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2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)第3章§3.8


§3.8 三角函数的综合应用

§ 3.8 三 角 函 数 的 综 合 应 用

双基研习?面对高考

考点探究?挑战高考

考向瞭望?把脉高考

双基研习?面对高考

基础梳理

1.实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中,视线在水平线_____ 上方
的角叫仰角,在水平线______ 下方 的角叫俯角(如图① ).

(2)方位角 从指___ 北 方向顺时针转到目标方向线的水平角, 如B点的方位角为α (如图②).

思考感悟 仰角、俯角、方位角有何区别?

提示:三者的参照不同.仰角与俯角是相对于水
平线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的



(3)方向角:相对于某一正方向的水平角.
顺 时针旋转α °到 ①北偏东α °即由指北方向____

达目标方向.(如图③)
逆 时针旋转α °到 ②北偏西α °即由指北方向____ 达目标方向. ③南偏西等其他方向角类似.

(4)坡度:坡面与_________ 水平面 所成的二面角的度数(
如图④,角θ为坡角).

水平 长度之比(如图 坡比:坡面的铅直高度与_______
④,i为坡比).

2.解斜三角形在实际中的应用

解斜三角形在实际中的应用非常广泛,如测量、
航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知 识.解题的一般步骤是:

(1)分析题意,准确理解题意.分清已知与所求,

尤其要理解应用题中的有关名词、术语,如坡度
、仰角、视角、方位角等; (2)根据题意画出示意图; (3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中, 通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正

确求解.演算过程中,要算法简练,计算正确,
并作答; (4)检验解出的答案是否具有实际意义,对解进行 取舍.

课前热身 1.(教材习题改编)从甲处望乙处的仰角为α ,从 乙处望甲处的俯角为β,则下列各式正确的是(

)
A.α >β

B.α +β=90°
C.α =β D.α +β=180° 答案:C

2.某人向正东方向走 x km 后,他向右转 150° ,然 后朝新方向走 3 km,结果他离出发点恰好 3 km, 那么 x 的值为( ) A. 3 B.2 3 C. 2 3 或 3 D. 3

答案:C

3.在△ ABC 中,AC= 6,BC=2,B= 60° ,则∠ A=( ) A.30° B.60° C.90° D. 45°

答案:D

4.(原创题)有一个长为2 km的山坡,它的倾斜
角为30°,现将倾斜角改为15°,则斜坡长变为 ________km.
答案: 6+ 2

5.(2009 年高考湖南卷)在锐角△ ABC 中,BC= 1, AC B= 2A, 则 的值等于 ________, AC 的取值范围 cosA 为 ________.

答案:2

( 2, 3)

考点探究?挑战高考

考点突破 测量距离问题 有关距离测量问题,主要是测量从一个可到达的 点到一个不能到达的点之间的距离问题,如海上、 空中两地测量,隔着某一障碍物两地测量等.

由于该问题不能采取实地测量,解决它的方法是

建立数学模型,即构造三角形,转化为解三角形
问题.通常是根据题意,从实际问题中抽象出一

个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得到
所求的量,从而得到实际问题的解.解题时应认 真审题,结合图形去选择定理,使解题过程简捷 .

例1 (2010 年高考陕西卷 )如图, A, B 是海面上

位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点, 现 位于 A 点北偏东 45° , B 点北偏西 60° 的 D 点有一 艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救, 其航行速度为 30 海里 /小时,该救援船到达 D 点需 要多长时间?

【思路点拨】

根据图中的已知条件求出一些点

与点之间的距离,结合图形和计算出的距离及航 行速度可得救援船到达D点的时间.

【解】 由题意知 AB=5(3+ 3)(海里 ), ∠ DBA= 90° -60° =30° ,∠ DAB= 90° - 45° = 45° , ∴∠ ADB=180° - (45° + 30° )= 105° . DB AB 在△ DAB 中, 由正弦定理得 = , sin∠ DAB sin∠ ADB AB· sin∠ DAB 5? 3+ 3? · sin45° ∴ DB= = sin105° sin∠ ADB 5? 3+ 3? · sin45° 5 3? 3+ 1? = = = sin45° cos60° + cos45° sin60° 3+ 1 2 10 3(海里 ),

又 ∠ DBC = ∠ DBA + ∠ ABC = 30° + (90° - 60° )= 60° , BC= 20 3(海里), 在△ DBC 中,由余弦定理得 CD2= BD2+ BC2-2BD· BC· cos∠ DBC 1 = 300+ 1200-2×10 3× 20 3× =900, 2 30 ∴ CD= 30(海里 ),则需要的时间 t= = 1(小时 ). 30 即该救援船到达 D 点需要 1 小时.

【名师点评】

要计算距离就必须把这个距离归

结到一个三角形中,通过正弦定理或余弦定理进 行计算,但无论是正弦定理还是余弦定理都得至 少知道三角形的一个边长,即在解决问题时,必 须把我们已经知道长度的那个边长和需要计算的

那个边长纳入到同一个三角形中,这是我们分析
这类问题的一个基本出发点.

变式训练
(2009 年高考辽宁卷 )如图所示, A、 B、 C、D 都在 同一个与水平面垂直的平面内, B、D 为两岛上的 两座灯塔的塔顶. 测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75° 、 30° , 于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60° , AC= 0.1 km.试探究图中 B、 D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B、 D 的距离 (计算结果精确到 0.01 km, 2≈ 1.414, 6 ≈ 2.449).

解:在△ ACD 中, ∠ DAC= 30° ,∠ ADC= 60° -∠ DAC=30° , 所以 CD = AC= 0.1.又∠ BCD = 180° - 60° - 60° = 60° , 故 CB 是△ CAD 底边 AD 的中垂线, 所以 BD= BA. AB AC 在△ ABC 中, = , sin∠ BCA sin∠ ABC ACsin60° 3 2+ 6 即 AB= = , sin15° 20 3 2+ 6 因此, BD= ≈0.33 km. 20 故 B、 D 的距离约为 0.33 km.

测量高度问题

在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角是一
个关键.在实际问题中,可能会遇到空间与平面 (地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形, 一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既 清楚又不容易搞错.

例2 (2010年高考江苏卷)某兴趣小组要测量电视

塔AE的高度H(单位:m).如示意图,垂直放置

的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,
∠ADE=β. (1)该小组已测得一组α,β的值,算出了tanα= 1.24,tanβ=1.20,请据此算出H的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整

标杆到电视塔的距离d(单位:m),使α与β之差较
大,可以提高测量精度.若电视塔的实际高度为 125 m,试问d为多少时,α-β最大?

【思路点拨】

充分利用图中的直角三角形列方程.

H h 【解】 (1)如图,由 AB= , BD= , AD tan α tan β H H h H = 及 AB+ BD= AD,得 + = , tan β tan α tan β tan β htanα 4×1.24 解得 H= = = 124. tanα- tanβ 1.24- 1.20 因此,算出的电视塔的高度 H 是 124 m.

H (2)由题意知 d= AB,得 tan α= . d H- h H h 由 AB= AD-BD= - ,得 tanβ= , tan β tan β d 所以 tanα- tanβ h tan(α-β)= = 1+ tanαtanβ H? H- h? d+ d ≤ , 2 H? H- h? h

H? H- h? 当且仅当 d= , 即 d = H? H-h? = d 125×?125-4?=55 5时,上式取等号. 所以当 d= 55 5时,tan(α- β)最大. π π 因为 0<β<α< ,则 0<α-β< , 2 2 所以当 d= 55 5时,α-β 最大. 故所求的 d 是 55 5m.

【名师点评】
和俯角的概念.

(1)测量高度时,要准确理解仰角

(2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在 哪个三角形内应用正、余弦定理. (3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形.

测量角度问题 首先应明确方位角的含义,在解应用题时,分析

题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示
意图,这是最关键、最重要的一步,通过这一步

可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题,
解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的 优点.

例3 在海岸 A 处,发现北偏东 45° 方向,距 A 处

( 3- 1)海里的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75° 的方向,距离 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命 以 10 3海里 /时的速度追截走私船.此时,走私船 正以 10 海里 /时的速度从 B 处向北偏东 30° 方向逃 窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船? 【思路点拨】 本例考查正弦、余弦定理的建模

应用.如图所示,注意到最快追上走私船且两船
所用时间相等,若在D处相遇,则可先在△ABC 中求出BC,再在△BCD中求∠BCD.

【解】 设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船, 则有 CD=10 3t, BD= 10t, 在△ ABC 中, ∵ AB= 3- 1, AC=2,∠ BAC= 120° , ∴由余弦定理,得 2 2 2 BC = AB + AC - 2AB· AC· cos∠ BAC = ( 3- 1)2+22- 2· ( 3- 1)· 2· cos120° = 6. ∴ BC= 6, AC 2 3 2 且 sin∠ ABC= · sin∠ BAC= × = . 2 BC 6 2

∴∠ ABC= 45° ,∴ BC 与正北方向垂直. ∴∠ CBD=90° +30° = 120° . 在△ BCD 中,由正弦定理,得 BD · sin∠ CBD sin∠ BCD= CD 10tsin120° 1 = = , 2 10 3t ∴∠ BCD=30° , 即缉私船沿东偏北 30° 方向能最快追上走私船.

【名师点评】

首先应明确方位角的含义,在解

应用题时,分析题意,分清已知与所求,再根据 题意正确画出示意图,这是最关键、最重要的一 步,通过这一步可将实际问题转化成可用数学方 法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定

理“联袂”使用的优点.

方法感悟

方法技巧
1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概

念建立三角函数模型.(如例3)
2.把生活中的问题化为二维空间解决,即在一 个平面上利用三角函数求值.(如例2) 3.合理运用换元法、代入法解决实际问题.(如 例1)

失误防范 在解实际问题时,应正确理解如下角的含义. 1.方向角——从指定方向线到目标方向线的水 平角. 2.方位角——从正北方向线顺时针到目标方向 线的水平角. 3.坡度——坡面与水平面的二面角的度数. 4.仰角与俯角——与目标视线在同一铅直平面 内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水 平视线上方时称为仰角,目标视线在水平视线下 方时称为俯角.

考向瞭望?把脉高考

考情分析
从近两年的高考试题来看,利用正弦定理、余弦定 理解决与测量、几何计算有关的实际问题是高考的 热点,一般以解答题的形式考查,主要考查计算能 力和分析问题、解决实际问题的能力,常与解三角 形的知识及三角恒等变形综合考查. 预测2012年高考仍将以利用正弦、余弦定理,解决 与测量、几何计算有关的实际问题为主要考点.重 点考查应用所学知识解决实际问题的能力.

规范解答
(本题满分 12 分 )(2009 年高考福建卷 )如图 所示,某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建 一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM, 该曲线段为函数 y= Asin ωx(A>0, ω>0),x∈[0,4] 的图像,且图像的最高点为 S(3,2 3);赛道的后一 部分为折线段 MNP,为保证参赛运动员的安全, 限定∠ MNP=120° . (1)求 A, ω 的值和 M, P 两点间的距离; (2)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长?


【思路点拨】

1 (1)已知条件相当于知道了函数的 4

周期和最大值,根据三角函数的性质即可解决,在 解决了三角函数解析式的基础上相当于知道了点 M 的坐标,又已知点 P 的坐标,根据两点间的距离 公式求出 MP;(2)实际上相当于知道了三角形的一 个内角和这个角的对边,求另外两边长度之和的最 大值,即可以使用正弦定理也可以使用余弦定理.

【解】

(1)依题意,有 T 2π π A= 2 3, =3,又 T= ,∴ω= . 4 6 ω π ∴y=2 3sin x.3 分 6 2π 当 x=4 时, y=2 3sin =3, 3 ∴M(4,3),又 P(8,0),∴ MP= 4 +3 =5.5 分
2 2

(2)法一:如图所示,在△ MNP 中,∠ MNP= 120° , MP= 5. 设∠PMN= θ,则 0° <θ<60° . MP NP MN 由正弦定理得 = = , sin 120° sinθ sin? 60° - θ? 10 3 10 3 ∴ NP= sinθ, MN= sin(60° - θ).8 分 3 3

10 3 10 3 故 NP+MN= sinθ+ sin(60° - θ) 3 3 10 3 1 3 10 3 = ( sinθ+ cosθ)= sin(θ+60° ).10 分 3 2 2 3 ∵ 0° <θ<60° ,∴60° <θ+ 60° <120° , ∴当 θ=30° 时,折线段赛道 MNP 最长. 亦即,将∠PMN 设计为 30° 时,折线段赛道 MNP 最长.12 分

法二:在△ MNP 中,∠ MNP= 120° , MP= 5, 由余弦定理得 MN2+ NP2-2MN· NP · cos, MNP= MP2, 即 MN2+ NP2+ MN· NP= 25.8 分 MN+ NP 2 2 故 (MN+ NP) -25= MN· NP≤ ( ) , 10 分 2 3 10 3 2 从而 (MN+ NP) ≤ 25,即 MN+ NP≤ , 4 3 当且仅当 MN= NP 时等号成立. 亦即,设计为 MN= NP 时,折线段赛道 MNP 最 长 .12 分

【名师点评】

(1)本题以实际应用题的方式考查

了三角函数的图像与性质,正弦定理、余弦定理

在三角形问题中的应用,这道题目融入了众多的
知识点,考查的面十分广.第(2)问主要考查的是

函数思想及利用基本不等式处理问题的能力,它
能有效地区分出不同思维层次的考生,很明显, 根据余弦定理得到了关系式MN2+NP2+MN· NP =25后,选择使用基本不等式的考生具有更高的 思维水平.

(2)本题第(2)问实际就是已知三角形一个内角以 及这个角的对边,求另外两边之和的最大值,基 本的方法有三种:一种是设出三角形的一个变动 的角,根据正弦定理把两边表示出来,通过研究 三角函数的最值解决(如本题解法一);二是根据 余弦定理得到关于另外两边的一个等式后,根据 基本不等式解决(如本题解法二);三是设出两边 之和为t,用一条边和t表示另一条边,根据余弦 定理得到一个关于另一条边的一元二次方程,利 用这个方程的判别式大于或等于零,求出t的最大 值.

(3)解决最值问题一般的思路是构建函数关系,通 过研究函数的性质求最值的大小,这类问题要是 在三角形中,往往就是选取一个角作变量,建立 三角函数模型,本题第(1)问的解法就是这个技巧

的具体体现,这个技巧值得仔细体会.

名师预测 为了立一块广告牌,要制造一个三角形支架.三

角形支架的形状如图所示,要求∠ACB=60°,
BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米.为了使

广告牌稳固,要求AC的长度越短越好,求AC最
短为多少米?且当AC最短时,BC的长度为多少 米?

解:设 BC 的长度为 x(x>1)米,AC 的长度为 y 米, 则 AB 的长度为(y-0.5)米.在△ ABC 中,由余弦 定理得: AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos∠ACB,即 1 1 2 (y- 0.5) =y +x - 2yx·,化简得 y(x-1)=x - . 2 4
2 2 2

∵x>1,∴x- 1>0,

1 x- 4 3 ,因此 y= = (x-1)+ + 2≥ x-1 4? x- 1?
2

3+ 2.当

3 3 且仅当 x- 1= 时取等号,即 x=1+ 时, 2 4? x- 1? y 有最小值 2+ 3.故 AC 最短为 (2+ 3)米,此时, 3 BC 长为 (1+ )米. 2

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