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2014年1月山东济南市高三教学质量调研考试数学(理科)试题及答案(一模)


济南市 2014 年 1 月高三教学质量调研考试

数学(理科) (2014.1)
本试卷分为第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分,共 4 页,考试时间 120 分钟, 满分 150 分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类 写在答题卡和

试卷规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂 改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.若 a ? bi ? A.1

25 (a、b 都是实数,i 为虚数单位),则 a+b= 3 ? 4i
B. -1 C.7 D.-7

2.已知集合 M ? { y | y ? x 2 ? 1} , N ? { y | x 2 ? y 2 ? 1} ,则 M ? N ? A. {(0,1)} B. {1,?2} C. {1} D. [?1,??)

3.设 P ? e 0.2 , Q ? ln 0.2 , R ? sin A. P ? R ? Q B. R ? Q ? P

15? ,则 7
C. R ? P ? Q
3

D. Q ? R ? P

4.等比数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn,若 a3 ? 6 , s3 ? A.1 B. ?

? 4xdx ,则公比 q 的值为
0

1 2

C.l 或 ?

1 2

D.-1 或 ?

1 2

5. 将函数 y ? sin x ? cos x 的图象向左平移 m(m ? 0) 个长度单位后,所得到的函数为偶 函数,则 m 的最小值是

高三数学(理科)第 1 页 共 9 页

A.

? 4

B.

? 6

C.

3? 4

D.

5? 6

6. “m=3” 是 “直线 l1: 2(m ? 1) x ? (m ? 3) y ? 7 ? 5m ? 0 与直线 l2: (m ? 3) x ? 2 y ? 5 ? 0 垂直”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?x ? y ? 0 ? 7.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? x ? 5 y 的最大值为 ?2 x ? y ? 1 ?
A.2 8.函数 y ? 2
x

B.3

C.4

D.5

? x 2 ( x ? R ) 的图象大致为

9.已知 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,给出下列命题: ①若 ? ? ? , m // ? ,则 m ? ? ; ②若 m ? ? , n ? ? ,且 m ? n ,则 ? ? ? ;

③若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? ;④若 m // ? , n // ? ,且 m // n ,则 ? // ? . 其中正确命题的序号是 A.①④ B.②③ C.②④ D.①③

10.设 M 是 ?ABC 边 BC 上任意一点,N 为 AM 的中点,若 AN ? ? AB ? ? AC ,则 λ+μ 的值为 A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.1

11. 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 与双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F, a 2 b2
D. 1 ? 2


点 A 是两曲线的一个交点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率为 A.2 B. 1 ? 3 C. 2 ? 2

12.设 f ( x) 是定义在 R 上的可导函数,当 x≠0 时, f ( x) ?

f ( x) ? 0 ,则关于 x 的函数 x

g ( x) ? f ( x) ?
A.l

1 的零点个数为 x
B.2 C.0 D.0 或 2

高三数学(理科)第 2 页 共 9 页

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 注意事项: 1.将第Ⅱ卷答案用 0.5 mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上. 2.答卷将密封线内的项目填写清楚. 二、填空题(本题共 4 小题,共 16 分) 13.执行如图所示的程序框图,则输出的结果 S 是________.

14. 一个四棱锥的三视图如图所示,其中主视图是腰长为 1 的等腰直角三角形,则这个几 何体的体积是________. 15.已知定点 Q(2,?1) ,F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,动点 P 为抛物线上任意一点 ,当

| PQ | ? | PF | 取最小值时 P 的坐标为________.
16.已知 m ? 0 , n ? 0 ,若直线 (m ? 1) x ? (n ? 1) y ? 2 ? 0 与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 相切,则 m ? n 的取值范围是________.

三、解答题(本题共 6 小题,共 74 分) 17. (本小题满分 12 分) 已知 m ? (2 sin x, sin x ? cos x) , n ? ( 3 cos x, sin x ? cos x) ,函数 f ( x) ? m ? n. (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2) 在 ?ABC 中 , 角 A、B、C 的对边为 a, b, c , 若 f ( ) ? 2 , b ? 1 , ?ABC 的面积为

A 2

3 ,求 a 的值. 2

高三数学(理科)第 3 页 共 9 页

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (1)求 m 的值: (2)设 g ( x) ? 2 x ?1 ? a .若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象至少有一个公共点.求实数 a 的取 值范围.

4x ? m 是奇函数. 2x

19.(本小题满分 l2 分) 已知 {an } 为等比数列,其中 a1=1,且 a2,a3+a5,a4 成等差数列. (1)求数列 {a n } 的通项公式: (2)设 bn ? (2n ? 1) ? a n ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn.

20. (本小题满分 12 分) 在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中,AD=1,AA1=AB=2.点 E 是线段 AB 上的动点,点 M 为 D1C 的中点. (1)当 E 点是 AB 中点时,求证:直线 ME‖平面 ADD1 A1; (2)若二面角 A- D1E-C的余弦值为

4 5 .求线段 AE 的长. 15

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x,a ? 1 . 2

(1)求 f(x)的单调区间; (2)若 g ( x) ? (2 ? a) x ? ln x , f ( x) ? g ( x) 在区间 [e,??) 恒成立,求 a 的取值范围.

22. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C: 2 ?

x2 a

2 y2 1) ,离心率为 . ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M ( 2, 2 2 b

(1)求椭圆 C 的方程: (2)过点 Q(1,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,点 P(4,3),记直线 PA,PB 的斜率 分别为 k1,k2,当 k1·k2 最大时,求直线 l 的方程.

高三数学(理科)第 4 页 共 9 页

济南市 2014 年 1 月高三教学质量调研考试

数学(理科)试题答案
一、选择题(共 60 分) BCDCA ADABA 二、填空题(共 16 分) 13. 1007 14. DC 15. ( , ?1)

1 2

1 4

16. m ? n ? 2 ? 2 2

三、解答题(共 74 分) 17. (本小题满分 12 分) 解:(1)∵ f ( x) ? m ? n = (2sin x,sin x ? cos x) ? ( 3 cos x,sin x ? cos x) = 2 3 sin x cos x ? sin x ? cos x
2 2

?? ?

------------------------------------3 分

? 2sin(2 x ? ) 6
故函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? (2)∵ f ( ) ? 2sin( A ?

?

?
6

)

-----------------------------------6 分 ---------------8 分

A 2

?

? 2? ) ? 2 即 sin( A ? ) ? 1 所以 A ? 6 6 3



1 3 bc sin A ? ,可得: c ? 2 2 2

-----------------------------10 分

2 2 2 所以 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 1 ? 4 ? 2 ? 7 ,得 a ? 7

-------------------------12 分

18. (本小题满分 12 分) 解: (1)由函数 f ( x) 是奇函数可知: f (0) ? 1+m ? 0 , 解得 m ? ?1 . (2)函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象至少有一个公共点 -----------------------2 分 -----------------------4 分

即方程

4x ?1 ? 2x?1 ? a 至少有一个实根 x 2
x x

-

-----------------6 分

即方程 4 ? a ? 2 ? 1 ? 0 至少有一个实根
x 2

-------------------------8 分

令 t ? 2 ? 0 ,则方程 t ? at ? 1 ? 0 至少有一个正根 方法一:由于 a ? t ? ? 2 ∴a 的取值范围为 [2, ??) . --------------------------12 分

1 t

高三数学(理科)第 5 页 共 9 页

方法二:令 h(t ) ? t ? at ? 1 ,由于 h(0) ? 1 ? 0 ,所以只须 ? a
2

?? ? 0 ? , ? 0 ? ?2

解得 a ? 2 . ∴a 的取值范围为 [2, ??) . 19. (本小题满分 12 分) 解:(1)设在等比数列 ? an ? 中,公比为 q , 因为 a2 , a3 ? a5 , a4 成等差数列. 所以

2(a3 ? a5 ) ? a2 ? a4

------------------------------2 分

2(q 2 ? q 4 ) ? q ? q3
解得

q?

1 2
n ?1

------------------------------4 分

所以 an ? ?

?1? ? ?2?

------------------------------6 分
n ?1

?1? (Ⅱ) bn ? (2n ? 1) ? ? ?2?

.

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn
1 ?1? ?1? Tn ? 1 ?1 ? 3 ? ? 5 ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 2 ?2? ?2?
2 3 2 n ?1


n

1 1 ?1? ?1? ?1? Tn ? 1? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? ② ------------------------------8 分 2 2 ?2? ?2? ?2?
①—②,得
n ?1 n ? 1 ? 1 ?2 1 ?1? ? ?1? Tn ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 2 ?2? ? ?2? ? ?2 ? 2 ? ?

n ? ? 1 ? n ?1 ? ?1? ? 1 ? 2 ?1 ? ? ? ? ?(2n ? 1) ? ? ? ?2? ? ? ?2? ? ?

? 3?

2n ? 3 2n

------------------------------10 分

所以 Tn ? 6 ?

2n ? 3 2n ?1

------------------------------12 分

高三数学(理科)第 6 页 共 9 页

20. (本小题满分 12 分) (1)证明:取 DD1 的中点 N,连结 MN、AN、 ME , ------------------------------1 分 MN∥

? 四边形 MNAE 为平行四边形,可知 ME∥AN------------------------------4 分
? AN ? 平面ADD1 A1
ME ? 平面ADD1 A1

1 1 CD ,AE∥ CD , 2 2

------------------------------3 分

? ME ∥平面 AD1 .

------------------------------6 分

(2)解:设 AE ? m ,如图建立空间直角坐标系---------------------------7 分

A(1, 0, 0), E (1, m, 0), C (0, 2, 0), D1 (0, 0, 2) ,
???? ? ??? ? ???? ? ??? ? AD1 ? (?1, 0, 2), AE ? (0, m, 0), D1C ? (0, 2, ?2), EC ? (?1, 2 ? m, 0), ?? ?? 平面 AD 1 E的 法 向 量 为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 由 n1 ? ?? ??? ?? ? n1 ? AE ? 0 得 n1 ? (2, 0,1) ???? ? AD1 ? 0 及
A1 N

z D1 B1 M C1

------------------------------9 分
A x

D

C y E B

?? ? ?? ???? ? ?? ? ??? ? 平面 D1 EC 的法向量为 n2 ? ( x, y, z ) , 由 n2 ? D1C ? 0 及 n2 ? EC ? 0
得 n2 ? (2 ? m,1,1)

?? ?

------------------------------11 分

?? ?? ? n1 ?n2 5 ? 2m 4 5 , 即 2 m 02? cos ? ? ?? ?? ? ? ? 2 n1 ?n2 5 (2 ? m) ? 1 ? 1 15
3 43 m ? 或m ? (舍) 2 10 3 所以 AE ? 2
21. (本小题满分 12 分) 解:(1) f ( x) 的定义域为 (0, ??) .

1m1 ?6

? 1 , 2 9解 得 0

------------------------------12 分

------------------------------1 分

f ' ( x) ? x ? a ?

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) ? ? x x x
'

------------------------------3 分

( x ? 1) 2 (i) 若 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 ,则 f ( x ) ? 故 f ( x) 在 (0, ??) 单调增加. ----------------4 分 x
(ii)若 a ? 1 ? 1 ,而 a ? 1 ,故 1 ? a ? 2 ,则当 x ? (a ? 1,1) 时, f ( x) ? 0 ;
'

当 x ? (0, a ? 1) 或 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0 ;
'

高三数学(理科)第 7 页 共 9 页


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