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2016届湖南永州市高三(下)第三次模拟数学(理)试题(解析版)


2016 届湖南永州市高三(下)第三次模拟数学(理)试题
一、选择题 1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1,2? , B ? ?2,3? ,则 ?CU A? ? B ? ( A. ?2? 【答案】D 【解析】试题分析:依题意, CU A ? ?3, 4? ,则 ?CU A? ? B ? ?2,3,4? ,故选 D. 【考点】集合的基本运算.

2.设复数 z 满足 A . ?i D. ?1 【答案】C B. ?3? C. ?2,3? D. ?2,3,4? )

1? z ? i ,则的 z 虚部为( 1? z
B. i

) C. 1

【解析】试题分析:依题意, 1 ? z ? i ?1 ? z ? ,解得 z ?

i ? 1 ? i ? 1??1 ? i ? 2i ? ? ?i, 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ? 2

则的 z 虚部为 1 ,故选 C. 【考点】1、复数的四则运算;2、复数的概念. 3.下列函数中,在其定义域内是奇函数且是增函数的是( A. y ? 2x C. y ? 2
?x



B. y ? 2

x

? 2x

D. y ? 2 ? 2
x

?x

【答案】D 【解析】试题分析:对于 A. y ? 2 为非奇非偶函数,故 A 错误;对于 B. y ? 2 为偶
x
x

函数, 故 B 错误; 对于 C.y ? 2

?x

x ?x 故 C 错误; 对于 D.y ? 2 ? 2 ? 2x 为奇函数但递减,

为奇函数且是增函数,适合题意,故选 D. 【考点】1、函数的奇偶性;2、函数的单调性. 4.袋中有大小完全相同的 2 个红球和 3 个黑球,不放回地摸出两球,设“笫一次摸得红 球”为亊件 A , “摸得的两球同色”为亊件 B ,则概率 P ? B | A? 为( A. )

1 4

B.

1 2

C.

1 3

D.

3 4

【答案】A 【解析】试题分析:依题意, P ? A? ?
1 1 1 C2 C2 C 2 1 , ? P AB ? ? ? 1 11 ? , 则条件概率 1 C5 5 C5C4 10

1 P ? AB ? 10 1 ? ? ,故选 A. P ? B | A? ? 2 4 P ? A? 5
【考点】条件概率. 第 1 页 共 16 页

5.等差数列 ?an ? 中, a3 ? 2, a6 ? 5 ,则数列 2 A . 15 D. 127 【答案】B B . 31

? ? 的前 5 项和等于(
an

) C . 63

【解析】试题分析:设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则 ?

? a1 ? 2 d ? 2 解得 d ? 1 ,a1 ? 0 , ? a1 ? 5d ? 5

故 an ? n ?1 ,即 2

an

? 2n?1 ,则等比数列 ?2 an ? 的前 5 项和为

1 ? 25 ? 31,故选 B. 1? 2

【考点】1、数列的通项公式;2、数列求和. 6.若函数 f ? x ? ? sin ? ? x ?

? ?

??

?? ? ? ?? ? ?? ? 0? 满足 f ? 0 ? ? f ? ? ,且函数在 ?0, ? 上有且 6? ?3? ? 2?
) C.

只有一个零点,则 f ? x ? 的最小正周期为(

? 2 D. 2?
A. 【答案】B 【解析】试题分析:依题意, x ?

B. ?

3? 2

0?

3 ? ? 为函数 f ? x ? 的一条对称轴,且函数在 2 6

?

? T ? ? 2? 4? ? ?? ?T ? ,根据选项可 0, ? 上有且只有一个零点,则 ? 0 ? ? ? ,即 ? 6 4 2 6 3 3 ? 2?
得,函数 f ? x ? 的最小正周期为 ? ,故选 B. 【考点】1、三角函数图象及其性质;2、函数零点.

?x ? y ? 1 ? 7.当实数 x, y 满足不等式组 ? y ? 1 ,恒有 ax ? y ? 3 ,则实数 a 的取值范围是( ?x ? y ? 1 ?
A . ? ??,1? D. ?1, ?? ? 【答案】A B . ? ??, ?1



?

C . ?1, ?? ?

?

?x ? y ? 1 ?y ?1 ? 【解析】试题分析:由约束条件 ? y ? 1 作出可行域如图,联立 ? , 解得 x ? y ? 1 ? ?x ? y ? 1 ?

B ? 2,1? ,由直线 ax ? y ? 3 过定点 M ? 0, 3? ,则要使对可行域内的所有点,都有
kMB ? ax ? y ? 3 成立,则 ?a… 1? 3 ? ?1 ,即 a? 1 .故选 A. 2?0
第 2 页 共 16 页

【考点】1、简单的线性规划;2、直线的斜率公式. 8. MOD ? a, b ? 表示求 a 除以 b 的余数,若输入 a ? 34, b ? 85 ,则输出的结果为( )

A. 0 D. 34 【答案】B

B . 17

C . 21

m ? 17 , 【解析】 试题分析: 执行程序, 输入 a ? 34, b ? 85 ,判断为否, 则 a ? 85, b ? 34 ,
a ? 34, b ? 17 ,判断为否, m ? 0 , a ? 17, b ? 0 ,判断为是,输出 a ? 17 ,故选 B.
【考点】程序框图. 9.已知三棱柱 ABO ? DCE 的顶点 A, B, C , D, E 均在以顶点 O 为球心、半径为 2 的球 面上,其中 AB ? 2 ,则三棱柱的侧面积为( A. 2 ? 2 3 C. 4 ? 4 3 【答案】C 【 解 析 】 试 题 分 析 : 侧 面 S? O E C D ? S?
OEBA



B. 2 ? 4 3 D. 4 ? 6 3

? 2 S?

OCD

1 ? ? 2 ? ?2 ?2 s i n 60 ? 2 , 3 2

S? ABCD ? 2 ? 2 ? 4 ,故侧面积为 S? OECD ? S? OEBA ? S? ABCD ? 4 3 ? 4 .故选 C.
【考点】空间几何体的表面积. 10.已知 ?ABC 的三个顶点的坐标分别为 A? ?2,3? , B ? ?2, ?1? , C ? 6, ?1? ,以原点为圆 第 3 页 共 16 页

心的圆与此三角形有唯一的公共点, 则圆的方程为( A. x 2 ? y 2 ? 1
2 2 C. x ? y ?



B. x2 ? y 2 ? 4 D. x 2 ? y 2 ? 1或 x 2 ? y 2 ? 37

16 5

【答案】D 【解析】试题分析:依题意, 直线 AC 的方程为

y ?1 x ? 6 ? ,化为一般式方程, 3 ? 1 ?2 ? 6

的距离 d? x ? 2 y ? 4 ? 0 . 点 O 到 直 线 x ? 2 y ? 4? 0

?4 5

?

4 5 ?1 , 又 5
2

OA ?

? ?2?

2

? 32 ? 13, OB ?

? ?2? ? ? ?1?
2

2

? 5 ,OC ? 62 ? ? ?1? ? 37 .

则以原点为圆心的圆若与三角形 ABC 有唯一的公共点,则公共点为 ? 0, ?1? 或 ? 6, ?1? , 故圆的半径为 1 或 37 ,则圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 1或 x 2 ? y 2 ? 37 .故选 D. 【考点】1、直线方程;2、点到直线的距离公式;3、两点间距离公式;4、圆的标准方 程. 【易错点晴】本题主要考查直线方程、点到直线的距离公式、两点间距离公式、圆的标 准方程,意在考查考生的分析问题及解决问题能力及运算求解能力,属中档题.由题意, 画 出 图 形 , 先 求 得 直 线 AC 的 方 程 , 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得 点 O 到 直 线

x ? 2 y ? 4 ? 0 的距离 d ? 1 ,故以原点为圆心的圆若与三角形 ABC 有唯一的公共点,
则公共点为 ? 0, ?1? 或 ? 6, ?1? ,从而求得圆的半径,本题容易漏掉切点 ? 0, ?1? ,从而出 错. 11.一个空间几何体的三视图如图所示,则几何体的体积为( )

? 6 ? D. 2
A. 【答案】B 【解析】试题分析:该几何体为

B.

? 4

C.

? 3

1 1 球及 圆锥的组合体,球的半径为 1 ,体积为 8 4 1 4 ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ,圆锥部分体积为 ? ? ? ,故几何体的体积为 ? ? ,故选 8 3 6 4 3 12 6 12 4

B. 【考点】1、球的体积公式;2、圆锥的体积公式;3、三视图. 【易错点晴】本题主要考查球的体积公式、圆锥的体积公式、三视图,意在考查考生的 空间想象能力及运算求解能力,属中档题.识别三视图时注意主左等高(上下为高) ;主 第 4 页 共 16 页

俯等长(左右为长) ;俯左等宽(前后为宽) (即:长对正,高平齐,宽相等)主视图反应 的是上下、左右的距离; 俯视图反应的是前后、左右的距离; 左视图反应的是上下、 左右的距离;本题注意的是组合体,特别注意的是右边部分为圆锥的 一部分,否则容易出错. 12.已知函数 f ? x ? ?

1 ,而不是棱锥的 4

ex ? 1 1? ? k ? 2 ? ? ,若 x ? 1 是函数 f ? x ? 的唯一一个极值点,则 x ? 2x x ?
) B. ? ??, ? ?

实数 k 的取值范围为( A. ? ??, e?

? ?

1? e?

C. ? ??, ? ? ? ?0? e

? ?

1? ?

D. ? ??, ? ? ? ?0, e? e

? ?

1? ?

【答案】C 【 解 析 】 试 题 分 析 : 函 数

f ? x? ?

ex ? 1 1? ?k? 2 ? ? , x ? 0 , 则 x ? 2x x ?

f ?? x? ?

? x ? 1? ? xe x ? k ?
x3

, 若 x ? 1 是 函 数 f ? x? 的 唯 一 一 个 极 值 点 , 则 方 程

x ex ? k? 0 无根,设 g ? x ? ? xex , x ? 0 , g? ? x ? ? ex ? xex , g? ? x ? ? 0 时, x ? ?1 ,

g? ? x ? ? 0 时, x ? ?1 且 x ? 0 ,故 g ? x ? 在 ? ??, ?1? 递减,在 ? ?1,0? , ? 0, ??? 递增故,
当 x ? ?1 时, g ? x ? 有最小值 g ? ?1? ? ?

1 1 ,无最大值,故 k ? ? ,又 x ? 0 ,故 k ? 0 e e

也适合,即实数 k 的取值范围为 ? ??, ? ? ? ?0? ,故选 C. e

? ?

1? ?

【考点】1、函数的极值点;2、函数的零点;3、函数图象. 【易错点晴】本题主要考查函数的极值点、函数的零点、函数图象,意在考查考生的分 析问题及解决问题能力及运算求解能力,属难题.根据题意,若 x ? 1 是函数 f ? x ? 的唯
x 一一个极值点,则其导数 f ? ? x ? 有唯一零点,从而得,则方程 xe ? k ? 0 无根,设

g ? x? ? xex , x ? 0 ,求导利用函数的单调性求得函数的最值,从而求得实数 k 的取值
范围,本题中注意 x ? 0 ,从而得 k ? 0 也适合,否则容易出错.

二、填空题 13.二项式 ? 2 x 2 ? 【答案】 ?12

? ?

1? ?3 ? 展开式中, x 项的系数为 x?

6



第 5 页 共 16 页












r













? 2 1? ? 2x ? ? x? ?

6









r Tr ?1 ? C6 ? 2x2 ?

6? r

r 6? r 12?3r ? 1? r ? r3 ? ? 得 3 r ?5 , 则 , 令 1 2 ? ? ? ? C6 ? ?1? 2 x ? x?

5 T5? 1? C ? 6?1?

5

?12 ,故填 ?12 . 2 ? x3? ? 1 ? 2,其系数为 x3

【考点】二项式定理. 14.已知向量 a 与 b 的夹角为 【答案】 1 或 2 【解析】试题分析:由向量 a 与 b 的夹角为

?

?

? ? ? ? ? ,且 b ? 1, a ? 3b ? 1 ,则 a ? 6



? ? ? ? , 且 b ? 1, a ? 3b ? 1 , 则 6 ? ? ? 2 ?2 ? ? ?2 ? 2 ? ? a ? 3b ? a ? 2 3 a ? b ? 3b ? a ? 2 3 a ?1? cos ? 3 ?12 ? 1 , 解 得 a ? 1 或 6 ? a ? 2 ,故填 1 或 2 .

?

?

【考点】1、平面向量的模;2、平面向量数量积. 【方法点睛】本题主要考查平面向量的模、平面向量数量积,意在考查考生的运算求解 能力,属中档题.涉及向量模的问题一般利用 a ? a ? a ? a ,注意两边平方是常用的方 法,灵活应用公式 a ? b ? a b cos ? a, b ? ,解题过程中一般掌握平面向量数量积的定 义及几何意义,熟练掌握两个向量数量积的五个性质及三个运算律. 15.在双曲线

?2

? ?

?2

? ?

? ?

? ?

x2 y 2 ? 2 ? 1? a, b ? 0 ? 中,若过双曲线左顶点 A 斜率为 1 的直线交右支于 2 a b


点 B ,点 B 在 x 轴上的射影恰为双曲线的右焦点 F ,则该双曲线的离心率为 【答案】 2

【解析】试题分析:依题意,直线 AB 方程为 y ? x ? a ,又点 B 在 x 轴上的射影恰为 双曲线的右焦点 F ,得 xB ? c ,则代入直线方程得 yB ? c ? a ,点 ? xB , yB ? 代入双曲线

x2 y 2 c2 ? c ? a ? 方程 2 ? 2 ? 1 得 2 ? ? 1 ,又 b2 ? c2 ? a 2 代入得 c3 ? 3a 2 c ? 2a3 ? 0 ,即 2 a b a b
2

e3 ? 3e ? 2 ? 0 ,得 ? e ? 1? ? e ? 2 ? ? 0 ,故 e ? 2 ,故填 2 .
2

【考点】1、直线方程;2、双曲线的几何性质. 【易错点睛】本题主要考查直线方程、双曲线的几何性质,意在考查考生的分析问题与 解决问题能力和运算求解能力,属中档题.由直线 AB 的斜率为 1 ,且过左顶点 A ,可 得直线 AB 方程为 y ? x ? a ,由点 B 在 x 轴上的射影恰为双曲线的右焦点 F ,得

xB ? c ,则代入直线方程得 yB ? c ? a ,点 ? xB , yB ? 代入双曲线方程即可求得 a , c 的关

第 6 页 共 16 页

系,本题中要注意双曲线中 a, b, c 的关系: b2 ? c 2 ? a 2 ,另注意双曲线离心率范围

e ?1.
16 . 已 知 数 列 ?an ? 的 前

n 项 和 S n ? ? ?1? ?n , 若 对 任 意 的 正 整 数 n , 有
n ?1

? an?1 ? p?? an ? p? ? 0 恒
成立, 则实数 p 的取值范围是 【答案】 ? ?3,1? .

2 时 , 【 解 析 】 试 题 分 析 : 当 n ? 1 时 , a1 ? S1 ? ?1 , 当 n…
an ? Sn ? ?S 1 n ? ? 1? ?
n ?1

? ?? ?n ?1
n?2

1 ? ?? 1 ?n ??
n

n ?1

?? 2, n 又1 ?意 正 整 数 n , 对任
n ?1

?1 2n ? 1? ? p ? ?? ?1? ? 2n ? 1? ? p ? ? 0 ,① ? an?1 ? p?? an ? p? ? 0 恒成立,得 ? ?? ? ? ?? ?
当 n 是奇数时,化为 ? ? p ? ? 2n ? 1? ? ?? ? p ? ? 2n ? 1? ? ? ? 0 ,解得 ? ? 2n ?1? ? p ? 2n ?1 , 又对任意正奇数 n 都成立,取 n ? 1 时,可得 ?3 ? p ? 1 . ②当 n 是正偶数时,化为

? ? p ? ?1 ? 2n ? ? ?? ? p ? ? 2n ? 1? ? ? ? 0 ,解得 1 ? 2n ? p ? 2n ? 1 ,
又对任意正偶数 n 都成立,取 n ? 2 时,可得 ?3 ? p ? 5 .联立①②,得 ?3 ? p ? 1 ,故 填 ? ?3,1? . 【考点】1、数列的通项公式;2、一元二次不等式的解法;3、恒成立问题. 【易错点睛】本题主要考查数列的通项公式、一元二次不等式的解法、恒成立问题,意 在考查考生的分类讨论思想及分析问题与解决问题能力和运算求解能力.本题中已知数 列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ? ?1?
n ?1

?n ,故先求得 a1 ,当 n… 2 时,利用 an ? Sn ? Sn?1 求得通

项公式,代入 ? an?1 ? p ?? an ? p ? ? 0 ,对 n 分奇偶分类讨论,分别求得不等式解集,利

2 时,利用 用最值求得 p 的范围.本题中注意两点:①已知数列前 n 项和 Sn 的,当 n…

an ? Sn ? Sn?1 求通项公式;②遇到 ? ? 1? 的注意讨论 n 的奇偶,否则容易出错.
n

三、解答题 17. 如图, 已知 ?BAC ?

?
3

,正 ?PMN 的顶点 M , N 分别在射线 AB, AC 上运动, P 在

?BAC 的内部, MN ? 2, M , P, N 按逆时针方向排列, 设 ?AMN ? ? .

(1)求 AM (用 ? 表示) ; 第 7 页 共 16 页

(2)当 ? 为何值时 PA 最大, 并求出最大值. 【答案】 (1) AM ?

? 4 3 ?? ? (2) ? ? 时, AP max ? 2 3 . ? sin ? ? ? ? ; 3 3 ?3 ?
AM MN ,即可得 ? ? 2? ? sin ? sin ? ?? ? 3 ? 3 ?

【解析】试题分析: (1)在 ?AMN 中由正弦定理得:

? AM ?

4 3 ?? ? (2)在 ?AMP 中由余弦定理结合两角和与差的三角公式 ? sin ? ? ? ? ; 3 ?3 ?
20 16 ? 5? ? sin ? 2? ? 3 3 6 ?
: ( 1

得 AP ?
2

? ? 2? ? ,? ? ? 0, ? ? 3


? ? ,利用三角函数的最值即可求得 PA 最 ?

大值及 ? 的值. 试 题 解 析



?A M N 中 由 正 弦 定 理 得 :

AM MN 4 3 ? 2? ? 4 3 ?? ? ,? AM ? ? ? sin ? ?? ? ? ? sin ? ? ? ? . ? ? 2? ? 3 3 ? 3 ? ?3 ? sin ? ? ? ? sin 3 3 ? ?
( 2 ) 在

?A

M 中P















AP2 ? AM 2 ? PM 2 ? 2 AM ?PM ? cos ?AMP ?

16 2 ? ? 16 3 ? ?? ? ?? ? sin ? ? ? ? ? 4 ? sin ? ? ? ?? cos ? ? ? ? 3 3 ?3 ? ?3 ? ?3 ?

8? 2? ?? 8 3 2? ? 8? 2? ? 2? ?? 20 ? ? ? ? ? ?1 ? cos ? 2? ? ? sin ? 2? ? ? ?? ? ? ? 4 ? ? ? 3 sin ? 2? ? ? ? cos ? 2? ? ? ? 3? 3 ?? 3 3 ? 3? 3 ? 3 ?? ? ? ? ? ? 3
5? 3? ? 20 16 ? 5? ? ? 2? ? ? sin ? 2? ? ? ,? ? ? 0, ? , 当 且 仅 当 2? ? 6 ? 2 即 , ? ? 3 3 3 6 ? ? ? 3 ?
时, AP max ? 2 3 . 【考点】1、正弦定理和余弦定理;2、两角和与差的的三角公式;3、三角函数最值. 18. (本小题满分 12 分) 正方形 ABCD 所在的平面与三角形 ABE 所在的平面交于 AB , 且 DE ? 平面 ABE , ED ? AE ? 1 .

(1)求证:平面 ABCD ? 平面 ADE ; (2)求平面 CEB 与平面 ADE 所成锐二面角的余弦值. 【答案】 (1)证明见解析; ( 2)

5 . 5

【解析】试题分析: (1)证明:由 DE ? 平面 ABE ,得 DE ? AB ,又 AD ? AB ,利用 第 8 页 共 16 页

线面垂直的判定定理得 AB ? 平面 ADE ,利用面面垂直的判定定理证得平面 ABCD ? 平面 ADE ; (2)过 E 作 EF 垂直 AD 于 F ( AD 的中点), 过 F 作 FG ? AB 交 BC 于

G( BC 的中点),先证得 EF 与 EG 所成的角就是二面角的平面角,利用解三角形即可
求得平面 CEB 与平面 ADE 所成锐二面角的余弦值. 试题解析: (1)证明:已知 DE ? 平面 ABE ,则 DE ? AB ,又四边形 ABCD 是正方形, 故 AD ? AB , 而 DE 与 AD 相 交 , 所 以 AB ? 平 面 A D E , 故 平 面 ABCD? 平 面 A D E. (2) 如图, 过 E 作 EF 垂直 AD 于 F ( AD 的中点) , 过 F 作 FG ? AB 交 BC 于 G( BC 的 中 点 ) , AD ? EF , AD ? FG, EF 与 FG 相 交 , AD ? 面 EFG , 面 EFG ? 面

ADE, BC ? AD, BC ? 面 EFG ,面 EFG ? 面 BCE ,面 EFG 是面 ADE 与面 BCE 的
公 共 垂 面 , 则 EF 与 EG 所 成 的 角 就 是 二 面 角 的 平 面 角 , R t? E F G 中,

EF ?

2 FG 5 . , FG ? 2, tan ?FEG ? ? 2, cos ?FEG ? 2 FE 5

【考点】1、线面垂直的判定定理;2、面面垂直的判定定理;3、二面角. 19.2016 年 1 月 1 日,我国实施“全面二孩”政策,中囯社会科学院在某地(已婚男 性约 15000 人)随机抽取了 150 名己婚男性,其中愿意生育二孩的有 100 名,经统计, 该 100 名男性的年龄情况对应的频率分布直方图如下:

(1)求这 100 名已婚男性的年龄平均值 x 和样本方差 s (同组数据用区间的中点值代 替,结果精确到个位) ; (2)①试估计该地愿意生育二孩的已婚男性人数;
2 ②由直方图可以认为,愿意生育二孩的已婚男性的年龄 ? 服从正态分布 N ? , ? ,其

2

?

?

中 ? 近似为样本的平均值 x, ? 2 近似为样本的方差 s .试问:该地愿意生育二孩且处于
2

第 9 页 共 16 页

较佳的生育年龄 ? 附 : 若

?? ?? 26,31?? 的总人数约为多少?(结果精确到个位).
? ? N ? ? ,? 2 ?
, 则

P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.6826

P ? ? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ? ? 0.9544
【答案】 (1) x ? 36 , s 2 ? 25 ; (2)① 10000 ;② 1359 人. 【解析】试题分析: (1)利用平均数和方差公式分别求得这 100 名已婚男性的年龄平均 值 x 和样本方差 s 2 .(2)①根据概率求得该地愿意生育二孩的已婚男性人数;②由(1) 知 , 标 准 差

s ? s2 ? 2 ? 5

,5 且

? ? N ? 36, 52 ?







P ?31 ? ? ? 41? ? 0.6826, P ? 26 ? ? ? 46? ? 0.9544 ,利用公式求得 P ? 26 ? ? ? 31? ,
利用总数乘以概率得该地愿意生育二孩且处于较佳的生育年龄 ? 数. 试题解析: (1) 100 位已婚男性的年龄平均值 x 和样本方差 s 2 分别为:

?? ?? 26,31?? 的总人

x ? 24 ? 0.04 ? 28 ? 0.08 ? 32 ? 0.16 ? 36 ? 0.44 ? 40 ? 0.16 ? 44 ? 0.1 ? 48 ? 0.02 ? 35.92 ? 36
,

s 2 ? ? ?12 ? ? 0.04 ? ? ?8 ? ? 0.08 ? ? ?4 ? ? 0.16 ? 02 ? 0.44 ? 4 2 ? 0.16 ? 82 ? 0.1 ? 122 ? 0.02 ? 25.28 ? 25
2 2 2

(2) ①该地愿意生育二孩的已婚男性人数为: 15000 ?100 /150 ? 10000 人; ②由 (1) 知 , 标 准 差

s ? s2 ? 25 ? 5

, ,

且 而

? ? N ? 36,52 ? ,? P ? 31 ? ? ? 41? ? 0.6826, P ? 26 ? ? ? 46 ? ? 0.9544
P ? 26 ? ? ? 31? ?
,

1 1 P ? 26 ? ? ? 46 ? ? P ? 31 ? ? ? 41? ? ? ? 0.9544 ? 0.6826 ? ? 0.1359 ? ? ? 2 2

? 该地愿生二孩且处于较佳的生育年龄的总数约为 10000 ? 0.1359 ? 1359 人.
【考点】1、平均数及样本方差公式;2、正态分布. 20 .已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? ? 1? a ? 0 ? 的两条切线方程为 y ? ? ? x ? 4 ? , 切点分别为 2 2 a 3

A, B ,且切线与 x 轴的交点为 T .

(1)求 a 的值;

第 10 页 共 16 页

(2)过 T 的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点, 与 AB 交于点 D ,求证:

TD TM

?

TD TN



定值. 【答案】 (1) a ? 2 ; (2)证明见解析. 【解析】 试题分析: (1) 将切线方程和椭圆方程联立, 消去 y 得关于 x 的一元二次方程, 利用判别式为零求得实数 a 的值; ( 2 )由( 1 )可知, T ? 4,0? , 设直线 l 的方程为

x ? my ? 4 ,显然 m ? 0 ,设 M x1 , y1 , N ? x2 , y2 ? , 将直线与椭圆方程联立,利用韦
达定理得 y1 ? y2 与 y1 y2 的值,根据切点可得 xA ? xB ? 1, 所以直线方程为 x ? 1 ,然后 分情况讨论当直线 l 与 x 轴重合时与当直线与 x 轴不重合时, 分别求得 值 2 ,从而得出结论.

?

?

TD TM

?

TD TN

为定

1 ? ? y ? ? ? x ? 4? 试 题 解 析 :( 1 ) 联 立 ? , 消 去 y 并 化 简 得 : 2 2 2 2 ?3x 2 ? a y ? 3 a ? 0 ?

? a2 ? 2 2 2 3 ? ? ? x ? 2a x ? a ? 0 , 4? ?
?? ? 3a 4 ? 12a 2 ,? 直线与椭圆相切,?? ? 3a4 ?12a2 ? 0,? a2 ? 4 , 即 a ? 2 .

( 2 ) 由 ( 1 ) 可 知 , T ? 4,0? , 设 直 线 l 的 方 程 为 x ? my ? 4 , 显 然 m ? 0 , 设

M x1 , y , N? x 2, y 2? , 1

?

?

? x ? mx ? 4 2 2 2 得, ? 3m ? 4 ? y ? 24my ? 4m ? 36 ? 0 , ?由 ? 2 2 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 ?
y1 ? y2 ? ? 24m 36 , y1 y2 ? 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

又切点的横坐标满足 ? 3 ?

? ?

a2 ? 2 2 2 2 ? x ? 2a x ? a ? 0, 即 4x ? 8x ? 4 ? 0, xA ? xB ? 1, 所 4?

以直线方程为 x ? 1 , (i)当直线 l 与 x 轴重合时, TD ? 3, TM ? 2, TN ? 6,

第 11 页 共 16 页

?

TD TM

?

TD TN

?

3 3 ? ? 2 为定值. 2 6
? ? 3? ? ,所以得, m?


( ii )当直线与 x 轴不重合时,显然 m ? 0, 则点 D 的坐标为 ?1, ?

TD TM TD TM
?

?

yD ? yT yM ? yT TD TN ?

?

yD TD y ?y y , ? D T ? D y1 TN yN ? yT y2 ? yD y2 ? yD y1 ? y2 y1 y2
( y1 , y2 同号)

?

yD y1

?

3 24m ? 2 m 3m ? 4 ? 2 为定值. 36 3m 2 ? 4

综上所述,

TD TM

?

TD TN

为定值 2 .

【考点】1、直线与椭圆的位置关系及其应用;2、分类讨论思想的应用. 【易错点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系及其应用,意在考查考生的分类讨论 思想及运算求解能力,属难题.已知椭圆的两切线, 则可利用直线与椭圆的位置关系将切 线和椭圆方程联立,利用判别式为零即可求得 a 的值,计算时注意 a ? 0 .第二问中,首 先设出直线 l 的方程,和椭圆联立,利用韦达定理得 y1 ? y2 与 y1 y2 的值,根据切点可 得 xA ? xB ? 1, 所以直线方程为 x ? 1 ,容易出错的要注意分类讨论当直线 l 与 x 轴重合 时与当直线与 x 轴不重合时两种情况,否则容易出错,当直线与 x 轴不重合时,应将线 段的长之比值转换为纵坐标差的比值,这样问题得到简化. 21.已知函数 f ? x ? ?

x ? ln x ? a ? 0, a ? R ? . a

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)若存在两个不相等的正数 x1 , x2 ,满足 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,求证: x1 ? x2 ? 2a . 【答案】 (1) 当 a ? 0 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, a ? ,递增区间是 ? a, ??? , 当a ? 0 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, ??? ,无递增区间; (2)证明见解析. 【解析】试题分析: (1)先求得函数的定义域,然后对函数进行求导,对参数 a 分类讨 论,利用导数符号求得函数的单调区间; (2)由(1)知当 a ? 0 时, f ? x ? 的单调递 减区间是 ? 0, ??? ,无递增区间, 不合题意, 故 a ? 0 ,利用(1)的结论得出函数的单调 区间,将问题转化为 f ? x2 ? ? f ? 2a ? x1 ? ,构造函数 F ? x? ? f ? x? ? f ? 2 a ? x? ,对

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函 数 F ? x? 求 导 , 可 得 F ? x?

在 定 义 域 ? 0, 2 a ? 上 恒 递 减 , 又 知 F ? a? ? 0 , 则

F ? x ? ? f ? x ? ? f ? 2a ? x ? ? 0 ,故当 x1 ? ? 0, a ? ,有 f ? x1 ? ? f ? 2a ? x1 ? ? 0 ,从而证
得结论. 试题解析: (1) f ? x ? ?

x 1 1 x?a ? ln x , 定义域为 ? 0, ?? ? , f ' ? x ? ? ? ? ,当 a ? 0 a a x ax

时, x ? a, f ' ? x ? ? 0;0 ? x ? a, f ' ? x ? ? 0 . 当 a ? 0 时, x ? 0, f ' ? x ? ? 0 . 故当 a ? 0 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, a ? ,递增区间是 ? a, ??? ;当 a ? 0 时, f ? x ? 的单调 递减区间是 ? 0, ??? ,无递增区间. (2) 由 (1) 知当 a ? 0 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, ??? ,无递增区间, 不合题意, 故

a ? 0 ,此时 f ? x ? 在区间 ? 0, a ? 上递减, 在区间 ? a, ??? 递增, 若存在两个不相等的正
数 x1 , x2 , 满足 f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 不妨设 x1 ? x2 , 则有 x1 ? ? 0, a ? , x2 ? ? a, ??? , 要证:

x1 ? x2 ? 2a ,即证 x2 ? 2a ? x1 ,而 x2 ? a, 2a ? x1 ? a ,由
(1)知 f ? x ? 在区间 ? a, ??? 递增, 故只要证 f ? x2 ? ? f ? 2a ? x1 ? ,又 f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 即 要 证

f ? x1 ? ? f ? 2a ? x1 ? ( 其 中 0 ? x1 ? a ) . 考 察 函 数

F ? x ? ? f ? x ? ? f ? 2a ? x ? , F ? x ? 的定义域是 ? 0, 2a ? ,
F ? x ? ? f ? x ? ? f ? 2a ? x ? ? x 2a ? x ? ln x ? ? ln ? 2a ? x ? a a
2

,

?2 ? x ? a ? 1 1 1 1 F '? x? ? ? ? ? ? ? 0 ,当且仅当 x ? a 才能取等号, F ? x ? 在 a x a 2a ? x ax ? 2a ? x ?
定 义 域 时 ,

?0

,a? 2 上 恒 递 减 ,

观 察 知 F ? a? ? 0 , ; 当

故 当 x ? ? 0, a ? 时 ,

F ? x ? ? f ? x ? ? f ? 2a ? x ? ? 0

x ? ? a, 2a ?

F ? x ? ? f ? x ? ? f ? 2a ? x ? ? 0 ;故当 x1 ? ? 0, a ? ,有 f ? x1 ? ? f ? 2a ? x1 ? ? 0 ;得证:
所以 x1 ? x2 ? 2a . 【考点】1、利用导数求函数的单调性;2、导数在研究函数中的应用. 【易错点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性、导数在研究函数中的应用,意在 考查考生的分类讨论思想、化归与转化思想及数学探究能力和运算求解能力,属难题. 第一问中注意两个方面: ①首先要考虑还是的定义域; ②对参数 a 应该分 a ? 0 和 a ? 0 两种情况讨论;第二问中,注意将问题转化为 f ? x2 ? ? f ? 2a ? x1 ? ,然后构造函数

F ? x ? ? f ? x ? ? f ? 2a ? x ? ,利用函数的单调性可得 f ? x1 ? ? f ? 2a ? x1 ? ? 0 ,从而得
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出结论,解题时必须注意到 F ? a ? ? 0 ,且 F ? x ? 在定义域 ? 0, 2a ? 上恒递减,否则容 易出错. 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是 ? O 的直径, C 是 ? O 上一点, AC ? BP, BM 切 ? O 于 B, BM 交 CP 于

M ,且 CM ? MP .

(1)求证: CP 与 ? O 相切; (2)已知 CP 与 AB 交于 N , AB ? 2, CN ? 3 ,求 AC 的长. 【答案】 (1)证明见解析; ( 2) 1 . 【解析】试题分析: (1)连接 BC , OC , 先得出 ?ACB ? 90? , ?CBP ? 90? , 利用三角形
? 全等, 得 ?OCM ? 90 , 从而证得 CP 与 ? O 相切; (2) 先由切割线定理求得 NA 的长,

然后利用平行结合三角形相似和勾股定理求得 AC 的长. 试 径 题 解 析 : ( 1 ) 连 接

BC , OC ,? AB



?O



直 ,

??ACB ? 90? ,? AC ? BP,??CBP ? 90? ,?CM ? MP,? MC ? MB, OC ? OB, OM ? OM
,??OCM ? ?OBM ,??OCM ? 90 ,?CP 与 ? O 相切.
?



2









线









CN 2 ? NA?NB,? AB ? 2, CN ? 3,? 3 ? NA? ? NA ? 2 ? ,? NA ? 1,? AC ? BP,?
, 设 AC ? x , 则 BP ? 3 x , 又 ?ACB ? ?CBP , 则
2 2 2 2 2

AC NA 1 ? ? BP NB 3

AC BC ? ,? BC ? 3x, 在 ?ACB BC BP

中, AB ? AC ? BC ,? 4 ? x ? 3x ,? x ? 1,? AC ? 1 . 【考点】1、三角形相似的判定;2、切割弦定理;3、勾股定理. 23.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C1 的参数方程为: ?

? x ? 2cos ? (? 为参数), M 是 ? y ? 2 ? 2sin ?

圆 C1 上的动点 , MN ? x 轴 , 垂足为 N , P 是线段 MN 的中点 , 点 P 的轨迹为曲线

C2 .
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(1)求 C2 的参数方程; (2)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 的交点为 A ,与 C2 的异于极点的交点为 B 求 ?C1 AB 的面积. 【答案】 (1) ?

?
6

与 C1 的异于极点

? x ? 2cos ? 3 ; (2) . (? 为参数) 7 ? y ? 1 ? sin ?

【解析】试题分析: (1)设 P ? x, y ? ,则 M 的坐标为 ? x, 2 y ? ,代入 C1 的参数方程即可 得出 C2 的参数方程; (2)易知 C1 的极坐标方程为: ? ? 4sin ? , C2 的极坐标方程为:

? 2 ?1 ? 3sin 2 ? ? ? 8? sin ? ? 0 ,射线 ? ?

?
6

代入求得 AB 的长,求得 C1 到 AB 的距离

d ,然后利用三角形面积公式求得 ?C1 AB 的面积.
试题解析: (1)设 P ?x ,y

? ,则 M 的坐标为 ? x,2 y ? ,?M 在 C1 上,? ?

? x ? 2cos ? , ?2 y ? 2 ? 2sin ?

即?

? x ? 2cos ? , ? y ? 1 ? sin ?

? x ? 2cos ? ?C2 的参数方程为: ? (? 为参数). ? y ? 1 ? sin ?
( 2 ) 易 知 C1 的 极 坐 标 方 程 为 : ? ? 4sin ? , C2 的 极 坐 标 方 程 为 :

? 2 ?1 ? 3sin 2 ? ? ? 8? sin ? ? 0 ,
射线 ? ?

?
6

与 C1 的交点 A 的极径 ?1 ? 4 sin

?
6

? 2 ,射线 ? ?

?
6

与 C2 的交点 B 的极径

?2 ?

8sin

?
6

1 ? 3sin 2

?
6

?

16 2 ? ,? AB ? ?1 ? ? 2 ? ,又 C1 到 AB 的距离 d ? 2sin ? 3 , 7 3 7

1 1 2 3 . ? S?C1 AB ? ? AB ?d ? ? ? 3 ? 2 2 7 7
【考点】1、圆的参数方程;2、极坐标方程的应用;3、三角形面积公式. 24.选修 4-5:不等式选讲 已知 x ? y ? 0 . (1)若 xy ? 1, x ?1 ? y ?1 ? 1 ,求 x 的取值范围; (2)若 x ? y ? 1 ,证明: ?

? ? 1 ?? 1 ? 1?? ? 2 ? 1? ? 9 . 2 ?x ??y ?
第 15 页 共 16 页

【答案】 (1) x ?

1? 5 ; (2)证明见解析. 2

【解析】 试题分析: (1) 由 x ?y ? 0 ,x y ? 1 ,知 x ? 1, 0 ? y ? 1 ,不等式 x ?1 ? y ?1 ? 1 化为 x ? 1 ? 1 ? y ? 1, y ?

1 1 ,即 x ? 1 ? 1 ? ? 1 ,整理得 x2 ? x ? 1 ? 0 ,解不等式求得 x x x

的取值范围; (2)将 ?

? ? 1 ?? 1 ? 1?? ? 2 ? 1? 展开后利用基本不等式证得结论. 2 ?x ??y ?

试题解析: ( 1 )由 x ? y ? 0, xy ? 1 , 知 x ? 1, 0 ? y ? 1 , 不等式 x ?1 ? y ? 1 ? 1化为

1 1 1? 5 x ? 1 ? 1 ? y ? 1, y ? ,即 x ? 1 ? 1 ? ? 1 ,整理得 x2 ? x ? 1 ? 0 ,解之得: x ? x x 2
或x?

5 ?1 1? 5 ,故 x 的取值范围为: x ? . 2 2

2 1? y2 ? ? ? ?1 ? x ?? ? 1 ?? 1 (2)? x ? y ? 1,1 ? x ? y ? 0,? ? 2 ? 1?? ? 2 ? 1? ? x 2 ?y 2 ?x ??y ?

?

1 ? ? x 2 ? y 2 ? ? x 2 ?y 2 x ?y
2 2

? 1?

2 2 ? 1? ?9. 2 xy ? x? y? ? ? ? 2 ?

【考点】1、绝对值不等式;2、一元二次不等式的解法;3、基本不等式的应用.

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