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【家教资料】高中数学必修一


第二章

基本初等函数(Ⅰ)

必修 1 第二章

基本初等函数(Ⅰ)

〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
(1)根式的概念 ①如果 xn ? a, a ? R, x ? R, n ? 1 ,且 n ? N? ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时, a 的 n 次 方根用符号 n a 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号 ? n a 表示;0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根. ②式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当 n 为奇数时, a 为任意实数;当 n 为 偶数时, a ? 0 . ③根式的性质:( n a )n ? a ; 当 n 为奇数时,n an ? a ; 当 n 为偶数时,
n

(a ? 0) ?a . a n ?| a |? ? ? a ( a ? 0) ?

(2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数幂等于 0. ②正数的负分数指数幂的意义是: a
? m n

m

1 m 1 ? ( ) n ? n ( )m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的负分数指 a a

数幂没有意义.注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ① a ?a ? a
r s r ?s

(a ? 0, r, s ? R)

② (a ) ? a (a ? 0, r, s ? R)
r s rs

③ (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? R)

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第二章

基本初等函数(Ⅰ)

【2.1.2】指数函数及其性质
(4)指数函数 函数 名称 定义 指数函数 函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数

a ?1

0 ? a ?1
y ? ax
y

y

y ? ax

图象

y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

O
定义 域 值域 过定 点 奇偶 性 单调 性 函数 值的 变化 情况

1

x 0
R

O

1

x 0

(0, ??)
图象过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1 . 非奇非偶 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 变
化对 图 在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低. 象的影响

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第二章

基本初等函数(Ⅰ)

〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
(1)对数的定义 ①若 a x ? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x ? log a N ,其中 a 叫做底数, N 叫做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: x ? loga N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

(2)几个重要的对数恒等式

loga 1 ? 0 , loga a ? 1 , loga ab ? b .
(3)常用对数与自然对数 常用对数: lg N ,即 log10 N ;自然对数: ln N ,即 loge N (其中 e ? 2.71828 ?) .

(4)对数的运算性质 如果 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么 ①加法: loga M ? loga N ? loga (MN ) ②减法: log a M ? log a N ? log a

M N

③数乘: n loga M ? loga M n (n ? R) ④a
log a N

?N
n

⑤ log ab M ?

n log a M (b ? 0, n ? R) b

⑥换底公式: log a N ?

logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

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第二章

基本初等函数(Ⅰ)

【2.2.2】对数函数及其性质
(5)对数函数 函数 名称 定义 对数函数 函数 y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1

0 ? a ?1

y

x?1

y ? loga x

y

x?1

y ? loga x

图象

O

1

(1, 0)

0

x

O

(1, 0) 1 0

x

定义 域 值域 过定 点 奇偶 性 单调 性 函数 值的 变化 情况 在 (0, ??) 上是增函数

(0, ??)
R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 . 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变
化 影响 (6)反函数的概念 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子 y ? f ( x) 中解出 x ,得式子 x ? ? ( y ) .如果对于 对 图象的 在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越靠高.

y 在 C 中的任何一个值, 通过式子 x ? ? ( y ) ,x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应, 那么式子 x ? ? ( y ) 表
?1 ?1 示 x 是 y 的函数, 函数 x ? ? ( y ) 叫做函数 y ? f ( x) 的反函数, 记作 x ? f ( y) , 习惯上改写成 y ? f ( x) .

(7)反函数的求法 ①确定反函数的定义域,即原函数的值域;
?1 ②从原函数式 y ? f ( x) 中反解出 x ? f ( y) ;

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第二章

基本初等函数(Ⅰ)

③将 x ? f ?1 ( y) 改写成 y ? f ?1 ( x) ,并注明反函数的定义域. (8)反函数的性质 ①原函数 y ? f ( x) 与反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称. ②函数 y ? f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f ?1 ( x) 的值域、定义域. ③若 P (a, b) 在原函数 y ? f ( x) 的图象上,则 P' (b, a) 在反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象上. ④一般地,函数 y ? f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数.

〖2.3〗幂函数
(1)幂函数的定义 一般地,函数 y ? x? 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数. (2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布 在第一、二象限(图象关于 y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇 非偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在 [0, ??) 上为增函数.如果 ? ? 0 ,则幂函数 的图象在 (0, ??) 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与 y 轴. ④奇偶性:当 ? 为奇数时,幂函数为奇函数,当 ? 为偶数时,幂函数为偶函数.当 ? ?
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q (其中 p, q p

第二章

基本初等函数(Ⅰ)
q p q p

互质, p 和 q ? Z ) ,若 p 为奇数 q 为奇数时,则 y ? x 是奇函数,若 p 为奇数 q 为偶数时,则 y ? x 是 偶函数,若 p 为偶数 q 为奇数时,则 y ? x 是非奇非偶函数. ⑤图象特征: 幂函数 y ? x? , x ? (0, ??) , 当 ? ? 1 时, 若 0 ? x ? 1, 其图象在直线 y ? x 下方, 若 x ?1, 其图象在直线 y ? x 上方, 当 ? ? 1 时, 若 0 ? x ? 1, 其图象在直线 y ? x 上方, 若 x ?1, 其图象在直线 y ? x 下方.
q p

〖补充知识〗二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ③两根式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) (2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 f ( x ) 更方便. (3)二次函数图象的性质 ①二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x ? ?
2

②顶点式: f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0)

b , 顶点坐标是 2a

(?

b 4ac ? b2 , ). 2a 4a
②当 a ? 0 时,抛物线开口向上,函数在 ( ??, ?

b b b ] 上递减,在 [? , ??) 上递增,当 x ? ? 时, 2a 2a 2a

f min ( x) ?

b b 4ac ? b2 ] 上递增,在 [? , ??) 上递减, ;当 a ? 0 时,抛物线开口向下,函数在 ( ??, ? 2a 2a 4a

当x??

b 4ac ? b2 时, f max ( x) ? . 2a 4a
2

2 ③二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴有两个交点

M1 ( x1 ,0), M 2 ( x2 ,0),| M1M 2 |?| x1 ? x2 |?
2

? . |a|

(4)二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 [ p, q ] 上的最值 设 f ( x ) 在区间 [ p, q ] 上的最大值为 M ,最小值为 m ,令 x0 ? (Ⅰ)当 a ? 0 时(开口向上)
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1 ( p ? q) . 2

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

最小值
① 若?

b ? p ,则 m ? f ( p) 2a
a?0

②若 p ? ?

b b ? q ,则 m ? f (? ) 2a 2a
a?0

yx ? ? b f (q) p

y

2a

x??

f (p) p
O
f (? b ) 2a

b 2a

f (q) q
x

q x O b f m ? f ( q) ? q ,则 ③若 ? 2 a (p) b f (? )
2a

a?0

y

x??

f (p) p (q)
O

b 2a

q
x
b ) 2a

f f (?

最大值
① 若?

b ? x0 ,则 M ? f (q) 2a

②?

b ? x0 ,则 M ? f ( p) 2a
a?0

a?0

yx ? ? b f

y

2a

x??

f q
x

b 2a

x(q) 0 p
O

(p) x0 p (q)

q
O

x
b ) 2a

f
b f ((p) ? ) 2a

f f (?

(Ⅱ)当 a ? 0 时(开口向下)

最大值
①若 ?

b ? p ,则 M ? f ( p) 2a

②若 p ? ?

b b ? q ,则 M ? f (? ) 2a 2a

a?0

f (?

yb
2a

)

a?0

f (?

yb
2a

)

f (p)
O

第 7 页 共 f 17 页

q p
b

(p)
x
O

q p
b

x

f

f

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

③若 ?

b ? q ,则 M ? f (q) 2a

a?0

f (?

yb f 2a )

(q) p
O

q
x?? b 2a

x

f (p)

最小值
①若 ?

b ? x0 ,则 m ? f (q) 2a
a?0

②?

b ? x0 ,则 m ? f ( p) . 2a
a?0

f (?

yb
2a

)

f (?

f (p)

yb f 2a )

(q)

x0 O p
b x ? ?(q) 2a

q
x

x0 p
O

q
x?? b 2a

x

f (p)

f

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ·~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

第1讲 § 2.1.1 指数与指数幂的运算
¤学习目标:理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握根式与分数指数幂的互化, 掌握有理数指数幂的运算. ¤知识要点: 1. 若 xn ? a ,则 x 叫做 a 的 n 次方根,记为 n a ,其中 n>1,且 n ? N ? . n 次方根具有如下性质: (1)在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数;正数的偶次方根是两个绝对 值相等、符号相反的数,负数的偶次方根没有意义;零的任何次方根都是零. (2)n 次方根( n ? 1, 且n ? N * )有如下恒等式:
np ?a, n为奇数 ; amp ? n am , (a ? 0). ( n a )n ? a ; n a n ? ? ?| a |, n为偶数
n m 2. 规定正数的分数指数幂: a n ? a ( a ? 0, m, n ? N ? , 且n ? 1 ) ; a m

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

am

.

¤例题精讲: 【例 1】求下列各式的值:
n (1) n ( n ? 1, 且n ? N * ) ; (3 ? ?)

(2) ( x ? y)2 .

n 解: (1)当 n 为奇数时, n (3 ? ?) ? 3?? ;

n 当 n 为偶数时, n (3 ? ?) ?| 3 ? ? |? ? ? 3 .

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第二章

基本初等函数(Ⅰ)

(2) ( x ? y)2 ?| x ? y | . 当 x ? y 时, ( x ? y)2 ? x ? y ;当 x ? y 时, ( x ? y)2 ? y ? x . 【例 2】已知 a 2n ? 2 ? 1 ,求 解:

a 3n ? a ?3n an ? a?n

a3n ? a ?3n 的值. an ? a?n (a n ? a ? n )(a 2 n ? 1 ? a ?2 n ) 1 ? ? a 2 n ? 1 ? a ?2 n ? 2 ? 1 ? 1 ? ? 2 2 ?1. an ? a?n 2 ?1
2 1 1 1 1 5

【例 3】化简: (1) (2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 ) ; (2)

a 3b 2 3 ab 2 (a 4 b 2 )4 ? 3
1 1

b a

(a>0,b>0) ;

(3) 81? 9 3 .

4

2

解: (1)原式= [2 ? (?6) ? (?3)]a 3 (2)原式=

2 1 1 ? ? 2 6

b2
1

1 1 5 ? ? 3 6

? 4ab0 ? 4a .
4

a 2 b ? [(ab2 ) 3 ]2 ab2 ? (b / a)
4

3

1 1

1 3

=

a 2 b ? a 6 b3 a b
4

3

1

10

2 3

7 3

=

a 6 b3 a b
4

2 3

7 3

=

a . b
2
2 1 1 2 1 1

(3)原式= 34 ? [(3 ) ] ? 34 ? 3 ? 34 ? 33 ? (34 ? 33 ) 4 ? (34 ) 4 ? (33 ) 4 ? 3 ? 36 ? 3 6 3 . 点评:根式化分数指数幂时,切记不能混淆,注意将根指数化为分母,幂指数化为分子,根号的嵌套,化为 幂的幂. 正确转化和运用幂的运算性质,是复杂根式化简的关键. 【例 4】化简与求值: 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? (1) 6 ? 4 2 ? 6 ? 4 2 ; (2) . 1? 3 3? 5 5? 7 2n ? 1 ? 2n ? 1
2 2 2 2 解: (1)原式= 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ( 2) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ( 2)

2 1 2 3 2

2 1 ?2? 3 2

= (2 ? 2)2 ? (2 ? 2)2 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 =4.

3 ?1 5? 3 7? 5 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? ? ? ??? ? 3 ?1 5?3 7?5 (2n ? 1) ? (2n ? 1) 1 1 = ( 3 ? 1 ? 5 ? 3 ? 7 ? 5 ? ??? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1) = ( 2n ? 1 ? 1) . 2 2 2 A ? B 点评:形如 A ? B 的双重根式,当 是一个平方数时,则能通过配方法去掉双重根号,这也是双重根 号能否开方的判别技巧. 而分母有理化中, 常常用到的是平方差公式, 第 2 小题也体现了一种消去法的思想. 第 (1) 小题还可用平方法,即先算得原式的平方,再开方而得.
(2)原式=

第2讲 § 2.1.2 指数函数及其性质(一)
¤学习目标:理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像,探索并理解指 数函数的单调性与特殊点,掌握指数函数的性质. ¤知识要点: 1. 定义:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数(exponential function) ,其中 x 是自变量,函数的 定义域为 R. 2. 以函数 y ? 2 x 与 y ? ( ) x 的图象为例,观察这一对函数的图象,可总结出如下 性质: 定义域为 R, 值域为 (0, ??) ; 当 x ? 0 时,y ? 1 , 即图象过定点 (0,1) ; 当0 ? a ?1 时,在 R 上是减函数,当 a ? 1 时,在 R 上是增函数. ¤例题精讲: 【例 1】求下列函数的定义域: (1) y ? 2 3? x ;
1 1

1 2

(2 ) y ? ( )

1 3

5? x



(3) y ?

10x ? 100 . 10x ? 100
∴ 其定义域为 {x | x ? 3} .

解: (1)要使 y ? 2 3? x 有意义,其中自变量 x 需满足 3 ? x ? 0 ,即 x ? 3 .
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第二章

基本初等函数(Ⅰ)

1 5? x 有意义,其中自变量 x 需满足 5 ? x ? 0 ,即 x ? 5 . ∴ 其定义域为 {x | x ? 5} . 3 10x ? 100 (3)要使 y ? x 有意义,其中自变量 x 需满足 10 x ? 100 ? 0 ,即 x ? 2 . ∴其定义域为 {x | x ? 2} . 10 ? 100
(2)要使 y ? ( ) 【例 2】求下列函数的值域:

1 (1) y ? ( ) 3 x ?1 ; 3
解: (1)观察易知

2

(2 ) y ? 4 x ? 2 x ? 1

1 2 1 2 ? 0 , 则有 y ? ( ) 3 x ?1 ? ( )0 ? 1 . 3 3 3x ? 1

∴ 原函数的值域为 { y | y ? 0, 且y ? 1} .

(2) y ? 4x ? 2x ? 1 ? (2x )2 ? 2x ? 1 .

令 t ? 2 x ,易知 t ? 0 . 则 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? )2 ?

1 2

3 . 4

结合二次函数的图象,由其对称轴观察得到 y ? (t ? )2 ? 所以 y ? (t ? )2 ?

1 2

3 在 t ? 0 上为增函数, 4

3 1 3 ? (0 ? )2 ? ? 1 . ∴ 原函数的值域为 { y | y ? 1} . 4 2 4 【例 3】 (05 年福建卷.理 5 文 6) 函数 f ( x) ? a x ?b 的图象如图, 其中 a、 b 为常数, 则下列结论正确的是 ( ) . A. a ? 1, b ? 0 B. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0 解:从曲线的变化趋势,可以得到函数 f ( x) 为减函数,从而 0<a<1;从曲 线 位
即 得 到 x=1

1 2

置看,是由函数 y ? a x (0 ? a ? 1) 的图象向左平移 |-b|个单位而得,所以-b>0 , b<0. 所以选 D. 点评:观察图象变化趋势,得到函数的单调性,结合指数函数的单调性, 参数 a 的范围. 根据所给函数式的平移变换规律, 得到参数 b 的范围. 也可以取 ?b 0 时的特殊点,得到 a ? 1 ? a ,从而 b<0. 【例 4】已知函数 f ( x) ? a2?3 x (a ? 0, 且a ? 1) . (1)求该函数的图象恒过的定点坐标; (2)指出该函数的单调性.

2 时, a 2?3 x ? a 0 ? 1 . 3 2 所以,该函数的图象恒过定点 ( ,1) . 3
解: (1)当 2 ? 3 x ? 0 ,即 x ?

(2)∵ u ? 2 ? 3 x 是减函数, ∴ 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 R 上是增函数;当 a ? 1 时, f ( x) 在 R 上是减函数. 点评:底数两种情况的辨析,实质就是分类讨论思想的运用. 而含参指数型函数的研究,要求正确处理与参数 相关的变与不变.

第3讲 § 2.1.2 指数函数及其性质(二)
¤学习目标: 在解决简单实际问题的过程中, 体会指数函数是一类重要的函数模型. 指数函数的性质及应用. ¤知识要点: 以函数 y ? 2 x 与 y ? ( ) x 的图象为例,得出这以下结论: (1)函数 y ? f ( x) 的图象与 y ? f (? x) 的图象关于 y 轴对称. (2)指数函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的图象在第一象限内,图象由下至上,底数由小到大. ¤例题精讲: 【例 1】按从小到大的顺序排列下列各数: 3 2 , 0.3 2 , 2
2

掌 握

1 2

, 0.2

2

.

解:构造四个指数函数,分别为 y ? 3x , y ? 0.3x , y ? 2 x , y ? 0.2 x ,它们在第一 象限内,图象由下至上,依次是 y ? 0.2 x , y ? 0.3x , y ? 2 x , y ? 3x . 如右图所示. 由于 x ? 2 ? 0 ,所以从小到大依次排列是:

0.2 2 , 0.3 2 , 2 2 , 3 2 .
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第二章

基本初等函数(Ⅰ)

点评:利用指数函数图象的分步规律,巧妙地解决了同指数的幂的大小比较问题. 当然,我们在后面的学习 中,可以直接利用幂函数的单调性来比较此类大小. 【例 2】已知 f ( x) ?

2x ? 1 . (1)讨论 f ( x) 的奇偶性; (2)讨论 f ( x) 的单调性. 2x ? 1

解: (1) f ( x) 的定义域为 R.

2? x ? 1 (2? x ? 1) 2 x 1 ? 2 x 2x ? 1 ? ?x ? ?? x ? ? f ( x) . ?x x x 2 ? 1 (2 ? 1) 2 1? 2 2 ?1 ∴ f ( x) 为奇函数.
∵ f (? x) ? (2)设任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 2(2 x1 ? 2 x2 ) ? ? . 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
∴ f ( x) 为增函数.

由于 x1 ? x2 ,从而 2 x1 ? 2 x2 ,即 2 x1 ? 2 x2 ? 0 . ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 点评:在这里,奇偶性与单调性的判别,都是直接利用知识的定义来解决. 需要我们理解两个定义,掌握其 运用的基本模式,并能熟练的进行代数变形,得到理想中的结果. 【例 3】求下列函数的单调区间: (1) y ? a x 解: (1)设 y ? au , u ? x2 ? 2 x ? 3 . 由 u ? x2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)2 ? 4 知, u 在 ( ??, ?1] 上为减函数,在 [ ?1, ?? ) 上为增函数. 根据 y ? au 的单调性,当 a ? 1 时,y 关于 u 为增函数;当 0 ? a ? 1 时,y 关于 u 为减函数. ∴ 当 a ? 1 时,原函数的增区间为 [ ?1, ?? ) ,减区间为 ( ??, ?1] ; 当 0 ? a ? 1 时,原函数的增区间为 ( ??, ?1] ,减区间为 [ ?1, ?? ) . (2)函数的定义域为 {x | x ? 0} . 设 y ? 而根据 y ?
2

? 2 x ?3



(2) y ?

1 . 0.2 x ? 1

1 , u ? 0.2x . 易知 u ? 0.2 x 为减函数. u ?1

1 的图象可以得到,在区间 (??,1) 与 (1, ??) 上,y 关于 u 均为减函数. u ?1 ∴在 (??,0) 上,原函数为增函数;在 (0, ??) 上,原函数也为增函数.
点评:研究形如 y ? a f ( x ) (a ? 0,且a ? 1) 的函数的单调性,可以有如下结论:当 a ? 1 时,函数 y ? a f ( x ) 的单

调 性 与 f ( x) 的 单 调 性 相 同 ; 当 0 ? a ? 1 时 , 函 数 y ? a f ( x ) 的 单 调 性 与 f ( x) 的 单 调 性 相 反 . 而 对 于 形 如

y ? ? (a x ) (a ? 0,且a ? 1) 的函数单调性的研究,也需结合 a x 的单调性及 ? (t ) 的单调性进行研究. 复合函数 y ? f (? ( x)) 的单调性研究,遵循一般步骤和结论,即:分别求出 y ? f (u ) 与 u ? ? ( x) 两个函数的单
调性,再按口诀“同增异减”得出复合后的单调性,即两个函数同为增函数或者同为减函数,则复合后结果为增 函数;若两个函数一增一减,则复合后结果为减函数. 为何有“同增异减”?我们可以抓住 “x 的变化→ u ? ? ( x) 的变化→ y ? f (u ) 的变化”这样一条思路进行分析.

第4讲 § 2.2.1 对数与对数运算(一)
¤学习目标:理解对数的概念;能够说明对数与指数的关系;掌握对数式与指数式的相互转化,并能运用指 对互化关系研究一些问题. ¤知识要点: 1. 定义: 一般地,如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数(logarithm).记作 x ? loga N , 其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数 2. 我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数(common logarithm) ,并把常用对数 log10 N 简记为 lgN
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

在科
王新敞
奎屯 新疆

学技术中常使用以无理数 e=2.71828??为底的对数, 以 e 为底的对数叫自然对数, 并把自然对数 loge N 简记作 lnN 3. 根据对数的定义,得到对数与指数间的互化关系:当 a ? 0, a ? 1 时, loga N ? b ? a ? N .
b

4. 负数与零没有对数; log a 1 ? 0 , log a a ? 1 ¤例题精讲: 【例 1】将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
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第二章

基本初等函数(Ⅰ)

1 ; (2) 3a ? 27 ; (3) 10?1 ? 0.1 ; 128 (4) log 1 32 ? ?5 ; (5) lg 0.001 ? ?3 ; (6)ln100=4.606.
(1) 2?7 ?
2

解: (1) log 2

1 ? ?7 ; 128

(2) log3 27 ? a ; (5) 10?3 ? 0.001 ;

(3) lg 0.1 ? ?1 ; (6) e4.606 ? 100 . (3) ln e .

(4) ( )?5 ? 32 ;

1 2

【例 2】计算下列各式的值: (1) lg 0.001 ; (2) log 4 8 ;
x x ?3

解: (1)设 lg 0.001 ? x ,则 10 ? 0.001 ,即 10 ? 10 ,解得 x ? ?3 . 所以, lg 0.001 ? ?3 .

3 3 . 所以, log 4 8 ? . 2 2 1 1 1 (3)设 ln e ? x ,则 e x ? e ,即 e x ? e 2 ,解得 x ? . 所以, ln e ? . 2 2 M 【例 3】求证: (1) loga an ? n ; (2) loga M ? loga N ? loga . N 证明: (1)设 loga an ? x ,则 a n ? a x ,解得 x ? n .
(2)设 log 4 8 ? x ,则 4 x ? 8 ,即 2 2 x ? 23 ,解得 x ? 所以 loga an ? n . (2)设 log a M ? p , loga N ? q ,则 a p ? M , a q ? N .

M ap M ? p ? q ? loga M ? loga N . ? ? a p ?q ,则 loga N N aq M 所以, loga M ? loga N ? loga . N
因为 点评:对数运算性质是对数运算的灵魂,其推导以对数定义得到的指对互化关系为桥梁,结合指数运算的性 质而得到. 我们需熟知各种运算性质的推导. log c b 【例 4】试推导出换底公式: log a b ? ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ). log c a 证明:设 log c b ? m , log c a ? n , log a b ? p , 则 cm ? b , c n ? a , a p ? b . 从而 (cn ) p ? b ? cm ,即 np ? m . 由于 n ? logc a ? logc 1 ? 0 ,则 p ? 所以, log a b ?

m . n

log c b . log c a

点评: 换底公式是解决对数运算中底数不相同时的核心工具. 其推导也密切联系指数运算性质, 牢牢扣住指对 互化关系.

第5讲 § 2.2.1 对数与对数运算(二)
¤学习目标:通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用;理解对数的概念及其运算性质, 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;理解推导这些运算性质的依据和过程;能较熟练地运 用运算性质解决问题. ¤知识要点: 1. 对数的运算法则: loga (M N ) ? loga M ? loga N , loga

M ? loga M ? loga N , loga M n ? n loga M ,其中 N

a ? 0, 且a ? 1 , M ? 0, N ? 0, n ? R . 三条法则是有力的解题工具,能化简与求值复杂的对数式. log b N 1 2. 对数的换底公式 log a N ? . 如果令 b=N,则得到了对数的倒数公式 log a b ? . 同样,也可以推 log b a logb a

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第二章

基本初等函数(Ⅰ)

导出一些对数恒等式,如 logan N n ? loga N , logam N n ? ¤例题精讲:

n loga N , log a b logb c logc a ? 1等. m

【例 1】化简与求值: (1) (lg 2)2 ? lg 2 lg5 ? (lg 2)2 ? lg 2 ? 1 ; (2) log2 ( 4 ? 7 ? 4 ? 7 ) .

1 2

1 1 1 1 2 2 4 2 1 2 1 1 1 = lg 2 ? lg 2 lg5 ? lg 2 ? 1 = lg 2(lg 2 ? 2lg5 ? 2) ? 1 4 2 2 4 1 = lg 2(lg100 ? 2) ? 1 ? 0 ? 1 ? 1 . 4 1 2? 1 (2)原式= log 2 ( 4 ? 7 ? 4 ? 7 ) 2 = log2 ( 4 ? 7 ? 4 ? 7 )2 2 1 1 2 = log2 (4 ? 7 ? 4 ? 7 ? 2 4 ? 7) = log2 14 . 2 2 1 1 a b 【例 2】若 2 ? 5 ? 10 ,则 ? = . (教材 P83 B 组 2 题) a b
解:由 2a ? 5b ? 10 ,得 a ? log 2 10 , b ? log5 10 . 则

解: (1)原式= ( lg 2)2 ? lg 2 lg5 ? (lg 2 ? 1)2 = lg2 2 ? lg 2 lg5 ? (lg 2 ? 1)

1 1 1 1 ? ? ? ? lg 2 ? g 5 ? lg10 ? 1 . a b log 2 10 log 5 10
【例 3】 (1)方程 lg x ? lg( x ? 3) ? 1 的解 x=________; (2)设 x1 , x2 是方程 lg2 x ? a lg x ? b ? 0 的两个根,则 x1 x2 的值是 解: (1)由 lg x ? lg( x ? 3) ? 1 ,得 lg[ x( x ? 3)] ? lg10 , 即 x( x ? 3) ? 10 ,整理为 x 2 ? 3x ? 10 ? 0 . 解得 x=-5 或 x=2. ∵ x>0, ∴ x=2. (2)设 lg x ? t ,则原方程化为 t 2 ? at ? b ? 0 ,其两根为 t1 ? lg x1 , t2 ? lg x2 . 由 t1 ? t2 ? lg x1 ? lg x2 ? lg( x1 x2 ) ? b ? lg10b ,得到 x1 x2 ? 10b . 点评: 同底法是解简单对数方程的法宝, 化同底的过程中需要结合对数的运算性质. 第 2 小题巧妙利用了换元 思想和一元二次方程根与系数的关系. 1 1 1 ? ? 【例 4】 (1)化简: ; log 5 7 log 3 7 log 2 7 (2)设 log2 3 log3 4 log 4 5 ??? log 2005 2006 log 2006 m ? 4 ,求实数 m 的值. 解: (1)原式= log7 5 ? log7 3 ? log7 2 ? log7 (5 ? 3 ? 2) ? log7 30 . (2)原式左边= log 2 3 .

log 2 4 log 2 5 log 2 2006 log 2 m ??? ? log 2 m , log 2 3 log 2 4 log 2 2005 log 2 2006
解得 m ? 16 .

∴ log2 m ? 4 ? log2 24 ,

点评:换底时,一般情况下可以换为任意的底数,但习惯于化为常用对数. 换底之后,注意结合对数的运算性 质完成后阶段的运算.

第6讲 § 2.2.2 对数函数及其性质(一)
¤学习目标:通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对 数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像,探索并了解对数函数的单调性 与特殊点. ¤知识要点: 1. 定义:一般地,当 a>0 且 a≠1 时,函数 y=log a x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是 x; 函数 的定义域是(0,+∞).
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第二章

基本初等函数(Ⅰ)

2. 由 y ? log 2 x 与 y ? log 1 x 的图象,可以归纳出对数函数的性质:定义域为 (0, ??) ,值域为 R;当 x ? 1 时,
2

y ? 0 ,即图象过定点 (1,0) ;当 0 ? a ? 1 时,在 (0, ??) 上递减,当 a ? 1 时,在 (0, ??) 上递增. ¤例题精讲: 1 【例 1】比较大小: (1) log0.9 0.8 , log0.9 0.7 , log0.8 0.9 ; (2) log 3 2 , log 2 3 , log 4 . 3 解: (1)∵ y ? log0.9 x 在 (0, ??) 上是减函数,且 0.9 ? 0.8 ? 0.7 , ∴ 1 ? log0.9 0.8 ? log0.9 0.7 .
又 log0.8 0.9 ? log0.8 0.8 ? 1 , 又 log 2 3 ? log 2 2 ? 1 , log4 所以 log4 所以 log0.8 0.9 ? log0.9 0.8 ? log0.9 0.7 . (2)由 log3 1 ? log3 2 ? log3 3 ,得 0 ? log3 2 ? 1 .

1 ? log4 1 ? 0 , 3

1 ? log3 2 ? log2 3 . 3

【例 2】求下列函数的定义域: (1) y ? log2 (3x ? 5) ; (2) y ? log0.5 (4x) ? 3 . 解: (1)由 log 2 (3x ? 5) ? 0 ? log 2 1 ,得 3 x ? 5 ? 1 ,解得 x ? 2 . 所以原函数的定义域为 [2, ??) . (2)由 log0.5 (4 x) ? 3 ? 0 ,即 log0.5 (4 x) ? 3 ? log0.5 0.53 ,

1 1 . 所以,原函数的定义域为 (0, ] . 32 32 【例 3】已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 3) 的区间 [?2, ?1] 上总有 | f ( x) |? 2 ,求实数 a 的取值范围. 解:∵ x ? [?2, ?1] , ∴ 1? x ? 3 ? 2
所以 0 ? 4 x ? 0.53 ,解得 0 ? x ? 当 a ? 1 时, loga 1 ? loga ( x ? 3) ? log a 2 ,即 0 ? f ( x) ? log a 2 . ∵ | f ( x) |? 2 , ∴

?

a ?1 , 解得 a ? 2 . loga 2 ? 2

当 0 ? a ? 1 时, loga 2 ? loga ( x ? 3) ? loga 1 ,即 log a 2 ? f ( x) ? 0 . ∵ | f ( x) |? 2 , ∴

?

2 0 ? a ?1 , 解得 0 ? a ? . log a 2 ? ?2 2

2 ) ( 2, ??) . 2 点评:先对底数 a 分两种情况讨论,再利用函数的单调性及已知条件,列出关于参数 a 的不等式组,解不等 式(组)而得到参数的范围. 解决此类问题的关键是合理转化与分类讨论,不等式法求参数范围. 【例 4】求不等式 loga (2 x ? 7) ? log a (4 x ? 1) (a ? 0, 且a ? 1) 中 x 的取值范围.
综上可得,实数 a 的取值范围是 (0,

? ?2 x ? 7 ? 4 x ? 1 2x ? 7 ? 0 ? ? 当 0 ? a ? 1 时,原不等式化为 ? 4 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 4 . 2 x ? 7 ? 4 x ? 1 ? ? 1 所以,当 a ? 1 时,x 的取值范围为 ( , 4) ;当 0 ? a ? 1 时,x 的取值范围为 (4, ??) . 4 点评:结合单调性,将对数不等式转化为熟悉的不等式组,注意对数式有意义时真数大于 0 的要求. 当底数 a 不确定时,需要对底数 a 分两种情况进行讨论.

解:当 a ? 1 时,原不等式化为 ? 4 x ? 1 ? 0

2x ? 7 ? 0 ? ?

,解得

1 ? x ? 4. 4

第7讲 § 2.2.2 对数函数及其性质(二)
¤学习目标:掌握对数函数的性质,并能应用对数函数解决实际中的问题 . 知道指数函数 y=ax 与对数函数 y=loga x 互为反函数. (a > 0, a≠1) ¤知识要点: 1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量 , 而把这个函数的自变量新
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第二章

基本初等函数(Ⅰ)

的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数(inverse function). 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y ? x 对 称. 2. 函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 与对数函数 y ? loga x (a ? 0, a ? 1) 互为反函数. 3. 复合函数 y ? f (? ( x)) 的单调性研究,口诀是“同增异减” ,即两个函数同增或同减,复合后结果为增函数; 若两个函数一增一减,则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是: (i)求定义域; (ii)拆分函数; (iii)分别求 y ? f (u ), u ? ? ( x) 的单调性; (iv)按“同增异减”得出复合函数的单调性. ¤例题精讲: 【例 1】讨论函数 y ? log0.3 (3 ? 2 x) 的单调性.

3 3 . 设 t ? 3 ? 2 x, x ? (??, ) ,易知为减函数. 2 2 3 又∵ 函数 y ? log0.3 t 是减函数,故函数 y ? log0.3 (3 ? 2 x) 在 (??, ) 上单调递增. 2
解:先求定义域,由 3 ? 2 x ? 0 , 解得 x ? 【例 2】 (05 年山东卷.文 2)下列大小关系正确的是( A. 0.43 ? 30.4 ? log 4 0.3 B. 0.43 ? log4 0.3 ? 30.4 C. log4 0.3 ? 0.43 ? 30.4 D. log4 0.3 ? 30.4 ? 0.43 变量 x ).

解:在同一坐标系中分别画出 y ? 0.4x , y ? 3x , y ? log4 x 的图象,分别作出当自 取 3,0.4,0.3 时的函数值. 观察图象容易得到: log4 0.3 ? 0.43 ? 30.4 . 故选 C. 【例 3】指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图象与对数函数 y ? loga x (a ? 0, a ? 1) 的图象有何关系? 解:在指数函数 y ? a x 的图象上任取一点 M ( x0 , y0 ) ,则 y0 ? a x0 . 由指对互化关系,有 log a y0 ? x0 . 所以,点 M '( y0 , x0 ) 在对数函数 y ? log a x 的图象上. 因为点 M ( x0 , y0 ) 与点 M '( y0 , x0 ) 关于直线 y ? x 对称, 所以指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图象与对数函数 y ? loga x (a ? 0, a ? 1) 的图象关于直线 y ? x 对称.

点评:两个函数的对称性,由任意点的对称而推证出来. 这种对称性实质是反函数的图象特征,即函数 y ? a x 与 y ? loga x (a ? 0, a ? 1) 互为反函数,而互为反函数的两个函数图象关于直线 y ? x 对称. 【例 4】2005 年 10 月 12 日,我国成功发射了“神州”六号载人飞船,这标志着中国人民又迈出了具有历史 意义的一步.已知火箭的起飞重量 M 是箭体(包括搭载的飞行器)的重量 m 和燃料重量 x 之和.在不考虑空气阻力 的条件下,假设火箭的最大速度 y 关于 x 的函数关系式为: y ? k[ln(m ? x) ? ln( 2m)] ? 4ln 2 (其中k ? 0) . 当燃料 重量为 ( e ? 1)m 吨(e 为自然对数的底数, e ? 2.72 )时,该火箭的最大速度为 4(km/s). (1)求火箭的最大速度 y(km / s) 与燃料重量 x 吨之间的函数关系式 y ? f ( x) ; (2)已知该火箭的起飞重量是 544 吨,是应装载多少吨燃料,才能使该火箭的最大飞行速度达到 8km/s,顺 利地把飞船发送到预定的轨道? 解: (1)依题意把 x ? ( e ? 1)m, y ? 4 代入函数关系式 y ? k[ln(m ? x) ? ln( 2m)] ? 4ln 2 ,解得 k ? 8 . 所以所求的函数关系式为 y ? 8[ln(m ? x ) ? ln( 2m )] ? 4ln 2, 整理得 y ? ln( (2)设应装载 x 吨燃料方能满足题意,此时, m ? 544 ? x, y ? 8 代入函数关系式 y ? ln(

m? x 8 ). m

m? x 8 544 ) , 得 ln ? 1, 解得x ? 344 (吨). m 544 ? x

所以,应装载 344 吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道. 点评:直接给定参数待定的函数模型时,由待定系数法的思想,代入已知的数据得到相关的方程而求得待定 系数. 一般求出函数模型后,还利用模型来研究一些其它问题. 代入法、方程思想、对数运算,是解答此类问题的 方法精髓.

第8讲 § 2.3 幂函数
¤学习目标:通过实例,了解幂函数的概念;结合函数 y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的图像,了解它们的变化
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第二章

基本初等函数(Ⅰ)

情况. 知识要点: 1. 幂函数的基本形式是 y ? x? ,其中 x 是自变量, ? 是常数. 要求掌握 y ? x ,

y ? x 2 , y ? x 3 , y ? x1/ 2 , y ? x?1 这五个常用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性,总结如下: (1)当 ? ? 0 时,图象过定点 (0, 0), (1,1) ; 在 (0, ??) 上是增函数.(2)当 ? ? 0 时,图象过定点 (1,1) ;在 (0, ??) 上是减函数;
在第一象限内,图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. 3. 幂函数 y ? x? 的图象,在第一象限内,直线 x ? 1 的右侧,图象由下至上, 指数 ? 由小到大. y 轴和直线 x ? 1 之间,图象由上至下,指数 ? 由小到大. ¤例题精讲: 【例 1】已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (27,3) ,试讨论其单调性. 解:设 y ? x? ,代入点 (27,3) ,得 3 ? 27? ,解得 ? ? 所以 y ? x 3 ,在 R 上单调递增. 【例 2】已知幂函数 y ? xm?6 (m ? Z ) 与 y ? x2?m (m ? Z ) 的图象都与 x 、 y 轴都没有公共点,且
1

1 , 3

y ? xm?2 (m ? Z ) 的图象关于 y 轴对称,求 m 的值.
解:∵ 幂函数图象与 x 、 y 轴都没有公共点,∴ 又 ∵ y ? xm?2 (m ? Z ) 的图象关于 y 轴对称, ∴
m n

?6?0 ?m 2?m?0

,解得 2 ? m ? 6 .

m ? 2 为偶数,即得 m ? 4 .

【例 3】幂函数 y ? x 与 y ? x 在第一象限内的图象如图所示,则( ). A. ? 1 ? n ? 0 ? m ? 1 B. n ? ?1, 0 ? m ? 1 C. ?1 ? n ? 0, m ? 1 D. n ? ?1, m ? 1 解:由幂函数图象在第一象限内的分布规律,观察第一象限内直线 x ? 1 侧,图象由下至上,依次是 y ? x , y ? x , y ? x , y ? x , y ? x ,所 n ? ?1 ? ? 0m ? . 选 1 B. 点评:观察第一象限内直线 x ? 1 的右侧,结合所记忆的分布规律. 注意
n 0 m 1 ?1

的 右 以 有 比 较

两个隐含的图象 y ? x 与 y ? x .
1 0

【例 4】本市某区大力开展民心工程,近几年来对全区 a m2 的老房子进行平改坡( “平改坡”是指在建筑结构 许可条件下,将多层住宅平屋面改建成坡屋顶,并对外墙面进行整修粉饰,达到改善住宅性能和建筑物外观视觉 效果的房屋修缮行为) ,且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时,所用时间需 10 年. 已知到今年 为止,平改坡剩余面积为原来的

2 . 2 (1)求每年平改坡的百分比; (2)问到今年为止,该平改坡工程已进行了多少年? a (3)若通过技术创新,至少保留 m2 的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年? 4 解: (1)设每年平改坡的百分比为 x (0 ? x ? 1) ,则 1 1 1 1 1 a (1 ? x)10 ? a ,即 1 ? x ? ( )10 ,解得 x ? 1 ? ( )10 ? 0.0670 ? 6.70? . 2 2 2 2 1 n 1 1 a ,即 ( )10 ? ( ) 2 ,解得 n=5. (2)设到今年为止,该工程已经进行了 n 年,则 a (1 ? x) n ? 2 2 2
所以,到今年为止,该工程已经进行了 5 年. (3)设今后最多还需平改坡 m 年,则 a (1 ? x)m?5 ?

1 m?5 1 1 a ,即 ( ) 10 ? ( ) 2 ,解得 m=15. 2 2 4

所以,今后最多还需平改坡 15 年. 点评:以房屋改造为背景,从中抽象出函数模型,结合两组改造数据及要求,通过三个等式求得具有实际意 义的底数或指数. 体现了代入法、方程思想等数学方法的运用.
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第二章

基本初等函数(Ⅰ)

第 9 讲 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 复习
¤学习目标: 理解掌握指数函数、 对数函数和幂函数的性质、 图象及运算性质. 突出联系与转化、 分类与讨论、 数与形结合等重要的数学思想、能力. 通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究,加深对函数概念的理解. ¤例题精讲: 【例 1】若 f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1) ,则 f ( 证明:

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . )? 2 2

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 a x1 ? a x2 a x1 ? a x2 ? 2 a x1 a x2 ( a x1 ? a x2 )2 ? f( 1 )? ?a 2 ? ? ?0. 2 2 2 2 2 x ?x2 f ( x 1)? f x ( 2) ∴ f( 1 . (注:此性质为函数的凹凸性) )? 2 2 bx 【例 2】已知函数 f ( x) ? 2 (b ? 0, a ? 0) . ax ? 1 1 1 (1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)若 f (1) ? , log3 (4a ? b) ? log2 4 ,求 a,b 的值. 2 2 ?bx 解: (1) f ( x) 定义域为 R, f (? x) ? 2 ? ? f ( x) ,故 f ( x) 是奇函数. ax ? 1 b 1 (2)由 f (1) ? ? ,则 a ? 2b ? 1 ? 0 .又 log3(4a-b)=1,即 4a-b=3. a ?1 2 a ? 2b ? 1 ? 0 由 得 a=1,b=1. 4a ? b ? 3

?

ex a ? 是 R 上的偶函数. a ex (1)求 a 的值; (2)证明 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数.
【例 3】 (01 天津卷.19)设 a>0, f ( x) ?

ex a ? 是 R 上的偶函数,∴ f ( x) ? f (? x) ? 0 . a ex 1 e x a e? x a 1 1 ∴ ? x? ? ? x ? 0 ? ( ? a)ex ? (a ? )e? x ? 0 ? ( ? a)(e x ? e? x ) ? 0 . a a e a e a a 1 ex-e-x 不可能恒为“0” , ∴ 当 -a=0 时等式恒成立, ∴a=1. a (2)在 (0, ??) 上任取 x1<x2,
解: (1)∵ f ( x) ?

e x1 1 1 1 1 ? ? e x2 ? x2 ? (e x1 ? e x2 ) ? ( x1 ) ? (e x1 ? e x2 )(1 ? x x ) a e x1 e e ? e x2 e 1e 2 (e x1 ? e x2 )(e x1 e x2 ? 1) ∵ e>1,x1<x2, ∴ e x1 ? e x2 ? 1 , ∴ e x1 e x2 >1, <0, e x1 e x2 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , ∴ f ( x) 是在 (0, ??) 上的增函数. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
点评:本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识.此题中的函数,也可以看成指数函数 y ? a x 与

y?

x a x a ? 的复合,可以进一步变式探讨 y ? ? 的单调性. a x a x

【例 4】已知 1992 年底世界人口达到 54.8 亿. (1)若人口的平均增长率为 1.2%,写出经过 t 年后的世界人口数 y(亿)与 t 的函数解析式; (2)若人口的平均增长率为 x%,写出 2010 年底世界人口数为 y(亿)与 x 的函数解析式. 如果要使 2010 年 的人口数不超过 66.8 亿,试求人口的年平均增长率应控制在多少以内? * y ? 5 4 .? 8 ? (1 ? 1 .t 2 ? ) ?5 4 . 8t t 1? .0 N1 解: (1)经过 t 年后的世界人口数为 .2 , (2)2010 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解析式为 y ? 54.8 ? (1 ? x?)18 . 由 y ? 54.8 ? (1 ? x?)18 ? 66.8, 解得 x ? 100 ? (18 所以,人口的年平均增长率应控制在 1.1%以内.
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66.8 ? 1) ? 1.1 . 54.8


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