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江西新余市2015届高三第二次模拟考试数学(理)试题


新余市 2015 年高三“二模”统一考试

数学试题卷(理科)
命题人:敖礼生 陈福星 肖连奇 审校人:刘勇刚 本试卷分为试题卷和答题卷两部分,解答写在答题卷相应的位置 . ........ 全卷共150分,考试时间为120分钟 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符 合要求的. 1.设集

合 M ? x x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 A. x x ? ?2

?

?,

集合 N ? {x | ( ) x ? 4} , 则 MUN 为

1 2

?

?

B. x x ? ?1

?

?

C. x x ? ?1

?

?

D. x x ? ?2

?

?

2.在复平面内,复数 A.第一象限

1 ? 3i 对应的点位于 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A. 2 ? 2 ? 6 B. 3 ? 2 ? 6 C. 2 ? 2 ? 3 D. 3 ?

2? 3

4.图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法.若输入 m ? 209, n ? 121 ,则输 出 m 的值为 A.10

B.11

C.12

D.13

?5 x ? 2 y ? 18 ? 0 ? 5.设变量 x, y 满足 ?2 x ? y ? 0 ,若直线 kx ? y ? 2 ? 0 经过该可行域,则 k 的最大值为 ?x ? y ? 3 ? 0 ?
A.1 B.3 C.4 D.5

6.已知函数 f ( x) ? ?2sin(2 x ? ? ) ( ? ? ? ) ,若 可以是

f ( ) ? ?2 8 ,则 f ( x) 的一个单调递增区间

?

? ? 3? ? A. ? ? , ? ? 8 8 ?

? 5? 9? ? B. ? , ? ? 8 8 ?

? 3? ? ? C. ? ? , ? ? 8 8?

? ? 5? ? D. ? , ? ?8 8 ?

7.已知半圆的直径 AB ? 10 , O 为圆心, C 为半圆上不同于 A, B 的任意一点,若 P 为半径 OC 上 的动点,则 PA ? PB ? PC 的最小值是

?

?

25 25 ? B. ? 25 C. 25 D. ? 2 2 8.已知正项 数列?an ?的前n项和为S n ,奇数项成公差为 1 的等差数列,当 n 为偶数时点
A.

(an , an ? 2 )在直线y ? 3x ? 2上,又知a1 ? 1, a2 ? 2, 则数列{an }的前2n项和S 2 n 等于
A. n 2 ? n ? 6 ? 3n ?1 B.

3n ?1 ? 3 2 n 2 ? n ? 3 ? 3n ?1 2

C.

4n 2 ? 2n ? 23 ? 32 n ?1 2

D.

9.已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各顶点都在球 O 的球面上,且 AB ? AC ? 1, BC ? 3 ,若球 O 的 体积为

20 5 ? ,则这个直三棱柱的体积等于 3
B.

A. 2

3

C.2

D.
2? 3 0

5

10.已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? 1 (0 ? ? ? 点是 A.
5? 6

?
2

) ,且 ?

( f ( x) ? 1)dx ? 0 ,则函数 f ( x) 的一个零

B.

?
3

C.

?
6

D.

7? 12

11.椭圆 E 的两个焦点分别是 F1 , F2 .若 E 上的点 p 满足 | PF1 |? 取值范围是

3 | F1 F2 | ,则椭圆 E 的离心率 e 的 2

A. e ?

1 2

B. e ?

1 4

C.

1 1 ?e? 4 2

D. 0 ? e ?

1 1 或 ? e ?1 4 2

12.定义在实数集 R 上的函数 y ? f ( x) 的图像是连续不断的,若对任意实数 x ,存在实常数 t 使得 .有下列“关于 t 函数”的结 f (t ? x) ? ?t ? f ( x) 恒成立,则称 y ? f ( x) 是一个“关于 t 函数” 论: ① f ( x) ? 0 是常数函数中唯一一个“关于 t 函数” ; ②“关于

1 函数”至少有一个零点; 2
2

③ f ( x) ? x 就一个“关于 t 函数”. 其中正确结论的个数是 A.1 B.2

C.3

D.0

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

1 . ? mx)5 展开式中 x 2 项的系数 490,则实数 m 的值为 2 x 1 14.函数 f ? x ? ? 2sin(? x) ? , x ? ? ?2, 4? 且 x ? 1 ,则函数的所有零点之和为 1? x
13. (x 2 +2) ( 15.若在区间[1,2] 上存在实数 x 使 2 (2 x ? a ) ? 1 成立,则 a 的取值范围是
x

.

.

16.给出下列四个命题: ① ?ABC 中, A ? B 是 sin A ? sin B 成立的充要条件;

②当 x ? 0且x ? 1 时,有 ③已知

ln x ?

1 ?2 ln x ;

S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S7 ? S5 ,则 S9 ? S3 ;
? ?
3 3? R ? 为 上的奇函数,则函数 y ? f ? x ? 的图象一定关于点 F ( , 0) 成中心对 2 2?

④若函数 y ? f ? x ?

称. 其中所有正确命题的序号为 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 12 分)

已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , nan ?1 ? 2(n ? 1)an ? n(n ? 1) ( n ? N * ).

(1)若 bn ?

an ? 1 ,试证明数列 ?bn ? 为等比数列; n

(2)求数列 ?an ? 的通项公式 an 及其 n 项和 Sn.

18.如图, 已知直角梯形 ACDE 所在的平面垂直于平面 ABC, ∠BAC=∠ACD= 90? , ∠EAC= 60? , AB=AC=AE. (1)在直线 BC 上是否存在一点 P,使得 DP//平面 EAB?请证明你的结论; (2)求平面 EBD 与平面 ACDE 所成的锐二面角 ? 的余弦值.

19.设 ? 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相交时, ? ? 0 ; 当两 条棱平行时, ? 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时, ? ? 1 . (1)求概率 P( ? ? 0 ) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E( ? ).

20.已知抛物线 y 2 ? 4 2 x 的焦点为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点, 且椭圆的长轴长为 4, 左 a 2 b2

右顶点分别为 A,B,经过椭圆左焦点的直线 l 与椭圆交于 C、D(异于 A,B)两点. (1)求椭圆标准方程; (2)求四边形 ADBC 的面积的最大值; (3) 若 M ( x1 , y1 ) N ( x2 , y2 ) 是 椭 圆 上 的 两 动 点 , 且 满 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0 , 动 点 P 满 足

??? ? ???? ? ???? OP ? OM ? 2ON (其中 O 为坐标原点) ,是否存在两定点 F1 , F2 使得 PF1 ? PF2 为定值,
若存在求出该定值,若不存在说明理由.

y C A O D B x

21.已知函数 f(x)=e -e -2x. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)设 g(x)=f(2x)-4bf(x),当 x>0 时,g(x)>0,求 b 的最大值; (3)已知 1.414 2< 2<1.414 3,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001).

x

-x

请考生从第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时 请写清题号. 22.(本小题 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, P 是☉ O 外一点, PA 是切线, A 为切点,割线 PBC 与☉ O 相交于点 B , C ,又 PC =2 PA , D 为 PC 的中点, AD 的延长线交☉ O 于点 E . 证明:(1) BE = EC ; (2) AD · DE = 2 PB .
2

23.(本小题 10 分)选修 4-4:参数方程选讲

在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 3 cos a ? y ? sin a

( a 为参数) ,以原点 o 为极点,x 轴

正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? sin(? ?

?
4

)?4 2.

(1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程;

(2)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 上点的距离的最小值,并求此时点 P 的坐标.

24.(本小题 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ?

2 x ? 4 ? 5 ? x 的最大值为 M.

(1)求实数 M 的值; (2)求关于 x 的不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? M 的解集.

新余市 2015 年高三“二模”考试质量检测

数学 参考答案(理科)
一、选择题 1 A 2 B 3 A 4 B 5 A 6 D 7 D 8 D 9 B 10 A 11 C 12 A

二填空题 13. ? 7 14. 8 15.(-∞,-

3 ) 2

16.(1) (3)

17.解:(1) na n ?1 ? 2(n ? 1)a n ? n(n ? 1) ?

a n ?1 2a n ? ?1, n ?1 n

an ?1 2a a ? 1 ? n ? 2 ? 2( n ? 1) 即 bn ?1 ? 2bn , , n ?1 n n 又b1 ? 2 , 所以?b n ?是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. ????????4 分 a n n n (2)由(1)知 b n ? 2 ? n ? 1 ? 2 ? an ? n( 2 ? 1), n ???????5 分 得
∴ S n ? 1? (2 ? 1) ? 2 ? (2 2 ? 1) ? 3 ? (23 ? 1) ? K ? n(2 n ? 1)

? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? K ? n ? 2n ? (1 ? 2 ? 3 ? K ? n) n(n ? 1) ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? K ? n ? 2 n ? ?????????????7 分 2 2 3 n 令 Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? K ? n ? 2 ,
则 2Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? K ? n ? 2
2 3 4
2 3

n ?1


n ?1

两式相减得: ?Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? K ? 2 ? n ? 2
n

?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 , 1? 2

Tn ? 2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 ? (n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2 ?????????????11 分 n(n ? 1) n ?1 ∴ S n ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 ? ????????????????12 分 2
18. (一)解: (1)线段 BC 的中点就是满足条件的点 P。???????1 分 证明如下: 取 AB 的中点 F 连接 DP,PF,EF,则 FP//AC,FP= 取 AC 的中点 M,连接 EM,EC。 AE=AC 且∠EAC= 60? , ? △EAC 是正三角形。 ? EM⊥AC。? 四边形 EMCD 为矩形。

1 AC. 2

? ED=MC=

1 AC=FP。又? ED//AC。 2

? ED//FP 且 ED=FP,即四边形 EFPD 是平行四边形。 ? DP//EF。 而 EF ? 平面 EAB,DP ? 平面 EAB,? DP//平面 EAB。???????5 分 (2)过点 B 作 AC 的平行线 l ,过点 C 作 l 的垂线交 l 点 G,连接 DG。 ? ED//AC,? ED// l 。 ? l 是平面 EBD 与平面 ABC 所成二面角的棱。 平面 EACD⊥平面 ABC,DC⊥AC,? DC⊥ABC。 又 l ? 平面 ABC,? DC⊥ l . ? l ⊥平面 DGC. l ⊥DG. ? ∠DGC 是所求二面角的平面角的余角。
设 AB=AC=AE= 2a. ,则 CD= 3a, GC ? 2a.

? GD= GC 2 ? CD 2 ? 7 a.

? cos ?1 =cos∠DGC=

GC 2 7 21 ? ? cos ? ? GD 7 7 21 7
...........12 分

即平面 EBD 与平面 ACDE 所成的锐二面角的余弦值为

(二)解:设 AB=a,取 AC 中点 O,BC 中点 F,连 EO、OF。

? AE ? AC 又∠EAC= 60? ? EO ? AC
又面 ABC⊥面 ACDE 即 EO⊥面 ACDE 建立以 OF、OC、OE 为空间坐标系的 x, y, z 轴。

a a 3 a 3 a C (0, ,0). A(0,? .0).E (0,0, a ).D(0, , a ).B(a,? ,0) ??????2 分 2 2 2 2 2 2
①假设存在点 P,且 P (a ? ?a,

a ? a? ,0) 2

又面 EAB 的法向量 n ? ( x0 , y0 , z0 )

? a 3 a 3 a ) ? 0 ? y0 ? az0 ?( x0 , y0 , z0 ) ? (0, , ?? 令 z0 ? 1. y0 ? ? 3 2 2 2 2 ?( x , y , z )(a,0,0) ? 0 ? x ? a 0 ? 0 0 0

即 n ? (0,? 3 ,1)

? n ? DP ? (0,? 3 ,1) ? (a ? ?a,?a? ,?
?? ? 1 2

3 a) 2

即 P 为 BC 的中点???????????????????5 分 ②设面 EBD 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,面 ACDE 的法向量为 n2 ? (1,0,0) ???7 分

? 3 ?n1 ? EB ? 0 ?? ? n1 ? ( ,0,1) ?????????????????????9 分 2 ? ?n1 ? BD ? 0
? cos ? ? | n1 ? n2 | | n1 || n2 | ? 21 ???????????????????????12 分 7

19.解: (1)若两条棱相交,则交点必为正方体 8 个顶点中的一个,过任意 1 个顶点恰有 3 条棱,?
2 共有 8C 3 对相交棱。

8C 32 8 ? 3 4 ? ?????????????4 分 ? P( ? ? 0 )= 2 ? 66 11 C12
(2)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或

2 ,其中距离为

2 的共有 6 对,

? P (? ? 2 ) ?

6 6 1 ? ? , 2 C12 66 11
4 1 6 ? ? 11 11 11

P (? ? 1) ? 1 ? P(? ? 2) ? P(? ? 0) ? 1 ?
? 随机变量 ? 的分布列是:

?
P

0

1

2
1 11
????????10 分

4 11

6 11

? 其数学期望 E (? ) ? 1?

6 1 6? 2 。??????????12 分 ? 2? ? 11 11 11

20.解:(1)由题设知:因为抛物线 y 2 ? 4 2 x 的焦点为 ( 2, 0) , 所以椭圆中的 c ?

2 ,又由椭圆的长轴为 4,得 a ? 2 ,
? 椭圆的标准方程为:

? b2 ? a 2 ? c2 ? 2

x2 y 2 ? ?1 4 2

????4 分

(2) 法 一 ? 直 线 l 斜 率 不 为 零 , ? 设直线l 方程为 : x ? my ?

2 ,代入椭圆方程得:

(m 2 ? 2) y 2 ? 2 2my ? 2 ? 0,

设C(x1 , y1 ), D( x2 , y2 ), A( ?2, 0), B(2, 0)

? 2 2m ? y1 ? y2 ? 2 m ?2 ? 2 ? 则有: ? y1 y2 ? ? 2 m ?2 ? ?? ? (2 2m) 2 ? 8(m 2 ? 2) ? 16m 2 ? 16 ? 0 ? ?
S ADBC ? S ?ABC ? S ?ABD ?
?

????5 分

1 1 1 | AB || y1 | ? | AB || y 2 |? | AB | ? | y1 ? y 2 | 2 2 2

1 2 2m 2 2 8 m2 ? 1 ? 4 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 2 ( 2 ) ? 4? 2 ? 2 m ?2 m ?2 m2 ? 2

?
2

8 m ?1 ? 1 m2 ?1
2

?4

(当且仅当 m ? 1 ?

1 m2 ? 1

,即 m ? 0 时等号成立) ????8 分

四边形 ADBC 的面积的最大值为 4

法二:当直线 l 斜率不存在时 , l 的方程为: x ? ? 2 ,此时 S ADBC ? 4 ????5 分 当直线 l 斜率存在时,设 l 的方程为: y ? k ( x ?

2)

(其中 k ? 0 ) 即 x ?

1 y ? 2 代入椭圆方程 k

得: (2k 2 ? 1) y 2 ? 2 2ky ? 2k 2 ? 0 , 设C(x1 , y1 ), D( x2 , y2 ), A( ?2, 0), B(2, 0)

? 2 2k ? y1 ? y2 ? 2 2k ? 1 ? ? 2k 2 ????5 分 y y ? ? ? 1 2 2 2 k ? 1 ? ?? ? (2 2k ) 2 ? 8(2k 2 ? 1) k 2 ? k 2 (16k 2 ? 16) ? 0 ? ?
S ADBC ? S ?ABC ? S ?ABD ? 1 1 1 | AB || y1 | ? | AB || y 2 |? | AB | ? | y1 ? y 2 | 2 2 2

?

1 2 2k 2 2k 2 8 k4 ? k2 ? 4 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 2 ( 2 ) ? 4? 2 ? 2 2k ? 1 2k ? 1 2k 2 ? 1

?

8 1 ?1 ? k2 1 1 ?1 k2

?4

综上所述:四边形 ADBC 的面积的最大值为 4

????8 分

(3) 设P(x, y ), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), 由 OP ? OM ? 2ON ,可得 ? 又因为 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0 ??②
2 2

? x ? x1 ? 2 x 2 ?① ? y ? y1 ? 2 y 2

? M、N是椭圆上的点, ? x1 ? 2 y1 ? 4, x 2 ? 2 y 2 ? 4
由①②可得: x 2 ? 2 y 2 ? ( x1 ? 2 x2 ) 2 ? 2( y1 ? 2 y2 ) 2 ? ( x12 ? 2 y2 2 ) ? 4( x2 2 ? 2 y2 2 ) ? 20

? x 2 ? 2 y 2 ? 20即点P的轨迹方程为

x2 y 2 ? ?1 20 10

??11 分 ???12 分

由椭圆的定义存在两定点 F1 , F2 使得 PF1 ? PF2 ? 4 5 21.解 (1)f′(x)=ex+e x-2≥0,等号仅当 x=0 时成立.


所以 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.?????????????1 分 (2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e g′(x)=2[e2x+e
-2x - -2x

-4b(ex-e x)+(8b-4)x,
- - -

-2b(ex+e x)+(4b-2)]=2(ex+e x-2)(ex+e x-2b+2).

①当 b≤2 时,g′(x)≥0,等号仅当 x=0 时成立,所 g(x)在(-∞,+∞)上单调递增. 而 g(0)=0,所以对任意 x>0,g(x)>0;???????????3 分 ②当 b>2 时,若 x 满足 2<ex+e x<2b-2,即 0<x<ln(b-1+ b2-2b)时 g′(x)<0.


而 g(0)=0,因此当 0<x≤ln(b-1+ b2-2b)时,g(x)<0???????6 分

综上,b 的最大值为 2???????????7 分 3 (3)由(2)知,g(ln 2)= -2 2b+2(2b-1)ln2. 2 8 2- 3 3 当 b=2 时,g(ln 2)= -4 2+6ln2>0,ln2> >0.692 8;??????8 分 2 12 当 b= 3 2 +1 时,ln(b-1+ b2-2b)=ln 2, 4

3 g(ln 2)=- -2 2+(3 2+2)ln2<0, 2 18+ 2 ln2< <0.693 4????????????????11 分 28 所以 ln2 的近似值为 0.693????????????12 分 22 解:(1)连结 AB , AC ,由题设知 PA = PD ,故∠ PAD =∠ PDA . 因为∠ PDA =∠ DAC +∠ DCA ∠ PDA =∠ BAD +∠ PAB ∠ DCA =∠ PAB , 所以∠ DAC =∠ BAD ,从而. BE ? EC 因此 BE = EC ???????????5 分

(2)由切割线定理得 PA = PB ·PC . 由相交弦定理得 AD ? ED ? BD ? DC

2

因为 PA = PD = DC ,所以 DC = 2 PB , BD = PB ,

所以 AD ? DE ? 2 PB ??????????10 分
2

? x ? cos a ? x ? 3 cos a ? 解 23.(1)由曲线 C1 ? 。得 C1 ? 3 ? y ? sin a ? y ? sin a ?
两式两边平方相加得: (

x 2 ) ? y2 ? 1 3

即曲线 C1 的普通方程为:

x2 ? y2 ? 1 3

由曲线 C2 : ? sin(? ?

?
4

) ? 4 2 得:

2 ? (sin ? ? cos ? ) ? 4 2 2

即 ? sin ? ? ? cos ? ? 8 ,所以 x ? y ? 8 ? 0 即曲线 C2 的直角坐标方程为: x ? y ? 8 ? 0 ???????????5 分 (2) 由(1)知椭圆 C1 与直线 C2 无公共点,椭圆上的点 P ( 3 cos a, sin a ) 到直线 x ? y ? 8 ? 0 的距 离为

| 3 cos a ? sin a ? 8 | d? ? 2
所以当 sin( a ?

| 2 sin( a ? ) ? 8 3 2

?

?

3 1 ) ? 1 时, d 的最小值为 3 2 ,此时点 P 的坐标为 ( , ) ???10 分 3 2 2

24.解: (1) f ? x ? ?

2x ? 4 ? 5 ? x

? 2 x ? 2 ? 5 ? x ? 2 ?1
当且仅当 x=4 时等号成立.

? x ? 2 ? ? ? 5 ? x ? =3,

故函数 f ? x ? 的最大值 M=3?????????????5 分 (2)由绝对值三角不等式可得 x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 . 所以不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 3 的解 x 就是方程 x ? 1 ? x ? 2 ? 3 的解. 由绝对值的几何意义得,当且仅当 ?2 ? x ? 1 时, x ? 1 ? x ? 2 ? 3 . 所以不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? M 的解集为 {x | ?2 ? x ? 1} ????????10 分


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