tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

5 抽象函数单调性 高中数学 高考


五、单调性问题

例 1 . 设函数 f(x)对任意实数 x,y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x>0 时 f(x)<0,且 f(1)= -2,求 f(x) 在[-3,3]上的最大值和最小值. 解析:由单调性的定义步骤设 x1<x2, 则 f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)< f(x1). (

∵x2-x1>0,∴ f(x2-x1)<0) 所以 f(x)是 R 上的减函数, 故 f(x)在[-3,3]上的最大值为 f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值为 f(-3), 令 x=y=0,得 f(0)=0,令 y=-x,得 f(-x)+f(x)=f(0)=0,即 f(x)为奇函数.∴f(-3)=-f(3)=6.

练习:设 f(x)定义于实数集上,当 x>0 时,f(x)>1,且对于任意实数 x、y,有 f(x+y)=f(x)f(y), 求证:f(x)在 R 上为增函数。 证明:设 R 上 x1<x2,则 f(x2-x1)>1, f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于 f(x1),因为 f(x1)的正负还没确 定) 。 取 x=y=0 得 f(0)=0 或 f(0)=1;若 f(0)=0,令 x>0,y=0,则 f(x)=0 与 x>0 时,f(x)>1 矛盾, 所以 f(0)=1,x>0 时,f(x)>1>0,x<0 时,-x>0,f(-x)>1,∴由
f (0) ? f ( x) f (? x) ? 1得f ( x) ? 1 故 从而 f(x2)>f(x1).即 f(x)在 R 上是 ? 0 , f(x)>0, f (? x)

增函数。(注意与例 4 的解答相比较,体会解答的灵活性)

例 2、已知偶函数 f(x)的定义域是 x≠0 的一切实数,对定义域内的任意 x1,x2 都有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x ) ? f ( x ),且当 x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 , 1 2
(1)f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)解不等式 f (2 x ? 1) ? 2
2

解: (1) x2 ? x1 ? 0 , f ( ) ? ( ) f ( 设 则 x fx 2 1 ?x ∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴

1

x2 ? ) f?x ) ( x1

1

? f ( x1 ) ? f (

x2 x ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) x1 x1

x2 x ? 1 ,∴ f ( 2 ) ? 0 ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) x1 x1
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

∴ f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(2) f (2) ? 1 , f () ? f2 ∴ 4 ? ()

?) 2 ? (f 2

, f ( x) 是偶函数∴不等式 f (2 x ? 1) ? 2 ∵
2

可 化 为 f (| 2x ? 1 |) f (4) 又 ∵ 函 数 在 ( 0,?? )上 是 增 函 数 , ∴ 0 ≠ | 2x ? 1? 4, 解 得 : , ? |
2 2

{x | ?

10 10 2 ?x? 且x ? ? } 2 2 2

练习: 已知函数 f(x)的定义域为 R, 且对 m、 n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且 f(- 当 x>-

1 )=0, 2

1 时,f(x)>0.求证:f(x)是单调递增函数; 2 1 1 1 证明:设 x1<x2,则 x2-x1- >- ,由题意 f(x2-x1- )>0, 2 2 2
∵f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1=f(x2-x1)+f(-

1 1 )-1=f[(x2-x1)- ]>0, 2 2 ∴f(x)是单调递增函数.

例 3、定义在 R+上的函数 f(x)满足: ①对任意实数 m,f(xm)=mf(x); ②f(2)=1. (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数 x,y 都成立; (2)证明 f(x)是 R+上的单调增函数; (3)若 f(x)+f(x-3)≤2,求 x 的取值范围. 解:(1)令 x=2m,y=2n,其中 m,n 为实数,则 f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n. 又 f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以 f(xy)=f(x)+f(y)

(2)证明: 设0 ? x 1 ? x 2 , 可令m ? n且使x 1 ? 2 m , x 2 ? 2 n ,
由(1)得f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f (2 m ? n ) ? (m ? n )f (2) ? m ? n ? 0 x2

故 f(x1)<f(x2),即 f(x)是 R+上的增函数. (3)由 f(x)+f(x-3)≤2 及 f(x)的性质,得 f[x(x-3)]≤2f(2)=f(2),解得 3<x≤4.

练习 : 1 已知f ( x)是定义在(0,??)上的单调增函数,对于任意的m、n(m, n ? (0,??))满足 f (m) ? f (n) ? f (mn ), 且a、b(0 ? a ? b)满足 f (a ) ? f (b) ? 2 f ( a?b ) 2 2

(1)求f (1);.......( 2)若f (2) ? 1 ,解不等式f ( x) ? 2;......... ..( 3)求证:? b ? 2 ? 3

解:) f (1) ? 0 ? ? ? ? ? ?(2) f ( x) ? 2的解集为(0,4) (1 (3) ? f (1) ? 0, f ( x)在(0, ?)上单调递增, x ? (0,1)时,f ( x) ? 0,x ? (1,??)时,f ( x) ? 0 ? ? 又 f (a ) ? f (b) 且0 ? a ? b,? f (a ) ? ? f (b)即f (ab) ? 0,? ab ? 1? 0 ? a ? 1 ? b ? f (b) ? 2 f ( a?b a?b ), ? 2 2 ab ? 1? f (b) ? 2 f ( a?b a?b 2 ? a ? b 2? ) ? f ?( ) ? ?b ? ( ) 2 2 2 ? ?

? a 2 ? 4b ? b 2 ? 2, 而0 ? a ? 1? 0 ? 4b ? b 2 ? 2 ? 1又b ? 1? 3 ? b ? 2 ? 2

练习 2、 定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意 的 a、b∈R,有 f(a+b)=f(a)·f(b). (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)求证:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)·f(2x-x2)>1,求 x 的取值范围.

(1)证明:令 a=b=0,则 f(0)=f 2(0).又 f(0)≠0,∴f(0)=1. (2)证明:当 x<0 时,-x>0,∴f(0)=f(x)·f(-x)=1.∴f(-x)= 又 x≥0 时 f(x)≥1>0,∴x∈R 时,恒有 f(x)>0. (3)证明:设 x1<x2,则 x2-x1>0.∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1).∵x2 -x1>0,∴f(x2-x1)>1.又 f(x1)>0,∴f(x2-x1)·f(x1)>f(x1).∴f(x2) >f(x1).∴f(x)是 R 上的增函数. (4)解:由 f(x)·f(2x-x2)>1,f(0)=1 得 f(3x-x2)>f(0).又 f(x)是 R 上的增函数, ∴3x-x2>0.∴0<x<3.
1 f ( x)

>0.

关键点注:解本题的关键是灵活应用题目条件,尤其是(3)中“f(x2)=f[(x2-x1)
+x1]”是证明单调性的关键,这里体现了向条件化归的策略

练习 1.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意 a,b,当 a+b≠0,都有 f (a) ? f (b) >0
a?b

(1).若 a>b,试比较 f(a)与 f(b)的大小; (2).若 f(k? 3 x ) ? f (3 x ? 9 x ? 2)<0 对 x∈ [-1,1]恒成立,求实数 k 的取 值范围。 (由
f ( a ) ? f ( ?b) a ?b

>0 可得 f(a)>f(b). k ? 2 2 ? 1 )

2、已知函数 f(x)对任何正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)f(y),且 f(x)≠0,当 x>1 时,f(x)<1. 试判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并说明理由. 解: 对x ? R ? 有f (x) ? f (
f(

x ? x ) ? f 2 ( x ) ? 0, 又f ( x ) ? 0, 故f ( x ) ? 0 , 设x , x ? R ? , 且x ? x , 则 x 2 ? 1, 则 1 2 1 2 x1

f (x 2 ) ? f (x1 )

x2 x ? x1 ) f ( 2 ) ? f (x 1 ) ,所以 x1 x1 x ? ? f ( 2 ) ?1 f (x1 ) f (x1 ) x1

f(x1)>f(x2),故 f(x)在 R+上为减函数.

练习5、奇函数f ( x)在(??,0)上单调递减,且f (2) ? 0,则( x ? 1) f ( x ? 1) ? 0的解集为( C A、 2,?1) ? (1,2) (? B、 3,1) ? (2, ?) ??C、 3,?1) (? ? (? D、 2,0) ? (2, ?) (? ?

)

3、. 已知函数 f ( x) 的定义域为 ? 0,1? ,且同时满足: (1)对任意 x ? ? 0,1? ,总有 f ( x) ? 2 ; (2) f (1) ? 3 (3)若 x1 ? 0, x2 ? 0 且 x1 ? x2 ? 1 ,则有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 . (I)求 f (0) 的值; (II)求 f ( x) 的最大值; (III)设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? ? 1 (an ? 3), n ? N . 2
*

求证: f ( a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f ( an ) ? 3 ? 2n ? 1n?1 . 2 2?3 解: (I)令 x1 ? x2 ? 0 ,由(3),则 f (0) ? 2 f (0) ? 2,? f (0) ? 2 由对任意 x ? ? 0,1? ,总有 f ( x) ? 2,? f (0) ? 2 (2 分) (II)任意 x1 , x2 ? ? 0,1? 且 x1 ? x2 ,则 0 ? x2 ? x1 ? 1,? f ( x2 ? x1 ) ? 2

? f ( x2 ) ? f ( x2 ? x1 ? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 2 ? f ( x1 ) ? f max ( x) ? f (1) ? 3
分) (III)? Sn ? ? 1 (an ? 3)(n ? N ) ? Sn ?1 ? ? 1 (an ?1 ? 3)(n ? 2) 2 2
*

(6

? an ? 1 an ?1 (n ? 2),? a1 ? 1 ? 0 ? an ? 3n1?1 3
? f (an ) ? f (
1 ? f ( 3n ) ? 1 ) ? f ( 1 ? 1 ? 1 ) ? f ( 2 )? f ( 1 )?2?3f ( 1 )?4 3n 3n 3n 3n 3n 3n 3n?1 1 f ( 1 ) ? 4 ,即 f (a ) ? 1 f (a ) ? 4 。 n ?1 n 3 3 3 3 3n?1

(8 分)

? f (an ) ? 1 f (an?1 ) ? 4 ? 312 f (an?2 ) ? 342 ? 4 ? ? ? 3n1?1 f (a1 ) ? 3n4?1 ? 3n4?2 ? ? ? 342 ? 4 ? 2 ? 3n1?1 3 3 3 3
f ( an ) ? 2 ?
1 3n?1



? f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (an ) ? 2n ? 1?31 即原式成立。 3

1?( 1 )n

(14 分)

4、已知函数 f ? x ? 对任意 x, y ? R 都有 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ,且当 x ? 0 时,试判断

f ? x ? 在 R 上的单调性.

解:令 x ? y ? 0 ,则 f ? 0 ? ? f ? 0 ? ? f ? 0 ? ,得 f ? 0 ? ? 0 ; 再令 x ? ? y ,得 f ? x ? ? f ? ? x ? ? 0 . 所以 f ? x ? 是奇函数. 设 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 ,则 f ? x2 ? ? f ? ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? ? 0 . 故 f ? x ? 在 R 上单调递增. 评注:判断函数的单调性时,常用定义法去判断.

5. 如 果 奇 函 数 f ( x ) 在 区 间 [3,7] 上 是 增 函 数 且 有 最 小 值 为 5 , 那 么 f ( x ) 在 区 间

[?7, ? 3] 上是
A. B. C. D. 增函数且最小值为 ?5 增函数且最大值为 ?5 减函数且最小值为 ?5 减函数且最大值为 ?5 分析:画出满足题意的示意图 1,易知选 B。

y

图1
O x

6. 已 知 偶 函 数 f ( x ) 在 (0, ? ?) 上 是 减 函 数 , 问 f ( x ) 在

(??,0) 上是增函数还是减函数,并证明你的结论。 分析:如图 2 所示,易知 f ( x ) 在 (??,0) 上是增函数,
证明如下: 任取 x1 ? x2 ? 0 ? ? x1 ? ? x2 ? 0 因为 f ( x ) 在 (0, ? ?) 上是减函数,所以 f (? x1 ) ? f (? x2 ) 。 又 f ( x ) 是偶函数,所以

f (? x1 ) ? f ( x1 ),f (? x2 ) ? f ( x2 ) , 从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故 f ( x ) 在 (??,0) 上是增函数。

7. 设 y ? f (x) 是定义在[-1,1]上的奇函数,且对于任意的 a, b ? [?1,1] ,当 a ? b ? 0 时, 都有:

f (a) ? f (b) ? 0 。若 a ? b ,试比较 f (a) 与 f (b) 的大小。 a?b
f (a) ? f (?b) ? [a ? (?b)] ,? a ? b ,? a ? b ? 0 , a ? (?b)

解析: f (a) ? f (b) ? f (a) ? f (?b) ?



f (a) ? f (b) ? 0, a?b

? f (a) ? f (b) ? 0 ,即 f (a) ? f (b) 。
总结:本题实质上是证明函数的单调性,有时也用到 抽象函数的单调性,一般不用导数判断。

f ( x2 ) f ( x2 ) ? 1 (或 ? 1 )来判断。 f ( x1 ) f ( x1 )

8.

已知函数 y ?

f ? x? x

是 定 义 在 R ? 上 的 减 函 数 , 求 证 : 当 x1 、 x2 ? R ? 时 一 定 有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ?
? 证明:由题意 x1 、 x2 ? R ,有 x1 ? x1 ? x2 , x2 ? x1 ? x2

又函数 y ?

f ? x? x

f ? x1 ?
是定义在 R ? 上的减函数,因此有

f ? x2 ? x2

x1

? ?

f ? x1 ? x2 ? f ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 x1 ? x2

即:

? x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? x1 f ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? f ? x2 ? ? x2 f ? x1 ? x2 ?

两式相加得 ? x1 ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? f ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? 因为

? x1 ? x2 ? ? 0 所以

f

x ? x ? ? f? 2? 1

?

?f

1

x ?

?2x

9.设函数 y ? f ? x?? x ? 0 ? 对于任何非零实数 x1 、 x2 满足 f ? x1 x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,且

?1 ? f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数,当 x ? ? ,1? 时,不等式 f ? ax ? 1? ? f ? x ? 1? ? 0 恒成立, ?2 ?
求实数 a 的取值范围 解:由 得 又

f ?1? ? f ? 1? 1 ? f? ?1 ? ? ? 1 f ? f ?1? ? 0
f ?1? ? f ?? ?1? ? ? ?1? ? ? ?

所以 因为

f ? ?1? ? 0
f ? ? x ? ? f ?? ?1? ? x ? ? f ? ?1? ? f ? x ? ? f ? x ? ? ?

所以 y ? f ? x ? 为偶函数 又因为 y ? f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数, 所以 y ? f ? x ? 在 ? ??, 0 ? 上为减函数 当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 ? f ? x ? ? f ?1? ? 0 ? x ? 1 当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 ? f ? x ? ? f ? ?1? ? ?1 ? x ? 0 故当 x ? ? ,1? 时,不等式 f ? ax ? 1? ? f ? x ? 1? ? 0 恒成立

?1 ? ?2 ?

1 ? 2? x ? ? x2 ? x ? a ? 1 ? x ??1 ? ? ax ? 1?? x ? 1? ? 1 ? f ?? ax ? 1?? x ? 1? ? ? 0 ? ? ? 1 ? ? ? ? ?1 ? ?? ax ? 1?? x ? 1? ? 0 ? ?a ? ? x ? ? x ?1 ?1 ? ?2 ? ? x ?1 ?1 ?2 ?2 ? x ?1 ?
设 M1 ?

1 ?1 ? ,当 x ? ? ,1? 时, M1 ? 2 1? x ?2 ?
2? x ?1 ? ,当 x ? ? ,1? 时,利用基本不等式可得 M 2 ? ? 3 ? 2 2 2 x ?x ?2 ?

设 M2 ?

?

?

设 M3 ? ?

1 ?1 ? ,当 x ? ? ,1? 时, ?2 ? M 3 ? ?1 x ?2 ?

综上所述,实数 a 的取值范围是: ? 3 ? 2 2 ? a ? 2 ,且 a ? ? ?2, ?1?

?

?

10、已知函数 f(x)对任意

,满足条件 f(x)+f(y)=2 + f(x+y),且当 的解。

x>0 时,f(x)>2,f(3)=5,求不等式

分析:由题设条件可猜测:f(x)是 y=x+2 的抽象函数,且 f(x)为单调增函数,如果 这一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。 解:设

,∵当

,∴

,则 ,



,∴f(x)为单调增函数。 ∵ ,又∵f 3) (

=5,∴f(1)=3。∴ 解得不等式的解为-1 < a < 3。

,∴

, 即



11. 设 f(x)定义于实数集上,当 ,求证: 证明:在 若 所以 当 而 所以 又当 时, ,恒有 ,则 时, ,令 ,即有 ;当 中取 ,则

时,

,且对于任意实数 x、y,有

在 R 上为增函数。 ,得 ,与 矛盾

时,

所以对任意 设 所以

所以 在 R 上为增函数。 评析:一般地,抽象函数所满足的关系式,应看作给定的运算法则,则变量的赋值或变量及 数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。

12. 设 f( x )定 义于 实数 集 上, 当 x ? 0 时 , f ( x) ? 1 , 且 对于 任 意实 数 x 、 y, 有

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,求证: f (x) 在 R 上为增函数。
证明:在 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 中取 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? [ f (0)]
2

若 f (0) ? 0 ,令 x ? 0,y ? 0 ,则 f ( x) ? 0 ,与 f ( x) ? 1 矛盾 所以 f (0) ? 0 ,即有 f (0) ? 1 当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ? 0 ;当 x ? 0 时, ? x ? 0,f (? x) ? 1 ? 0 而 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 1

所以 f ( x) ?

1 ?0 f (? x)

又当 x ? 0 时, f (0) ? 1 ? 0 所以对任意 x ? R ,恒有 f ( x) ? 0 设 ? ? ? x1 ? x2 ? ?? ,则 x 2 ? x1 ? 0,f ( x 2 ? x1 ) ? 1 所以 f ( x2 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) 所以 y ? f (x) 在 R 上为增函数。 评析:一般地,抽象函数所满足的关系式,应看作给定的运算法则,则变量的赋值或变 量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。


推荐相关:

2014高中数学抽象函数专题

2014高中数学抽象函数专题_高三数学_数学_高中教育_...∴ ) 2 单调性问题 (抽象函数单调性多用...2009年高中数学高考复习... 10页 免费 2014高中数学...


浅谈高中数学抽象函数的单调性问题

浅谈高中数学抽象函数单调性问题_高一数学_数学_...它是学生学习一些其他知识的基础,同 时也是高考的...数学教学, 2008, (3): 3-5 [5] 冯国宏. ...


抽象函数单调性的判断

抽象函数单调性的判断_数学_高中教育_教育专区。www...奇偶性,周期性和图象集于一身,所以在高考中不断出现...∴f (x)是一个周期函数。 例 5 已知定义在[-2...


必修一数学抽象函数习题精选含答案

必修一数学抽象函数习题精选含答案_数学_高中教育_教育专区。抽象函数单调性和...减函数且最小值为 ?5 分析:画出满足题意的示意图,易知选 B。 2、抽象函数...


高中数学抽象函数性质

抽象函数高中数学的一个难点,也是近几年来高考的...5、 周期性:解决抽象函数的周期性问题——充分理解...7、 单调性:解决抽象函数单调性问题——紧密结合...


抽象函数单调性、奇偶性、周期性和对称性典例分析

抽象函数单调性、奇偶性、周期性和对称性典例分析_高一数学_数学_高中教育_教育...92 8、复数中的应用 复数中的应用 例 10.(上海市 1994 年高考题)设 z =...


自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及答案

自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。...5、已知 f ( x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 a, b ...


高考抽象函数问题复习解法(教师版)

高考抽象函数问题复习解法(教师版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考抽象...、函数的单调性问题 [1]数形结合利用图象判断函数单调区间; [2]关于二次...


数学必修1专题1:抽象函数的单调性

数学必修1专题1:抽象函数单调性_数学_高中教育_教育专区。抽象函数高中数学...3 1 5. 设函数 f ( x ) 是定义域为 R,并满足 f ( x ? y ) ? f...


高中数学必修一函数 解题方法

高中数学必修一函数 解题方法_数学_高中教育_教育专区...当抽象函数相关的题目中先给出了 某一函数值,后续...段上的单调性,整合为整个定义域上的单调性;三是 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com