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【高中数学】不等式的证明方法之一比较法教案(无答案)新人教A版选修4-5


江西省九江市实验中学高中数学 不等式的证明方法之一 比较法 (无 答案)新人教 A 版选修 4-5 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可,即利用不等式的性质: a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 二、典型例题: 例 1、设 a ? b ,求证: a ? 3b ? 2b(a ? b) 。 2 2 例 2、若实数 x ? 1 ,求证: 3(1 ? x ? x ) ? (1 ? x ? x ) . 2 4 2 2 证明:采用差值比较法: 3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2 = 3 ? 3 x ? 3x ? 1 ? x ? x ? 2 x ? 2 x ? 2 x 2 4 2 4 2 3 = 2( x ? x ? x ? 1) 4 3 = 2( x ? 1) ( x ? x ? 1) 2 2 1 3 2( x ? 1) 2 [( x ? ) 2 ? ]. 2 4 = 1 3 ? x ? 1, 从而 ( x ? 1) 2 ? 0, 且( x ? ) 2 ? ? 0, 2 4 ∴ ∴ 1 3 2( x ? 1) 2 [( x ? ) 2 ? ] ? 0, 2 4 3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2 . 讨论: 若题设中去掉 x ? 1 这一限制条件,要求证的结论如 何变换? a b b a 例 3、已知 a, b ? R , 求证 a b ? a b . ? 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进 行。 证明:1) 差值比较法:注意到要证的不等式关于 a , b 对称,不妨设 a ? b ? 0. ?a ? b ? 0 ? a a b b ? a b b a ? a b b b (a a ?b ? b a ?b ) ? 0 ,从而原不等式得证。 2)商值比较法:设 a ? b ? 0, ? a a abb a ? 1, a ? b ? 0, ? b a ? ( ) a ?b ? 1. b b a b 故原不等式得证。 注:比较法是证 明不等式的一种最基本、最重要 的方法。用比较法证明不等式的步骤是: 作差(或作商) 、变形、判断符号。 例 4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度 m 行走,另一半 时间以速度 n 行走;乙有一半路程以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走。如果 m ? n , 问甲、乙两人谁先到达指定地点。 分析:设从出发地点至指定地点的路程是 S ,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为 t1 , t 2 。要回答题目中的问题,只要比较 t1 , t 2 的大小就可以了。 解:设从出发地点至指定地点的路程是 S ,甲、乙两人 走完 这段路程所用的时间分别为 t1 t 2S S S S ( m ? n) t1 ? ? ? t2 t2 ? m? 1 n ? S t1 , t 2 ,根据题意有 2 m?n, 2mn , 2 , 2m 2n ,可得 2 2 2S S ( m ? n ) ? S [ 4 m n ? ( m ? n) ] ? ? S ( m ? n ) t1 ? t 2 ? ? 2(m ? n)m n 2(m ? n)m n , m?n 2mn 从而 其中 S , m, n 都是正数,且 m ? n 。于是 t1 ? t 2 ? 0 ,即 t1 ? t 2


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