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河南省郑州四十七中2014-2015学年高一数学上学期10月月考试卷(含解析)


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

河南省郑州四十七中 2014-2015 学年高一上学期 10 月月考数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (3 分)若集合 M={﹣1,0,1},集合 N={0,1,2},则 M∪N

等于() A. {0,1} B. {﹣1,0,1} C. {0,1,2} D. {﹣1,0,1,2}

2. (3 分)方程组 A. {(1,1)}

的解构成的集合是() B. {1,1} C. (1,1) D. {1}

3. (3 分)下列各组函数是同一函数的是() ①f(x)= 与 g(x)=x );
2



②f(x)=|x|与 g(x)=( ③f(x)=x 与 g(x)=
2 0


2

④f(x)=x ﹣2x﹣1 与 g(t)=t ﹣2t﹣1. A. ①② B. ①③ C. ③④ 4. (3 分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为() A. y=x+1 B. y=﹣x
2

D. ①④

C.

D. y=x|x|

5. (3 分)已知函数 h(x)=4x ﹣kx﹣8 在上是单调函数,则 k 的取值范围是() A. (﹣∞,40] B. ∪,则 y=f(2x﹣1)的定义域为() A. B. C. D.

2

9. (3 分)定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不相等实数 a,b,总有 成立,则必有() A. f(x)在 R 上是增函数 C. 函数 f(x)是先增加后减少

>0

B. f(x)在 R 上是减函数 D. 函数 f(x)是先减少后增加

10. (3 分)设 A. y3>y1>y2 B. y2>y1>y3
2 2

,则() C. y1>y3>y2 D. y1>y2>y3

11. (3 分)若不等式 ax +2ax﹣4<2x +4x 对任意实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是() A. (﹣2,2) B. (﹣2,2] C. (﹣∞,﹣2)∪

-1-

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12. (3 分)已知函数

是 R 上的增函数,则 a 的取值范

围是() A. ﹣3≤a<0

B. ﹣3≤a≤﹣2

C. a≤﹣2

D. a<0

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.把答案填在答题卷中的相应横线上) 2 13. (3 分)若函数 f(x)=(k﹣2)x +(k﹣1)x+3 是偶函数,则 f(x)的递减区间是. 14. (3 分)已知 f( )=x+2 ,则 f(x)=. (指出 x 范围)

15. (3 分)设 f(x)=

,则 f{f}=.

16. (3 分)设非空集合{x|a≤x≤b}满足:当 x∈S 时,有 x ∈S,给出如下三个命题:①若 a=1,则 S={1}②若 a=﹣ ,则 ≤b≤1;③若 b= ,则﹣ ≤a≤0.其中正确命题是.

2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 52 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分) (1) (27 ) ﹣÷
0

(2)



18. (10 分)设集合 A={x|﹣1<x<4}, (1)若 C=?,求实数 a 的取值范围; (2)若 C≠?且 C? (A∩B) ,求实数 a 的取值范围. 19. (10 分)已知函数 f(x)=x+

,C={x|1﹣2a<x<2a}.

(Ⅰ)判断函数的奇偶性,并加以证明; (Ⅱ)用定义证明 f(x)在(0,1)上是减函数; (Ⅲ)函数 f(x)在(﹣1,0)上是单调增函数还是单调减函数?(直接写出答案,不要求 写证明过程) .

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 20. (10 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=x +2x. (1)现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象,如图所示,请补出完整函数 f(x)的图象, 并根据图象写出函数 f(x)的增区间; (2)写出函数 f(x)的解析式和值域.
2

21. (12 分)已知函数 y=f(x) , (x≠0)对于任意的 x,y∈R 且 x,y≠0 满足 f(xy)=f(x) +f(y) . (Ⅰ)求 f(1) ,f(﹣1)的值; (Ⅱ)判断函数 y=f(x) , (x≠0)的奇偶性; (Ⅲ)若函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式 f( x)+f(x﹣5)≤0.

河南省郑州四十七中 2014-2015 学年高一上学期 10 月月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (3 分)若集合 M={﹣1,0,1},集合 N={0,1,2},则 M∪N 等于() A. {0,1} B. {﹣1,0,1} C. {0,1,2} D. {﹣1,0,1,2} 考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 集合 M 和集合 N 都是含有三个元素的集合,把两个集合的所有元素找出写在花括号 内即可,注意不要违背集合中元素的互异性. 解答: 解:因为 M={﹣1,0,1},N={0,1,2}, 所以 M∪N={﹣1,0,1}∪{0,1,2}={﹣1,0,1,2}. 故答案为 D. 点评: 本题考查了并集及其运算,考查了并集的概念,是会考题型,是基础题.

2. (3 分)方程组 A. {(1,1)}

的解构成的集合是() B. {1,1} C. (1,1) D. {1}

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考点: 集合的表示法. 专题: 计算题. 分析: 通过解二元一次方程组求出解,利用集合的表示法:列举法表示出集合即可. 解答: 解: 解得

所以方程组

的解构成的集合是{(1,1)}

故选 A. 点评: 本题主要考查了集合的表示法:注意集合的元素是点时,一定要以数对形式写,属 于基础题. 3. (3 分)下列各组函数是同一函数的是() ①f(x)= 与 g(x)=x );
2



②f(x)=|x|与 g(x)=( ③f(x)=x 与 g(x)=
2 0


2

④f(x)=x ﹣2x﹣1 与 g(t)=t ﹣2t﹣1. A. ①② B. ①③ C. ③④

D. ①④

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的定义域相同,对应关系也相同的两个函数是同一函数,对每一组函数进 行判断即可. 解答: 解:对于①,f(x)= =|x| =﹣x ,与 g(x)=x 的对应

关系不同,不是同一函数; 对于②,f(x)=|x|(x∈R) ,g(x)=( 不同,不是同一函数; 对于③,f(x)=x =1(x≠0) ,g(x)=
0

) =x(x≥0) ,它们的定义域不同,对应关系也 =1(x≠0) ,它们的定义域相同,对应关系也相同,

2

是同一函数; 2 2 对于④,f(x)=x ﹣2x﹣1(x∈R) ,g(t)=t ﹣2t﹣1(t∈R) ,它们的定义域相同,对应关 系也相同,是同一函数; 综上,是同一函数的是③④. 故选:C. 点评: 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题,解题时应判断它们的定义域是否 相同,对应关系是否也相同,是基础题. 4. (3 分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为()

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. y=x+1 B. y=﹣x
2

C.

D. y=x|x|

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 探究型. 分析: 对于 A,非奇非偶;对于 B,是偶函数;对于 C,是奇函数,但不是增函数; 对于 D,令 f(x)=x|x|= ,可判断函数既是奇函数又是增函数,故可得结论.

解答: 解:对于 A,非奇非偶,是 R 上的增函数,不符合题意; 对于 B,是偶函数,不符合题意; 对于 C,是奇函数,但不是增函数; 对于 D,令 f(x)=x|x|,∴f(﹣x)=﹣x|﹣x|=﹣f(x) ;∵f(x)=x|x|= ∴函数是增函数 故选 D. 点评: 本题考查函数的性质,考查函数的奇偶性与单调性的判断,属于基础题. 5. (3 分)已知函数 h(x)=4x ﹣kx﹣8 在上是单调函数,则 k 的取值范围是() A. (﹣∞,40] B. ∪上是单调函数, 则区间应完全在对称轴 x= 的同侧, 由此构
2



造关于 k 的不等式,解得 k 的取值范围 解答: 解:函数 h(x)=4x ﹣kx﹣8 的对称轴为 x= 若函数 h(x)=4x ﹣kx﹣8 在上是单调函数, 则 ≤5 或 ≥20 解得 k≤40 或 k≥160 故 k 的取值范围是(﹣∞,40]∪应完全在对称轴 x= 的同侧)是解答的关键.
2 2

6. (3 分)已知集合 A={x|x<a},B={x|1<x<2},且 A∪(?RB)=R,则实数 a 的取值范围是 () A. a≤2 B. a<1 C. a≥2 D. a>2 考点: 交、并、补集的混合运算. 分析: 由题意知集合 A={x|x<a},B={x|1<x<2},然后根据交集的定义和运算法则进行计 算. 解答: 解:∵集合 A={x|x<a},B={x|1<x<2}, ∴?RB={x|x≤1 或 x≥2}, 因为 A∪?RB=R, 所以 a≥2, 故选 C.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 此题主要考查一元二次不等式的解法及集合的交集及补集运算,一元二次不等式的 解法及集合间的交、并、补运算是 2015 届高考中的常考内容. 7. (3 分)已知 f(x)=ax +bx +1 且 f(5)=7,则 f(﹣5)的值是() A. ﹣5 B. ﹣7 C. 5 D. 7 考点: 函数奇偶性的性质;函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 注意到 5 与﹣5 互为相反数,可借助于函数奇偶性求解. 5 3 5 3 解答: 解:f(x)=ax +bx +1,所以 f(﹣x)=﹣ax ﹣bx +1. f(x)+f(﹣x)=2 所以 f(5)+f(﹣5)=2 f(﹣5)=2﹣7=﹣5 故选 A 点评: 本题考查函数值求解,函数奇偶性的灵活应用. 8. (3 分)若函数 y=f(x+1)的定义域是,则 y=f(2x﹣1)的定义域为() A. B. C. D. 考点: 函数的图象与图象变化;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 由题意得函数 y=f(x+1)的定义域为 x∈,即﹣1≤x+1≤4,所以函数 f(x)的定义 域为.由 f(x)与 f(2x﹣1)的关系可得﹣1≤2x﹣1≤4,解得 0≤x≤ . 解答: 解:因为函数 y=f(x+1)的定义域为 x∈,即﹣1≤x+1≤4, 所以函数 f(x)的定义域为. 由 f(x)与 f(2x﹣1)的关系可得﹣1≤2x﹣1≤4, 解得 0≤x≤ . . 所以函数 f(2x﹣1)定义域为 故选 A. 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握求函数定义域的方法,如含分式的、含根式的、含 对数式的、含幂式的以及抽象函数求定义域.
5 3

9. (3 分)定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不相等实数 a,b,总有 成立,则必有() A. f(x)在 R 上是增函数 C. 函数 f(x)是先增加后减少 考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 常规题型;函数的性质及应用. 分析: 由单调性的定义说明单调性即可.

>0

B. f(x)在 R 上是减函数 D. 函数 f(x)是先减少后增加

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解: ∵定义在 R 上的函数 f (x) 对任意两个不相等实数 a, b, 总有 >0 成立, 即对任意两个不相等实数 a,b, 若 a<b,总有 f(a)<f(b)成立, f(x)在 R 上是增函数. 故选 A. 点评: 本题考查了函数单调性的变形应用,属于基础题.

10. (3 分)设 A. y3>y1>y2 B. y2>y1>y3

,则() C. y1>y3>y2 D. y1>y2>y3

考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. x x 分析: 化简这三个数为 2 的形式,再利用函数 y=2 在 R 上是增函数,从而判断这三个数的 大小关系. 解答: 解:∵
x

=2 ,

1.8

=(2 )

3

0.48

=2

1.44



=2 ,

1.5

函数 y=2 在 R 上是增函数,1.8>1.5>1.44, 1.8 1.5 1.44 ∴2 >2 >2 ,故 y1>y3>y2, 故选 C. 点评: 本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,体现了转化的数学思想,属于基础题. 11. (3 分)若不等式 ax +2ax﹣4<2x +4x 对任意实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是() A. (﹣2,2) B. (﹣2,2] C. (﹣∞,﹣2)∪ 考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 将原不等式整理成关于 x 的二次不等式,结合二次函数的图象与性质解决即可,注 意对二次项系数分类讨论 2 2 2 解答: 解:不等式 ax +2ax﹣4<2x +4x,可化为(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0, 当 a﹣2=0,即 a=2 时,恒成立,合题意. 当 a﹣2≠0 时,要使不等式恒成立,需 ,解得﹣2<a<2.
2 2

所以 a 的取值范围为(﹣2,2]. 故选 B. 点评: 本题考查求不等式恒成立的参数的取值范围,考查分类讨论的数学思想,属于中档 题.

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12. (3 分)已知函数

是 R 上的增函数,则 a 的取值范

围是() A. ﹣3≤a<0

B. ﹣3≤a≤﹣2

C. a≤﹣2

D. a<0

考点: 函数单调性的性质;二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 由函数 f(x)上 R 上的增函数可得函数,设 g(x)=﹣x ﹣ax﹣5,h(x)= ,则可 知函数 g(x)在 x≤1 时单调递增,函数 h(x)在(1,+∞)单调递增,且 g(1)≤h(1) , 从而可求
2

解答: 解:∵函数

是 R 上的增函数

设 g(x)=﹣x ﹣ax﹣5(x≤1) ,h(x)= (x>1) 由分段函数的性质可知,函数 g(x)=﹣x ﹣ax﹣5 在(﹣∞,1]单调递增,函数 h(x)= 在 (1,+∞)单调递增,且 g(1)≤h(1)
2

2





解可得,﹣3≤a≤﹣2 故选 B 点评: 本题主要考查了二次函数的单调性的应用,反比例函数的单调性的应用,主要分段 函数的单调性应用 中,不要漏掉 g(1)≤h(1) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.把答案填在答题卷中的相应横线上) 2 13. (3 分)若函数 f(x)=(k﹣2)x +(k﹣1)x+3 是偶函数,则 f(x)的递减区间是}=π +1. 考点: 专题: 分析: 答案. 解答: 函数的值;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 计算题. 从内到外,依次求 f(﹣1) ,f,f{f}即可.要注意定义域,选择解析式,计算可得 解:∵﹣1<0

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴f(﹣1)=0 ∴f=f(0)=π ; f{f}=f{π }=π +1. 故答案为:π +1. 点评: 11 本题主要考查分段函数求解函数值问题,在这里特别要注意定义域,是选择解析 式求解的关键. 16. (3 分)设非空集合{x|a≤x≤b}满足:当 x∈S 时,有 x ∈S,给出如下三个命题:①若 a=1,则 S={1}②若 a=﹣ ,则 ≤b≤1;③若 b= ,则﹣ ≤a≤0.其中正确命题是①②③.
2

考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 2 分析: 根据题中条件:“当 x∈S 时,有 x ∈S”对三个命题一一进行验证即可:对于①a=1,



,②

,则

;对于③若

,则

,最后解出不等式,根据

解出的结果与四个命题的结论对照,即可得出正确结果有几个. 2 解答: 解:由定义设非空集合 S={x|a≤x≤b}满足:当 x∈S 时,有 x ∈S 知,符合定义的 2 2 参数 a 的值一定大于等于 1 或小于等于 0,惟如此才能保证 a∈S 时,有 a ∈S 即 a ≥b,符合 2 2 条件的 n 的值一定大于等于 0,小于等于 1,惟如此才能保证 b∈S 时,有 b ∈S 即 b ≤b,正 对各个命题进行判断: 对于①a=1,a =1∈S 故必有
2

,可得 b=1,S={1},

②a=﹣ ,

∈S,则

,解之可得



对于③若 b= ,则

,解之可得

≤a≤0,

所以正确命题有 3 个. 故答案为:①②③. 点评: 本题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法.属于创新题,解答的关键是对新 定义的概念的正确理解,列出不等关系转化为不等式问题解决,是中档题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 52 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分) (1) (27 ) ﹣÷
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(2)



考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1) (2)利用指数幂的运算性质即可得出. 解答: 解: (1)原式=1﹣ =1+ =3.

(2)原式=

=

=a = . 点评: 本题考查了指数幂的运算性质,属于基础题.

﹣1

18. (10 分)设集合 A={x|﹣1<x<4}, (1)若 C=?,求实数 a 的取值范围; (2)若 C≠?且 C? (A∩B) ,求实数 a 的取值范围.

,C={x|1﹣2a<x<2a}.

考点: 交、并、补集的混合运算;子集与真子集. 专题: 计算题. 分析: (1)由 C={x|1﹣2a<x<2a}=?,得 1﹣2a≥2a,由此能求出实数 a 的取值范围. (2)由 C={x|1﹣2a<x<2a}≠?,得 ,由 A={x|﹣1<x<4}, ,得

,由 C? (A∩B) ,得

,由此能求出实数 a 的取值范围.

解答: 解: (1)∵C={x|1﹣2a<x<2a}=?, ∴1﹣2a≥2a, ∴ , .

即实数 a 的取值范围是 (2)∵C={x|1﹣2a<x<2a}≠?, ∴1﹣2a<2a,即

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵A={x|﹣1<x<4}, ∴ ∵C? (A∩B) , ,



解得 即实数 a 的取值范围是 .

点评: 本题考查集合的交、并、实集的混合运算,解题时要认真审题,仔细解答,注意不 等式知识的合理运用.

19. (10 分)已知函数 f(x)=x+ (Ⅰ)判断函数的奇偶性,并加以证明; (Ⅱ)用定义证明 f(x)在(0,1)上是减函数; (Ⅲ)函数 f(x)在(﹣1,0)上是单调增函数还是单调减函数?(直接写出答案,不要求 写证明过程) . 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 常规题型. 分析: (I)用函数奇偶性定义证明,要注意定义域. (II)先任取两个变量,且界定大小, 再作差变形看符号, (III)由函数图象判断即可. 解答: 证明: (I)函数为奇函数 (II)设 x1,x2∈(0,1)且 x1< x2

= ∵0<x1<x2<1,∴x1x2<1,x1x2﹣1<0, ∵x2>x1∴x2﹣x1>0. ∴f(x2)﹣f(x1)<0,f(x2)<f(x1) 因此函数 f(x)在(0,1)上是减函数 (III)f(x)在(﹣1,0)上是减函数. 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性定义,要注意奇偶性要先判断,单调性变形要到 位.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 20. (10 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=x +2x. (1)现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象,如图所示,请补出完整函数 f(x)的图象, 并根据图象写出函数 f(x)的增区间; (2)写出函数 f(x)的解析式和值域.
2

考点: 二次函数的图象;函数的值域;函数解析式的求解及常用方法;函数的单调性及单 调区间. 专题: 计算题;作图题. 分析: (1)因为函数为偶函数,故图象关于 y 轴对称,由此补出完整函数 f(x)的图象即 可,再由图象直接可写出 f(x)的增区间. (2)可由图象利用待定系数法求出 x>0 时的解析式,也可利用偶函数求解析式,值域可从图 形直接观察得到. 解答: 解: (1)因为函数为偶函数,故图象关于 y 轴对称,补出完整函数图象如有图: 所以 f(x)的递增区间是(﹣1,0) , (1,+∞) . 2 (2)设 x>0,则﹣x<0,所以 f(﹣x)=x ﹣2x,因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,所以 2 f(﹣x)=f(x) ,所以 x>0 时,f(x)=x ﹣2x, 故 f(x)的解析式为 值域为{y|y≥﹣1}

点评: 本题考查分段函数求解析式、作图,同时考查函数的函数的奇偶性和值域等性质. 21. (12 分)已知函数 y=f(x) , (x≠0)对于任意的 x,y∈R 且 x,y≠0 满足 f(xy)=f(x) +f(y) . (Ⅰ)求 f(1) ,f(﹣1)的值; (Ⅱ)判断函数 y=f(x) , (x≠0)的奇偶性;

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅲ)若函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式 f( x)+f(x﹣5)≤0.

考点: 函数单调性的性质;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)赋值法:在所给等式中,令 x=y=1,可求得 f(1) ,令 x=y=﹣1 可求得 f(﹣1) ; (Ⅱ)在所给等式中令 y=﹣1,可得 f(﹣x)与 f(x)的关系,利用奇偶性的定义即可判断; (3)由题意不等式 f( x)+f(x﹣5)≤0 可化为 f(| x(x﹣5)|)≤f(1) ,根据单调性 即可去掉符号“f”,转化为具体不等式即可解得. 解答: 解: (Ⅰ)∵对于任意的 x,y∈R 且 x,y≠0 满足 f(xy)=f(x)+f(y) , ∴令 x=y=1,得到:f(1)=f(1)+f(1) , ∴f(1)=0, 令 x=y=﹣1,得到:f(1)=f(﹣1)+f(﹣1) , ∴f(﹣1)=0;

证明: (Ⅱ)由题意可知,令 y=﹣1,得 f(﹣x)=f(x)+f(﹣1) , ∵f(﹣1)=0,∴f(﹣x)=f(x) , ∴y=f(x)为偶函数; 解: (Ⅲ)由(Ⅱ)函数 f(x)是定义在非零实数集上的偶函数. ∴不等式 f( x)+f(x﹣5)≤0 可化为 f≤f(1) ,f(| x(x﹣5)|)≤f(1) , ∴﹣1≤ x(x﹣5)≤1,即:﹣6≤x(x﹣5)≤6 且 x≠0,x﹣5≠0, 在坐标系内,如图函数 y=x(x﹣5)图象与 y=6,y=﹣6 两直线. 由图可得 x∈∪, 故不等式的解集为:∪. 点评: 本题考查抽象函数的求值、奇偶性的判断及抽象不等式的解法,定义是解决抽象函 数问题的常用方法,解抽象不等式关键是利用函数性质转化为具体不等式.

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