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2-1模块测评4


模块测评 4

2-1 模块测评 4
一、选择题
1、已知 a 、 b 为实数,则 2 ? 2 是 log 2 a ? log 2 b 的
a b

(

) D.既不充分也不必要条件

A.必要非充分条件

B.充分非必要条件 C.充要条件

>
2、给出命题:若函数 y ? f ( x) 是幂函数,则函数 y ? f ( x) 的图象不过第四象限.在它的逆命题、 否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是 ( A.0 B.1 C.2 3、已知函数 f ( x ) ? sin x ? 2 xf ?( ) ,则 f ?( ) ? A. ? ) D.3 ( )

? 3

? 3

1 2

B. 0

C. ?

1 2

D.

3 2

4、如果命题“p 且 q”是假命题,“非 p” 是真命题,那么 ( ) A.命题 p 一定是真命题 B.命题 q 一定是真命题 C.命题 q 可以是真命题也可以是假命题 D.命题 q 一定是假命题
2 5、 已知命题 p :"?x ??1,2?, x ? a ? 0" ,命题 q :" ?x ? R, x2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0" ,若命题“ p ? q ”

是真命题,则实数 a 的取值范围是 A. ( ??, ?2] {1}

(

)

B. ( ??, ?2]
A1B1
4

[1, 2]

C. [1, ??)

D. [?2,1]
)

6. 如图 ABCD-A1B1C1D1 是正方体, B1E1=D1F1= 15 A. 17 1 2

, 则 BE1 与 DF1 所成角的余弦值是(

B.

8 3 C. D. 17 2 7. 如图所示, 在四面体 P-ABC 中, PC⊥平面 ABC, AB=BC=CA=PC, 那么二面角 B-AP-C 的余弦值为( 2 2 7 7 3 3 5 7

)

A. C.

B. D.

8、我们把由半椭圆

x2 y2 ? ? 1( x ? 0) 与半椭圆 a 2 b2

y2 x2 ? ? 1( x ? 0) 合 成 的 曲 线 称 作 “1 果 圆 ”( 其 中 b2 c 2 , 2 2 2 a ? b ? c , a ? b ? c ? 0 ).如图,设点 F0 , F1 ,3F2 是相应椭圆的 , 焦点,A1、A2 和 B1、B2 是“果圆”与 x,y 轴的交点,若△ F0F1F2 是边 5
长为 1 的等边三角,则 a,b 的值分别为( )A.

7 ,1 2

B. 3,1

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模块测评 4

C.5,3

D.5,4

9、设 F 1 和 F2 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两个焦点, 若 F1,F2 , P(0, 2b) 是正三角形的三 a 2 b2
) C.

个顶点,则双曲线的离心率为( A.

3 2

B. 2

5 2

D.3

10、设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ? ax(a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△ OAF(O 为坐标原 点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y ? ? 4 x
2

) C. y ? 4 x
2

B. y ? ? 8x
2

D. y ? 8x
2

11.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=1,AA1=2,E 是侧棱 BB1 的中点,则直线 AE 与平面 A1ED1 所成角的大小为( ) A.60° B.90°C.45° D.以上都不正确 12、平面α 的一个法向量 n=(1,-1,0),则 y 轴与平面α 所成的角的大小为( A. π 6 B. π 4 C. π 3 3π D. 4 )

二、填空题
13. 已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=,b=,若向量 ka+b 与 ka-2b 互 相垂直,则 k 的值为________. 14. 已知向量 a=(cos θ ,sin θ ,1),b=( 3,-1,2),则|2a-b|的最大值为________. 15、已知椭圆

x2 y2 x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? 1 (m ? 0, n ? 0) 有相同的焦点 ( ?c,0) 和 与双曲线 a 2 b2 m2 n2

( c, 0) ,若 c 是 a 、 m 的等比中项, n2 是 2m2 与 c2 的等差中项,则椭圆的离心率是
. 16、现有下列命题: ① 命题“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”;
2 2

② 若 A ? ?x | x ? 0? , B ? ?x | x ? ?1 ? ,则 A

(?R B) = A ;
? ( k ? Z) ; 2

③ 函数 f ( x ) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 是偶函数的充要条件是 ? ? k ? ? ④ 若非零向量 a , b 满足 a = ? b, b = ? a ( ? ? R ),则 ? =1. 其中正确命题的序号有________.(把所有真命题的序号都填上)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤.)
17 、 (12 分 ) 设 命 题 p: 不 等 式 2 x ? 1 ? x ? a 的 解 集 是 {x ?

1 ? x ? 3} ; 命 题 q: 不 等 式 3

4 x ? 4ax 2 ? 1 的解集是 ? ,若“p 或 q”为真命题,试求实数 a 的值取值范围.

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18、(12 分)已知向量 b 与向量 a=(2,-1,2)共线,且满足 a?b=18,(ka+b)⊥(ka-b),求向量 b 及 k 的 值.

19、 (12 分)如图所示,已知圆 O1 与圆 O2 外切,它们的半径分别为 3、 圆 C 与圆 O1、圆 O2 外切. (1)建立适当的坐标系,求圆 C 的圆心的轨迹方程; (2)在(1)的坐标系中,若圆 C 的半径为 1,求圆 C 的方程.

1,

?

O2

O1

20、(12 分)某工厂有一段旧墙长 14m,现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形,面积为 126m2 的厂房,工程条件是: ① 建 1m 新墙的费用为 a 元;② 修 1m 旧墙的费用为 的新墙的费用为

a 元;③ 拆去 1m 的旧墙,用可得的建材建 1m 4

a 元,经讨论有两种方案: 2

(1)利用旧墙一段 x m(0<x<14)为矩形一边; (2)矩形厂房利用旧墙的一面边长 x≥14; 问如何利用旧墙建墙费用最省?试比较(1)(2)两种方案哪个更好.

21、 (12 分 )已知 F 1 、 F2 分别为椭圆 C1 :

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上、下焦点 ,其中 F1 也是抛物线 a 2 b2 5 y C2 : x2 ? 4 y 的焦点,点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且 | MF1 |? . 3 (1)求椭圆 C1 的方程;
(2)已知点 P(1,3) 和圆 O : x ? y ? b ,过点 P 的动
2 2 2

M

直线 l 与圆 O 相交于不同的两点 A, B ,在线段 AB 上取一点

F1 O

?
x

Q ,满足: AP ? ?? PB , AQ ? ?QB ,( ? ? 0 且 ? ? ?1 ).

F?
2

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求证:点 Q 总在某定直线上.

22、(14 分)(2011?辽宁高考理科?T18) (本小题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 为正方形, PD⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB=

1 PD. 2

(I)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ (II)求二面角 Q-BP-C 的余弦值.

2-1 模块测评 4 参考答案

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a b 1.A 2 ? 2 ? a ? b ,当 a ? 0 或 b ? 0 时,不能得到 log2 a ? log2 b ,反之成立.

2.B 原命题为真,其逆命题为假,∴ 否命题为假,逆否命题为真. 3.C 得 f ?( x ) ? cos x ? 2 f ?( ) ,∴ f ?( ) ?

? 3

? 3

1 ? ? 1 ? 2 f ?( ) ? f ?( ) ? ? . 2 3 3 2

4.C “非 p” 是真命题,命题 p 是假命题∴ 命题 q 可以是真命题也可以是假命题. 5.A “ p ? q ” 为真,得 p 、 q 为真,∴a ? ( x 2 )min ? 1 ;△ 4a 2 ? 4(2 ? a) ? 0 . 得 a ? ?2 或 a ? 1 . 6.A 7.C 8.A OF2 ?

b2 ? c 2 ?

1 3 , OF0 ? c ? 3OF2 ? ,∴b ? 1 , 2 2

∴a ? b ? c ? 1 ?
2 2 2

3 7 7 7 ? ,得 a ? ,即 a ? ,b ? 1. 4 4 2 2

9.B 由 tan

?
6

?

c c 3 有 3c2 ? 4b2 ? 4(c2 ? a2 ) ,则 e ? ? 2 ,故选 B. ? a 2b 3 a 4 a 2

10.B 抛物线 y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F 坐标为 ( , 0) ,则直线 l 的方程为 y ? 2( x ? ) , 它与 y 轴的交点为 A (0, ? ) ,所以△ OAF 的面积为 解得 a ? ?8 .所以抛物线方程为 y ? ? 8x .
2

a 2

1 a a | | ? | |? 4 , 2 4 2

10.D S?PTQ ?

1 1 1 1 ? y ? QT ? ,∴ QT ? , Q( x ? , 0) ,根据导数的几何意义, 2 2 y y

k PQ ?

y?0 1 x ? (x ? ) y

? y ? ,∴ y 2 ? y? .

11B 12.B 5 13. 【答案】- 或 2 2 14. 【答案】4 15.

1 本题考查椭圆、双曲线的定义和标准方程,双曲线的离心率.由题意得 2
① , c ? am
2

c2 ? a 2 ? b2 ? m2 ? n2

② , 2n ? 2m ? c

2

2

2

③ ,将① 代入③ 得

2n2 ? 3m2 ? n2 ,∴n ? 3m ,代入③ 得 c ? 2 m ,再代入② 得 a ? 4 m ,得 e ?

c 1 ? . a 2

第 5 页 共 8 页

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2 2 16.② ③ 将 b = ? a 代入 a = ? b 得( ? ?1 ) a =0,∴? ? 1 ,有 ? ? ?1 ,④ 错.

1 ? ?a ? 1 ?? ?a ? 1 ? ? x ? a ? 1 ,由题意得 ? 3 17.解:由 2 x ? 1 ? x ? a 得 3?a ?2. 3 ? ?a ? 1 ? 3
∴ 命题 p: a ? 2 . 由 4 x ? 4ax ? 1 的解集是 ? ,得 4ax ? 4 x ? 1 ? 0 无解,
2 2

即对 ?x ? R , 4ax ? 4 x ? 1 ? 0 恒成立,∴?
2

?a ? 0
2 ? ? ? ( ?4) ? 4 ? 4a ? 1 ? 0

,得 a ? 1 .

∴ 命题 q: a ? 1 . 由“p 或 q”为真命题,得 p、q 中至少有一个真命题. 当 p、q 均为假命题,则 ?

?a ? 2 ? {a a ? 1} ,而 ?R{a a ? 1} ? {a a ? 1} . ?a ? 1

∴ 实数 a 的值取值范围是 (1, ??) . 18.解: ∵a,b 共线,∴存在实数λ ,使 b=λ a,∴a?b=λ a =λ ︱a︱ ,解得λ =2. ∴b=2a=(4,-2,4).∵(ka+b)⊥(ka-b),∴(ka+b)?(ka-b)=(ka+2a)?(ka-2a)=0, 2 2 即(k -4)︱a︱ =0,解得 k=±2. 19.解:(1)如图,以 O1O2 所在的直线为 x 轴,以 O1O2 的中垂线 所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系.设圆 C 的圆心 为 C ( x, y ) ,半径为 r ,由 CO1 ? CO2 ? (r ? 3) ?(r ? 1) ? 2 , 得圆 C 的圆心的轨迹是以 O1 (?2, 0) , O2 (2,0) 为焦点,
?
2 2

y C O O2 x

O1

定长为 2 的双曲线,设它的方程为
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 .由 2a ? 2 ,得 a ? 1 , a 2 b2

又 c ? 2 ,∴b ? c ? a ? 3 .又点 (1, 0) 不合题意,且 CO1 ? CO2 ? 2 ? 0 ,知 x ? 1 . ∴ 圆 C 的圆心的轨迹方程是 x ?
2

y2 ? 1( x ? 1 ). 3

(2)令 C ( x, y ) ,由圆 C 与圆 O1 、 O2 相切得 | CO1 |? 4 , | CO2 |? 2 , 故?

?( x ? 2) 2 ? y 2 ? 16 3 15 3 15 2 ) ,∴圆 C 的方程为 ( x ? )2 ? ( y ? ) ? 1. ,解得 C ( ,? 2 2 2 2 2 2 ? ( x ? 2) ? y ? 4
a 4 a 2

20.解:(1)方案:修旧墙费用为 x· 元,拆旧墙造新墙费用为(4-x)· ,

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其余新墙费用: (2 x ? ∴ y ? 7a(

2 ? 126 x 36 ? 14) a ,∴ ? 1) 总费用 y ? 7 a( ? x 4 x

(0<x<14)

x 6 2 ? ) ? 35a ≥35a,当 x=12 时,ymin=35a. 2 x
a 2 7a 252 ? 16)a (元) (元),建新墙费用为 (2 x ? 2 x
(x≥14)

(2)方案,利用旧墙费用为 14· = 总费用为: y ? 2a ( x ? 设 f ( x) ? x ?

126 21 )? a x 2

126 126 x 2 ? 126 ( x ? 14) ,则 f '( x ) ? 1 ? 2 ? , x x x2

当 x ? 14 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 为增函数,∴ f ( x)max ? f (14) ? 35.5a . 由 35a ? 35.5a 知,采用(1)方案更好些. 答:采用(1)方案更好些. 21.解:(1)由 C2 : x2 ? 4 y 知 F1 (0,1) ,设 M ( x0 , y0 )( x0 ? 0) ,因 M 在抛物线 C2 上, 故 x02 ? 4 y0 …① 又 | MF1 |?

2 5 5 2 6 ,则 y0 ? 1 ? ……② , 由① ② 解得 x0 ? ? , y0 ? .而点 M 椭圆上, 3 3 3 3

2 2 6 2 ( )2 ( ) 4 8 2 2 3 3 ? 1 即 2 ? 2 ? 1 …③ 故有 2 ? , 又 c ? 1 ,则 b ? a ? 1 …④ 2 a b 9a 3b y 2 x2 2 2 ? ? 1. 由③ ④ 可解得 a ? 4 , b ? 3 ,∴ 椭圆 C1 的方程为 4 3 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , Q( x, y ) ,
由 AP ? ?? PB 可得: (1 ? x1 ,3 ? y1 ) ? ?? ( x2 ?1, y2 ? 3) ,即 ? 由 AQ ? ?QB 可得: ( x ? x1 , y ? y1 ) ? ? ( x2 ? x, y2 ? y) ,即 ? ⑤? ⑦ 得: x12 ? ? 2 x22 ? (1 ? ? 2 ) x

? x1 ? ? x2 ? 1 ? ? ? y1 ? ? y2 ? 3(1 ? ? )

? x1 ? ? x2 ? (1 ? ? ) x ? y1 ? ? y2 ? (1 ? ? ) y

⑥? ⑧ 得: y12 ? ? 2 y22 ? 3 y(1 ? ? 2 )

两式相加得 ( x12 ? y12 ) ? ? 2 ( x22 ? y22 ) ? (1 ? ? 2 )( x ? 3 y)
2 2 又点 A, B 在圆 x ? y ? 3 上,且 ? ? ?1 ,所以 x12 ? y12 ? 3 , x22 ? y22 ? 3

即 x ? 3 y ? 3 ,∴ 点 Q 总在定直线 x ? 3 y ? 3 上. 22.解: 如图,以 D 为坐标原点,线段 DA 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D ? xyz . (Ⅰ)依题意有 Q(1,1,0) , C (0,0,1) , P(0,2,0) , 则 DQ ? (1,1,0) , DC ? (0,0,1) , PQ ? (1,?1,0) ,所以 PQ ? DQ ? 0 , PQ ? DC ? 0 , 即 PQ ⊥ DQ , PQ ⊥ DC .且 DQ

DC ? D 故 PQ ⊥平面 DCQ .又 PQ ? 平面 PQC ,所以平
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面 PQC ⊥平面 DCQ .

……6 分

(II)依题意有 B(1,0,1) , CB = (1,0,0) , BP = (?1,2,?1) . 设 n ? ( x, y, z) 是平面 PBC 的法向量,则 ? 因此可取 n ? (0,?1,?2). 设 m 是平面 PBQ 的法向量,则 ?

? x ? 0, ? ?n ? CB ? 0, 即? ? ?? x ? 2 y ? z ? 0. ?n ? BP ? 0,

? ? m ? BP ? 0, ? ?m ? PQ ? 0.

可取 m ? (1,1,1),所以 cos m, n ? ?

15 . 且由图形可知二面角 Q ? BP ? C 为钝角 5 15 . 5

故二面角 Q ? BP ? C 的余弦值为 ?

第 8 页 共 8 页


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