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2012年全国高中数学联赛(甘肃)赛区预赛试卷


二O一二年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷
(2012 年 6 月 24 日上午 9:00-11:30)
考生注意: 1、本试卷共两大题(12 道小题),全卷满分120 分. 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 3、解题书写不要超出装订线. 4、不能使用计算器.

一、填空题( 本题满分 56 分,每小题 7 分) 1. 空间四点 A ,B ,C

,D两两间的距离均为1,点P 与点Q分别在线段AB 与CD上运动,则点 P 与点Q间的最小距离
为____________;

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ?0 ? OP ? OA ? 1 , 则点 Q ? x ? y, y ? 构成的图形的面积 为 2.向量 OA ? ?1,0 ? , OB ? ?1,1? , O 为坐标原点,动点 P ? x, y ? 满足 ? ??? ? ??? ? ? ?0 ? OP ? OB ? 2
3. 设有非空集合 A ? ?1,2,3,4,5,6,7? 且当 a ? A 时,必有 8 ? a ? A ,这样的集合A的个数是_____________; 4.设 f ? x ? ? ?

? ? x ? ? x? , x ? 0 , 其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,若 f ? x ? ? kx ? k ? k ? 0? 有三个不同的实数根,则实数 k f x ? 1 , x ? 0 ? ? ? ?

的取值范围是 5. 11位数的手机号码,前七位数字是1390931,若余下的4 个数字只能是1、3 、5 且都至少出现1 次, 这样的手机号码有 ___________个; 6.若 tan x1 ? tan x2 ??? tan x2012 ? 1, 则 sin x1 ? sin x2 ??? sin x2012 的最大值是 ;

7.设函数 f : R ? R ,满足 f ? 0? ? 1且对任意 x, y ? R 都有 f ? xy ?1? ? f ? x ? f ? y ? ? f ? y ? ? x ? 2 ,则

f ? x? ?

; ;

2 2 2 8.实数 x, y , z 满足 x ? y ? z ? 1 ,则 xy ? yz 的最大值为

二、解答题( 本题满分 64 分, 第 9、10 题每题14 分,第11、12 题每题18 分) 9.已知数列 ?an ? 满足
an ?1 ? an ? 1 ? n ? n ? N * ? ,且 a2 ? 6 。 an ?1 ? an ? 1

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?
an b n ? N * ? , c 为非零常数,若数列 ?bn ? 是等差数列,记 cn ? n , S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ,求 Sn. ? n?c 2n

10.M是抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 的准线上任意点,过M作抛物线的切线 l1 , l2 ,切点分别为A、B(A在x轴上方)。 (1)证明:直线AB过定点; (2)设AB的中点为P,求|MP|的最小值。

11.设 a, b, c 为正实数,且 a ? b ? c ? 1 ,求证:

?a

2

b c ? 1 ? a ? b2 ? c 2 ? ? ? ? ?? . ? b?c a ?c a ?b ? 2

12.某校数学兴趣小组由m 位同学组成,学校专门安排n 位老师作为指导教师. 在该小组的一次活动中,每两位同学之间相
互为对方提出一个问题,每位同学又向每位指导教师各提出一个问题, 并且每位指导教师也向全组提出一个问题, 以上所有问 题互不相同,这样共提出了51个问题.试求m , n 的值.

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