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圆锥曲线基础知识点 (2)


专题:解圆锥曲线问题常用方法( 专题:解圆锥曲线问题常用方法(一)
【学习要点】 学习要点】
解圆锥曲线问题常用以下方法: 1,定义法 , (1)椭圆有两种定义.第一定义中,r1+r2=2a.第二定义中,r1=ed1 r2=ed2.

(2)双曲线有两种定义.第一定义中, r1 r2 = 2a ,当 r1>r2 时,注意 r2 的最小值为 c-a:第二定义 中,r1=ed1,r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与"点到准线距离"互相转化. (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆,双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直 接简明. 2,韦达定理法 , 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问 题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是 弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用. 3,解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方 法称为"设而不求法" .设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用"点差法" ,即设 弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 中点为 M(x0,y0),将点 A,B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生 弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的"设而不求"法,具体有: (1)

x y0 x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 与直线相交于 A,B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 0 + 2 k = 0 . 2 2 a b a b x y0 x2 y2 2 = 1(a > 0, b > 0) 与直线 l 相交于 A,B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有 0 2 k = 0 2 2 a b a b

(2)

(3)y2=2px(p>0)与直线 l 相交于 A,B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p.

【典型例题】 典型例题】
例 1,(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 ______________ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 分析: (1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 PH = PF ,因而易发现, 分析: 当 A,P,F 三点共线时,距离和最小. (2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B,Q,R 三点共线时, 距离和最小. 解: (2, 2 ) (1) 此时 AF 的方程为 y = 连 PF, A, F 三点共线时,AP + PH = AP + PF 最小, 当 P,
1

2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为
.
A Q H P F B

4 2 0 ( x 1) 3 1

即 y=2 2 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2 2 ), (注: 另一交点为( 舍去) (2) (

1 , 2 ), 它为直线 AF 与抛物线的另一交点, 2

1 ,1 ) 4

过 Q 作 QR⊥l 交于 R,当 B,Q,R 三点共线时, BQ + QF = BQ + QR 最小,此时 Q 点的纵坐标为 1,代入 y2=4x 得 x=

1 1 ,∴Q( ,1 ) 4 4

点评:这是利用定义将"点点距离"与"点线距离"互相转化的一个典型例题,请仔细体会.

x2 y2 + = 1 的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P 为椭圆上一动点. 例 2,F 是椭圆 , 4 3
(1) PA + PF 的最小值为 (2) PA + 2 PF 的最小值为 分析: 分析:PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径 PF ′ 或准线作出来考 虑问题. 解: (1)4- 5 设另一焦点为 F ′ ,则 F ′ (-1,0)连 A F ′ ,P F ′
F 0 ′ y A F P H x

PA + PF = PA + 2a PF ′ = 2a ( PF ′ PA ) ≥ 2a AF ′ = 4 5
当 P 是 F ′ A 的延长线与椭圆的交点时, PA + PF 取得最小值为 4- 5 . (2)3 作出右准线 l,作 PH⊥l 交于 H,因 a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e= ∴ PF =

1 , 2

1 PH , 即2 PF = PH 2

∴ PA + 2 PF = PA + PH 当 A,P,H 三点共线时,其和最小,最小值为

a2 xA = 4 1 = 3 c

例 3,动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方程. , 分析: :两个圆心与切点这三点 分析:作图时,要注意相切时的"图形特征" 共线(如图中的 A,M,C 共线,B,D,M 共线) .列式的主要途径是动 圆的"半径等于半径" (如图中的 MC = MD ) . 解:如图, MC = MD ,
2

y M D C 5 x

A

0B

∴ AC MA = MB DB 即6 MA = MB 2 ∴ MA + MB = 8 (*)

∴点 M 的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b2=15 轨迹方程为

x2 y2 + =1 16 15

点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,即列出

( x + 1) 2 + y 2 + ( x 1) 2 + y 2 = 4 ,再移项,平方,…相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐!
例 4,△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= ,

3 sinA,求点 A 的轨迹方程. 5

分析:由于 sinA,sinB,sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以 2R(R 为外接圆半径) 分析: ,可转化为边长 的关系. 解:sinC-sinB=

3 sinA 5 3 BC 5

2RsinC-2RsinB=

3 2RsinA 5

∴ AB AC =

即 AB AC = 6

(*)

∴点 A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) ∵2a=6,2c=10 ∴a=3, c=5, b=4 所求轨迹方程为

x2 y2 = 1 (x>3) 9 16

点评: 点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支) 例 5,定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动,AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴的最短距离. , 分析: (1)可直接利用抛物线设点,如设 A(x1,x12),B(x2,X22),又设 AB 中点为 M(x0y0)用弦长公式 分析: 及中点公式得出 y0 关于 x0 的函数表达式,再用函数思想求出最短距离. (2)M 到 x 轴的距离是一种"点线距离" ,可先考虑 M 到准线的距离,想到用定义法. 解法一: 解法一:设 A(x1,x12),B(x2,x22),AB 中点 M(x0,y0)
2 ( x1 x 2 ) 2 + ( x12 x 2 ) 2 = 9 ① 则 x + x = 2x ② 1 2 0 ③ 2 2 x1 + x 2 = 2 y 0

由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9 即[(x1+x2)2-4x1x2][1+(x1+x2)2]=9 ④
3

由②,③得 2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)][1+(2x0)2]=9 ∴ 4 y 0 4 x0 =
2

9 , 2 1 + 4 x0

2 4 y 0 = 4 x0 +

9 9 2 = (4 x 0 + 1) + 2 1 2 4 x0 4 x0 + 1
y0 ≥ 5 4

≥ 2 9 1 = 5,

当 4x02+1=3 即 x 0 = ±

2 5 2 5 时, ( y 0 ) min = 此时 M (± , ) 2 4 2 4

法二: 法二:如图, 2 MM 2 = AA2 + BB2 = AF + BF ≥ AB = 3

∴ MM 2 ≥

3 1 3 , 即 MM 1 + ≥ , 2 4 2 5 , 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值. 4
A A1 A2

y M

B

∴ MM 1 ≥

0 M1 M2

B1 B2

x

5 ∴M 到 x 轴的最短距离为 4

点评: 点评:解法一是列出方程组,利用整体消元思想消 x1,x2,从而形成 y0 关于 x0 的函数,这是一种"设 而不求"的方法.而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地将中点 M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距 离,再利用梯形的中位线,转化为 A,B 到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当 三角形"压扁"时,两边之和等于第三边)的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验 证 AB 是否能经过焦点 F,而且点 M 的坐标也不能直接得出.

x2 y2 + = 1(2 ≤ m ≤ 5) 过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线从左到右依次 例 6,已知椭圆 , m m 1
变于 A,B,C,D,设 f(m)= AB CD ,(1)求 f(m),(2)求 f(m)的最值. 分析: ,A 分析:此题初看很复杂,对 f(m)的结构不知如何运算,因 A,B 来源于"不同系统" 在准线上,B 在椭圆上,同样 C 在椭圆上,D 在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段"投影"到 x 轴上,立即可得 防
4

f (m) = ( x B x A ) 2 ( x D xC ) 2 = 2 ( x B x A ) ( x D X C )

= 2 ( x B + xC ) ( x A + x D )
y

= 2 ( xB + X C )
此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可.

C F1 0 F2

D

A

B

x

(1)椭圆 解:

x2 y2 + = 1 中,a2=m,b2=m-1,c2=1,左焦点 F1(-1,0) m m 1

则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 ∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0

设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=-

2m (2 ≤ m ≤ 5) 2m 1

f (m) = AB CD = 2 ( x B x A ) ( x D xC ) = 2 ( x1 + x 2 ) ( x A + xC ) = 2 x1 + x 2 = 2 2m 1 + 1 1 = 2 (1 + ) 2m 1 2m 1 2m 2m 1

(2) f ( m) =

2

∴当 m=5 时, f ( m) min =

10 2 9 4 2 3

当 m=2 时, f ( m) max =

点评: 点评:此题因最终需求 x B + x C ,而 BC 斜率已知为 1,故可也用"点差法"设 BC 中点为 M(x0,y0), 通过将 B,C 坐标代入作差,得

x0 y x x +1 + 0 k = 0 ,将 y0=x0+1,k=1 代入得 0 + 0 = 0 ,∴ m m 1 m m 1

x0 =

m 2m ,可见 x B + x C = 2m 1 2m 1

当 然 , 解 本 题 的 关 键 在 于 对 f ( m) = AB CD 的 认 识 , 通 过 线 段 在 x 轴 的 " 投 影 " 发 现
5

f (m) = x B + xC 是解此题的要点.

【同步练习】 同步练习】
1, 已知: 1, 2 是双曲线 F F △ABF2 的周长为( A,4a ) B,4a+m C,4a+2m D,4a-m

x2 y2 = 1 的左, 右焦点, F1 作直线交双曲线左支于点 A, 若 AB = m , 过 B, a 2 b2

2,若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,则 P 点的轨迹方程是 ( A,y2=-16x B,y2=-32x C,y2=16x D,y2=32x )

3,已知△ABC 的三边 AB,BC,AC 的长依次成等差数列,且 AB > AC ,点 B,C 的坐标分别为 (-1,0),(1,0),则顶点 A 的轨迹方程是( )

x2 y2 A, + =1 4 3 x2 y2 C, + = 1( x < 0) 4 3

x2 y2 B, + = 1( x > 0) 4 3 x2 y2 D, + = 1( x > 0且y ≠ 0) 4 3
( )

4,过原点的椭圆的一个焦点为 F(1,0),其长轴长为 4,则椭圆中心的轨迹方程是

A, ( x ) + y =
2 2

1 2

9 ( x ≠ 1) 4 9 ( x ≠ 1) 4

B, ( x +
2

1 2 9 ) + y 2 = ( x ≠ 1) 2 4 1 2 9 ) = ( x ≠ 1) 2 4

C, x + ( y ) =
2 2

1 2

D, x + ( y +

5,已知双曲线

x2 y2 = 1 上一点 M 的横坐标为 4,则点 M 到左焦点的距离是 9 16

6,抛物线 y=2x2 截一组斜率为 2 的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是 7,已知抛物线 y2=2x 的弦 AB 所在直线过定点 p(-2,0),则弦 AB 中点的轨迹方程是

8,过双曲线 x2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为 9,直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=1 的交点个数只有一个,则 k=

x2 y2 10,设点 P 是椭圆 + = 1 上的动点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,求 sin∠F1PF2 的最大值. 25 9

6

11,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,左焦点到坐标原点,右焦点,右准线的距离依次成等差 数列,若直线 l 与此椭圆相交于 A,B 两点,且 AB 中点 M 为(-2,1), AB = 4 3 ,求直线 l 的方程和椭 圆方程.

12,已知直线 l 和双曲线 求证: AB = CD .

x2 y2 = 1(a > 0, b > 0) 及其渐近线的交点从左到右依次为 A,B,C,D. a2 b2

【参考答案】 参考答案】
1,C

AF2 AF1 = 2a, BF2 BF1 = 2a ,
∴ AF2 + BF2 AB = 4a, AF2 + BF2 + AB = 4a + 2m, 选 C 2,C 点 P 到 F 与到 x+4=0 等距离,P 点轨迹为抛物线 p=8 开口向右,则方程为 y2=16x,选 C 3,D ∵ AB + AC = 2 × 2 ,且 AB > AC ∵点 A 的轨迹为椭圆在 y 轴右方的部分,又 A,B,C 三点不共线,即 y≠0,故选 D. 4,A 设中心为(x, 则另一焦点为(2x-1, y), 2y), 则原点到两焦点距离和为 4 得 1 + ∴ (x ) + y =
2 2

(2 x 1) 2 + (2 y ) 2 = 4 ,

1 2

9 4
2 2

①又 c<a,∴ ( x 1) + y < 2 ∴(x-1)2+y2<4 ②,由①,②得 x≠-1,选 A 5,

29 3
7

左准线为 x=6, x =

9 9 29 5 29 29 ,M 到左准线距离为 d = 4 ( ) = 则 M 到左焦点的距离为 ed = = 5 5 5 3 5 3

1 1 (y > ) 2 2

设弦为 AB,A(x1,y1),B(x2,y2)AB 中点为(x,y),则 y1=2x12,y2=2x22,y1-y2=2(x12-x22) ∴

y1 y 2 = 2( x1 + x 2 ) x1 x 2

∴2=22x, x =

1 2

将x =

1 1 1 1 代入 y=2x2 得 y = ,轨迹方程是 x = (y> ) 2 2 2 2

7,y2=x+2(x>2) 设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点 M(x,y),则
2 2 y12 = 2 x1 , y 2 = 2 x 2 , y12 y 2 = 2( x1 x 2 ),

y1 y 2 ( y1 + y 2 ) = 2 x1 x 2

∵ k AB = k MP =

y0 y ,∴ 2 y = 2 ,即 y2=x+2 x+2 x+2

又弦中点在已知抛物线内 P,即 y2<2x,即 x+2<2x,∴x>2 8,4

a 2 = b 2 = 4, c 2 = 8, c = 2 2 ,令 x = 2 2 代入方程得 8-y2=4
∴y2=4,y=±2,弦长为 4 9, ±

2或 ± 1

y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1)2-1=0 ∴(1-k2)x2-2kx-2=0

1 k 2 ≠ 0 ① 得 4k2+8(1-k2)=0,k= ± 2 = 0
②1-k2=0 得 k=±1 10,解:a2=25,b2=9,c2=16 设 F1,F2 为左,右焦点,则 F1(-4,0)F2(4,0) ① 设 PF1 = r1 , PF2 = r2 , ∠F1 PF2 = θ ② r1 + r2 = 2θ 则
2 2 2 r1 + r2 2r1 r2 cosθ = (2c)

y P F1 F2 x

①2-②得 2r1r2(1+cosθ)=4b2 ∴1+cosθ=

4b 2 2b 2 = 2r1r2 r1r2

∵r1+r2 ≥ 2 r1 r2 ,

∴r1r2 的最大值为 a2

∴1+cosθ的最小值为

2b 2 18 ,即 1+cosθ ≥ 2 25 a
8

cosθ ≥

7 7 π , 0 ≤ θ ≤ π arccos 则当 θ = 时,sinθ取值得最大值 1, 25 25 2

即 sin∠F1PF2 的最大值为 1. 11,设椭圆方程为

x2 y2 + = 1(a > b > 0) a 2 b2 a2 + c 成等差数列, c

由题意:C,2C, ∴ 4c = c +

a2 + c即a 2 = 2c 2 , c

∴a2=2(a2-b2),∴a2=2b2 椭圆方程为

x2 y2 + 2 = 1 ,设 A(x1,y1),B(x2,y2) 2b 2 b



x12 y2 x2 y2 + 1 = 1 ① 22 + 2 = 1 ② 2b 2 b 2 2b b2
2 2 x12 x 2 y12 y 2 + =0 2b 2 b2

①-②得



xm y + m k = 0 2 2b b2 2 + k = 0 ∴k=1 2



直线 AB 方程为 y-1=x+2 即 y=x+3, 代入椭圆方程即 x2+2y2-2b2=0 得 x2+2(x+3)2-2b2=0 ∴3x2+12x+18-2b2=0,

AB = x1 x 2 1 + 1 =

1 12 2 12(18 2b 2 ) 2 = 4 3 3

解得 b2=12, ∴椭圆方程为

x2 y2 + = 1 ,直线 l 方程为 x-y+3=0 24 12

12,证明:设 A(x1,y1),D(x2,y2),AD 中点为 M(x0,y0)直线 l 的斜率为 k,则
x12 y12 2 2 =1 ① a b 2 2 x2 y 2 = 1 ② 2 2 a b

①-②得

2 x0 2 y 0 2 k = 0 ③ a2 b

′ ′ ′ ′ ′ ′ 设 B ( x1 , y1 ), C ( x 2 , y 2 ), BC中点为M ′( x 0 , y 0 ) ,
1 1 x1 2 y1 2 2 2 =0 ④ 则 a b 12 2 y1 x2 2 ⑤ a2 b2 = 0

④-⑤得

1 ′ 2 x1 2 y 0 2 k = 0 ⑥ a2 b

9

由③,⑥知 M, M ′ 均在直线 l ′ :

2x 2 y k = 0 上,而 M, M ′ 又在直线 l 上 , a2 b2

若 l 过原点,则 B,C 重合于原点,命题成立 若 l 与 x 轴垂直,则由对称性知命题成立 若 l 不过原点且与 x 轴不垂直,则 M 与 M ′ 重合 ∴ AB = CD

10

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