tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

高考数学试题分类解析


新课标五年高考数学试题分类解析
不等式
1 、 (2007 广 东 理) 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? x ? 3, 则 f ( ?2) =_____;若 f ( x) ? 5 ,则 x 的取值范 围是________;
1 答案:6; [? ,1] 2 2、 (2007 海南、宁夏)

设函数 f ( x)

? 2x ?1 ? x ? 4 . (I)解不等式 f ( x) ? 2 ; (II)求函数 y ? f ( x) 的最小值. 解: (Ⅰ)令 y ? 2x ?1 ? x ? 4 ,则

y

1 ? x≤? , ? ? x ? 5, 2 ? 1 ? y ? ?3 x ? 3, ? ? x ? 4, . . . . . . . . . . . . . . .3 分 2 ? ? x ? 5, x ≥ 4. ? ?

y?2
O 1 ? 2
4

x

2) 和 ? , 作出函数 y ? 2x ?1 ? x ? 4 的图象,它与直线 y ? 2 的交点为 (?7, 2? .
所以 2x ?1 ? x ? 4 ? 2 的解集为 (? x, ? 7)

?5 ?3

? ?

?5 ? ? x?. ? , ?3 ?
1 时, y ? 2x ?1 ? x ? 4 取得最小 2

(Ⅱ)由函数 y ? 2x ?1 ? x ? 4 的图像可知,当 x ? ? 值?

9 . 2
2

3、 (2008 广东)已知 a ? R ,若关于 x 的方程 x ? x ? a ? 范围是 【标准答案】 ?0, ? 。 4 【试题解析】关于 x 的二次方程的判别式 ? ? 1 ? 4( a ? .

1 ? a ? 0 有实根,则 a 的取值 4

? 1? ? ?

1 ? a ) ,方程有实根,那么 4

? ? 1 ? 4( a ?
解得 0 ? a ?

1 1 1 1 1 1 1 即 a? ? a ? , 而 a ? ? a ? 2a ? , 从而 2a ? ? , ? a ) ? 0。 4 4 4 4 4 4 4

1 。 4

【高考考点】不等式选讲。 4、 (2008 海南、宁夏)已知函数 f ( x) ?| x ? 8 | ? | x ? 4 | 。 (Ⅰ)作出函数 y ? f ( x) 的图像; (Ⅱ)解不等式 | x ? 8 | ? | x ? 4 |? 2 。 【试题解析】:(Ⅰ)令 y ? 2x ? 1 ? x ? 4 ,则

?4, ? y ? f ( x) ? ??2 x ? 12, ??4, ?
图象如图所示,

x ? 4, 4 ? x ? 8, . . . . . . . . . . . . . . .3分 x ? 8.

(Ⅱ)不等式 | x ? 8| ? x ? 4 ? 2 ,即 f ( x) ? 2 . 由 ?2 x ? 12 ? 2 得 x ? 5 . 由函数 f ( x ) 图象可知,原不等式的解集为 (??,5) . 5、 (2008 江苏卷)附加题 设 a,b,c 为正实数,求证:

1 1 1 ? ? ? abc ? 2 3 . a 3 b3 c 3

证明:因为 a, b, c 为正实数,由平均不等式可得 即

1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 3 ? 33 3 ? 3 ? 3 3 a b c a b c

1 1 1 3 1 1 1 3 ? 3? 3? ? abc , 所以 3 ? 3 ? 3 ? abc ? 3 a b c abc a b c abc
1 1 1 3 3 ? abc ? 2 abc ? 2 3 所以 3 ? 3 ? 3 ? abc ≥ 2 3 。 a b c abc abc



6、2009 广东卷 不等式

x ?1 x?2

? 1 的实数解为



【解析】

? x ?1 ? x ? 2 ?( x ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 3 ?? ? x ? ? 且 x ? ?2 . ?1 ? ? 2 x?2 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0

x ?1

7、2009 江苏卷

设 a ≥ b >0,求证: 3a ? 2b ≥ 3a b ? 2ab .
3 3 2 2

[解析] 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法, 考查代数式的变形能力。 满分 10 分。 证明: 3a3 ? 2b3 ? (3a2b ? 2ab2 ) ? 3a2 (a ? b) ? 2b2 (b ? a) ? (3a2 ? 2b2 )(a ? b). 因为 a ≥ b >0,所以 a ? b ≥0, 3a ? 2b >0,从而 (3a2 ? 2b2 )(a ? b) ≥0,
2 2

即 3a ? 2b ≥ 3a b ? 2ab .
3 3 2 2

8、2009 海南宁夏卷 如图, O 为数轴的原点, A, B, M 为数轴上三点, C 为线段 OM 上的动点,设 x 表示 C 与 原点的距离, y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和. (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70, x 应该在什么范围内取值?

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(24)解: (Ⅰ) y ? 4 | x ? 10 | ?6 | x ? 20 |,0 ? x ? 30 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅱ)依题意, x 满足 ? 所以

?4 | x ? 10 | ?6 | x ? 20 |? 70, 解不等式组,其解集为 [9, 23] 0 ? x ? 30 ?

x ?[9, 23]

9、2009 辽宁理卷设函数 f ( x) ?| x ?1| ? | x ? a | , (1)若 a ? ?1 ,解不等式 f ( x) ? 3 ; (2)如果 ?x ? R , f ( x) ? 2 ,求 a 的取值范围。 ( 24 )解: (1)当 a ? ?1 时, f ( x) ?| x ?1| ? | x ?1| ,由 f ( x) ? 3 得: | x ? 1| ? | x ? 1|? 3 , (法一)由绝对值的几何意义知不等式的解集为 {x | x ? ? 或x ? }。 (法二)不等式可化为 ?

3 2

3 2

? x ? ?1 ??1 ? x ? 1 ? x ? 1 或? 或? , ??2 x ? 3 ? 2 ? 3 ?2 x ? 3
3 2 3 2

∴不等式的解集为 {x | x ? ? 或x ? }。

(2)若 a ? 1 , f ( x) ? 2 | x ? 1| ,不满足题设条件;
? ?2 x ? a ? 1, ( x ? a) ? 若 a ? 1 , f ( x) ? ?1 ? a , (a ? x ? 1) , ? 2 x ? (a ? 1), ( x ? 1) ? ? ?2 x ? a ? 1, ( x ? 1) ? (1 ? x ? a ) , ? 2 x ? (a ? 1), ( x ? a) ?

f ( x) 的最小值为 1 ? a ;

若 a ? 1 , f ( x) ? ?a ? 1,

f ( x) 的最小值为 a ? 1 。

所以对于 ?x ? R , f ( x) ? 2 的充要条件是 | a ? 1|? 2 ,从而 a 的取值范围

(??, ?1] [3, ??) 。
10(2010 辽宁)已知 a, b, c 均为正数,证明: a ? b ? c ? (
2 2 2

1 1 1 2 ? ? ) ? 6 3 ,并确 a b c

定 a, b, c 为何值时,等号成立。 证明: (证法一)因为 a,b,c 均为正数,由平均值不等式得

a 2 ? b2 ? c 2 ? 3(abc) 3
1 ? 1 1 1 ? ? ? 3(abc) 3 a b c

2



所以 ?

2 ? ? 1 1 1? ? ? ? ? 9(abc) 3 ?a b c?

2



……6 分

故a ?b ?c ?( ?
2 2 2

1 a

2 2 ? 1 1 2 ? ) ? 3(abc) 3 ? 9(abc) 3 . b c

又 3(abc) 3 ? 9(abc)

2

?

2 3

? 2 27 ? 6 3

③所以原不等式成立.
2 ? 2 3

当且仅当 a=b=c 时, ①式和②式等号成立。 当且仅当 3(abc) 3 ? 9(abc)
1

时, ③式等号成立。

即当且仅当 a=b=c= 3 4 时,原式等号成立。 (证法二)

a 2 ? b 2 ? 2ab
因为 a,b,c 均为正数,由基本不等式得 b 2 ? c 2 ? 2bc

c 2 ? a 2 ? 2ac
所以 a ? b ? c ? ab ? bc ? ac
2 2 2

① ② ……6 分

同理

1 1 1 1 1 1 ? 2? 2? ? ? 2 a b c ab bc ac

1 1 1 1 1 1 2 ? ab ? bc ? ac ? 3 ? 3 ? 3 故a ?b ?c ?( ? ? ) ab bc ac a b c ?6 3
2 2 2



所以原不等式成立. 当且仅当 a=b=c 时, ①式和②式等号成立, 当且仅当 a=b=c,(ab)2 ? (bc)2 ? (ac)2 ? 3
1

时,③式等号成立。即当且仅当 a=b=c= 3 4 时,原式等号成立。 11、 (2010 福建理数)已知函数 f ( x) ?| x ? a | 。 (Ⅰ)若不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ?x | ?1 ? x ? 5? ,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值 范围。 【解析】 (Ⅰ)由 f ( x) ? 3 得 | x ? a |? 3 ,解得 a ? 3 ? x ? a ? 3 ,又已知不等式 f ( x) ? 3 的 解集为 ?x | ?1 ? x ? 5? ,所以 ?

?a ? 3 ? ?1 ,解得 a ? 2 。 ?a ? 3 ? 5

(Ⅱ)当 a ? 2 时, f ( x) ?| x ? 2 | ,设 g (x)=f ( x) ? f ( x ? 5) ,于是

? ?2 x ? 1,x < ? 3 ? g (x)=|x-2|? | x ? 3| = ?5, ? 3 ? x ? 2 ,所以 ? 2 x ? 1,x >2 ?
当 x<-3 时, g(x)>5 ;当 -3 ? x ? 2 时, g(x)>5 ;当 x>2 时, g(x)>5 。 12、 (2010 江苏卷) 设 a、b 是非负实数,求证: a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) 。 [解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证的能力。满分 10 分。 (方法一)证明: a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) ? a2 a ( a ? b ) ? b2 b ( b ? a )

? ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ? ( a ? b )2[( a )4 ? ( a )3 ( b ) ? ( a )2 ( b )2 ? ( a )( b )3 ? ( b )4 ]
因为实数 a、b≥0, ( a ? b )2 ? 0,[( a )4 ? ( a )3 ( b ) ? ( a )2 ( b )2 ? ( a )( b )3 ? ( b )4 ] ? 0 所以上式≥0。即有 a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) 。 (方法二)证明:由 a、b 是非负实数,作差得

a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) ? a2 a ( a ? b ) ? b2 b ( b ? a ) ? ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ]
当 a ? b 时, a ? b ,从而 ( a )5 ? ( b )5 ,得 ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ? 0 ; 当 a ? b 时, a ? b ,从而 ( a )5 ? ( b )5 ,得 ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ? 0 ; 所以 a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) 。 13、 (2010 年海南)设函数 f ( x) = 2x ? 4 ? 1 。 (Ⅰ)画出函数 y ? f ( x) 的图像; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ≤ax 的解集非空,求 a 的取值范围. 24.解: (Ⅰ)由于

??2 x ? 5,x ? 2 f ( x) ? ? ?2 x ? 3,x ? 2 则函数 y ? f ( x) 的图像如图所示。

(Ⅱ)由函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ax 的图像可知,当且仅当 a ?

1 或 a ? ?2 时,函数 2

y ? f ( x) 与函数 y ? ax 的图像有交点。故不等式 f ( x) ? ax 的解集非空时, a 的取值
范围为 (??,?2) ? ? ,?? ? 。 14、 (2011 海南)设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。

?1 ?2

? ?

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集

(Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1

?

,求 a 的值

解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 。 由此可得

x ? 3 或 x ? ?1 。故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} 。

( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 的

x ? a ? 3x ? 0
?x ? a ?x ? a 或? ? x ? a ? 3 x ? 0 ?a ? x ? 3 x ? 0

此不等式化为不等式组 ?

?x ? a ? ? a 即 x? ? ? 4
由题设可得 ?

?x ? a ? a ? a 或 a ? ? 因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? ? 2 ? 2
a = ?1 ,故 a ? 2 2

?

… | a对 任 意 x ? R 恒 成 立 , 则 a 的 取 值 范 围 15 、 ( 江 西 ) 若 不 等 式 | x ? 1 | ? |x ? 2
是 .

【解】当 x ? ?1 时, | x ? 1| ? | x ? 2 |? ? x ? 1 ? x ? 2 ? ?2 x ? 1 …3 ; 当 ?1 ? x ? 2 时, | x ? 1| ? | x ? 2 |? x ? 1 ? x ? 2 ? 3 ; 当 x ? 2 时, | x ? 1| ? | x ? 2 |? x ? 1 ? x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 3 ; 综上可得 | x ? 1| ? | x ? 2 |…3 ,所以只要 a ? 3 ,即实数 a 的取值范围是 (??,3] . 16(2011 辽宁文)已知函数 f ( x) =|x-2| ? | x-5|. (I)证明: ? 3 ≤ f ( x) ≤3; (II)求不等式 f ( x) ≥x2 ? 8 x+15 的解集.

x ? 2, ??3, ? 解: (I) f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 |? ?2 x ? 7, 2 ? x ? 5, ?3, x ? 5. ?
当 2 ? x ? 5时, ?3 ? 2 x ? 7 ? 3. 所以 ?3 ? f ( x) ? 3. (II)由(I)可知, 当 x ? 2时, f ( x) ? x ? 8x ? 15 的解集为空集;
2

当 2 ? x ? 5时, f ( x) ? x2 ? 8x ? 15的解集为 {x | 5 ? 3 ? x ? 5} ; 当 x ? 5时, f ( x) ? x ? 8x ? 15的解集为 {x | 5 ? x ? 6} .
2

综上,不等式 f ( x) ? x2 ? 8x ? 15的解集为 {x | 5 ? 3 ? x ? 6}.

不等式选讲模拟
1、 (辽宁省锦州市 2011 年 1 月高三 考 试理科) (本小 题 10 分)选修 4-5:不等式选讲 2 与 2 ? a 的大小. 设 a ? R且a ? ? 2 ,试比较 2?a 解:

2 2?a

? ( 2 ? a) ?

a2 2?a a2 2 ? 0,? ? 2 ? a, ……………(3 分) 2?a 2?a
? 0,? 2 2?a ? 2 ? a, ………………(6 分)

当 a ? ? 2且a ? 0时,

当 a ? ? 2 时, 当 a ? 0 时,

a2 2?a

2 = 2 ? a ……………(9 分) 2?a 2 2 ? 2 ? a, 当 a ? 0时, ? 2 ?a, 2?a 2?a
……………………(10 分)

综上,当 a ? ? 2且a ? 0时,

当a ? ? 2时,

2 ? 2 ?a. 2?a

2、(辽宁省东北育才学校 20 11 届高三第六次模拟考试理科)选修 4-5:不等式选讲 ( 10 分) 设函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ? x ? 4 。 (1) 求不等式 f ? x ? ? 2 的解集; (2) 求函数 f ? x ? 的最小值 24、 (1) ? x x ? ?7或x ?

? ?

9 5? (2) f ? x ?min ? ? ? (5 分) 2 3?

(5 分)

3. (辽宁省东北育才学校 2011 届高三第六次模拟考试文科)(本小题满分 10 分)选修 4-5: 不等式选讲 (Ⅰ)求证:已知 x , y 都是正实数,求证: x3 ? y3 ? x2 y ? xy 2 ; (Ⅱ)求证:已知 x, y , z 都是正数,求证:
3 3 2 2 2

x y z 1 1 1 ? ? ? ? ? . yz zx xy x y z
2

(Ⅰ)证明:∵ ( x ? y ) ? ( x y ? xy ) ? x ( x ? y) ? y ( y ? x)

? ( x ? y)( x2 ? y 2 ) ? ( x ? y)2 ( x ? y) ,
又∵ x, y ? R ,∴ ( x ? y) ? 0, x ? y ? 0 ,∴ ( x ? y) ( x ? y) ? 0 ,
2 2 ?

∴ x ? y ? x y ? xy .
3 3 2 2 2 2 ? 法二:∵ x ? y ? 2 xy ,又∵ x, y ? R ,∴ x ? y ? 0 ,

∴ ( x2 ? y 2 )( x ? y) ? 2 xy( x ? y) ,展开得 x3 ? y3 ? x2 y ? xy 2 ? 2x2 y ? 2xy 2 , 移项,整理得 x3 ? y3 ? x2 y ? xy 2 . (Ⅱ)证明:因为 x,y,z 均为正数,所以

x y 1 x y 2 ? ? ( ? )? , yz zx z y x z

同理可得

y z 2 z x 2 ? ? , ? ? , 当且仅当 x ? y ? z 时,以上三式等号都成立,将上述三个不等 zx xy x xy yz y
式两边分别相加,并除以 2, 得

x y z 1 1 1 ? ? ? ? ? . yz zx xy x y z

4、(辽宁省丹东市四校协作体 2011 年高三第二次联合考试文科)(本小题满分 10 分 )选修 4—5:不 等式选讲 (I)已知 x , y 都是正实数,求证: x3 ? y3 ? x2 y ? xy 2 ;[来源:学科网 ZXXK] (II)已知 a, b, c 都是正实数,求证: a ? b ? c ?
3 3 3

1 2 (a ? b 2 ? c 2 )(a ? b ? c ) . 3

(Ⅰ)∵ ( x3 ? y3 ) ? ( x2 y ? xy 2 ) ? x2 ( x ? y) ? y 2 ( y ? x) [来源:学科网]

? ( x ? y)( x2 ? y 2 ) ? ( x ? y)2 ( x ? y) ,
又∵ x, y ? R , ∴ ( x ? y) ? 0, x ? y ? 0 , ∴ ( x ? y) ( x ? y) ? 0 , ∴ x ? y ? x y ? xy
2 2 3 3 2 2 2 ? 法二:∵ x ? y ? 2 xy ,又∵ x, y ? R ,∴ x ? y ? 0 , ? 2

∴ ( x ? y )( x ? y) ? 2 xy( x ? y) ,展开得 x ? y ? x y ? xy ? 2x y ? 2xy ,
2 2 3 3 2 2 2 2

移项,整理得 x ? y ? x y ? xy
3 3 2

2

5、 . (辽宁省沈阳二中 2011 年高三第一次模拟理科) (本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲: 若关于 x 的方程 x2 ? 2x ? a ? 3 ? 0 有实根. (Ⅰ)求实数 a 的取值集合 A ; (Ⅱ)若对于 ?a ? A ,不等式 t ? 2at ? 12 ? 0 恒成立,求 t 的取值范围.
2

24 解:(Ⅰ) A ? a 2 ? a ? 4 -------------------------------------5 分 (Ⅱ) t ? 4 ? 2 7, 6 --------------------------- ------------10 分

?

?

?

?


推荐相关:

2015年高考数学试题分类汇编及答案解析(22个专题,Word)

2015年高考数学试题分类汇编及答案解析(22个专题,Word)_高考_高中教育_教育专区...? 上是单调增函数; 【考点定位】本题考查导数与函数单调性、零点、不等式等...


2015年高考数学试题分类汇编

2015年高考数学试题分类汇编_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2015年高考数学试题分类汇编_高考_高中教育_教育专区。2015年高考数学试题...


2015年高考数学真题分类汇编12-推理与证明

2015年高考数学真题分类汇编12-推理与证明_高考_高中教育_教育专区。2015年高考数学真题分类汇编12-推理与证明2015 年高考数学真题分类汇编 12-推理与证明 1.(15 ...


2014年高考数学真题分类汇编: 基本不等式

2014年高考数学真题分类汇编: 基本不等式_高三数学_数学_高中教育_教育专区。基本...基本不等式一、选择题 1.(2014·福建高考文科·T9)9.要制作一个容积为 4m ...


2014年高考数学真题分类汇编文科-概率与统计(文科)

2014年高考数学真题分类汇编文科-概率与统计(文科)_高考_高中教育_教育专区。专注...41.(2014 江苏 22)(本小题满分 10 分) 盒中共有 9 个球,其中有 4 个...


2014年高考数学试题分类汇编:三角函数

2014年高考数学试题分类汇编:三角函数_高考_高中教育_教育专区。2014年高考数学试题分类汇编:三角函数2014 年全国高考数学试题分类汇编: 三角函数一、选择题 1. (201...


2015年高考数学试题分类汇编及答案解析-专题03-三角函数

2015年高考数学试题分类汇编及答案解析-专题03-三角函数_高考_高中教育_教育专区。2015年高考数学试题分类汇编及答案解析-专题03-三角函数 ...


2014年高考数学(理)真题分类汇编:解析几何

7 2014 年高考数学(理)真题分类汇编:解析几何 ①证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点); |TF| ②当 最小时,求点 T 的坐标. |PQ| 20.解:(1)由...


2013年高考数学试题分类汇编——概率与统计

2013年高考数学试题分类汇编——概率与统计_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2013 高考数学 分析今日推荐 180份文档 CET四六级高分通关宝典 ...


2014年高考数学题分类汇编 函数与导数

2014年高考数学题分类汇编 函数与导数_高三数学_数学_高中教育_教育专区。试题全部是Word版编辑,部分选择填空题有详解过程,文理合一。2014...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com