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2015年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题(word版)


2015 年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题 (5 月 10 日 8:30 至 11:00)

一.填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)
* * 1.若集合 A ? a a ? 5 x ? 4, x ? N , B ? b b ? 7 y ? 6, y ? N ,将 A

?

?

/>
?

?

B 中的元素从

小到大排列,则排在第 20 个的那个元素是



2 . 已 知 实 数 x , y 满 足 : ( x ? 3)3 ? 2015( x ? 3) ? (2 y ? 3)3 ? 2015(2 y ? 3) ? 0 , 则

?x

2

? 4 y2 ? 4x ?

min

?



3 . 设 线 段 BC ? ? , AB ? ? , CD ? BC , 且 CD 与 平 面 AD 的长度为 A B? B C ? CD ? 2 ,则线段 cm .

? 成 30 ? 角 , 且

4.若直线 l 与直线 x ? 3 y ? 10 ? 0 , 2 x ? y ? 8 ? 0 分别交于点 M , N ,若 MN 的中点为

P(0,1) ,则直线 l 的方程是



5.设 k , m , n 都是整数,过圆 x ? y ? (3k ? 1) 外一点 P(m ? m, n ? n) 向该圆引两
2 2 2 3 3

条 切 线 , 切 点 分 别 为 A , B , 则 直 线 AB 上 满 足 横 坐 标 与 纵 坐 标 均 为 整 数 的 点 有 个.

6. 若函数 f ( x) ? (1 ? x )( x ? ax ? b) 的图象关于直线 x ? ?2 对称, 则a ?b ?
2 2



7. (请同学们任选一题作答,若两题都做,则按上面一题正误判分) (必修 3)执行如图所示的算法,则输出的结果是 .

(必修 4)已知函数 f ( x ) ?

sin x π sin x 2 ) , 在区间 (0, ) 上是减函数,若 0 ? x ≤1 , a ? ( x 2 x


b?

sin x sin x 2 ,c ? ,则 a , b , c 的大小关系是 x x2

8 . 如 果 实 数 a , b 使 得 x ? x ? 1 是 ax2
2

2015

?1

? bx2

2015

?1

?1 的 因 式 , 则 a 的 个 位 数 字





二(本题满足 16 分) 求 x ? 3 y ? 2 的整数解.
2 2

三(本题满足 20 分) 如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上且满足 AC ? BC ,在线段 BC 上取一点 D ,使 BD ? AC ,在 AD 上取一点 E 使 ?BED ? 45? ,延长 BE 交 CA 于 F ,求证: CD ? AF .

四(本题满足 20 分) 对于任意的 △ ABC ,若其三边长为 a , b , c ,则 a , b , c 依然可以构成某三角形的 三边长,求实数 x 的取值范围.
x x x

五(本题满足 20 分) 已知全集 U ? ?1,2,

x ? A ; 集合 A 满足: (i) A ? U ; (ii)若 x ? A , 则k (iii)若 x ? ? , n? , U A,

* k≥2) ,用 fk (n) 表示满足条件的集合 A 的个数. kx ? ? U A (其中 k , n ? N ,

(1)求 f 2 (4) , f 2 (5) ; ( 2 ) 记集 合 A 中 所 有元 素的 和 记为 集 合 A 的 “和 ” ,当 n ? pk ? q ( p , q ? N ,

0 ≤ q ≤ k ? 1 )时,求所有集合 A 的“和”的和(结果用含 p , q , k 的代数式表示) .


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