误!未找到引用源。 的方程; (2)在曲线错误!未找到引用源。上有四个不同的点错误!未找到引用源。,满足错误!未 找到引用源。与错误!未找到引用源。共线,错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。 共线,且错误!未找到引用源。,求四边形错误!未找到引用源。面积的最小值. 9. 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1和F2 , 且点 A(? 5,0), B( 5,0) 在椭圆 C 上, 又 F1 (? 5,4) . (1)求焦点 F2 的轨迹 ? 的方程; (2)若直线 y ? kx ? b(k ? 0) 与曲线 ? 交于 M、N 两点,以 MN 为直径的圆经过原点,求实数 b 的取值范围. 10.已知椭圆 C :

2 . 2

1 2

2 . 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,左、右顶点分别为 A, B ,过点 F 且倾 a 2 b2

斜 角 为

? 的 直 线 l 交 椭 圆 于 C, D 两 点 , 椭 圆 C 的 离 心 率 为 4

? ??? ? 3 ???? ???? ??? 32 3 , AC ? AD ? BC ? BD ? ? . 2 5
(1)求椭圆 C 的方程;

? x 轴,圆 R 过点 P (2)若 P 1, P 2 是椭圆上不同两点, P 1, P 2 1, P 2 ,且椭圆上任意一点都不在
圆 R 内,则称圆 R 为该椭圆的内切圆.问椭圆 C 是否存在过点 F 的内切圆?若存在,求出点 R 的坐标;若不存在,说明理由.
试卷第 2 页,总 10 页

11.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,左、右顶点分别为 A, B ,过点 F 且倾 a 2 b2

斜角为

? ??? ? ? 3 ???? ???? ??? 的直线 l 交椭圆于 C , D 两点,椭圆 C 的离心率为 , AC ? AD ? BC ? BD ? ? 32 3 . 4 2 5

(1)求椭圆 C 的方程;

? x 轴,圆 E 过点 P (2)若 P 1, P 2 是椭圆上不同两点, PP 1 2 1, P 2 ,且椭圆上任意一点都不在
圆 E 内,则称圆 E 为该椭圆的内切圆.问椭圆 C 是否存在过点 F 的内切圆?若存在,求出点 E 的坐标;若不存在,说明理由. 12.已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 以原点为圆心、椭圆的短半轴长为 2 a b 2

半径的圆与直线 x ? y ? 2 6 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 的方程;

4 ,0 ) (2) 设 A(?
分别交直线 x ?

, 过点 R(3, 0) 作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆于 P 、Q 两点, 连结 AP 、AQ

16 于 M 、 N 两点.试问直线 MR 、 NR 的斜率之积是否为定值,若是,求 3
的离心率 ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的

出该定值;若不是,请说明理由. 13.已知椭圆 面积为 4. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 与椭圆相交于不同的两点 段 的垂直平分线上,且 ,已知点 ,求 的值. 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点. 的坐标为 ,点 在线

14.已知椭圆 G:

.过点(m,0)作圆

(1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将 表示为 m 的函数,并求 的最大值.

15.已知顶点为原点 O 的抛物线 C1 的焦点 F 与椭圆 C2 : 合, C1 与 C2 在第一和第四象限的交点分别为 A, B .
试卷第 3 页,总 10 页

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点重 a 2 b2

(1)若 ?AOB 是边长为 2 3 的正三角形,求抛物线 C1 的方程; (2)若 AF ? OF ,求椭圆 C2 的离心率 e . 16.如图,动点 点 的轨迹为 与两定点 . 、 构成 ,且 ,设动

(1)求轨迹 (2)设直线 求

的方程; 与 轴相交于点 ,与轨迹 相交于点 ,且 ,

的取值范围.

17.如图,已知双曲线

的左、右顶点分别为 A1、A2,动直线 l:y=kx+m 与圆 .

相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为

(1)求 k 的取值范围,并求 (2)记直线 的斜率为

的最小值; ,直线 的斜率为 ,那么 是定值吗?证明你的结论.

18. 已知点 D(1, 2) 在双曲线 C: 2 ? 是 3x ? y ? 0 . (1)求双曲线 C 的方程;

x2 a

y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上,且双曲线的一条渐近线的方程 b2

(2)若过点 (0,1) 且斜率为 k 的直线 l 与双曲线 C 有两个不同交点,求实数 k 的取值范围;
试卷第 4 页,总 10 页

(3)设(2)中直线 l 与双曲线 C 交于 A、B 两个不同点,若以线段 AB 为直径的圆经过坐标原 点,求实数 k 的值. 19.双曲线 C 的中心在原点,右焦点为 F ? (1)求双曲线 C 的方程; (2)设直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C 交于 A 、 B 两点,问:当 k 为何值时,以 AB 为直径 的圆过原点; 20. 椭圆 C1 以双曲线 交于 A, B 两点. (1)求椭圆 C1 的方程及线段 AB 的长; (2) 在 C1 与

?2 3 ? ? 3 , 0? ? ,渐近线方程为 y ? ? 3x . ? ?

C2 :

x2 y2 ? ?1 C : y 2 ? 12x 4 16 的实轴为短轴、 虚轴为长轴, 且与抛物线 3

C3 图像的公共区域内, P( x0 , y0 ) , C 是否存在一点 使得 C1 的弦 EF 与 3 的弦 MN

相互垂直平分于点 P ?若存在,求点 P 坐标,若不存在,说明理由.

x2 y2 21.设双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的一个焦点坐标为( 3 ,0) ,离心率 e ? 3 , a b
A、B 是双曲线上的两点,AB 的中点 M(1,2). (1)求双曲线 C 的方程; (2)求直线 AB 方程; (3)如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点,那么 A、B、C、D 四点是否共圆? 为什么? 22.已知双曲线

x2 y 2 - =1 的离心率为 2,焦点到渐近线的距离等于 3 ,过右焦点 F2 的直 a 2 b2

线 l 交双曲线于 A、B 两点,F1 为左焦点. (1)求双曲线的方程; (2)若△F1AB 的面积等于 6 2 ,求直线 l 的方程. 23.已知双曲线过点(3,-2),且与椭圆 4x +9y =36 有相同的焦点. (1)求双曲线的标准方程; (2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程. 24.P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线 E:错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0) 上一点,M,N 分别是双曲线 E 的左,右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为错误!未找到引用源。. (1)求双曲线的离心率. (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,C 为双曲线上 一点,满足错误!未找到引用源。=λ 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。,求λ 的
试卷第 5 页,总 10 页
2 2

值. 25.已知双曲线 E :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0 ? 的中心为原点 O ,左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,离心 a2 4

率为

???? ? ???? ? a2 3 5 ,点 P 是直线 x ? 上任意一点,点 Q 在双曲线 E 上,且满足 PF2 ? QF2 ? 0 . 3 5

(1)求实数 a 的值; (2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3)若点 P 的纵坐标为 1 ,过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同的两点 M 、 N ,在线 段 MN 上去异于点 M 、 N 的点 H ,满足

PM PN

?

MH HN

,证明点 H 恒在一条定直线上.

26.已知椭圆与双曲线 x -y =0 有相同的焦点,且离心率为 (1)求椭圆的标准方程;

2

2

2 . 2
??? ? ??? ?

(2)过点 P(0,1)的直线与该椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若 AP =2 PB ,求△AOB 的 面积. 27.已知双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的焦点与椭圆 轴长为 4 , M , N 是椭圆上的的动点. (1)求椭圆标准方程; (2)设动点 P 满足: OP ? OM ? 2ON ,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ? 定点 F1 , F2 , 使得 PF1 ? PF2 为定值,并求出 F1 , F2 的坐标; (3)若 M 在第一象限,且点 M , N 关于原点对称,点 M 在 x 轴的射影为 A ,连接 NA 并 延长交椭圆于 点 B ,求证:以 NB 为直径的圆经过点 M . 28.已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的焦点重合,且该椭圆的长 a 2 b2

??? ?

???? ?

????

1 ,求证:存在 2

x2 x2 y2 2 y ? ? 1 的离心率互为倒数, ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的离心率与双曲线 2 a 2 b2

直线 l : y ? x ? 2 与以原点为圆心,以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切.
试卷第 6 页,总 10 页

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l 2 垂直 l1 于点 P ,线段 PF2 垂直平分线交 l 2 于点 M ,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (3)设第(2)问中的 C2 与 x 轴交于点 Q ,不同的两点 R, S 在 C2 上,且满足 QR ? RS ? 0 , 求 | QS | 的取值范围.

x2 ? y 2 ? 1,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点,而 29.已知椭圆 C1 的方程为 4

C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点。
(1)求双曲线 C2 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 都恒有两个不同的交点,且 L 与的两个焦 点 A 和 B 满足 OA ? OB ? 6 (其中 O 为原点) ,求 k 的取值范围。 30.已知双曲线

??? ? ??? ?

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , A1 、 A2 是双曲线的左右顶点, M ( x0 , y0 ) 是双 a 2 b2

曲线上除两顶点外的一点,直线 MA1 与直线 MA2 的斜率之积是 求双曲线的离心率; 若该双曲线的焦点到渐近线的距离是 12 ,求双曲线的方程. 31.已知 A(-5,0) ,B(5,0) ,动点 P 满足| PB |, (1)求 P 点的轨迹方程;

144 , 25

??? ?

? 1 ??? | PA |,8 成等差数列. 2

(2)对于 x 轴上的点 M,若满足| PA |?| PB |= PM ,则称点 M 为点 P 对应的“比例 点”.问:对任意一个确定的点 P,它总能对应几个“比例点”?
2 3 x2 y 2 ,过点 A(0,-b)和 B(a,0)的直 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的离心率 e ? 2 3 a b 3 线与原点的距离是 . 2 (Ⅰ)求双曲线的方程及渐近线方程; (Ⅱ)若直线 y=kx+5 (k≠0)与双曲线交于不同的两点 C、D,且两点都在以 A 为圆心的同 一个圆上,求 k 的值.

??? ?

??? ?

???? ?2

32.已知双曲线

试卷第 7 页,总 10 页

x2 y 2 33.已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 经过点 P(4, 15) ,且双曲线 C 的渐近线与圆 a b

x2 ? ( y ? 3)2 ? 4 相切.
(1)求双曲线 C 的方程; (2)设 F (c, 0) 是双曲线 C 的右焦点, M ( x0 , y0 ) 是双曲线 C 的右支上的任意一点,试判断 以 MF 为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆的位置关系,并说明理由.
2 2 x y 1 ( a ? 0 ,b ? 0 )的离心率为 2,坐标原点到 34. (本小题满分 12 分)双曲线 2 ? 2 ? a b

直线 AB 的距离为

3 ,其中 A ? a , 0 ? ,B (0, ?b) . 2

(1)求双曲线的方程; (2)若 B1 是双曲线虚轴在 y 轴正半轴上的端点,过 B1 作直线与双曲线交于 M , N 两点,求

BM ? BN 时,直线 MN 的方程.
35.已知焦点在错误!未找到引用源。轴上的双曲线错误!未找到引用源。的两条渐近线过 坐标原点,且两条渐近线 与以点错误!未找到引用源。 为圆心,1 为半径的圆相切,又知错误!未找到引用源。的一 个焦点与错误!未找到引用源。关于直线错误!未找到引用源。 对称. (1)求双曲线错误!未找到引用源。的方程; (2)设直线错误!未找到引用源。与双曲线错误!未找到引用源。的左支交于错误!未找到 引用源。,错误!未找到引用源。两点,另一直线错误!未找到引用源。经过 错误!未找 到引用源。及错误!未找到引用源。的中点,求直线错误!未找到引用源。在错误!未找到 引用源。轴上的截距错误!未找到引用源。的取值范围. 36. (本小题满分 12 分)已知椭圆 E 的长轴的一个端点是抛物线 y 2 ? 4 5x 的焦点,离心率



6 3

(1)求椭圆 E 的方程; (2)过点 C(—1,0) ,斜率为 k 的动直线与椭圆 E 相交于 A、B 两点,请问 x 轴上是否存在 点 M,使 MA ? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 37.已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 过点 P(1,?2) .
2

(1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)过焦点 F 且斜率为 2 的直线 l 与抛物线交于 A, B 两点,求 ?OAB 的面积.

试卷第 8 页,总 10 页

38. 已知抛物线 C1 :y 2 ? 4 x 和 C2 :x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点分别为 F1 , F2 , C1 , C2 交于 O, A 两点( O 为坐标原点) ,且 F1F2 ? OA . (1)求抛物线 C2 的方程; (2) 过点 O 的直线交 C1 的下半部分于点 M , 交 C2 的左半部分于点 N , 点 P 坐标为 (?1, ?1) , 求△ PMN 面积的最小值. 39. 设抛物线 C1 : y 2 ? 4 x 的准线与 x 轴交于点 F 1 ,焦点为 F2 ;椭圆 C2 以 F 1 和 F2 为焦点,离心 率e ?

1 .设 P 是 C1 与 C2 的一个交点. 2

(1)求椭圆 C2 的方程. (2)直线 l 过 C2 的右焦点 F2 ,交 C1 于 A 1, A 2 两点,且 A 1 F2 的周长,求 l 的方程. 1A 2 等于 ?PF 40. 已知抛物线 E : y ? 2 px( p ? 0) 的准线与 x 轴交于点 M, 过点 M 作圆 C : ( x ? 2) ? y ? 1
2 2 2

的两条切线,切点为 A、B, | AB |?

4 2 . 3

(1)求抛物线 E 的方程; (2)过抛物线 E 上的点 N 作圆 C 的两条切线,切点分别为 P、Q,若 P,Q,O(O 为原点)三 点共线,求点 N 的坐标. 41. (本小题满分 16 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,A 为上 a 2 b2

端点,P 为椭圆上任一点(与左、右顶点不重合). (1)若 AF1 ? AF2 ,求椭圆的离心率;
试卷第 9 页,总 10 页

(2)若 P(?4,3) 且 PF 1 ? PF 2 ? 0 ,求椭圆方程; (3)若存在一点 P 使 ?F 1PF2 为钝角,求椭圆离心率的取值范围. 42. (本题满分 13 分)设椭圆 C :

??? ? ????

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,右焦点到直线 2 2 a b

x y 21 ? ? 1 的距离 d ? , O 为坐标原点 a b 7
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,以 AB 为直径的圆过原点 O ,求 O 到直线 l 的距离 43.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于

1 ,它的一个顶点恰好是抛物线 2

x2 ? 8 3 y 的焦点.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P(2,3), Q(2,-3)在椭圆上,A,B 是椭圆上位于直线 PQ 两恻的动点, ①若直线 AB 的斜率为

1 ,求四边形 APBQ 面积的最大值; 2

②当 A、B 运动时,满足于∠APQ=∠BPQ,试问直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理由. 44. 在直角坐标系 xOy 中, 点 P 到两点 (0, ? 3),(0, 3) 的距离之和为 4, 设点 P 的轨迹为 C , 直线 y ? kx ? 1 与轨迹 C 交于 A, B 两点. (1)求出轨迹 C 的方程; (2)若 OA ? OB ,求弦长 AB 的值.

??? ?

??? ?

试卷第 10 页,总 10 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

参考答案 1. (1)

x2 y2 16 3 ? ?1; (2) . 3 6 5

【解析】 试题分析: (1)设椭圆的方程,用待定系数法求出 a 2 , b 2 的值; (2)解决直线和椭圆的综合 问题时注意:第一步:根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知;有的题设 条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程.第二步:联立方程:把所设直线方程与椭 圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.第三步:求解判别式 ? :计算一元二 次方程根.第四步:写出根与系数的关系.第五步:根据题设条件求解问题中结论.

试题解析:( 1 ) ∵ 双 曲 线 C: 2 ? 个顶点,

x2 a

y2 ? 1 的 离 心 率 为 3 , 点 ( 3,0) 是 双 曲 线 的 一 b2

?c ? ? 3 ∴ ?a , 解 得 c ? 3, b ? 6 , ?a ? 3 ?
∴双曲线的方程为

x2 y2 ? ?1. 3 6

( 2) 双 曲 线

x2 y2 ? ? 1 的 右 焦 点 为 F2 ?3,0? , 3 6
3 ?x ? 3? , 3

∴ 经 过 的 双 曲 线 右 焦 点 F2 作 倾 斜 角 为 30 °直 线 l 的 方 程 为 y ?

? x2 y2 ? ?1 ? 6 ?3 6 2 联立 ? , 得 5x ? 6 x ? 27 ? 0 , 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?, 则 x1 ? x2 ? ? , 5 ? y ? 3 ?x ? 3? ? 3 ?
x1 x2 ? ? 27 . 5
2

1 ? 6? ? 27 ? 16 3 所以 AB ? 1 ? . ?? ? ? 4??? ? ? 3 ? 5? 5 ? 5 ?
考点:直线与圆 锥 曲 线 的 综 合 问 题 . 2. (1)

x2 y 2 48 ? ? 1, (2) [ , 7] . 7 4 3

【解析】
答案第 1 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

试题分析: ( 1 )求椭圆标准方程,只需两个独立条件 . 一个是 e ?

c 1 ? , 另一个是点 a 2

7 ? 4c c2 (c, ) 在椭圆上即 ? 2 4c 2

(

7 ? 4c 2 ) 2 ?1 , 所 以 c ?1 . 所 以 椭 圆 的 方 程 为 3c 2

x2 y 2 ? ? 1. (2)研究直线与椭圆位置关系,关键确定参数,一般取直线的斜率,① 当两 4 3
条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在,由题意知 AB ? CD ? 7 ,② 当两弦斜率 均存在且不为 0 时,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,将直线 AB 的方程代入椭圆方程中, 并整理得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 ,所以 AB ?

k 2 ? 1 | x1 ? x2 |?

12(k 2 ? 1) .同 3 ? 4k 2





1 ? 2 k CD ? 4 3? 2 k 1

2 ( 1 k2 ? 2 ? 3k 2 ? 4



(

1


)

1



)

A ?

1 k2 ? 2 B ? C 3? k2 4

(

k2 ? 1 D2 ? k ? 3

,利用不等式或函数单调性可得 ? 2 2

) k2 ? ?4 k

1

2

2

( 4

(k ?

3

48 48 , 7). 综合①与②可知, AB ? CD 的取值范围是 [ , 7] . 7 7 c 1 【解】 (1)由题意知, e ? ? , CD ? 7 ? 2a , a 2

AB ? CD 的取值范围是 [

所以 a ? 4c , b ? 3c .
2 2 2 2

2分

7 ? 4c c2 ) 在椭圆上,即 2 ? 因为点 (c, 2 4c 所以 c ? 1 .
所以椭圆的方程为

(

7 ? 4c 2 ) 2 ? 1, 3c 2

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

6分

(2)① 当两条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在, 由题意知 AB ? CD ? 7 ; ② 当两弦斜率均存在且不为 0 时,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 且设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 则直线 CD 的方程为 y ? ? 7分

1 ( x ? 1) . k
2 2 2 2

将直线 AB 的方程代入椭圆方程中,并整理得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ?12 ? 0 ,

答案第 2 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

所以 x1 ?

4k 2 ? 6 k 2 ? 1 4k 2 ? 6 k 2 ? 1 , , x ? 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
k 2 ? 1 | x1 ? x2 |? 12(k 2 ? 1) . 3 ? 4k 2
10 分

所以 AB ?

1 ? 1) 12(k 2 ? 1) k2 同理, CD ? . ? 2 4 3 k ? 4 3? 2 k 12(
所以 AB ? CD ?

12(k 2 ? 1) 12(k 2 ? 1) 84(k 2 ? 1)2 , ? ? 3 ? 4k 2 3k 2 ? 4 (3 ? 4k 2 )(3k 2 ? 4)

12 分

令 t ? k 2 ? 1,则 t ? 1 , 3 ? 4k 2 ? 4t ? 1 , 3k 2 ? 4 ? 3t ? 1 ,

(4t ? 1)(3t ? 1) 1 1 1 1 49 ? ? 2 ? ? 12 ? ?( ? ) 2 ? , 2 t t t t 2 4 1 因为 t ? 1 ,所以 ? (0,1) , t 49 所以 f (t ) ? (12, ] , 4
设 f (t ) ? 所以 AB ? CD ?

84 48 ? [ , 7) . f (t ) 7
48 , 7] . 7
16 分

综合①与②可知, AB ? CD 的取值范围是 [

考点:椭圆的方程及椭圆与直线的位置关系. 3. (1)

x2 8 ? y 2 ? 1; ( 2) . 3 2

【解析】 试题分析: (1)由题意, c ? 1 ,

c 2 2 2 2 ,根据 b ? a ? c 求出 a2 ? 2, b2 ? 1 ,则椭圆的 ? a 2

方程为

x2 ? y 2 ? 1. (2)设点 P(m,0) ( ? 2 ? m ? 2 ) ,则直线 l 的方程为 y ? x ? m , 2





?y ? ? x ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ?2
2 1

m


3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0





|P

2

?A |

|? P

B| ?

2 1

(x ?

2 2

m) ?

y22? (

x2 ? )

m

y

答案第 3 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

带入韦达定理 x1 ? x2 ? ? 2[( x1 ? x2 ) ? 2x1x2 ? 2m( x1 ? x2 ) ? 2m ] ,
2 2

2m 2 ? 2 4m x1 x2 ? , , 3 3

则 | PA |2 ? | PB |2 ? ?

(| PA |2 ? | PB |2 ) max

4 2 8 m ? ,而 ? 2 ? m ? 2 , 即 0 ? m2 ? 2 ,则当 m ? 0 时, 9 3 8 8 ? , | PA |2 ? | PB |2 的 最 大 值 为 . 3 3

试题解析: (1)由已知, c ? 1 , ∴ a?

c 2 , ? a 2
3分

2 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 1
x2 ? y 2 ? 1. 2

∴ 椭圆的方程为

4分

(2)设点 P(m,0) ( ? 2 ? m ? 2 ) ,则直线 l 的方程为 y ? x ? m , 2 分

?y ? x ? m ? 2 2 由 ? x2 消去 y ,得 3x ? 4mx ? 2m ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

4分

2m 2 ? 2 4m , x1 x2 ? 3 3

6分

2 2 ∴ | PA |2 ? | PB |2 ? ( x1 ? m)2 ? y1 ? ( x2 ? m)2 ? y2

? 2[( x1 ? x2 )2 ? 2x1x2 ? 2m( x1 ? x2 ) ? 2m2 ]
4m 2 2(2m2 ? 2) 4m ? 2[( ) ? ? 2m ? ? 2m 2 ] 3 3 3
4 8 ? ? m2 ? 9 3
2 ∵? 2 ?m? 2 , 即 0? m ? 2

8分

2 2 ∴ 当 m ? 0 时 , (| PA | ? | PB | ) max ?

8 8 2 2 , | PA | ? | PB | 的 最 大 值 为 . 3 3

10 分 考点:1.圆锥曲线的求解;2.最值的求解.

x2 y 2 ? ? 1; 4. (1) (2) 2 . 4 3
【解析】
2 2 2 试题分析: (1)由已知得 c ? 1 , a ? 2c ? 2 ,利用 b ? a ? c ? 3 ,所以椭圆 C 的方程为

答案第 4 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

x2 y 2 FM S ? 2 ,要对斜率进行 ? ?1 ; (2)根据三角形的面积公式知 ?BFM ? 2 等价于 FN 4 3 S?BFN
讨论,当直线 l 斜率不存在时,

FM ? 1 ,不符合题意,舍去;当直线 l 斜率存在时,设直 FN

? x2 y 2 ? 1, (3 ? 4k 2 ) y 2 ? 6ky ? 9 y 2 ? 0 ? ? 线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 联立 ? 4 得 , 由韦达定理 3 ? y ? k ( x ? 1) ?
及由

FM 5 ? 2 得 y1 ? ?2 y2 ,解得 k ? ? . FN 2
3分 4分

试题解析: (1)由已知得 c ? 1 , a ? 2c ? 2

b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

(2)

FM S?BFM ?2 ? 2 等价于 FN S?BFN FM ? 1 ,不符合题意,舍去; FN
3分

2分

当直线 l 斜率不存在时,

当直线 l 斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,

? x2 y 2 2 2 2 ? 1, ? ? 由? 4 消 x 并整理得 (3 ? 4k ) y ? 6ky ? 9 y ? 0 3 ? y ? k ( x ? 1) ?
设 M ( x1 , y1 ) , M ( x2 , y2 ) ,则

5分

y1 ? y2 ? ?


?9k 2 6k y y = ①, ② 1 2 3+4k 2 3 ? 4k 2

7分

FM ? 2 得 y1 ? ?2 y2 ③ FN

由①②③解得 k ? ?

5 5 ,因此存在直线 l : y ? ? ( x ? 1) 使得 ?BFM 与 2 2
9分

?BFN 的面积比值为 2
考点:1.圆锥曲线方程的求解;2.直线与圆锥曲线联立. 5. (1)

x2 3 y 2 1 ? =1 ;(2)2;(3) y=-x 或 x=- . 2 4 4

【解析】
答案第 5 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

试题分析: (1)根据题意可得

1 1 ? 2 =1 ,且 c2=2b2 ,加之 a, b, c 的关系,可求得 a, b, c ; 2 a b

(2)由于直线 l1 的斜率已确定,则可由其与椭圆方程联立方程组,求出点 M 的坐标,因两 直线垂直,故当 k ? 0 时,用 ?

1 (-2, 0),N ( 1, 1) 代替 k ,进而求出点 N 的坐标,得 M , k

再由两点间的距离公式求出: PM= 2,PN=2 2 ,即可求出 ? PMN 的面积;(3)观察本 题条件可用设而不求的方法处理此题,即设出点 M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ) ,两点均在椭圆上 得: ?

? x12 ? 3 y12 ? 4
2 2 ? x2 ? 3 y2 ? 4

,观察此两式的结构特征是一致的,则将两式相减得

( x1+x2 )( x1-x2 )+3( y1+y2 )( y1-y2 )=0 , 由题中条件线段 MN 的中点在 x 轴上,所以 y1+y2=0 ,从而可得 ( x1+x2 )( x1-x2 )=0 ,此式表明两点横坐标的关系:可能相等;可能互
为 相 反 数 , 分 两 种 情 况 分 类 讨 论 : 当 x1+x2=0 时 , 再 利 用 P M ? P N , 可 转 化 为

???? ? ??? ? PM ? PN =0 ,进一步确定出两点的坐标 M (- 1,, 1) N (1,- 1) 或 M (1,- 1),N (- 1, 1) ,
即可求出直线 MN 的方程为 y=-x ;同理当 x1-x2=0 ,求出直线 MN 的方程为 x=试题解析: (1)由条件得

1 . 2

1 1 4 ? 2 =1 ,且 c2=2b2 ,所以 a 2=3b2 ,解得 b 2 ? ,a 2 =4 . 2 a b 3
3分

所以椭圆方程为:

x2 3 y 2 ? =1 . 4 4

(2)设 l1 方程为 y+ 1=k ( x+ 1) , 联立 ?

? y ? kx ? k ? 1 ,消去 y 得 (1+3k 2 ) x2+6k (k- 1) x+3(k- 1)2-4=0 . 2 2 x ? 3 y ? 4 ?
?3k 2 ? 6k ? 1 3k 2 ? 2k ? 1 , ) .5 分 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

(-1, 1) 因为 P ,解得 M(

当 k ? 0 时,用 ?

k 2 ? 6k ? 3 ? k 2 ? 2k ? 3 1 , ). 7 分 代替 k ,得 N( k 3? k2 3? k2

(-2, 0),N ( 1, 1) 将 k=-1 代入,得 M .
(-1,-1) 因为 P ,所以 PM= 2,PN=2 2 ,
所以 ? PMN 的面积为

1 ? 2 ? 2 2 =2 . 2
答案第 6 页,总 52 页

9分

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

(3)设 M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ) ,则

? x12 ? 3 y12 ? 4 两式相减得 ( x1+x2 )( x1-x2 )+3( y1+y2 )( y1-y2 )=0 , ? 2 2 ? x2 ? 3 y2 ? 4
因为线段 MN 的中点在 x 轴上,所以 y1+y2=0 ,从而可得 ( x1+x2 )( x1-x2 )=0 .12 分 若 x1+x2=0 ,则 N (-x ,-y 1 1) . 因为 PM ? PN ,所以 PM ? PN =0 ,得 x12+y12=2 . 又 因 为 x12+3y12=4 , 所 以 解 得 x1= ? 1 , 所 以 M (- ,, 1 1N ) ,- ( 1 或 1 )

???? ? ??? ?

M (1,- 1),N (- 1, 1) .
所以直线 MN 的方程为 y=-x . 若 x1-x2=0 ,则 N , (x1,-y1) 因为 PM ? PN ,所以 PM ? PN =0 ,得 y12=( x1+ 1)2+ 1. 又因为 x12+3y12=4 ,所以解得 x=-1或经检验: x=14 分

???? ? ??? ?

1 , 2

1 满足条件, x=-1 不满足条件. 2 1 综上,直线 MN 的方程为 y=-x 或 x=- . 2
考点:1.椭圆方程;2.直线与椭圆的位置关系 6. (1)

16 分

x2 2 2 ? y 2 ? 1; (2) k ? (??, ? )?( , ??) . 2 2 2

【解析】 试题分析: (1)求椭圆的标准方程

x2 y 2 ? ? 1 ,要找两个等式以确定 a、 b ,本题中有焦点 a 2 b2
c 2 2 2 2 ,由此再加上 a ? b ? c 可得结论; (2)直 ? a 2

为,说明 c ? 1 ,又有离心率,即 e ?

线与圆锥曲线相交问题,又涉及到交点弦,因此我们都是把直线方程(或设出) y ? kx ? m 与椭圆方程联立方程组,然后消去 y (有时也可消去 x )得关于 x(或 y )的一元二次方程, 再设交点为 A、B 坐标为 ( x1 , y1 )、 (用 k , m 表示) ,于是 AB ( x2 , y2 ) ,则可得 x1 ? x2 ,x1x2 ,

答案第 7 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

x1 ? x2 1 ,y0 ? kx0 ? m , 而 k PD ? ? , 从而建立了 k , m 2 k 的一个等量关系,在刚才的一元二次方程中,还有判别式 ? ? 0 ,合起来可得出关于 k 的不
中点 D 坐标 ( x0 , y0 ) 可得, 其中 x0 ? 等式,从而求出其范围. 试题解析: (1)由已知椭圆的焦点在 x 轴上, c ? 1 ,

c 2 , ? a 2

? a ? 2 , b ? 1,

2分

x2 ? 椭圆 E 的方程为 ? y 2 ? 1 2

4分

? y ? kx ? m ? (2) ? x 2 ,消去 y 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2
? 直线 l 与椭圆有两个交点,? ? ? 0 ,可得 m2 ? 1 ? 2k 2 (*)
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

6分

8分

?4km ?2km ,? AB 中点的横坐标 x0 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 m AB 中点的纵坐标 y0 ? kx0 ? m ? 10 分 1 ? 2k 2 2km m , ) ? AB 的中点 D (? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 1 1 ' 设 AB 中垂线 l 的方程为: y ? ? ( x ? ) k 2

? x1 ? x2 ?

?1 ? 2k 2 (**) ? D 在 l 上,? D 点坐标代入 l 的方程可得 m ? 2k
' '
2 2 将 m ? 1 ? 2k (*)代入解得 k ?

12 分

2 2 , ,或k ? ? 2 2
14 分

? k ? (??, ?

2 2 )?( , ??) 2 2

考点: (1)椭圆的标准方程; (2)直线与圆锥曲线相交问题. 7. (1)

x2 2 ? y 2 ? 1;(2) . 2 3

【解析】 试题分析: (1)求椭圆的标准方程

x2 y 2 ? ? 1 ,要找两个等式以确定 a、 b ,本题中有焦点 a 2 b2
答案第 8 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

为,说明 c ? 1 ,又有离心率,即 e ?

c 2 ,由此再加上 a 2 ? b2 ? c 2 可得结论; (2)直 ? a 2

线与圆锥曲线相交问题, 又涉及到交点弦, 因此我们都是把直线方程 (或设出)y ? x ? m 与 椭圆方程联立方程组,然后消去 y (有时也可消去 x )得关于 x (或 y )的一元二次方程, 再设交点为 A、B 坐标为 ( x1 , y1 )、 (用 m 表示) ,同时这个 ( x2 , y2 ) ,则可得 x1 ? x2 , x1x2 , 方程中判别式 ? 0 (直线与椭圆相交) ,可得出

m 的取值范围.由此可由公式

AB ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] (k 是直线 AB 的斜率 ) 得出弦长,中点 M 横坐标为
x1 ? x2 , 进 而 可 写 出 AB 的 中 垂 线 方 程 , 与 x 相 交 的 交 点 T 的 坐 标 可 得 , 于 是 有 2 1 S ?TAB ? AB TM TM ,这是关于 m 的一个函数,利用函数的知识或不等式的性质可求 2
得最大值. 试题解析: (1)由已知椭圆的焦点在 x 轴上, c ? 1 ,

c 2 , ? a 2

? a ? 2 , b ? 1, ? 椭圆 E 的方程为

2分

x2 ? y2 ? 1 2

4分

?y ? x ? m ? 2 2 (2) ? x 2 ,消去 y 得 3x ? 4mx ? 2m ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2
? 直线 l 与椭圆有两个交点,? ? ? 0 ,可得 m2 ? 3 (*)
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 6分

? x1 ? x2 ? ?

2m 2 ? 2 4m 2 2 , x1 x2 ? ,弦长 | AB |? 6 ? 2m 2 , 3 3 3
2m m , ) , 设 T ( x, 0) ,? k AB ? kMT 3 3 m 2 |m| , 0) , | TM |? 3 3

8分

AB 中点 M (?

m 3 ?1 ? ?1 , ? ?1 ,? 2m ? ?x 3
11 分

?x??

m 3

? T (?

?S ?

1 2 2 3 9 | AB || MT |? (6 ? 2m2 )m2 ? ?2(m2 ? ) 2 ? 2 9 9 2 2
答案第 9 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

? m2 ? 3 ,? m 2 ?

3 2 时, S max ? , 2 3

14 分

(或: S ?

1 2 2 (6 ? 2m2 ) ? 2m2 | AB || MT |? (6 ? 2m2 )m2 ? 2 9 9 2
( 6 ? 2m 2 ? 2m 2 2 ) 2 3 2 2 . ? ? ? 2 9 2 3
3 2 时成立, S max ? .(用其它解法相应给分) 2 3

?

2 9

" ? " 当且仅当 m 2 ?

考点: (1)椭圆的标准方程; (2)直线与圆锥曲线相交问题. 8. (1)(ⅰ) C1 :

x2 y 2 ? ? 1; (ⅱ) C : y 2 ? 4x ; (2). 四边形错误!未找到引用源。 4 3

面积的最小值为错误!未找到引用源。. 【解析】 试题分析: (1)(ⅰ)由题意, 2a ? 2,

c 1 ? ,再结合 a 2 ? b2 ? c 2 解出 a , b 的值从而得到椭 a 2

圆的标准方程;(ⅱ)由条件“动圆过点错误!未找到引用源。,且与直线错误!未找到引用 源。相切”知动圆圆心到定点 F2 的距离等于到定直线 x ? ?1 的距离,且定点 F2 ?1,0? 不在 定直线 x ? ?1 上,所以动圆圆心的轨迹是以为焦点,以为准线的抛物线; (2)由题设知直线 MN 和直线 PQ 互相垂直相交于点 F2 ,且分别与物抛线有两个交点,因 此两直线的斜率均存在且不为零, 所以解决问题的基本思路是以其中一条直线的斜率 k 为自 变量,利用直线与抛物线相交的位置关系,将四边形的面积表示成直线斜率 k 的函数,转化 为函数的最值问题.

? 2a ? 4 ?a ? 2 ? 试题解析: (1)(ⅰ)由已知可得 ? ? b2 ? c 2 ? a 2 ? 3 c 1?? c ? 1 e ? ? ? ? a 2 ?
则所求椭圆方程 C1 : 分 ( ⅱ ) 由已知可得动圆圆心的轨迹为抛物线,且抛物线 C 的焦点为 ?1, 0? ,准线方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

3

x ? ?1
6分























C : y2 ? 4x

(2)由题设知直线 MN , PQ 的斜率均存在且不为零
答案第 10 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

设 直 线 MN 的 斜 率 为 k ? k ? 0? , M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ?

则 直 线 MN 的 方 程 为 :

y ? k ? x ?1?
联立 C : y 2 ? 4x
2 2 2 2 消去 y 可得 k x ? 2k ? 4 x ? k ? 0

?

?

8分

由抛物线这义可知:

2k 2 ? 4 4 MN ? MF2 ? NF2 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? ? 2 ? 4? 2 2 k k
同理可得 PQ ? 4 ? 4k 又 S PMQN ?
2

10 分

11 分

1 1? 4? 1 ? ? MN ? PQ ? ? 4 ? 2 ? ? 4 ? 4k 2 ? ? 8 ? 2 ? k 2 ? 2 ? ? 32 (当且仅当错误! 2 2? k ? k ? ?

未找到引用源。时取到等号) 所以四边形错误!未找到引用源。面积的最小值为错误!未找到引用源。. 14 分 考点:1、椭圆的标准方程;2、抛物线的定义与标准方程;3、直线与抛物线的位置关系综 合. 9. (1) x ?
2

? y2 2 15 ? ? 1( x ? 0) (2) ? ??, ? ? ? 3 ? 4 ? ?

【解析】 试题分析: (1)因为点 A, B 在椭圆上,由椭圆定义知 AF 1 ? AF 2 ? BF 1 ? BF 2

? AF2 ? BF2 ? BF1 ? AF1 ? 2 恰好符合双曲线的定义.动点 F2 在以 A 、 B
的双曲线上; ( 2 )由( 1 )得曲线的方程 x ?
2

为焦点

y2 ? 1? x ? 0 ? , 设 M ? x1, y1 ? N ? x2 , y2 ? , 联立方程组 4

? 2 y2 ?1 ?x ? 4 ? ? y ? kx ? b ?
2 2 2 消去 y 得方程 (4 ? k ) x ? 2kbx ? (b ? 4) ? 0有两个正根 x1 , x2 .由韦达定理可建立 x1 , x2

与 k , b 的关系 另外,由 OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? x1 x2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? 0 将由韦达定理得到

答案第 11 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

的关系式代入其中可得关于 k , b 关系式,再结合 ? ? 0 即可求得 b 的取值范围. 试题解析: (1) AF 1 ? AF 2 ? BF 1 ? BF 2

AF2 ? BF2 ? BF1 ? AF1 ? 6 ? 4 ? 2
故轨迹 ? 为以 A 、 B 设其方程为: 为焦点的双曲线的右支

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0, x ? 0 ? a 2 b2

? 2a ? 2,?a ? 1, b2 ? c2 ? a2 ? 4
故轨迹方程为 x ?
2

y2 ? 1( x ? 0) . 4

(6 分)

? 2 y2 ? 1( x ? 0) ?x ? (2)由 ? 消去y整理得 4 ? y ? kx ? b ?
方程 (4 ? k ) x ? 2kbx ? (b ? 4) ? 0 有两个正根 x1 , x2 .
2 2 2

? 2 2 2 2 ?? ? 4k b ? 4(4 ? k )(b ? 4) ? 0 (1) ? b2 ? 4 ? ? ? x1 x2 ? 2 ? 0 (2) k ?4 ? ?2kb ? x1 ? x2 ? 2 ? 0 (3) ? k ?4 ?
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,由条件知 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 而 y1 y2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? k 2 x1x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b2

?(k 2 ?1) x1x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b2 ? 0


(k 2 ? 1)(b 2 ? 4) 2k 2b 2 ? 2 ? b2 ? 0 k2 ? 4 k ?4
4 2 (k ? 1) (4) 3

2 2 2 整理得 3b ? 4(k ? 1) ,即 b ?
2 2 由(1)知 b ? k ? 4 ? 0 ,即

4 2 (k ? 1) ? k 2 ? 4 ? 0 显然成立. 3

由(2) 、 (3)知 ?

?k 2 ? 4 ?kb ? 0
答案第 12 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

而 k ? 0,?b ? 0 .

? b2 ?

4 2 4 20 (k ? 1) ? (4 ? 1) ? 3 3 3

?b ? ?

20 2 15 ?? . 3 3
? ? ? 2 15 ? ? 3 ? ?
(12 分)

故 b 的取值范围为 ? ??, ?

考点:1、椭圆的定义;2、双曲线的定义和标准方程;3、直线与圆锥曲线的位置关系综合 问题. 10. (1) 【解析】 试题分析: (1)由离心率为

x2 3 ? y 2 ? 1; (2)存在 R (? , 0) 4 2

? 3 ,倾斜角为 的 直 线 l 交 椭 圆 于 C, D 两 点 , 4 2

??? ? ???? ??? ? ??? ? 32 3 .通过联立直线方程与椭圆的方程,可求得 a , b 的值.即可得结 AC ? AD ? BC ? BD ? ? 5 论.
(2)依题意可得符合要求的圆 E,即为过点 F , P 1, P 2 的三角形的外接圆.所以圆心在 x 轴 上.根据题意写出圆 E 的方程.由于圆的存在必须要符合,椭圆上的点到点 R 距离的最小值

R 在线段 PP 是| P 1 E | ,结合图形可得圆心 1 2 上,半径最小.又由于点 F 已知,即可求得结论.
试题解析: (1)因为离心率为

3 ,所以 a ? 2b, c ? 3b , 2
2分

所以椭圆方程可化为:

x2 y2 ? ? 1 ,直线 l 的方程为 y ? x ? 3b , 4b 2 b 2

? x2 y2 ? ?1 ? 2 2 2 b2 由方程组 ? 4b ,得: x2 ? 4( x ? 3b)2 ? 4b2 ,即 5x ? 8 3bx ? 8b ? 0 , 4 分 ? y ? x ? 3b ?
设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

8 3 b, 5

5分

又 AC ? AD ? BC ? BD ? ( x1 ? a, y1 ) ? ( x2 ? a, y2 ) ? ( x1 ? a, y1 ) ? ( x2 ? a, y2 ) ? 2a( x1 ? x2 ) , 所以 4b ? (?

???? ???? ??? ? ??? ?

x2 8 3 32 3 ? y 2 ? 1; ,所以 b ? 1 ,椭圆方程是 b) ? ? 4 5 5
答案第 13 页,总 52 页

7分

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

R 在 x 轴上,设点 R(t , 0) , (2)由椭圆的对称性,可以设 P 1 (m, n), P 2 (m, ?n) ,点
则圆 R 的方程为 : ( x ? t )2 ? y 2 ? (m ? t )2 ? n2 , 由内切圆定义知道,椭圆上的点到点 R 距离的最小值是 | PR 1 |,
2 2 2 设点 M ( x, y ) 是椭圆 C 上任意一点,则 | MR | ? ( x ? t ) ? y ?

3 2 x ? 2tx ? t 2 ? 1 , 9 分 4
10 分

当 x ? m 时, | MR |2 最小,所以 m ? ?

?2t 4t ? ① 3 3 2

又圆 R 过点 F ,所以 (? 3 ? t )2 ? (m ? t )2 ? n2 ② 点 P1 在椭圆上,所以 n ? 1 ?
2

11 分

m2 ③ 4

12 分

由①②③解得: t ? ?

3 或t ? ? 3 , 2

又 t ? ? 3 时, m ?

?4 3 ? ?2 ,不合, 3 3 , 0) . 2
13 分

综上:椭圆 C 存在符合条件的内切圆,点 R 的坐标是 (?

考点:1.待定系数求椭圆方程.2.函数的最值.3.方程的思想解决解决解几问题.3.归纳化归 的思想.4.运算能力. 11. (1) 【解析】 试题分析: (1)由离心率为

x2 3 ? y 2 ? 1; (2)存在 E (? , 0) 4 2

? 3 ,倾斜角为 的 直 线 l 交 椭 圆 于 C, D 两 点 , 4 2

??? ? ???? ??? ? ??? ? 32 3 .通过联立直线方程与椭圆的方程,可求得 a , b 的值.即可得结 AC ? AD ? BC ? BD ? ? 5 论.
(2)依题意可得符合要求的圆 E,即为过点 F , P 1, P 2 的三角形的外接圆.所以圆心在 x 轴 上.根据题意写出圆 E 的方程.由于圆的存在必须要符合,椭圆上的点到点 E 距离的最小值 是| P 1 E | ,结合图形可得圆心 E 在线段 PP 1 2 上,半径最小.又由于点 F 已知,即可求得结论.

试题解析: (1)因为离心率为

3 ,所以 a ? 2b, c ? 3b , 2
答案第 14 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

所以椭圆方程可化为:

x2 y2 ? ? 1 ,直线 l 的方程为 y ? x ? 3b , 4b 2 b 2

2分

? x2 y2 ? ?1 ? 2 由方程组 ? 4b ,得: x2 ? 4( x ? 3b)2 ? 4b2 ,即 5x2 ? 8 3bx ? 8b2 ? 0 , 4 分 b2 ? y ? x ? 3b ?
设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

8 3 b, 5

5分

又 AC ? AD ? BC ? BD ? ( x1 ? a, y1 ) ? ( x2 ? a, y2 ) ? ( x1 ? a, y1 ) ? ( x2 ? a, y2 ) ? 2a( x1 ? x2 ) , 所以 4b ? (?

???? ???? ??? ? ??? ?

x2 8 3 32 3 ? y 2 ? 1; ,所以 b ? 1 ,椭圆方程是 b) ? ? 4 5 5

7分

E 在 x 轴上,设点 E (t , 0) , (2)由椭圆的对称性,可以设 P 1 (m, n), P 2 (m, ?n) ,点
则圆 E 的方程为 : ( x ? t )2 ? y 2 ? (m ? t )2 ? n2 , 由内切圆定义知道,椭圆上的点到点 E 距离的最小值是 | P 1E | ,
2 2 2 设点 M ( x, y ) 是椭圆 C 上任意一点,则 | ME | ? ( x ? t ) ? y ?

3 2 x ? 2tx ? t 2 ? 1 , 9 分 4
10 分

当 x ? m 时, | ME |2 最小,所以 m ? ?

?2t 4t ? ① 3 3 2

又圆 E 过点 F ,所以 (? 3 ? t )2 ? (m ? t )2 ? n2 ②

11 分

m2 点 P1 在椭圆上,所以 n ? 1 ? ③ 4
2

12 分

由①②③解得: t ? ?

3 或t ? ? 3 , 2

又 t ? ? 3 时, m ?

?4 3 ? ?2 ,不合, 3 3 , 0) . 2
13 分

综上:椭圆 C 存在符合条件的内切圆,点 E 的坐标是 (?

考点:1.待定系数求椭圆方程.2.函数的最值.3.方程的思想解决解决解几问题.3.归纳化归 的思想.4.运算能力. 12. (1)

x2 y 2 ? ? 1; (2)详见解析. 16 12
答案第 15 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

【解析】

1 ,得 a , b ,从而求 a ,进而求椭 2 圆 C 的方程; (2)要说明直线 MR 、 NR 的斜率之积是否为定值,关键是确定 M 、 N 两点
试题分析: (1)由直线和圆相切,求 b ,再由离心率 e ? 的坐标.首先设直线 PQ : x ? my ? 3 的方程,并与椭圆联立,设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,利用 三点共线确定 M 、 N 两点的坐标的坐标,再计算直线 MR 、 NR 的斜率之积,这时会涉及 到 x1 , x2 , y1 , y2 ,结合根与系数的关系,研究其值是否为定值即可. 试题解析: (1) b ? 分 (2)设 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) ,若直线 PQ 与纵轴垂直,

x2 y2 a 2 ? b2 1 2 |2 6| C : ? ?1 ,故 ? , a ? 16 ? 2 3, e2 ? 16 12 a2 4 2

4

则 M , N 中有一点与 A 重合,与题意不符, 故可设直线 PQ : x ? my ? 3 . 将其与椭圆方程联立,消去 x 得: 5分

(3m2 ? 4) y 2 ? 18my ? 21 ? 0
y1 ? y2 ?

6分

?18m ?21 , y1 y2 ? 7分 2 3m ? 4 3m 2 ? 4 yM y 28 y 由 A, P, M 三点共线可知, ? 1 , yM ? ? 1 , 16 3 x1 ? 4 ? 4 x1 ? 4 3
同理可得 yN ?

8分

28 y2 ? 3 x2 ? 4

9分

kMR ? kNR ?

y 9y ? y yM 16 y1 y2 ? N ? M N ? 16 16 49 ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ?3 ?3 3 3

10 分

而 ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? (my1 ? 7)(my2 ? 7) ? m2 y1 y2 ? 7m( y1 ? y2 ) ? 49

11 分

答案第 16 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

?21 16 ? (?21) 12 3m2 ? 4 ? ?? 所以 kMR ? k NR ? ?21 ?18m 4 ? 49 7 m2 ? 2 ? 7m ? 2 ? 49 3m ? 4 3m ? 4 12 故直线 MR 、 NR 的斜率为定值 ? . 7 16 ?
考点:1、椭圆的标准方程和简单几何性质;2、直线和椭圆的位置关系. 13.(1) (2) 或

13 分

【解析】 (1)由

,得

,再由

,得

由题意可知,





解方程组



,所以椭圆的方程为



(2)解:由(1)可知 方程为 ,

.设 B 点的坐标为

,直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的

于是 A,B 两点的坐标满足方程组

由方程组消去 整理,得 由 得

设线段 AB 是中点为 M,则 M 的坐标为 以下分两种情况: (1)当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0) . 此时线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是 ∵ (2)当 ,∴ 时,线段 AB 的垂直平分线方程为



答案第 17 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

令 由

,解得

整理得

,∴

综合知:



14.(1) (2)2 【解析】(1)由已知得,a=2,b=1,所以 所以椭圆 G 的焦点坐标为(- ,0),( ,0),离心率为 . .

(2)由题意知,

. , ,

当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1,点 A,B 的坐标分别为

此时

. . .

当 m=-1 时,同理可得 当 时,设切线 l 的方程为







设 A,B 两点的坐标分别为

,则

答案第 18 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。





又由 l 与圆

相切,得

,即



所以 .

由于当

时,





时,



且当

时,

,所以

的最大值为 2.

15. (1)抛物线 C1 的方程为 y 2 ? x ; (2)椭圆 C2 的离心率 e ? 【解析】

2 ?1.

试题分析: ( 1 )先根据抛物线及椭圆的几何性质得到点 A, B 关于 x 轴对称,进而由

AB ? 2 3 求得 A 点的坐标 (3, 3) ,接着代入抛物线的方程可求得 c 的值,从而可确定抛
物线 C1 的方程; (2) 先根据 AF ? OF 确定 A 的横坐标为 c , 进而代入椭圆的方程可确定 A

b2 2 点的坐标 (c, ) ,再将该点的坐标代入抛物线 y 2 ? 4cx ,从中可得关系式 b ? 2ac ,另一 a
2 2 2 方面 a ? b ? c ,从而得到 ( ) ? 2 ?
2

c a

c ? 1 ? 0 ,即 e2 ? 2e ? 1 ? 0 ,只须求解关于 e 的方 a

程即可得到 e ? (0,1) 内的解. 试题解析: (1)设椭圆的右焦点为 F (c, 0) ,依题意得抛物线的方程为 y ? 4cx
2

∵ ?AOB 是边长为 2 3 的正三角形,∴点 A 的坐标是 (3, 3)
2 代入抛物线的方程 y ? 4cx 解得 c ?

1 2 ,故所求抛物线 C1 的方程为 y ? x 4

(2)∵ AF ? OF ,∴点 A 的横坐标是 c 代入椭圆方程解得 y ? ?

b2 ,即点 A 的坐标是 a

答案第 19 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

(c,

b2 ) a b4 ? 4c 2 即 b2 ? 2ac a2
c a
2

∵点 A 在抛物线 y 2 ? 4cx 上,∴

2 2 2 将 b ? a ? c 代入上式整理得: ( ) ? 2 ?

c ?1 ? 0 a

即 e ? 2e ? 1 ? 0 ,解得 e ? ?1 ? 2
2

∵ 0 ? e ? 1 ,故所求椭圆 C2 的离心率 e ?

2 ?1.

考点:1.椭圆的标准方程及其几何性质;2.抛物线的标准方程及其几何性质. 16. (1) (2) 【解析】 (1)设 M 的坐标为(x,y) ,显然有 x>0, 当∠MBA=90°时,点 M 的坐标为(2,±3) 当∠MBA≠90°时,x≠2.由∠MBA=2∠MAB, 有 tan∠MBA= ,即 .

化简得:

,而点(2,±3)在曲线 .

上,

综上可知,轨迹 C 的方程为 (2)由 消去 y,可得

. (*)

由题意,方程(*)有两根且均在(1,+

)内,设



所以

解得 m>1,且 m

2. ,由 有

设 Q、R 的坐标分别为

答案第 20 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。



所以



由 m>1,且 m

2,有

所以

的取值范围是



17.(1) (-1,1) ;2 (2) 定值-(3+2 )



【解析】(1)∵l 与圆相切,∴1= ∴m =1+k ,① 由 得 ,
2 2



∴ 由于

,∴

,故 k 的取值范围为(-1,1). ,







∴当 ,

时,

取最小值为 2



(2)由已知可得

的坐标分别为(-1,0),(1,0),

答案第 21 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。











=











由①,得 ∴ =

, =-(3+2 )为定值.

18. (1)

x2 y 2 ? ?1; (2) k ? (? 6, ? 3) ? (? 3, 3) ? ( 3, 6) ; (3) k ? ?1 . 1 1 3

【解析】 试题分析:(1)要求双曲线的标准方程,必须找到关于 a, b, c 的两个等式,题中一条渐近线 方程为 3x ? y ? 0 ,说明

b ? 3 ,这是一个等式,点 D(1, 2) 在双曲线上,那么此点坐 a

标适合双曲线方程,代入进去又可得到一个等式,这样可解得 a , b ;(2)直线与双曲线有两 个不同的交点,直接把直线方程与双曲线方程联立方程组,此方程组有两解,方法是消去一 个元 y ,得到关于 x 的二次方程,此方程是二次方程有两个不等的实根,则 ? ? 0 ;(3)题 设 条 件 说 明 OA ? OB , 如 果 设 A( x ) 则 有 x1 x2 ? y1 y2? 0 , y1 y2 可 用 1, y 1 ), B ( x 2 ,y 2 ,

x1 x2, x1? x2表示出来,而 x1x2 , x1 ? x2 在(2)中可用 k 表示出来,代入刚才的等式,得到 k 的
方程,可解得 k .

答案第 22 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

?1 2 ? ? 1, ? ? a 2 b2 试题解析:(1)由题知,有 ? ? b ? 3. ? ?a

? 2 1 ?a ? , 解得 ? 3 ?b 2 ? 1. ?
x2 y 2 ? ?1. 因此,所求双曲线 C 的方程是 1 1 3
(2)∵直线 l 过点 (0,1) 且斜率为 k , ∴直线 l : y ? kx ? 1 . 联立方程组 ?

?3x 2 ? y 2 ? 1, ? y ? kx ? 1

得 (3 ? k 2 ) x2 ? 2kx ? 2 ? 0 .

又直线 l 与双曲线 C 有两个不同交点,

?3 ? k 2 ? 0, ? ∴? 2 2 ? ?? ? (?2k ) ? 4(3 ? k )(?2) ? 0.
解得 k ? (? 6, ? 3) ? (? 3, 3) ? ( 3, 6) .

2k ? x1 ? x2 ? , ? ? 3? k2 (3)设交点为 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) ,由(2)可得 ? ? x x ? ?2 . 1 2 ? 3? k2 ?
又以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点, 因此, OA ? OB(O 为坐标原点) . 于是, OA ? OB ? 0, 即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , (1 ? k 2 ) x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

?2(1 ? k 2 ) 2k 2 ? ? 1 ? 0 ,解得 k ? ?1 . 3? k2 3? k2
2 又 k ? ?1 满足 3 ? k ? 0 ,且 ? ? 0 ,

所以,所求实数 k ? ?1 . 考点: (1)双曲线的标准方程;(2)直线与双曲线有两个交点问题;(3)两直线垂直与圆锥网 线综合题.
答案第 23 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

19. (1) 3x2 ? y 2 ? 1 ; (2) k ? ?1 【解析】 试题分析: (1)根据双曲线的几何性质可得:c=

2 3 b , = 3 ,解方程组即可; (2)可以 a 3

联立直线方程与双曲线方程,消去 y 得关于 x 的一元二次方程,利用韦达定理,结合以 AB 为直径的圆过原点时 OA ? OB ,建立方程,即可解除 k. 试题解析: (1)易知 双曲线的方程是 3x2 ? y 2 ? 1 . (2)① 由 ?

? y ? kx ? 1, ?3x ? y ? 1,
2 2

2 2 得 3 ? k x ? 2kx ? 2 ? 0 ,

?

?

由 ? ? 0, 且3 ? k 2 ? 0 ,得 ? 6 ? k ? 6, 且 k ? ? 3 . 设 A? x1, y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? ,因为以 AB 为直径的圆过原点,所以 OA ? OB , 所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .又 x1 ? x2 ?

?2k 2 , x1 x2 ? 2 , 2 k ?3 k ?3

所以 y1 y2 ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? k 2 x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 1, 所以

2 ? 1 ? 0 ,解得 k ? ?1 . k ?3
2

考点:(1)双曲线的几何性质; (2)直线与圆锥曲线的位置关系.

x2 y2 ? ?1 16 20. (1) 4 , AB ? 4 3 ; (2)不存在这样的点 P .
【解析】 试题分析: (1) 求椭圆 C1 的方程,只需求出 a ', b ' 即可,由双曲线

C2 :

x2 y2 ? ?1 4 16 得,

x2 y2 ? ?1 a ? 2, b ? 4 , 16 故得椭圆 a ' ? 4, b ' ? 2 , 从而得椭圆 C1 的方程为 4 , 求线段 AB 的
长,只需求出 A, B 的坐标,由椭圆 C1 的方程,及抛物线的方程

C3 : y 2 ? 12x ,联立方程组

解得 A(1,2 3), B(1,?2 3) ,从而可得线段 AB 的长; (2)这是探索性命题,一般假设存在,

可设出

E ? x1, y1 ? , F ? x2 , y2 ?

,代入椭圆 C1 的方程,两式作差,得

k EF ? ?

16 x0 4 y 0 ,设出

M ? x3 , y3 ? , N ? x4 , y4 ?

,代入抛物线

C3 : y ? 12x ,两式作差,得
2

k MN ?

6 y 0 ,C1 的弦 EF

答案第 24 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。



2 C3 的弦 MN 相互垂直得,kEF kMN ? ?1,从而得到 y0 ? 24x0 ,由题设条件,来判断点 P

是否存.

x2 y2 ? ?1 16 试题解析: ( 1 )椭圆 C1 : 4 ;联立方程组解得 A(1,2 3), B(1,?2 3) ,所以

AB ? 4 3 .
k EF ? ? 16 x0 4 y 0 ,将 M , N 坐标带入 C3 得

(2) 假设存在,由题意将 E , F 坐标带入 C1 做差得

k MN ?

6 2 ? 24x0 ? 12x0 ,故满足条件的 P 点在抛物线 C3 外, y 0 ,? k EF ? k MN ? ?1,? y0

所以不存在这样的点 P . 考点:椭圆的方程,直线与二次曲线位置关系. 21.(1) x ?
2

y2 ? 1 (2) y ? x ? 1 (3)是,理由见解析 2

【解析】 试题分析: (1)根据题意已知 c , e ,则利用双曲线 a,b,c 之间的关系与离心率的定义 e ?

c 即可求出 a , b a

的值,进而得到双曲线的标准方程. (2)根据题意可得 AB 为双曲线的一条弦,要求弦所在直线,还需要斜率,可以采用点差法利用 弦的中来求解弦的斜率,已知了弦所在直线的斜率与弦上的中点坐标 ,再利用直线的点斜式 即可求出弦所在直线的方程. (3)由(2)可得 AB 直线的方程,联立直线 AB 与双曲线的方程消元解二次方程即可得到 A,B 两 点的坐标,已知 AB 线段的斜率与中点即可求的 AB 垂直平分线的直线方程,联立垂直平分线与 双曲线的方程消元解二次方程即可求的 CD 两点的坐标. 试题解析:

?c ? 3 ? (1)依题意得 ? ,解得 a=1. c ?e ? ? 3 a ?
所以 b ? c ? a ? 3 ? 1 ? 2 ,
2 2 2

(1 分)

(2 分)

y2 ? 1. 故双曲线 C 的方程为 x ? 2
2

(3 分)

答案第 25 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

? 2 x ? ? ? 1 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 ? ? x2 ? 2 ? ?
两式相减得: ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ?

y12 ?1 2 . 2 y2 ?1 2
(4 分) (5 分)

1 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) , 2

由题意得 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 2 , y1 ? y 2 ? 4 , 所以

y1 ? y 2 2( x1 ? x2 ) ? ? 1 ,即 k AB ? 1. x1 ? x2 y1 ? y 2

(6 分)

故直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 .

(7 分)

(3)假设 A、B、C、D 四点共圆,且圆心为 P. 因为 AB 为圆 P 的弦,所以圆心 P 在 AB 垂直 平分线 CD 上;又 CD 为圆 P 的弦且垂直平分 AB,故圆心 P 为 CD 中点 M. (8 分) 下面只需证 CD 的中点 M 满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可.

? y ? x ?1 ? 由 ? 2 y2 得:A(-1,0) ,B(3,4). x ? ? 1 ? ? 2
由(1)得直线 CD 方程: y ? ? x ? 3 ,

(9 分)

(10 分)

? y ? ?x ? 3 ? 由 ? 2 y2 得:C(-3+ 2 5 ,6- 2 5 ) ,D(-3- 2 5 ,6+ 2 5 ) , ?1 ?x ? ? 2
所以 CD 的中点 M(-3,6). 因为 | MA |?

(11 分)

(12 分)

4 ? 36 ? 2 10 , | MB |? 36 ? 4 ? 2 10 ,
(13 分)

| MC |? 20 ? 20 ? 2 10 , | MD |? 20 ? 20 ? 2 10 ,
所以 | MA |?| MB |?| MC |?| MD | , 即 A、B、C、D 四点在以点 M(-3,6)为圆心, 2 10 为半径的圆上. 考点:双曲线 直线与圆锥曲线 弦长 共圆 22. (1)x -
2

(14 分)

y2 =1(2)y=±(x-2) 3

【解析】学生错解:解:(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),F(2,0),直线 l:y=k(x-2),

k x-2), ? y=( 4k 2 4k 2 ? 3 ? 2 2 2 2 由 ? 2 y2 消元得(k -3)x -4k x+4k +3=0,x1+x2= 2 ,x1x2= 2 ,y1 k -3 k -3 1, ?x - = 3 ?
答案第 26 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

-y2=k(x1-x2), △ F1AB 的 面 积 S = c|y1 - y2| = 2|k|?|x1 - x2| = 2|k|
2 (4k 2) -( 4 k 2-3)(4k 2+3) = | k 2-3 |

2|k|?

6 k 2 ?1 4 2 2 =6 3 ,k +8k -9=0,k =1,k=±1,所以直线 l 的方程为 y=±(x- 2 k -3

2). 审题引导:(1)直线与双曲线相交问题时的处理方法;(2)△F1AB 面积的表示. 规范解答:解:(1)依题意,b= 3 ,

c =2?a=1,c=2,(4 分) a

∴双曲线的方程为 x -

2

y2 =1.(6 分) 3

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),F2(2,0),直线 l:y=k(x-2),

k x-2), ? y=( ? 2 2 2 2 由 ? 2 y2 消元得(k -3)x -4k x+4k +3=0,(8 分) 1, ?x - = 3 ?
4k 2 4k 2 ? 3 k≠± 3 时,x1+x2= 2 ,x1x2= 2 ,y1-y2=k(x1-x2),(10 分) k -3 k -3
△ F1AB 的面积 S = c|y1 - y2| =2|k|?|x1 - x2| =2|k|?
2 (4k 2) -( 4 k 2-3)(4k 2+3) = | k 2-3 |

2|k|?

6 k 2 ?1 4 2 2 =6 3 ,k +8k -9=0,k =1,k=±1,(14 分) 2 k -3

所以直线 l 的方程为 y=±(x-2).(16 分) 错因分析:解本题时容易忽略二次项系数不为零,即 k≠± 3 这一条件

23. (1)

x2 y 2 12 5 - =1.(2)y2=- x. 3 2 5
2 2

【解析】(1)由题意,椭圆 4x +9y =36 的焦点为(± 5 ,0),即 c= 5 ,

∴设所求双曲线的方程为

x2 y2 =1,∵双曲线过点(3,-2), a2 5 ? a2

9 4 x2 y 2 2 2 - =1. ∴ 2=1,∴a =3 或 a =15(舍去).故所求双曲线的方程为 a 5 ? a2 3 2
(2)由(1)可知双曲线的右准线为 x=

3 2 .设所求抛物线的标准方程为 y =-2px(p>0), 则p 5

答案第 27 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。



6 12 5 2 ,故所求抛物线的标准方程为 y =- x. 5 5
(2) λ =0 或λ =-4

24.(1)

【解析】 【思路点拨】(1)代入 P 点坐标,利用斜率之积为错误!未找到引用源。列方程求解. (2)联立方程,设出 A,B,错误!未找到引用源。的坐标,代入错误!未找到引用源。=λ 错误! 未找到引用源。+错误!未找到引用源。求解. 解:(1)由点 P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 上,有错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1. 由题意又有错误!未找到引用源。 ?错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 2 2 2 2 2 2 可得 a =5b ,c =a +b =6b ,则 e=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. (2)联立方程得错误!未找到引用源。 2 2 得 4x -10cx+35b =0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则错误!未找到引用源。 设错误!未找到引用源。=(x3,y3),错误!未找到引用源。=λ 错误!未找到引用源。+错误! 未找到引用源。, 即错误!未找到引用源。 2 又 C 为双曲线 E 上一点,即错误!未找到引用源。-5 错误!未找到引用源。=5b , 2 2 2 有(λ x1+x2) -5(λ y1+y2) =5b , 2 化简得:λ (错误!未找到引用源。-5 错误!未找到引用源。)+(错误!未找到引用源。-5 2 错误!未找到引用源。)+2λ (x1x2-5y1y2)=5b , 又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线 E 上, 2 所以错误!未找到引用源。-5 错误!未找到引用源。=5b ,错误!未找到引用源。-5 错误! 2 未找到引用源。=5b . 又 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c) 2 2 =-4x1x2+5c(x1+x2)-5c =10b , 2 得:λ +4λ =0,解出λ =0 或λ =-4. 25. (1) 5 ; (2)详见解析; (3)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)根据双曲线的离心率列方程求出实数 a 的值; (2)设点 P 的坐标为 ? , y ? , 点 Q 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,利用条件 PF2 ? QF2 ? 0 确定 y 与 x0 、 y0 之间的关系,再结合点 Q 在双曲线 E 上这一条件,以及斜率公式来证明直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3) 证法一是先设点 M 、 N 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? 、 ? x2 , y2 ? ,结合(2)得到 y1 ?
2

?5 ?3

? ?

???? ? ???? ?

4 2 ? x1 ? 5? , 5 ???? ? ???? ? PM ? ? PN PM MH 4 ? 2 2 y2 ? ? x2 ? 5 ? ,引入参数 ? ,利用 ? ? ? 转化为相应的条件 ? ???? ? ???? , 5 PN HN ? ? MH ? ? HN
答案第 28 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

利用坐标运算得到点 H 的坐标所满足的关系式 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 , 进而证明点 H 恒在定直线

5? ? 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 上;证法二是设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ? x ? ? ,将直线 l 的方程与双曲 3? ?

5 3 ? x ? x2 ,结 线的方程联立,结合韦达定理,将条件 进行等价转化为 ? 5 x ? x1 PN HN x2 ? 3

PM

MH

x1 ?

合 韦 达 定 理 化 简 为 ?3x ? 5 0最 后 利 用 点 H 在 直 线 l 上 得 到 ? k ? 4x ? 1 5? ,

5? ? y ? 1 ? k? x ? ? ,从而消去 k 得到 4 x ? 3 y ? 12 3? ?
? 0 ,进而证明点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 上.
试题解析: (1)根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为 e ? 解得 a ? 5 , 故双曲线 E 的方程为

a2 ? 4 3 5 ,由于 a ? 0 , ? a 5

x2 y 2 ? ?1; 5 4

(2)设点 P 的坐标为 ? , y ? ,点 Q 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,易知点 F2 ? 3,0? , 则 PF2 ? ? 3, 0 ? ? ? , y ? ? ? , ? y ? , QF2 ? ?3,0? ? ? x0 , y0 ? ? ?3 ? x0 , ? y0 ? ,

?5 ?3

? ?

???? ?

?5 ?3

? ?4 ? ?3

? ?

???? ?

???? ? ???? ? 4 4 ? x0 ? 3? , 因 此 点 P 的 坐 标 为 ? PF2 ? QF2 ? ? 3 ? x0 ? ? ? ? y ? ? ? ? y0 ? ? 0 ? y ? 3 3 y0

? 5 4 ? x0 ? 3? ? ? , ?, 3 ?3 ?
y0 ? y ? 5 x0 ? 3 y0 ? 4 ? x0 ? 3? 3y0 3 y 2 ? 4 x 0? 12 ? 0 ,直线 OQ 的斜率为 5 3 x ? 5 y ? ? 0 0 x0 ? 3

故直线 PQ 的斜率 k PQ ?

kOQ ?

y0 , x0

答案第 29 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

因此直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积为 kPQ ? kOQ ?

2 2 3 y0 ? 4 x0 ? 12 y0 3 y0 ? 4 x0 ? 12 , ? ? 2 3x0 ? 5x0 ? 3x0 ? 5? y0 x0

由于点 Q ? x0 , y0 ? 在双曲线 E 上,所以

2 2 2 4 x0 ?5 x0 y0 2 ? ? 1 ,所以 y0 ? , 5 4 5
2 4 ? x0 ? 5?

?

?

于是有 kPQ ? kOQ

2 3 y0 ? 4 x0 ? 12 ? ? 2 3x0 ? 5x0

3?

? 4 x0 ? 12 12 ? x 2 ? 5? ? 20 x ? 60 0 0 5 ? 2 2 3x0 ? 5x0 15x0 ? 25x0

?

2 12 x0 ? 20 x0 4 x0 ? 3x0 ? 5? 4 ; ? ? (定值) 2 15x0 ? 25x0 5x0 ? 3x0 ? 5? 5

(3)证法一:设点 H ? x, y ? 且过点 P ? ,1? 的直线 l 与双曲线 E 的右支交于不同的两点

?5 ? ?3 ?

M ? x1, y1 ? 、 N ? x2 , y2 ? ,由(2)知, y12 ?
PM MH

4 2 4 2 2 x1 ? 5 ? , y2 ? ? x2 ? 5? , ? 5 5

???? ? ???? ?? 5 5 ? ? ? ? PM ? ? PN ? ? x1 ? , y1 ? 1? ? ? ? x2 ? , y2 ? 1? ? 3 3 设 ? ? ? ,则 ? ???? ? ? ?, ? ???? ,即 ? ? PN HN MH ? ? HN ? ?? x ? x , y ? y ? ? ? ? x ? x, y ? y ? ? 1 1 2 2 ?

5 ? ? x1 ? ? x2 ? 3 ?1 ? ? ? , ① ? ? ②, 整理得 ? y1 ? y2 ? 1 ? ? , ? x1 ? ? x2 ? x ?1 ? ? ? , ③ ? ? ? y1 ? ? y2 ? y ?1 ? ? ? , ④
5 ? 2 2 2 2 ? x1 ? ? x2 ? 3 ?1 ? ? ? x, ⑤ 由① ? ③,② ? ④得, ? , 2 2 2 2 ? y1 ? ? y2 ? ?1 ? ? ? y, ⑥ ?
将 y1 ?
2

2 4 2 4 2 4 x12 ? ? x2 2 x ? 5 y ? x ? 5 y ? ? ? ?4 ,⑦, , ,代入⑥得 ? 1 ? 2 5? 2 ? 5 5 1? ? 2

将⑦代入⑤得 y ?

4 x ? 4 ,即点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 上; 3

证法二:依题意,直线 l 的斜率 k 存在,设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ? x ? ? ,

? ?

5? 3?

答案第 30 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

? 5? ? ? y ?1 ? k ? x ? 3 ? ? ? ? 由? , 2 2 ?x ? y ?1 ? ?5 4
2 2 2 2 消去 y 得 9 4 ? 5k x ? 30 5k ? 3k x ? 25 5k ? 6k ? 9 ? 0 ,

?

?

?

?

?

?

因为直线 l 与双曲线 E 的右支交于不同的两点 M ? x1 , y1 ? 、 N ? x2 , y2 ? ,

? ? 2 2 2 2 ?? ? 900 ? 5k ? 3k ? ? 900 ? 4 ? 5k ?? 5k ? 6k ? 9 ? ? 0, ① ? 30 ? 5k 2 ? 3k ? ? , ②, 则有 ? x1 ? x2 ? 9 ? 5k 2 ? 4 ? ? ? 25 ? 5k 2 ? 6k ? 9 ? ? , ③ ? x1 x2 ? 9 5k 2 ? 4 ? ? ?

5 3 ? x ? x2 , 设点 H ? x, y ? ,由 ,得 ? 5 x ? x1 PN HN x2 ? 3

PM

MH

x1 ?

整理得 6x1x2 ? ?3x ? 5?? x1 ? x2 ? ? 10x ? 0 ,

150 ? 5k 2 ? 6k ? 9 ? 30 ? 3x ? 5? ? 5k 2 ? 3k ? ? ? 10 x ? 0 , 将②③代入上式得 9 ? 5k 2 ? 4 ? 9 ? 5k 2 ? 4 ?
整理得 ?3x ? 5? k ? 4x ?15 ? 0 ,④ 因为点 H 在直线 l 上,所以 y ? 1 ? k ? x ? ? ,⑤ 联立④⑤消去 k 得 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 ,所以点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 . 考点:1.双曲线的离心率;2.向量的坐标运算;3.斜率公式;4.韦达定理 26. (1)

? ?

5? 3?

x2 y2 3 14 + =1(2) 4 2 8

x2 y2 【解析】(1)设椭圆方程为 2 + 2 =1,a>b>0, a b
由 c= 2 ,

c 2 2 2 2 = ,可得 a=2,b =a -c =2, a 2

答案第 31 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

所以椭圆的标准方程为

x2 y2 + =1. 4 2
??? ? ??? ?

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 AP =2 PB ,得 ?

?-x1=2 x2, 可得 x1=-2x2.① 2 y2-), 1 ?1-y1=(
2 2

设过点 P 的直线方程为 y=kx+1,代入椭圆方程,整理得(2k +1)x +4kx-2=0,

4k ?2 ,②x1x2= ,③ 2 1+ 2k 1+ 2k 2 4k 1 2 由①②得 x2= ,将 x1=-2x2 代入③得 x2 = , 2 1+ 2k 1+ 2k 2
则 x1+x2=- 所以 ?

1 1 ? 4k ? 2 = ,解得 k = . 2 2 ? 14 ? 1+2k ? 1+ 2k

2

又△AOB 的面积 S=

12k 1 1 3 14 3 14 |OP|?|x1-x2|= ? = .所以△AOB 的面积是 . 2 2 2 1+2 k 8 8

27. (1) 【解析】

x2 y 2 ? ? 1; (2)存在 F1 ? 10, 0 , F2 4 2

?

? ?

10, 0 ;(3)证明过程详见试题解析.

?

试题分析: (1)由双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的焦点与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的焦点重合求出 a 2 b2

椭圆中的 c ,再由 a?2 ,求出所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ;( 2 ) 先 设 4 2

??? ? ???? ? ???? P ? x p , y p ? , M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,由 OP ? OM ? 2 ON, 结合椭圆的标准方程可以得到
F1 ? 10, 0 , F2

?

? ?

10, 0 使得 PF1 ? PF2 为定值; (3 )要证明以 NB 为直径的圆经过点

?

M ,就是证明 MN ? MB ,详见解析.
试题解析: (1)解:由题设可知:双曲线 x 所以椭圆中的 c ? 2, 又由椭圆的长轴为 4 得 a ? 2, 故b ? a ?c ? 2
2 2 2

2

? y 2 ? 1的焦点为 (? 2,0) ,

故椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ?1 4 2

答案第 32 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

(2)证明:设 P( x p , yP ), M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) ,由 OP ? OM ? 2ON 可得:

??? ?

???? ?

????

? xP ? x1 ? 2 x2 .............① ? ? yP ? y1 ? 2 y2
由直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?

1 可得: 2

y1 y2 1 ? ? ,即 x1x2 ? 2 y1 y2 ? 0............② x1 x2 2
2 2 2 2 2 2 由①②可得: xP ? 2 yP ? ? x1 ? 2 x2 ? ? 2 ? y1 ? 2 y2 ? ? ( x1 ? 2 y1 ) ? 4( x2 ? 2 y2 ) ?6 分 2 2

2 2 2 M、N 是椭圆上,故 x1 ? 2 y12 ? 4, x2 ? 2 y2 ?4
2 xP y2 ? P ?1 20 10

2 2 故 xP ? 2 yP ? 20 ,即

由椭圆定义可知存在两个定点 F 1 (? 10,0), F 2 ( 10,0) ,使得动点 P 到两定点距离和为定值

4 5;
(3)证明:设 M ( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 由题设可知 x1 ? 0, y1 ? 0, x2 ? 0, y2 ? 0, x1 ? x2 , A( x1 ,0), N (? x1 , ? y1 ) 由题设可知 l AB 斜率存在且满足 k NA ? k NB ?

y1 y ?y ? 2 1 .??③ 2 x1 x2 ? x1

kMN ? kMB ? 1 ?

y1 y2 ? y1 ? ? 1.........④ x1 x2 ? x1
2 2( y2 ? y1 ) y2 ? y1 ( x 2 ? 2 y2 ) ? ( x12 ? 2 y12 ) ?⑤ ? ?1 ? 2 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x12

将③代入④可得: kMN ? kMB ? 1 ?

2 2 x2 y 2 ( x2 ? 2 y2 ) ? ( x12 ? 2 y12 ) 4?4 ? ? 1 ,故 kMN ? kMB ? 1 ? 点 M , B 在椭圆 ? 2 ?0 2 2 4 2 x2 ? x1 x2 ? x12

所以 kMN ? kMB ? 1 ? 0?kMN ? kMB ? ?1? MN ? MB 因此以 NB 为直径的圆经过点 M . 考点:直线与圆锥曲线. 28. (1)

x2 y2 ? ?1; (2) y 2 ? 4 x (3) 8 5,?? 3 2

?

?

答案第 33 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

【解析】 试题分析: (1)双曲线的离心率为 3 ,所以椭圆的离心率为

3 。根据题意原点到直线 3

2 2 2 2 2 l : y ? x ? 2 的距离为 a , 又因为 a ? b ? c 可解得 a , b 。 (2) 由题意知 | MP |?| MF2 |, 即

点 M 到直线 x ? ?1 ,和到点 F2 (1, 0) 的距离相等,根据椭圆的定义可知点 M 的轨迹是以 ( 3 )由 C2 的方程为 y 2 ? 4 x 知 Q(0,0) 设 F2 (1, 0) 为焦点以直线 x ? ?1 为准线的抛物线。

y y R( 1 , y1 ), S ( 2 , y2 ) ,根据 QR ? RS ? 0 得出 y1 , y2 的关系,用两点间距离求 | QS | ,再用 4 4
配方法求最值。 试题解析:解(1)易知:双曲线的离心率为 3 ,?

2

2

c 3 , ? a 3
1分



c2 a2 ? b2 1 ? ? , ? 2a 2 ? 3b 2 , 2 2 3 a a
2 ? b,? b ? 2 , a ? 3 , 2 x2 y2 ? ?1. 3 2

又由题意知:

2分

? 椭圆 C1 的方程为

3分

(2)? | MP |?| MF2 |,

? 动点 M 到定直线 l1 : x ? ?1的距离等于它到定点 F1 (1,0) 的距离 ? 动点 M 的轨迹 C2 是以 l1 为准线, F2 为焦点的抛物线,
? 点 M 的轨迹 C2 的方程为 y 2 ? 4x .
(3)由(2)知: Q(0,0) ,设 R(
2

5分 6分 7分

y1 y , y1 ), S ( 2 , y2 ) , 4 4
2

2

2

y2 y ? y1 则 QR ? ( 1 , y1 ), RS ? ( 2 , y 2 ? y1 ) , 4 4

8分

? QR ? RS ? 0
? y1 ( y2 ? y1 ) ? y1 ( y2 ? y1 ) ? 0 , 16
答案第 34 页,总 52 页
2 2 2

9分

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

由 y1 ? y2 , y1 ? 0 ,左式可化简为: y2 ? ?( y1 ?

16 ), y1

10 分

? y2 ? y12 ?
2

2

256 ? 32 ? 2 256 ? 32 ? 64 , 2 y1
256 ,即 y1 ? ?4 时取等号, 2 y1
2

当且仅当 y1 ?

11 分

y 1 2 2 2 又 | QS |? ( 2 ) 2 ? y2 ? ( y2 ? 8) 2 ? 64( y2 ? 64) , 4 4

? 当 y2 2 ? 64 ,即 y2 ? ?8 时, | QS |min ? 8 5 ,
故 | QS | 的取值范围是 8 5,?? . 考点:1 椭圆的标准方程;2 抛物线的定义;3 函数值域。 29. (1)

13 分 14 分

?

?

x2 y 2 13 3 1 1 3 13 ? ?1; ) ? (? ,? ) ? ( , ) ? ( ,1) (2) (?1,? 3 1 15 3 2 2 3 15

【解析】 试题分析: (1)有椭圆方程中读出其长轴长,焦距长,根据题意得出双曲线的长轴长,和焦 距长,即可求出双曲线方程。 (2)因为直线 l 与两曲线均有两个不同交点,故联立方程后整 理出的一元二次方程均有两根, 即判别式均大于 0, 再根据向量数量积公式列出关于 K 的不 等式,三个不等式取交集。 试题解析: (1)设双曲线 C2 的方程为

x2 y 2 x2 ? ? 1 ? y 2 ? 1知,其长 C ,由椭圆 的方程 1 a 2 b2 4
2 2 2

轴长为 4,焦距长为 2 3 ,则由题意知双曲线 C2 中 c ? 2 , a ? 3 ,所以 b ? c ? a ? 1 ,

x2 y 2 ? ?1。 故 C2 的方程为 3 1
(2)将 l : y ? kx ? 2 代入

x2 ? y 2 ? 1,整理得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8 2kx ? 4 ? 0 ,由直线 l 与 4
2

椭圆 C1 恒有两个不同的交点得 ?1 ? 128k 2 ?16(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ?1) ? 0 即 k ?

1 , 4

x2 y 2 ? ? 1 ,整理得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 ,由直线 l 与双曲 将 l : y ? kx ? 2 代入 3 1
?1 ? 3k 2 ? 0 ? 线 C2 恒 有 两 个 不 同 的 交 点 得 ? ,解得 2 2 2 ? ?? 2 ? 72k ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0
答案第 35 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

1 k 2 ? 且k 2 ? 1 。 3

设A( x A , y A ), B( x B , y B ),则x A ? x B ?

6 2k ?9 , x A ? xB ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

由OA ? OB ? 6得x A x B ? y A y B ? 6, 而 x A x B ? y A y B ? x A x B ? (kx A ? 2 )(kxB ? 2 )

? (k 2 ? 1) x A x B ? 2k ( x A ? x B ) ? 2 ? (k 2 ? 1) ? 3k 2 ? 7 ? 2 . 3k ? 1
于是
k2 ?

?9 6 2k ? 2k ? ?2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

3k 2 ? 7 15k 2 ? 13 ? 6 , 即 ? 0. 解此不等式得 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

13 1 或k 2 ? . ③ 15 3 1 1 13 2 ? k 2 ? 1. 由①、②、③得 ? k ? 或 4 3 15
故 k 的取值范围为 (?1,?

13 3 1 1 3 13 ) ? (? ,? ) ? ( , ) ? ( ,1) 15 3 2 2 3 15

考点:圆锥曲线方程基础知识,直线与圆锥曲线的位置关系,向量数量积公式 30. (1) 【解析】

x2 y 2 13 ? ? 1. ; (2) 5 25 144

x2 y2 试题分析:(1)双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右顶点分别为 A1 (?a,0), A2 (a,0) ,设 a b
P ( x, y ) 是 双 曲 线 上 作 一 点 , 在 直 线 PA1 , PA2 斜 率 都 存 在 时 , 有

kPA1 ? kPA2 ?

y y y2 b2 ? ? 2 ? ,这也可为双曲线的性质吧,那本题中就是 x ? a x ? a x ? a2 a2

b2 144 c 2 a 2 ? b2 b 2 169 13 2 ? e ? ? ? 1 ? ? , ,e ? . 2 2 2 2 5 a 25 a a a 25
(2)双曲线一条渐近线为 y ?

b x , 即 b x ? a y? 0 , 焦 点 (c , 0 )到 渐 近 线 距 离 为 a

bc a ?b
2 2

?

13 bc ? b ? 12 ,由(1) e ? ,可求得 a ,从而得双曲线方程. 5 c

答案第 36 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

试题解析: (1)设 M ( x, y ) , A1 (?a,0), A2 (a,0) ,则

x2 y 2 y2 b2 ? ? 1 ? ,变形为 , a 2 b2 x2 ? a2 a2

kMA1 ? kMA2 ?
e? 13 . 5

y y y2 b2 144 c2 a 2 ? b 2 b 2 169 2 ? ? 2 ? ? e ? ? ? 1 ? ? , ∴ , x ? a x ? a x ? a 2 a 2 25 a2 a2 a 2 25

( 2 )双曲线的一条渐近线为 y ?

b x ,即 bx ? ay ? 0 ,焦点为 (c , 0) 到渐近线的距离为 a

d?

bc a 2 ? b2

? b ? 12 , 由 ( 1 )

b 2 122 144 ? ? , ∴ a 2 ? 25 , 因 此 双 曲 线 方 程 为 a2 a2 25

x2 y 2 ? ? 1. 25 144
考点: (1)双曲线的离心率; (2)双曲线标准方程. 31.(1)

x2 y 2 (2)见解析. ? ? 1? x ? 4 ? ; 16 9

【解析】 试题分析: (1)利用等差中项的定义可得 PA ? PB ? 8, 利用双曲线定义写出轨迹方程即可; (2) 考虑到 M 在 x 上, 故可设出其坐标 M ? m,0? , 设 P ? x0 , y 0

??? ?

??? ?

??0x

??? ? 写出| PA |、 | ? 4? ,

???? ?2 ???? ?2 ??? ? ??? ? ??? ? PB |即 PM ,根据| PA |?| PB |= PM 计算得出关于 m 的方程,判断此方程根的
个数确定“比例点”. 试题解析: (1)由已知得 PA ? PB ? 8, ∴P 点的轨迹是以 A,B 为焦点的双曲线的右支,且 a ? 4, b ? 3, c ? 5 ,

??? ?

??? ?

∴P 点的轨迹方程为 分

x2 y 2 ? ? 1? x ? 4 ? (标 x ? 0 不扣分, 不标扣 1 分) 16 9

5

(2)设 P ? x0 , y0 ?? x0 ? 4 ? , M ? m, 0 ? .?

2 x0 y2 ? 0 ? 1, 16 9

? ??? ? ? x 2 ? ??? 2 ? y0 ? 9 ? 0 ? 1? ; 又PA ? ? ?5 ? x0 , ? y0 ? , PB ? ? 5 ? x0 , ? y0 ? , ? 16 ? ??? ? ??? ? 2 2 2 2 则 PA ?PB ? ? ?5 ? x0 ? ? ? ? y0 ? ? ? 5 ? x0 ? ? ? ? y0 ?
答案第 37 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

25 2 ? 25 2 ? ? ? x0 ? 16 ? ? x0 ? 16 16 ? 16 ? ???? ? 2 ???? ?2 25 2 2 2 x0 ? 2mx0 ? m 2 ? 9, 又 PM ? PM ? ? x0 ? m ? ? ? y0 ? ? 16 ??? ? ??? ? ???? ?2 由 PA ?PB = PM 得 m2 ? 2mx0 +7=0, ???
2 ? ?=4x0 ? 28 ? 36 ? 0 ,∴方程 ? ?? 恒有两个不等实根

2

10 分

∴对任意一个确定的点 P,它总能对应 2 个“比例点” 考点:等差中项、向量数量积的计算、双曲线定义. 32. (Ⅰ)

12 分

3 x2 ? y 2 ? 1, y ? ? (Ⅱ) k = ? 7 x; 3 3

【解析】 试题分析:本题主要考察双曲线的标准方程、韦达定理等基础知识,考察学生运算能力、综 合分析和解决问题的能力. (Ⅰ) 离心率为 e ? ①,直线 AB 的方程为

c a ?b 4 2 3 2 2 2 ? , , ∴e ? 2 ? ∴ a ? 3b 2 3 3 a a
2 2 2

y x ? ? 1, 即 bx ? ay ? ab ? 0 ,利用点到直线的距离公式得到: a ?b

| ?ab | a2 ? b2

?

2 ? 3 3 x2 ?a ? 3, ? y 2 ? 1, 两式联立, 可求出 ? , ∴双曲线方程为 ? ab ? c ②, 2 3 2 2 ? ?b ? 1.

渐近线方程为: y ? ?

3 (Ⅱ)? C , D 两点在以 A 为圆心的同一个圆上,? CD 的中 x; 3
x2 ? y2 ?1 联 立 , 消 去 y , 可 得 3

垂 线 过 点 A(0, ? 1) , 将 直 线 y ? kx ? 5 与 双 曲 线

1 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 30kx ? 78 ? 0, (k 2 ? ) , 设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ) , 中 点 为 M ( x0 , y0 ) , 则 3 x ?x ? 15k x ? 1 2? , ? ? 0 2 1 ? 3k 2 l : y ? 1 ? ? 1 x, ∴ 5 ? 1 ? ? 1 ? 15k ,解得 k = ? 7 ,并检 ? AM k k 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 ? y ? kx ? 5 ? 5 . 0 0 ? 1 ? 3k 2 ?
验是否满足(1 ? 3k 2 ? 0且? ? 0) . 试题解析: (Ⅰ)直线 AB 的方程为: 又原点 O 到直线 AB 的距离

y x ? ? 1, 即 bx ? ay ? ab ? 0. a ?b
? 3 3 ? ab ? c, 2 2

| ?ab | a2 ? b2

答案第 38 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

? 3 c, ?ab ? 2 ? 2 ? ? ?c 2 3 ?a ? 3, , .得 ? 由? ? 2 3 ? ?a ?b ? 1. ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?
所求双曲线方程为

3分

x2 ? y2 ?1 3 3 c) 2

4分

(注:也可由面积法求得 ab ? 渐近线方程为: y ? ?

3 x 3

5分

(Ⅱ)方法 1:由(1)可知 A (0,-1) ,设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ) ,由 AC ? AD

? 2 ? x12 ? ( y1 ? 1)2 ? x2 ? ( y2 ? 1)2 , ? 2 ?x 得: ? 1 ? y12 ? 1, ?3 2 ? x2 2 ? ? y2 ? 1, ?3
2 ∴3+3 y1 + , (y1 ? 1) 2 =3+3 y 2 + ( y 2 ? 1 )
2

7分

2

整理得: ( y1 ? y2 ) [2( y1 ? y2 ) ? 1] =0, ∵ k ? 0 ,∴ y1 ? y 2 ,∴ y1 ? y 2 ? ?

1 , 2
2 2 ( k ? 0, k ?

? y ? kx ? 5 ? ? (1 ? 3k 2 ) y 2 -10 y +25-3 k 2 =0 又由 ? x 2 2 ? y ? 1 ? ?3

1 ) , 3
10 分 11 分

∴y+y2=

10 1 ?? , 2 2 1 ? 3k

k 2 =7,
3 3

2 2 2 由△=100-4(1-3 k ) (25-3 k )>0 ? 0 ? k 2 ? 26 (k 2 ? 1), k =7 满足此条件,

满足题设的 k = ? 7 . 方法 2:设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ) ,中点为 M ( x0 , y0 ) ,

12 分

答案第 39 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

? y ? kx ? 5 1 ? ? (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 30kx ? 78 ? 0, (k 2 ? ) , 由 ? x2 2 3 ? ? y ?1 ?3

7分

∵ AC ? AD ,? CD 的中垂线过点 A(0, ? 1)

9分

x ?x ? 15k x0 ? 1 2 ? , ? ? 2 1 ? 3k 2 l : y ? 1 ? ? 1 x, ∴ 5 ? 1 ? ? 1 ? 15k ∵? AM k k 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 ? y ? kx ? 5 ? 5 . 0 0 ? 1 ? 3k 2 ?
整理得 k 2 ? 7, 解得 k = ? 7 .( k 2 ? 7 满足1 ? 3k 2 ? 0且? ? 0)

11 分

12 分

考点:1、双曲线的标准方程;2、点到直线的距离公式和直线方程;3、韦达定理. 33. (1) 【解析】 试题分析: ( 1 ) 利 用“点 P 4, 15 在 双 曲 线 C 上 ” 以及 “双 曲 线 C 的 渐 近 线 与圆

x2 y 2 ? ?1; (2)外切. 4 5

?

?

x 2 ? ? y ? 2 ? ? 4 ”这两个条件列两个方程,求解 a 与 b ,进而确定双曲线 C 的方程; (2)
2

根据圆与圆的位置关系的判断方法, 考查两圆连心线的长度与两圆半径之间的相互关系, 同 时注意将点 M 与左焦点 F ? 连接起来,注意到两圆圆心分别为 MF 与 FF ? 的中点,利用中 位线以及双曲线的定义确定两圆半径与连心线长度之间的关系,进而确定两圆的位置关系. 试题解析: (1)因为双曲线 C :

x2 y 2 16 15 ? 2 ? 1 经过点 P(4, 15) ,所以 2 ? 2 ? 1 ①. 2 a b a b
2 2

因为双曲线 C 的的渐近线 bx ? ay ? 0 与圆 x ? ( y ? 3) ? 4 相切, 所以圆心 (0,3) 到直线 bx ? ay ? 0 的距离等于 2,



3a b ?a
2 2

? 2 ,整理得 5a 2 ? 4b2 ②.

2 ? x2 y 2 ? a ? 4, ? ?1. 联立①与②,解得 ? 2 所以双曲线 C 的方程为 4 5 ? ?b ? 5.

(2)由(1)得, c ? a ? b ? 3 ,所以双曲线 C 的右焦点为 F (3, 0) .
2 2

设双曲线 C 的左焦点为 F ?(?3, 0) ,因为点 M 在双曲线 C 的右支上, 所以 MF ? ? MF ? 4 ,即 ( x0 ? 3) ? y0 ? ( x0 ? 3) ? y0 ? 4 ,
2 2 2 2

答案第 40 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

所以 ( x0 ? 3) ? y0 ? 4 ? ( x0 ? 3) ? y0 .
2 2 2 2

因为以双曲线 C 的实轴为直径的圆的圆心为 (0, 0) ,半径为 r1 ? 2 ; 以 MF 为直径的圆的圆心为 ?

1 ? x0 ? 3 y0 ? ( x0 ? 3) 2 ? y0 2 , , ? ,半径为 r2 ? 2 2 ? ? 2
2 2

1 ? x ? 3 ? ? y0 ? ( x0 ? 3) 2 ? y0 2 . 所以两圆圆心之间的距离为 d ? ? 0 ? ?? ? ? 2 2 2 ? ? ? ?
1 1 1 ( x0 ? 3)2 ? y0 2 ? ? 4 ? ( x0 ? 3) 2 ? y0 2 ? ? 2 ? ( x0 ? 3) 2 ? y0 2 ? r1 ? r2 , ? 2 2? 2 所以以 MF 为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆外切.
因为 d ? 考点:双曲线、点到直线的距离、两圆的位置关系 34.(1) 【解析】 试题分析: (1)由 e ? 2得c ? 2a, b ? 3a 设直线 AB 的方程为

x2 y2 ? ? 1 (2) y ? 5x ? 3 或 y ? ? 5x ? 3 3 9

x y ? ? 1即 3 x ? y ? 3a ? 0 a b

,3a 3 3 ? 原点( 0, 0)到直线AB的距离为 , ? ? ,? a ? 3 2 2 2

x2 y2 ? 双曲线的方程为 ? ? 1 ? ? ? ? ? ?6分 3 9
(2)显然直线 MN 的斜率存在,设为 K 设直线 MN 的方程为 y ? kx ? 3, M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 )

? y ? kx ? 3 ? 由? x2 y2 得(3 ? k 2 ) x 2 ? 6kx ? 18 ? 0 ? ?1 ? 9 ?3 6k ?18 ? x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 2 3? k 3? k2 由BM ? BN 得(1 ? k 2 ) x1 x2 ? 6k ( x1 ? x2 ) ? 36 ? 0 解得k ? ? 5,经检验符合? ? 0
所以,直线 MN 的方程为 y ? 5x ? 3 或 y ? ? 5x ? 3 ------6 分 考点:双曲线方程及直线与双曲线位置关系
答案第 41 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

点评:本题中 BM ? BN 常转化为 BM ?BN ? 0 ,进而用点的坐标表示 35 . (1)双曲线 C 的方程为:错误!未找到引用源。. (2)错误!未找到引用源。 【 解 析 】 (1) 设 双曲线 C 的渐近线方程为错误!未找到引用源。,然后根据它与圆错误! 未找到引用源。相切,圆心到直线的距离等于半径,建立关于 k 的方程,求出 k 值,从而得 到双曲线的渐近线方程,再根据双曲线的焦点易求,从而可求出双曲线的标准方程. (2)直线方程与双曲线方程联立消 y 后得到关于 x 的一元二次方程,然后根据直线与双曲线 左支交于两点,等价于关于 x 的一元二次方程在错误!未找到引用源。上有两个不等实根, 然后转化二次函数根的分布问题来解决 36 . (1) x 2 ? 3 y 2 ? 5 ; (2)存在点 M ( ?

???? ? ??? ?

7 ,0) 满足题意. 3

【 解 析 】 (1) 椭 圆 E 长 轴 的 一 个 端 点 为 ( 5,0) , 所 以 可 得 a ? 5 , 焦 点 在 x 轴 上 , 然后再根据 e ?

5 6 30 2 2 2 ,可 得 c ? ,所 以 b ? a ? c ? , 3 3 3

所 以 椭 圆 方 程 为 x 2 ? 3y 2 ? 5 . (2)先假设存在点 M 符合题意,设 AB: y ? k ( x ? 1), 再与椭圆E的方程联立消 y 可得关于 x 的 一 元 二 次 方 程 , 再 利 用 韦 达 定 理 代 入

? ? ? ?2 ? ? ? M ?A M (? B 1 1 ? )k 2

?2

?( x

? MB 含有变量 ,得到 m,k x? ) k1 ( 2 ? m MA )2? x ?x k 的表达 m 1

???? ????

式,要注意与 k 无关,让 k 的系数为零,求出 m 值. (1)根据条件可知椭圆的焦点在 x 轴,且

a ? 5, 又c ? ea ?

6 30 ? 5? , 故b ? a2 ? c2 3 3
??????3 分

? 5?

10 5 x2 y2 ? 1, 即 x 2 ? 3 y 2 ? 5 ? , 故所求方程为 ? 5 5 3 3 3
2

(2)假设存在点 M 符合题意,设 AB: y ? k ( x ? 1), 代入 E : x ? 3 y ? 5 得:
2

(3k 2 ? 1) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0

??????4 分

设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (m,0) 则 x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 5 , x x ? ??????6 分 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

??? ? ???? 1 6m ? 14 ???10 MA ? MB ? (k 2 ?1) x1x2 ? (k 2 ? m)( x1 ? x1 ) ? k 2 ? m2 ? m2 ? 2m ? ? 3 3(3k 2 ? 1)

答案第 42 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

要使上式与 K 无关,则有 6m ? 14 ? 0, ,解得 m ? ? 分

7 7 ,存在点 M ( ? ,0) 满足题意.?12 3 3

37. (1)抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,准线方程为 x ? ?1 ; (2) S?FAB ? 5 . 【解析】 试题分析: (1)先由抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 过点 P(1,?2) 得到 4 ? 2 p ,进而解出 p 的 值,这样即可确定该抛物线的方程,进而再根据抛物线的几何性质得到准线方程

x??

p ? ?1 ; (2) 由(1)中抛物线的方程先确定 F (1, 0) , 进而根据点斜式可写出直线 l 的 2

方程 y ? 2 x ? 2 ,设点 A ? x ? x2 , y2? ,联立直线与抛物线的方程,消去 y 得到 1, y 1? , B

x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ,进而根据二次方程根与系数的关系得到 x1 ? x2 ? 3, x1 x2 ? 1 ,进而可根据
弦长计算公式 | AB |? 5 | x1 ? x2 |? 5 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 计算出弦长 | AB | ,然后由点到
2

直线的距离公式算出原点 O(0,0) 到直线 l 的距离 d ?

2 5 ,进而可求出 ?OAB 的面积. 5

(1)根据抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 过点 P(1,?2) 可得 4 ? 2 p ,解得 p ? 2 从而抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,准线方程为 x ? ?1 (2)抛物线焦点坐标为 F (1,0) ,所以直线 l : y ? 2 x ? 2 设点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 联立 ? 5分 6分

? y ? 2x ? 2 ? y ? 4x
2

2 2 得: 4 x ? 12x ? 4 ? 0 ,即 x ? 3x ? 1 ? 0

8分

则由韦达定理有: x1 ? x2 ? 3, x1 x2 ? 1 则弦长 | AB |?

9分 11 分

5 | x1 ? x2 |? 5 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 ? 9 ? 4 ? 5

而原点 O(0,0) 到直线 l 的距离 d ?

2 5 5

12 分

故 S ?FAB ?

1 ? | AB | ?d ? 5 2

13 分.

考点:1.抛物线的标准方程及其几何性质;2.直线与抛物线的位置关系;3.点到直线的距离 公式. 38. (1) x ? 4 y ; (2)8.
2

答案第 43 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

【解析】 试题分析:本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、向量垂直的充要条件、两点间距 离公式、三角形面积公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计 算能力.第一问,利用抛物线的标准方程得到焦点 F1 , F2 的坐标,从而得到向量 F1F2 坐标, 联立 2 个抛物线方程,解方程组,可求出 A 点坐标,从而得到向量 OA 的坐标,由于

??? ?

???? ? ??? ? F1F2 ? OA ,所以 F1F2 ? OA ? 0 ,利用这个方程解出 P 的值,从而得到抛物线 C2 的方程;
第二问,先设出过点 O 的直线方程,直线和抛物线 C1 联立,得到 M 点坐标,直线和抛物线

C2 联立得到 N 点坐标,由于 S ?PMN ?

1 | OP | (| OM | ? | ON |) ,利用两点间距离公式得到 2

3 个边长,再利用基本不等式求面积的最小值. 试题解析: (1)由已知得: F1 (1, 0) , F2 (0,

???? ? p p ) ,∴ F1 F2 ? ( ?1, ) 2 2

1分

2 ? x ? 3 16 p ? y2 ? 4x ?x ? 0 ? 2 联立 ? 2 解得 ? 或? ,即 O (0, 0) , A( 3 16 p , 3 32 p ) , 3 y ? 0 ? ? ? x ? 2 py ? y ? 32 p
2 ∴ OA ? ( 3 16 p , 3 32 p )

??? ?

3分

2 ∵ F1F2 ? OA ,∴ F1F2 ?OA ? 0 ,即 ? 3 16 p ?

? ???? ? ???

p3 32 p ? 0 ,解得 p ? 2 ,∴ C2 的方程 2
5分

为 x ? 4y .
2

? y12 ? 4 x1 p 『法二』设 A( x1 , y1 )( x1 ? 0) ,有 ? 2 ①,由题意知, F1 (1, 0), F2 (0, ) , ∴ 2 ? x1 ? 2 py1 ???? ? p F1 F2 ? ( ?1, ) 1分 2 ? ???? ? ??? p ∵ F1F2 ? OA ,∴ F1F2 ?OA ? 0 ,有 ? x1 ? y1 ? 0 , 2
解得 py1 ? 2x1 , 将其代入①式解得 x1 ? 4, y1 ? 4 ,从而求得 p ? 2 , 所以 C2 的方程为 x ? 4 y .
2

3分

5分

(2)设过 O 的直线方程为 y ? kx (k ? 0) 联立 ?

? y ? kx ? y ? kx 4 4 2 得 M ( 2 , ) ,联立 ? 2 得 N (4k , 4k ) 2 k k y ? 4 x y ? 4 x ? ?

7分

P(?1, ?1) 在直线 y ? x 上,设点 M 到直线 y ? x 的距离为 d1 ,点 N 到直线 y ? x 的距离为
答案第 44 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

d2
则 S? PMN ?

1 ? OP ? ( d1 ? d 2 ) 2

8分

4 4 | 2? | 2 1 k ? | 4k ? 4k | ) ? ? 2 ?( k 2 2 2
? 2(| 1 1 ? 2 | ? | k ? k 2 |) k k
10 分

1 1 ? 2(? ? k ? 2 ? k 2 ) k k

1 1 ? 2(2 (? ) ? (?k ) ? 2 2 ? k 2 ) ? 8 k k

当且仅当 k ? ?1 时,“ ? ”成立,即当过原点直线为 y ? ? x 时, 11 分 △ PMN 面积取得最小值 8 . 12 分

『法二』联立 ?

? y ? kx 4 4 得M( 2 , ), 2 k k ? y ? 4x
7分

联立 ?

? y ? kx 得 N (4k , 4k 2 )(k ? 0) , 2 ? y ? 4x
4 4 ? 4k |? 1 ? k 2 ( 2 ? 4k ) , 2 k k

2 从而 | MN |? 1 ? k |

点 P(?1, ?1) 到直线 MN 的距离

d?

| k ? 1| 1 ? k 2 ,进而
9分

1 | k ? 1| 4 S?PMN ? ? ? 1 ? k 2 ( 2 ? 4k ) 2 1? k 2 k

(1 ? k )(1 ? k 3 ) 2(1 ? k ) 2 (1 ? k ? k 2 ) 1 1 1 ?2 ? ? 2(k ? ? 2)(k ? ? 1) 令 t ? k ? (t ? ?2) , 2 2 k k k k k
有 S?PMN ? 2(t ? 2)(t ? 1) , 11 分

答案第 45 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

当 t ? ?2 ,即 k ? ?1 时, 即当过原点直线为 y ? ? x 时,△ PMN 面积取得最小值 8 . 12

分 考点:抛物线的标准方程及其几何性质、向量垂直的充要条件、两点间距离公式、三角形面 积公式. 39.(1) C2 的方程为 【解析】

x2 y 2 ? ? 1 .(2) l 的方程为 y ? 2( x ?1) 或 y ? ? 2( x ?1) . 4 3

1 试题分析:(1)已知焦点 F 1 (?1,0), F 2 (1,0) ,即可得椭圆 C2 的故半焦距为 ,又已知离心率为

1 x2 y 2 ? ? 1 .(2)由(1)可知 ?PF1 F2 的 ,故可求得半长轴长为 2,从而知椭圆 C2 的方程为 2 4 3
2 l 周长 PF 1 ? PF 2 ? F 1F 2 ? 6 ,即 A 1A 2 等于 6. 设 的方程为 y ? k ( x ? 1) 代入 y ? 4 x ,

然后利用弦长公式得一含 k 的方程,解这个方程即得 k 的值,从而求得直线 l 的方程.

1 试题解析: (1)由条件, F 1 (?1,0), F 2 (1,0) 是椭圆 C2 的两焦点,故半焦距为 ,再由离心率为
知半长轴长为 2,从而 C2 的方程为

1 2

x2 y 2 ? ? 1 ,其右准线方程为 x ? 4 . 4 3

2 (2)由(1)可知 ?PF1 F2 的周长 PF 1 ? PF 2 ? F 1F 2 ? 6 .又 C1 : y ? 4 x 而 F2 (1, 0) .

l 若 l 垂直于 x 轴,易得 A 1A 2 ? 4 ,矛盾,故 不垂直于 x 轴,可设其方程为 y ? k ( x ? 1) , 与 C1
方程联立可得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0 ,从而
2 2 2 2

A1 A2 ? k 2 ? 1 ? x1 ? x2 ? k 2 ? 1 ?
2

(2k 2 ? 4)2 ? 4k 4 4(k 2 ? 1) , ? k2 k2

l 令 A 1A 2 ? 6 可解出 k ? 2 ,故 的方程为 y ? 2( x ?1) 或 y ? ? 2( x ?1) .
考点:1、椭圆与抛物线的方程;2、直线与圆锥曲线的关系. 40. (1)y =4x; (2)点 N 坐标为 ( , 6) 或 ( , ? 6) .
2

3 2

3 2

【解析】 试题分析:本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆 的切线的性质等基础知识,考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,利用抛 物线的准线, 得到 M 点的坐标, 利用圆的方程得到圆心 C 的坐标, 在 ?ARC 中, 可求出 | CR | , 在 ?AMC 中,利用相似三角形进行角的转换,得到 | CM | 的长,而 | CM |?| OC | ? | MO | ,

答案第 46 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

从而解出 P 的值,即得到抛物线的标准方程;第二问,设出 N 点的坐标,利用 N、C 点坐标写 出圆 C 的方程,利用点 C 的坐标写出圆 C 的方程,两方程联立,由于 P、Q 是两圆的公共点, 所以联立得到的方程即为直线 PQ 的方程,而 O 点在直线上,代入点 O 的坐标,即可得到 s、 t 的值,即得到 N 点坐标. 试题解析: (1)由已知得 M ( ?

p , 0) ,C (2,0). 2

设 AB 与 x 轴交于点 R,由圆的对称性可知, | AR |?
2 2 于是 | CR |? | AC | ? | AR | ?

2 2 . 3

1 , 3 | AC | | AC | p ? ? 3 ,即 2 ? ? 3 ,p=2. 所以 | CM |? sin ?AMC sin ?CAR 2
故抛物线 E 的方程为 y =4x.
y
y N
2

5分

A
P Q C x

M

O

R C B

x

O

(2)设 N (s,t). P,Q 是 NC 为直径的圆 D 与圆 C 的两交点. 圆 D 方程为 ( x ?
2 2

s?2 2 t ( s ? 2)2 ? t 2 ) ? ( y ? )2 ? , 2 2 4

即 x +y -(s+2)x-ty+2s=0. ① 2 2 又圆 C 方程为 x +y -4x+3=0. ② ②-①得(s-2)x+ty+3-2s=0. ③ 9分 P,Q 两点坐标是方程①和②的解,也是方程③的解,从而③为直线 PQ 的方程. 因为直线 PQ 经过点 O,所以 3-2s=0, s ? 故点 N 坐标为 ( , 6) 或 ( , ? 6) .

3 . 2
12 分

3 2

3 2

考点:抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质. 41. (1)

x2 y 2 2 2 ? ?1; ; (2) (3) e ?1 40 15 2 2

【解析】 试题分析:(1)由 AF1⊥AF2,根据对称性,△F1AF2 为等腰直角三角形,即 AO=OF2,从而得 2 2 2 到 b=c,结合 a =b +c ,可求椭圆的离心率; (2)由点的坐标求得 PF 1 , PF2 的坐标,代入 PF 1 ?PF 2 ?0

答案第 47 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

求得 c 的值,再由 P(-4,3)在椭圆上联立方程组求得 a ,b 的值,则椭圆方程可求; (3)由∠F1PF2 为钝角,得到 PF 1 ?PF 2 ? 0 有解,转化为 c > x 0 +y 0 有解,求出 x 0 +y 0
2 2 2 2 2

2

2

的最小值后求得椭圆离心率的取值范围. 试题解析: (1) 如图, 若 AF1 ? AF2 , 据对称性,?F1 AF2 为等腰直角三角形, 即 AO ? OF2 , 即b ? c , y A

? F

2
O

1

? F 2 2

x

2
故e ?

c c 2 ? ? 2 2 a 2 b ?c

5分

(2)设 F 1 (?c,0), F 2 (c,0) ,则有 PF 1 ? (?c ? 4, ?3), PF 2 ? (c ? 4, ?3)

????

????

???? ???? ? PF1 ? PF2 ? 0 ,知 c 2 ? 25
?16 9 ? a 2 ? 40 ? ? 2 ? 2 ?1 又 ?a 解得 ? 2 b ? ?b ? 15 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?
即椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 40 15

10 分

(3)设 P( x0 , y0 ) ,则 | x0 |? a ,即 0 ? x02 ? a2 ,易见 ?F 1PF2 ? (0, ? ) . 若当 ?F 1PF2 为 钝角,当且仅当 PF 1 ? PF 2 ? 0 有解, 即 c2 ? x02 ? y02 有解,即 c ? x0 ? y0
2 2

???? ????

?

2

?

min

.



x0 2 y0 2 b2 2 2 2 ? ? 1 ? y ? b ? x0 , 0 a 2 b2 a2
2 2 2

c2 2 ? x0 ? y0 ? b ? 2 x0 ? ? b2 , a 2 ? ? a
即 x0 ? y0
2

?

2

?

min

? b2 .

答案第 48 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

故 c 2 ? b2 即 c2 ? a2 ? c2 即

c2 1 ? a2 2
16 分

即e ?

2 2 又0 ? e ? 1即 e ?1 2 2

考点:直线与圆锥曲线的关系,平面向量数量积在解题中的应用与数学转化思想方法 42. (1) 【解析】 试题分析: : (1)求椭圆的方程,用待定系数法求出 a , b 的值; (2)解决直线和椭圆的综 合问题时注意:第一步:根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知;有的题 设条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程.第二步:联立方程:把所设直线方程与 椭圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.第三步:求解判别式 ? :计算一元 二次方程根.第四步:写出根与系数的关系.第五步:根据题设条件求解问题中结论. 试题解析: (1)? e ?
2 2

x2 y 2 2 21 ? ? 1, ( 2) 4 3 7

1 c 1 x y 21 ,? ? ,右焦点 (c, 0) 到直线 ? ? 1 的距离 d ? , 2 a 2 a b 7



bc ? ab a 2 ? b2

?

21 2 2 ,且 b ? c ? 1 ,所以 a2 ? 4, b2 ? 3 , 7
x2 y 2 ? ?1 4 3

所以椭圆 C 的的方程是:

(2)设直线 l : y ? kx ? m ,那么: ?

?3x2 ? 4 y 2 ? 12 ? 0 , y ? kx ? m ?
?8km 4m2 ? 12 , x ? x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

则 (4k 2 ? 3) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 , x1 ? x2 ?

又因为直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,以 AB 为直径的圆过原点 O ,? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

? x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 ,?(k 2 ? 1) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0
m (k 2 ? 1)(4m2 ? 12) ?8k 2 m2 m2 12 2 21 2 ? ? m ? 0 ? ,即 ,化简得 2 ? 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 k ?1 7 7 k ?1
所以 O 到直线 l 的距离为

2 21 . 7

考点: (1)求椭圆的标准方程;(2)直线与椭圆相交的综合问题.
答案第 49 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

43. (Ⅰ) 【解析】

x2 y 2 1 ? ? 1 ;(Ⅱ)① Smax ? 12 3 ;② . 2 16 12
c 1 2 ? , a ? c 2 ? b 2 ,即 a 2

试题分析: (Ⅰ)利用椭圆中的相关定义和方程,可知 b ? 2 3 .由

可求出求解 a,b,进而求得标准方程. (Ⅱ)设直线方程,将直线方程和椭圆方程联立,通 过 消 元 , 转 化 为 一 元 二 次 方 程 去 解 决 . ① 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 直 线 AB 的 方 程 为

x2 y 2 1 y ? x ? t , 代入 ? ? 1 ,得 x 2 ? tx ? t 2 ? 12 ? 0 由 ? ? 0 ,解得 ? 4 ? t ? 4 ,由 2 16 12
韦 达 定 理 得

x1 ? x2 ? ?t , x1 x2 ? t 2 ? 12 .

四 边 形

APBQ

的 面 积

S?

1 ? 6 ? x1 ? x 2 ? 3 48 ? 3t 2 ,可知当 t ? 0 , Smax .②当 ?APQ ? ?BPQ ,则 PA 、 2 PB 的斜率之和为 0 ,设直线 PA 的斜率为 k ,则 PB 的斜率为 ? k , PA 的直线方程为
y ? 3 ? k ( x ? 2)
, 将 其 与 椭 圆 方 程 联 立 整 理 得

8(2k ? 3)k 3 ? 4k 2 8 k (k 2 ? 同 理 PB 的 直 线 方 程 为 y ? 3 ? ?k ( x ? 2) , 可 得 x2 ? 2 ? 3 ? 4k 2

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8(3 ? 2k )kx ? 4(3 ? 2k )2 ? 48 ? 0 ,可得 x1 ? 2 ?

3 )


x1 ? x2 ?

16k 2 ? 12 ?48k y ? y2 k ( x1 ? x2 ) ? 4k , x1 ? x2 ? , k AB ? 1 ,化简即可求得 ? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k x1 ? x2 x1 ? x2

AB 的斜率为定值.
试 题 解 析 : 解 : (1 ) 设 椭 圆 C 的 方 程 为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 则 b ? 2 3 . 由 a2 b2

c 1 2 ? , a ? c 2 ? b 2 ,得 a ? 4 a 2
∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 12 x2 y 2 1 x ? t , 代入 ? ? 1, 2 16 12

(2)①解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 y ?
2 2 得 x ? tx ? t ? 12 ? 0

由 ? ? 0 ,解得 ? 4 ? t ? 4 由 韦 达 定 理 得 x1 ? x2 ? ?t , x1 x2 ? t ? 12 .
2

四 边 形

APBQ 的 面 积

答案第 50 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

S?

1 ? 6 ? x1 ? x 2 ? 3 48 ? 3t 2 2
?? 4 分

∴当 t ? 0 , Smax ? 12 3 .

②解:当 ?APQ ? ?BPQ ,则 PA 、 PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k

则 PB 的斜率为 ? k , PA 的直线方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2)

? y ? 3 ? k ( x ? 2)??? (1) ? 由 ? x2 y 2 ? 1?? (2) ? ? ?16 12

( 1 ) 代 入 ( 2 ) 整 理 得 ( ? 3 k 24 x2 ) ?

8 ? ( k 3k ? x 2

) ?2 k 4 (? 3

? 2

)

4

x1 ? 2 ?

8(2k ? 3)k 3 ? 4k 2
? 8k (?2k ? 3) 8k (2k ? 3) ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

同理 PB 的直线方程为 y ? 3 ? ?k ( x ? 2) ,可得 x 2 ? 2 ? ∴ x1 ? x2 ?

16k 2 ? 12 ?48k , x1 ? x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

k AB ?

y1 ? y 2 k ( x1 ? 2) ? 3 ? k ( x2 ? 2) ? 3 k ( x1 ? x2 ) ? 4k 1 ? ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 2
1 . ????12 分. 2

所以 AB 的斜率为定值

考点:1.直线与圆锥曲线的综合问题;2.椭圆的简单性质. 44. (1) x ?
2

y2 ? 1; 4

( 2)

4 65 17

【解析】 试题分析:( Ⅰ )设 P?x, y ? ,由 椭 圆 定 义 可 知 ,点 p 的 轨 迹 C 是 以 ( 0,? 为焦点,长半轴为 2 的椭圆,由此能求出曲线 C 的方程.

3 ), ( 0, 3 )

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 ( Ⅱ )A( x , 整 理 得 (k ? 4) x ? 2kx ? 3 ? 0 , )其坐标满足 ? 4 1, y 1 ), B ( x 2 ,y 2 , ? y ? kx ? 1 ?
由 此 利 用 韦 达 定 理 、 弦 长 公 式 能 求 出 弦 长 AB 的 值 . 试题解析: (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3),, (0 3) 为焦 点,长半轴为 2 的椭圆. 它的短半轴 b ?

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,故曲线 C 的方程为 x 2 ?

y2 ? 1. 4

答案第 51 页,总 52 页

本卷由【在线组卷网 www.zujuan.com】自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

? 2 y2 ? 1, ?x ? (Ⅱ)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,其坐标满足 ? 消去 y 4 ? y ? kx ? 1. ?
整理得 (k 2 ? 4) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 若 OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 而 y1 y2 ? k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ,于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ?
2 2 化简得 ?4k ? 1 ? 0 ,所以 k ?

??? ?

??? ?

2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 . k ?4 k ?4
2

3 3k 2 2k 2 ? ? ?1 ? 0 , k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4

1 . 4

AB ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ?
考点:直线与圆锥曲线的综合问题.

5 4k 2 12 4 65 [ 2 ? 2 ]? 2 4 (k ? 4) k ? 4 17

答案第 52 页,总 52 页


推荐相关:

圆锥曲线特训44道

圆锥曲线特训44道_高三数学_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线 44 道特训(做不死就给屎里做) 1.已知双曲线 C: 2 ? x2 a y2 ? 1 的离心率为 3 ,点...


高考数学圆锥曲线压轴题专题训练(精华)

44页 免费 高考数学压轴题——圆锥... 17页 1下载券 2014年高考数学30道压轴...课时 授课时间 距离式方程: GFJW0901 02-圆锥曲线压轴题-分类训练【知识点】 ...


圆锥曲线总结

圆锥曲线题型总结 11页 2下载券 圆锥曲线总结(含答案) 16页 2下载券 圆锥曲线复习总结 59页 免费 圆锥曲线大总结 44页 2下载券 圆锥曲线3-题型总结 16页 1...


圆锥曲线与方程测试题(带答案)

圆锥曲线与方程测试题(带答案)_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线与方程 单元测试...? ,其 (n ? m) 中正确的序号为___. 三、解答题(共 44 分) 17. (...


2014高考文科圆锥曲线复习

圆锥曲线专题复习 基础训练 1、从椭圆 x2 y 2 ?...PQF 的周长为___.44 10、 椭圆 ? : x2 y2 ...女人养生之道文档贡献者 梁振亚12 贡献于2014-03-19...


圆锥曲线结构思想与解题策略---闻杰

椭圆、双曲线、抛物线的顶点对垂直弦连线交点轨迹对偶 44.椭圆、双曲线、抛物线...抛物线的顶点对垂直弦连线交点轨迹对偶 第三部分 原始创意 由一道习题所想到的...


3da高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案

3da高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线一、选择...0 . 4 三、解答题: 39~44 15. 解 : 由于椭圆焦点为 F(0, ? 4), ...


高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程 单元测试 及答案

高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程 单元测试 及答案_数学_高中教育_教育...? , (n ? m) 其中正确的序号为___. 三、解答题(共 44 分) 17.(本...


2015湖北信息能力提升工程测评作业2

A. 正确 B. 错误 答案:A 解析: 5.在圆锥曲线...以上皆是 答案:D 解析: 44.借助录象等视频技术,...探究训练 D. 抛锚式教学 答案:A 解析: 45.使用...


复习小结 1

圆锥曲线复习课 44页 免费 数学:2.4《圆锥曲线与方程...ii Dode )为壳斗科栗属的植物,是中国的特有植物...为中枢神经系统 地丁草 的抑制、循环障碍和胃肠道...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com