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【创新设计】2014届高考数学 3-3-1~2两条直线的交点坐标两点间的距离配套训练 新人教A版必修2


【创新设计】2014 届高考数学 3-3-1~2 两条直线的交点坐标两点间 的距离配套训练 新人教 A 版必修 2

双基达标 ?限时20分钟? 1.直线 3x+2y+6=0 和 2x+5y-7=0 的交点坐标为( A.(-4,-3) C.(-4,3) B.(4,3) D.(3,4) 得?
? ?x=-4, ?y=3 ?

).

? ?3x+2y+6=0, 解析 由方程组? ?2x+5y-7=0, ?

故选 C.

答案 C 2.设点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,AB 的中点是 P(2,-1),则|AB|等于( A.5 B.4 2 C.2 5 D.2 10 ).

解析 设 A(x,0),B(0,y), ∵AB 中点 P(2,-1), ∴ =2, =-1, 2 2 ∴x=4,y=-2,即 A(4,0),B(0,-2), ∴|AB|= 4 +2 =2 5. 答案 C 3.点 P(2,5)关于直线 x+y=0 的对称点的坐标是( A.(5,2) C.(-5,-2) B.(2,-5) D.(-2,-5) ).
2 2

x

y

解析 设 P(2,5)关于直线 x+y=0 的对称点为 P1, 则 PP1 的中点应在 x+y=0 上, 可排除 A, B 而(-2,-5)与 P(2,5)显然关于原点对称,但不关于直线 x+y=0 对称.故选 C. 答案 C 4. 两直线 l1: 3ax-y-2=0 和 l2: (2a-1)x+5ay-1=0, 分别过定点 A、 B, 则|AB|=________. 解析 直线 l1:y=3ax-2 过定点 A(0,-2), 直线 l2:a(2x+5y)-(x+1)=0,
? ?2x+5y=0 过定点? ?x+1=0 ?

2? ? ,即?-1, ?, 5 ? ?

∴|AB|=

?2 ?2 13 2 ?-1? +? -?-2?? = . ?5 ? 5

1

答案

13 5

5.(2012·舟山高一检测)经过直线 3x+2y+6=0 和 2x+5y-7=0 的交点,且在两坐标轴 上的截距相等的直线方程为________. 解析 设直线方程为 3x+2y+6+λ (2x+5y-7)=0, 即(3+2λ )x+(2+5λ )y+6-7λ =0. 7λ -6 令 x=0,得 y= ; 2+5λ 7λ -6 令 y=0,得 x= . 3+2λ 7λ -6 7λ -6 1 6 由 = ,得 λ = 或 λ = . 2+5λ 3+2λ 3 7 直线方程为 x+y+1=0 或 3x+4y=0. 答案 x+y+1=0 或 3x+4y=0 6.求经过两条直线 2x-3y-3=0 和 x+y+2=0 的交点且与直线 3x+y-1=0 平行的直线

l 的方程.
3 x=- , ? ? 5 得? 7 y=- . ? ? 5

?2x-3y-3=0, ? 解 由方程组? ?x+y+2=0, ?

∵直线 l 和直线 3x+y-1=0 平行, ∴直线 l 的斜率 k=-3.

? 7? ? ? 3?? ∴根据点斜式有 y-?- ?=-3?x-?- ??, ? 5? ? ? 5??
即所求直线方程为 15x+5y+16=0. 综合提高 ?限时25分钟? 7. 无论 k 为何值, 直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0 都过一个定点, 则定点坐标为( A.(1,3) B.(-1,3) C.(3,1) D.(3,-1) 解析 直线方程可化为(2x+y-5)+k(x-y-4)=0,由直线系方程知,此直线系过两直线
? ?x-y-4=0, 的交点.由? ?2x+y-5=0, ?

).

解得?

? ?x=3, ?y=-1, ?

,交点为(3,-1).故选 D.

答案 D 8.x 轴上任一点到定点(0,2)、(1,1)距离之和的最小值是( A. 2 B.2+ 2 ).

2

C. 10

D. 5+1
2 2

解析 作点(1,1)关于 x 轴的对称点(1, -1), 则距离之和最小值为 1 +?-1-2? = 10.

答案 C 9.直线 l1:3x-y+12=0 和 l2:3x+2y-6=0 及 y 轴所围成的三角形的面积为________. 解析 三角形的三个顶点坐标分别为 A(-2,6)、B(0,12)、C(0,3),

S△ABC= ×9×2=9.
答案 9 10.若动点 P 的坐标为(x,1-x),x∈R,则动点 P 到原点的最小值是________. 解析 由距离公式得 x +?1-x? = 2x -2x+1= 2 . 2 答案 2 2
2 2 2

1 2

? 1?2 1 2?x- ? + ,∴最小值为 ? 2? 2

1 = 2

11.(2012·山师大附属中学高一段考)试在直线 x-y+4=0 上求一点 P,使它到点 M(-2, -4)、N(4,6)的距离相等. 解 法一 由直线 x-y+4=0,得 y=x+4,点 P 在该直线上. ∴可设 P 点的坐标为(a,a+4). 由已知|PM|=|PN|, ∴ [a-?-2?] +[a+4-?-4?] = ?a-4? +?a+4-6? , ?a+2? +?a+8?
2 2 2 2 2 2 2

= ?a-4? +?a-2? . ∴(a+2) +(a+8) =(a-4) +(a-2) . 3 解得 a=- , 2 3 5 从而 a+4=- +4= . 2 2
2 2 2 2

2

? 3 5? ∴P?- , ?. ? 2 2?
法二 由于|PM|=|PN|,
3

∴点 P 在线段 MN 的垂直平分线上. 6-?-4? 10 5 由于 kMN= = = , 4-?-2? 6 3 3 ∴线段 MN 的垂直平分线的斜率为 k=- .. 5 又 MN 的中点为(1,1), 3 ∴线段 MN 的垂直平分线的方程为 y-1=- (x-1), 5 3 8 即 y=- x+ . 5 5 又∵点 P 在直线 x-y+4=0 上, 3 8 ∴点 P 为直线 x-y+4=0 与 y=- x+ 的交点. 5 5

x-y+4=0, ? ? 由? 3 8 y=- x+ , ? 5 5 ?

3 x=- , ? ? 2 得? 5 y= . ? ? 2

? 3 5? ∴P?- , ? ? 2 2?
12.(创新拓展)某地 A,B 两村在一直角坐标系下的位置分别为 A(1,2),B(4,0),一条河所 在直线的方程为 l:x+2y-10=0.若在河边 l 上建一座供水站 P,使分别到 A,B 两镇的管 道之和最省,问供水站 P 应建在什么地方? 解 如图,作点 A 关于直线 l 的对称点 A′, 连接 A′B 交 l 于 P, 因为若 P′(异于 P)在直线 l 上, 则:|AP′|+|BP′|=|A′P′|+|BP′|>|A′B|, 因此供水站只能建在 P 处,才能使得所用管道最省. 设 A′(a,b),则 AA′的中点在 l 上,且 AA′⊥l,

a+1 b+2 +2× -10=0, ? ? 2 2 即? b-2 ? 1? - ?=-1. ? ?a-1·? ? 2?
解之得?
?a=3, ? ? ?b=6,

即 A′(3,6).

4

所以直线 A′B 的方程为 6x+y-24=0. 38 x= , ? ? 11 得? 36 y= . ? ? 11

?6x+y-24=0, ? 解方程组? ? ?x+2y-10=0,

?38 36? 所以点 P 的坐标为? , ?. ?11 11?
故供水站 P 应建在 P?

?38,36?处. ? ?11 11?

5


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