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向量数量积练习答案


向量的数量积 班级 姓名
|a| 1.已知向量 a 与向量 b 的夹角为 120° ,若向量 c=a+b,且 a⊥c,则 的值为( ) |b| 1 2 3 A. B. 2 3 C.2 D. 3 1 |a| 1 解析:选 A.c· a=(a+b)· a=|a|2+a· b=|a|2+|a||b|· cos120° =|a|2- |a||b|=0,∴ = .故 2 |b|

2 选 A. → 2.(2009 年高考陕西卷)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1, 点 P 在 AM 上且满足AP= → → → → 2PM,则PA· (PB+PC)等于( ) 4 4 A.- B.- 9 3 4 4 C. D. 3 9 解析:选 A.M 是 BC 的中点,则 → → → → → → → PA· (PB+PC)=PA· 2PM=PA· AP 2→ 2 4 →2 =-(PA) =-( MA) =- . 3 9 3.(2010 年江苏四市调研)已知圆 O 的半径为 a,A,B 是其圆周上的两个三等分点, → → 则OA· AB=( ) 3 2 3 A. a B.- a2 2 2 3 2 3 C. a D.- a2 2 2 5π → → → → → → 解析: 选 B.结合图形易知两向量夹角为 , 且|OA|=a, |AB|= 3a, 故OA· AB=|OA|×|AB 6 5π 3a2 |×cos =- . 6 2 1.(2009 年高考全国卷Ⅰ)设非零向量 a、b、c 满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则〈a,b〉 =( ) A.150° B.120° C.60° D.30° 解析:选 B.∵a+b=c, ∴|c|2=|a+b|2=a2+2a· b+b2. 又|a|=|b|=|c|, ∴2a· b=-b2, 即 2|a||b|cos〈a,b〉=-|b|2. 1 ∴cos〈a,b〉=- ,∴〈a,b〉=120° . 2 2.共点力 F1(lg2,lg2),F2(lg5,lg2)作用在物体 M 上,产生位移 s=(2lg5,1),则共点 力对物体做的功 W 为( ) A.lg2 B.lg5 C.1 D.2

解析:选 D.F1 与 F2 的合力 F=(lg2+lg5,2lg2)=(1,2lg2) 又 s=(2lg5,1) 所以 W=F· s=2lg5+2lg2=2. 5 3. 已知向量 a=(1,2), b=(-2, -4), |c|= 5, 若(a+b)· c= , 则 a 与 c 的夹角为( ) 2 A.30° 或 150° B.60° 或 120° C.120° D.150° 解析:选 C.由题意容易得出向量 a、b 共线,且向量 a 与向量 a+b 的夹角为 π,可设 5 1 向量 a+b 与向量 c 的夹角为 α,则(a+b)· c=|a+b|· |c|· cosα=5cosα= ,所以 cosα= ,α 2 2 =60° ,则向量 a 与向量 c 所夹的角应为 120° .答案为 C. a· a 4.若向量 a 与 b 不共线,a· b≠0,且 c=a-( )b,则向量 a 与 c 的夹角为( ) a· b π A.0 B. 6 π π C. D. 3 2 a· a a· a 解析:选 D.∵a· c=a· [a-( )b]=a· a-( )(a· b)=0. a· b a· b ∴a⊥c,故选 D. → → → 5.设 A(a,1),B(2,b),C(4,5)为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若OA与OB在OC方 向上的投影相等,则 a 与 b 满足的关系式为( ) A.4a-5b=3 B.5a-4b=3 C.4a+5b=14 D.5a+4b=14 → → → → OA· OC OB· OC 解析:选 A.由投影计算公式可得: = , → → |OC| |OC| 即:4a+5=8+5b,即 4a-5b=3,故选 A. → → → →2 6.在△ABC 中,(BC+BA)· AC=|AC| ,则三角形 ABC 的形状一定是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 → → → →2 解析:选 C.由(BC+BA)· AC=|AC| , → → → → 得AC· (BC+BA-AC)=0, → → → → 即AC· (BC+BA+CA)=0, → → → → ∴AC· 2BA=0,∴AC⊥BA,∴∠A=90° .

4.已知平面向量 a=(2,4),b=(-1,2),若 c=a-(a· b)b,则|c|=________. 解析:由 a=(2,4),b=(-1,2),得 a· b=-2+8=6, ∴c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8), ∴|c|= 82+(-8)2=8 2. 答案:8 2

→ → → → 5.(原创题)三角形 ABC 中 AP 为 BC 边上的中线,|AB|=3,AP· BC=-2,则|AC|= ________. → → 1 → → → → 解析:AP· BC= (AB+AC)· (AC-AB) 2 1 → → = (|AC|2-|AB|2)=-2 2 → ∴|AC|= 5. 答案: 5 → → → → 7.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在 x 轴上一点 P,使AP· BP有最小值,则 P 点的 坐标是________. → → 解析:设 P(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1). → → 因此,AP· BP=(x-4)(x-2)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1. → → ∴当 x=3 时,AP· BP取得最小值 1,此时 P(3,0). 答案:(3,0) 8.关于平面向量 a,b,c,有下列三个命题: ①(a· b)c-(c· a)b=0 ②|a|-|b|<|a-b|; ③(b· c)a-(c· a)b 不与 c 垂直; ④非零向量 a 和 b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 60° . 其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号). 解析:平面向量的数量积不满足结合律,故①假;由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a -b|恰为一个三角形的三条边长,而三角形的两边之差小于第三边,故②是真命题.因为 [(b· c)a-(c· a)b]· c=(b· c)a· c-(c· a)b· c=0,所以垂直,故③假. 由|a|=|b|=|a-b|,再结合平行四边形法则可得 a 与 a+b 的夹角为 30° ,命题④错误. 答案:② 9.在长江南岸渡口处,江水以 12.5 km/h 的速度向东流,渡船的速度为 25 km/h.渡船 要垂直地渡过长江,则航向为________.

→ → → 解析:如图,渡船速度为OB,水流速度为OA,船实际垂直过江的速度为OD,依题意 → → → → 知,|OA|=12.5,|OB|=25,由于四边形 OADB 为平行四边形,则|BD|=|OA|,又 OD⊥BD, ∴在 Rt△OBD 中,∠BOD=30° , ∴航向为北偏西 30° . 答案:北偏西 30°

6.已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 120° . (1)计算|4a-2b|; (2)当 k 为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)? 1 解:由已知,a· b=4×8×(- )=-16. 2 2 2 (1)∵|4a-2b| =16a -16a· b+4b2 =16×16-16×(-16)+4×64 =3×162 ∴|4a-2b|=16 3. (2)若(a+2b)⊥(ka-b),则(a+2b)· (ka-b)=0, ∴ka2+(2k-1)a· b-2b2=0. 16k-16(2k-1)-2×64=0, ∴k=-7.

10.已知|a|= 3,|b|=2. (1)若 a 与 b 的夹角为 150° ,求|a+2b|; (2)若 a-b 与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角大小. 解:(1)∵|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4a· b+4b2 2 2 =|a| +4|a||b|cos150° +4|b| 2 =( 3) +4× 3×2×cos150° +4×22=7, ∴|a+2b|= 7. (2)∵(a-b)⊥a, ∴(a-b)· a=|a|2-a· b=0. ∴a· b=|a|2. |a|2 |a| 3 a· b ∴cos〈a,b〉= = = = . |a||b| |a||b| |b| 2 又∵0° ≤〈a,b〉≤180° , ∴〈a,b〉=30° . 11.(2009 年高考湖北卷)已知向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0). (1)求向量 b+c 的长度的最大值; π (2)设 α= ,且 a⊥(b+c),求 cosβ 的值. 4 解:(1)法一:b+c=(cosβ-1,sinβ),则 |b+c|2=(cosβ-1)2+sin2β=2(1-cosβ). ∵-1≤cosβ≤1, ∴0≤|b+c|2≤4,即 0≤|b+c|≤2. 当 cosβ=-1 时,有|b+c|=2, 所以向量 b+c 的长度的最大值为 2. 法二:∵|b|=1,|c|=1,|b+c|≤|b|+|c|=2, 当 cosβ=-1 时,有 b+c=(-2,0),即|b+c|=2. 所以向量 b+c 的长度的最大值为 2. (2)法一:由已知可得 b+c=(cosβ-1,sinβ), a· (b+c)=cosαcosβ+sinαsinβ-cosα=cos(α-β)-cosα.

∵a⊥(b+c), ∴a· (b+c)=0,即 cos(α-β)=cosα. π π π 由 α= ,得 cos( -β)=cos , 4 4 4 π π 即 β- =2kπ± (k∈Z), 4 4 π ∴β=2kπ+ 或 β=2kπ,k∈Z,于是 cosβ=0 或 cosβ=1. 2 π 2 2 法二:若 α= ,则 a=( , ). 4 2 2 又由 b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0)得 2 2 a· (b+c)=( , )· (cosβ-1,sinβ) 2 2 2 2 2 = cosβ+ sinβ- . 2 2 2 ∵a⊥(b+c),∴a· (b+c)=0,即 cosβ+sinβ=1. ∴sinβ=1-cosβ,平方后化简得 cosβ(cosβ-1)=0, 解得 cosβ=0 或 cosβ=1. 经检验,cosβ=0 或 cosβ=1 即为所求. 3A 3A 12.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 m=(cos ,sin ),n 2 2 A A =(cos ,sin ),且满足|m+n|= 3. 2 2 (1)求角 A 的大小; → → → (2)若|AC|+|AB|= 3|BC|,试判断△ABC 的形状. 解:(1)由|m+n|= 3,得 m2+n2+2m· n=3, 3A A 3A A 即 1+1+2(cos cos +sin sin )=3, 2 2 2 2 1 π ∴cosA= ,∵0<A<π,∴A= . 2 3 → → → (2)∵|AC|+|AB|= 3|BC|,∴b+c= 3a, ∴sinB+sinC= 3sinA, 2π 3 3 1 3 ∴sinB+sin( -B)= 3× ,即 sinB+ cosB= , 3 2 2 2 2 π 3 2π π π 5π ∴sin(B+ )= .∵0<B< ,∴ <B+ < , 6 2 3 6 6 6 π π 2π π π ∴B+ = 或 ,故 B= 或 . 6 3 3 6 2 π π π π 当 B= 时,C= ;当 B= 时,C= . 6 2 2 6 故△ABC 是直角三角形.


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