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高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《3.1.2复数的几何意义》导学案


§ 3.1.2 复数的几何意义
学习目标
理解复数与复平面内的点、 平面向量是一一对应的, 能根据复数的代数形式描出其对应的点 及向量.

学习过程
一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 复习 1:复数 z ? ( x ? 4) ? ( y ? 3)i ,当 x, y 取何值时 z 为实数、虚数、纯虚数?

>复习 2:若 ( x ? 4) ? ( y ? 3)i ? 2 ? i ,试求 x, y 的值, ( ( x ? 4) ? ( y ? 3)i ? 2 呢?)

二、新课导学 学习探究 探究任务一:复平面 问题:我们知道,实数与数轴上的点一一对应,因此,实数可用数轴上的点来表示.类比实 数的几何意义,复数的几何意义是什么呢? 分析复数的代数形式,因为它是由实部 a 和虚部 b 同时确定,即有顺序的两实数,不难 想到有序实数对或点的坐标. 结论:复数与平面内的点或序实数一一对应.
新知: 1.复平面:以 x 轴为实轴, y 轴为虚轴建立直角坐标系,得到的平面叫复平面. 复数与复平面内的点一一对应.

显然,实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 1. 复数的几何意义: 一一对应 ? 复平面内的点 Z (a, b) ; 复数 z ? a ? bi ???? ??? ? 一一对应 ? 平面向量 OZ ; 复数 z ? a ? bi ???? ??? ? 一一对应 ? 平面向量 OZ . 复平面内的点 Z (a, b) ???? ?? ? 注意:人们常将复数 z ? a ? bi 说成点 Z 或向量 OZ ,规定相等的向量表示同一复数.

2. 复数的模 ??? ? 向量 OZ 的模叫做复数 z ? a ? bi 的模,记作 | z | 或 | a ? bi | .如果 b ? 0 ,那么 z ? a ? bi 是一个实 数 a ,它的模等于 | a | (就是 a 的绝对值),由模的定义知:

| z |?| a ? bi |? r ? a2 ? b2 (r ? 0, r ? R)
试试:复平面内的原点 (0, 0) 表示 ,实轴上的点 (2, 0) 表示 点 (0, ?1) 表示 ,点 (?2,3) 表示复数 反思:复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的. ,虚轴上的

典型例题 例 1 在复平面内描出复数 2 ? 3i , 8 ? 4i , 8 ? 3i , 6 , i , ?2 ? 9i , 7 i ,0 分别对应的点.

变式:说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小正方格的边长为 1).

小结: 一一对应 ? 复平面内的点 Z (a, b) . 复数 z ? a ? bi ????

a2 ? 7a ? 6 ? (a2 ? 5a ? 6)i(a ? R) ,试求实数 a 分别取什么值时,对应的点 2 a ?1 (1)在实轴上; (2)位于复平面第一象限; (3)在直线 x ? y ? 0 上; (4)在上半平面(含 实轴)
例 2 已知复数 z ?

变式:若复数 z ? (m2 ? 3m ? 4) ? (m2 ? 5m ? 6)i 表示的点(1)在虚轴上,求实数 m 的取值; (2)在右半平面呢?

??? ? 一一对应 ? 平面向量 OZ . 小结:复数 z ? a ? bi ????

动手试试 练 1. 在复平面内画出 2 ? 3i, 4 ? 2i, ?1 ? 3i, 4i, ?3 ? 0i 所对应的向量.

练 2. 在复平面内指出与复数 z1 ? 1 ? 2i , z2 ? 2 ? 3i , z3 ? 3 ? 2i , z4 ? ?2 ? i 对应的点 Z 1 , Z 2 , Z3 , Z 4 .试判断这 4 个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.

三、总结提升 学习小结 1. 复平面的定义; 2. 复数的几何意义; 3.复数的模. 知识拓展

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列命题(1)复平面内,纵坐标轴上的单位是 i (2)任何两个复数都不能比较大小(3) 任何数的平方都不小于 0(4)虚轴上的点表示的都是纯虚数(5)实数是复数(6)虚数是 复数(7)实轴上的点表示的数都是实数.其中正确的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2. 对于实数 a , b ,下列结论正确的是( ) A. a ? bi 是实数 B. a ? bi 是虚数 C. a ? bi 是复数 D. a ? bi ? 0 3. 复平面上有点 A,B 其对应的复数分别为 ?3 ? i 和 ?1 ? 3i ,O 为原点,那么是 ?AOB 是 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形

4. 若 z ? 1 ? 2i ,则 | z |? 5. 如果 P 是复平面内表示复数 a ? bi(a, b ? R) 的点,分别指出下列条件下点 P 的位置: (1) a ? 0, b ? 0 (2) a ? 0, b ? 0 (3) a ? 0, b ? 0 (4) b ? 0

课后作业
1.实数取什么值时,复平面内表示复数 z ? (m2 ? 8m ? 15) ? (m2 ? 5m ? 14)i 的点(1)位于 第四象限?(2)位于第一、三象限?(3)位于直线 y ? x 上?

??? ? 2. 在复平面内,O 是原点,向量 OA 对应的复数是 2 ? i (1)如果点 A 关于实轴的对称点为 ??? ? 点 B,求向量 OB 对应的复数.(2)如果(1)中点 B 关于虚轴的对称点为点 C,求点 C 对 应的复数.


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