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(理数)佛山市2013届普通高中高三教学质量检测二


佛山市 2013 届普通高中高三教学质量检测二 理科数学
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区 域内;如需改动,先划掉原

来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按 以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知 M ? x ?2 ? x ? 4, x ? Z , N ? x ?1 ? x ? 3 ,则 M ? N ? A. ? ?1,3? B. [?2,1) C. ?0,1, 2? D. ??2, ?1, 0?

?

?

?

?

2.已知复数 z 的实部为 1 ,且 z ? 2 ,则复数 z 的虚部是 A. ? 3 B. 3i C. ? 3i D. ? 3

3.已知数列 {a n } 是等差数列,若 a3 ? a11 ? 24, a 4 ? 3 ,则数列 {a n } 的公差等于 A.1 B.3 C.5 D.6

4. 为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底部周长(单位:cm) .根 据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如右) ,那么在这 100 株树木中,底部周长小 于 110cm 的株数是 A.30 C.70 5.函数 f ( x) ? sin ? ? x ? B.60 D.80
0.04 0.02 0.01 80 90 100 110 120 130 周长(cm) 频率/组距

? ?

??

1] ? , x ? [?1, ,则 2?

A. f ( x) 为偶函数,且在 [0, 上单调递减; 1] B. f ( x) 为偶函数,且在 [0, 上单调递增; 1]
1

第 4 题图

C. f ( x) 为奇函数,且在 [?1,] 上单调递增; 0 D. f ( x) 为奇函数,且在 [?1,] 上单调递减. 0 6.下列命题中假命题是 ... A.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行; B.垂直于同一条直线的两条直线相互垂直; C.若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; D.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平 面相互平行.

? x?0 ? y?0 ? 7.直线 2 x ? y ? 10 ? 0 与不等式组 ? 表示的平面区域的公共点有 ? x ? y ? ?2 ? 4 x ? 3 y ? 20 ?
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.无数个

8.将边长为 2 的等边三角形 PAB 沿 x 轴滚动,某时刻 P 与坐标原点重合(如图) ,设顶点

P( x, y ) 的轨迹方程是 y ? f ( x) ,关于函数 y ? f ( x) 的有下列说法:
① f ( x) 的值域为 [0, 2] ; ② f ( x) 是周期函数; ③ f (?1.9) ? f (? ) ? f (2013) ; ④ y B

?

6

0

9 f ( x)dx ? ? . 2

OP A 第 8 题图

x

其中正确的说法个数为: A.0 B. 1 C. 2 D. 3

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.命题“ ? x0 ? R, e
x0

? 0”的否定是

. . .

10. 已知向量 a, b 满足 a ? 1, b ?
n

2 , ? a ? b ? ? a , 向量 a 与 b 的夹角为
3 2

11.若二项式 ?1 ? 2 x ? 展开式中 x 的系数等于 x 的系数的 4 倍,则 n 等于
2

12 . 已 知 圆 C 经 过 点 A( 0 , 3 ) B(3,2) , 且 圆 心 C 在 直 线 y ? x 上 , 则 圆 C 的 方 程 和 为 .

13.将集合{ 2s ? 2t | 0 ? s ? t 且 s, t ? Z }中的元素按上小下大, 左小右大的顺序排成如图的三角形数表,将数表中位于第 i 行第 j 列 的数记为 bi j ( i ? j ? 0 ),则 b65 = .

3 5 9 ? ? 10 ?
第 13 题图

6 12 ?

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

14. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线 C1 : ? ? 2sin ? 与 C2 : ? ? 2cos ? 的交点分别为 A、B ,则线段 AB 的垂直平分线的 极坐标方程为 .

B O

15. (几何证明选讲)如图,圆 O 的直径 AB ? 9 ,直线 CE 与圆 O

相切于点 C , AD ? CE 于 D ,若 AD ? 1 ,设 ?ABC ? ? , 则 sin ? ? ______.

A E C
第 15 题图

D

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 为始边,角 ? 的终边与单位圆 O 的交点 B 在第一象 限,已知 A(?1,3) . (1)若 OA ? OB ,求 tan ? 的值; (2)若 B 点横坐标为

4 ,求 S ?AOB . 5

3

17. (本题满分 12 分) 市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如 图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同 一条道路去程与回程是否堵车相互独立. 假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学,再返 回经甲地赶去乙地上班.假设道路 A 、 B 、 D 上下班时间往返出现拥堵的概率都是

1 ,道路 10

1 C 、 E 上下班时间往返出现拥堵的概率都是 ,只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到. 5 D A
(1)求李生小孩按时到校的概率; (2)李生是否有七成把握能够按时上班?



B
C





(3)设 ? 表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到 拥堵的次数,求 ? 的均值.

E
第 17 题图

18. (本题满分 14 分) 如 图 甲 , 设 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 3 , 点 E、F 分 别 在 AB CD上 , 并 且 满 足 、

AE ? 2EB,CF ? 2FD ,如图乙,将直角梯形 AEFD 沿 EF 折到 A1 EFD1 的位置,使点 A1 在
平面 EBCF 上的射影 G 恰好在 BC 上. (1)证明: A1 E // 平面 CD1 F ; (2)求平面 BEFC 与平面 A1 EFD1 所成二面角的余弦值.

A1

A

D

D1

F
E B
图甲

E
C
第 18 题图

F

B

G
图乙

C

4

19. (本题满分 14 分) 在平面直角坐标系内,动圆 C 过定点 F ?1, 0 ? ,且与定直线 x ? ?1 相切. (1)求动圆圆心 C 的轨迹 C2 的方程; (2)中心在 O 的椭圆 C1 的一个焦点为 F ,直线 l 过点 M (4, 0) .若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在曲线 C2 上, 且直线 l 与椭圆 C1 有公共点,求椭圆 C1 的长轴长取得最小值时的椭 圆方程.

20. (本题满分 14 分) 某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对 环境的影响,环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱,1 个单位的固体碱在水中逐渐 溶 化 , 水 中 的 碱 浓 度 f ( x) 与 时 间 x ( 小 时 ) 的 关 系 可 近 似 地 表 示 为 :

x 6 ? ? 2? 6 ? x?3 ? f ( x) ? ? ?1 ? x ? 6 ?

0? x?3
,只有当污染河道水中碱的浓度不低于

3? x ?6

1 时,才能对污染 3

产生有效的抑制作用. (1)如果只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效的抑制作用的时间有多长? (2) 第一次投放 1 单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到

1 时,马上再投放 1 个单 3

位的固体碱,设第二次投放后 水中碱浓度为 g ( x) ,求 g ( x) 的函数式及水中碱浓度的最大值. ...... (此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加) ..

21. (本题满分 14 分) 设 函 数 f 0 ( x) ? x 2 ? e
1 ? x 2

, 记 f 0 ( x) 的 导 函 数 f 0?( x) ? f1 ( x) , f1 ( x ) 的 导 函 数

f1?( x) ? f 2 ( x) , f 2 ( x) 的导函数 f 2?( x) ? f3 ( x) ,…, f n?1 ( x) 的导函数 f n??1 ( x) ? f n ( x) ,

n ? 1, 2,? .
(1)求 f 3 (0) ; (2)用 n 表示 f n (0) ;
* (3)设 Sn ? f 2 (0) ? f3 (0) ? ? ? f n ?1(0) ,是否存在 n ? N 使 S n 最大?证明你的结论.

5

参考答案
一、填空题 二、填空题 9. x? R, ? 0 e ?
x

CDBCABBC

10.

? 4

11. 8

12. x ? 1? ? ? y ? 1? ? 5 ?
2 2

13. 80

14. ? sin ? ? ?

? ?

??

2 (或 ? sin? ? ? cos? ? 1 ) ?? 4? 2

15.

1 3

三、解答题 16.⑴解法 1、 由题可知: A(?1,3) , B(cos ? ,sin ? ) ,

??? ? ??? ? OA ? (?1,3) , OB ? (cos ? ,sin ? ) ??? ??? ? ? OA ? OB ,得 OA ? OB ? 0 1 ∴ ? cos ? ? 3sin ? ? 0 , tan ? ? 3

……1 分 ……2 分 ……3 分 ……4 分 ……1 分 ……2 分 ……3 分 ……4 分

解法 2、 由题可知: A(?1,3) , B(cos ? ,sin ? )

kOA ? ?3 ,

kOB ? t a n ?

∵ OA ? OB ,∴ KOA ? KOB ? ?1

?3tan ? ? ?1 , 得 tan ? ?

1 3

解法 3、 设 B( x , y ) , (列关于 x、y 的方程组 2 分,解方程组求得 x、y 的值 1 分,求正切 1 分) ⑵解法 1、

(?1) 2 ? (3) 2 ? 10 , 记 ?AOx ? ? , ? ? ( , ? ) 2 3 3 10 ?1 10 ? ?? ∴ sin ? ? , cos ? ? (每式 1 分) ……6 分 10 10 10 10 4 3 ∵ OB ? 1 c o s ? ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? (列式计算各 1 分)……8 分 ? 5 5 3 10 4 10 3 3 10 sin ?AOB ? sin( ? ? ? ) ? ? ? ? ? (列式计算各 1 分)……10 分 10 5 10 5 10 1 1 3 10 3 ∴ S?AOB ? AO BO sin ?AOB ? ? 10 ?1? ? (列式计算各1 分)…12 分 2 2 10 2
由⑴ OA ? 解法 2、 由题意得: AO 的直线方程为 3x ? y ? 0 则 sin ? ? 1 ? cos ? ?
2

?

……6 分

4 3 5 5 4 3 3 ? ? 3 5 5 5 ? 10 (列式计算各 1 分) ……10 分 则点 B 到直线 AO 的距离为 d ? 10 10
即 B ( , ) (列式计算各 1 分) ……8 分

3 5

6

又 OA ? 分)…12 分 解法 3、

(?1) 2 ? (3) 2 ? 10 ,∴ S?AOB ?

1 1 3 10 3 AO ? d ? ? 10 ? ? (每式 1 2 2 10 2

3 4 3 即 B ( , ) (每式 1 分) 5 5 5 ??? ? ??? ? 4 3 即: OA ? (?1,3) , OB ? ( , ) , 5 5 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

…6 分 ……7 分

??? ??? ?1? 4 ? 3 ? 3 ? ? OA ? OB 2 2 5 5 ? 10 OA ? (?1) ? (3) ? 10 , OB ? 1 , cos ?AOB ? ??? ??? ? ? ? 10 10 ?1 OA OB
...................…9 分 (模长、角的余弦各 1 分) ∴ sin ?AOB ? 1 ? cos ?AOB ?
2

则 S?AOB

3 10 ……10 分 10 1 1 3 10 3 ? AO BO sin ?AOB ? ? 10 ?1? ? ( 列 式 计 算 各 1 2 2 10 2

分) ……12 分 解法 4、根据坐标的几何意义求面积(求 B 点的坐标 2 分,求三角形边长 2 分,求某个 内角的余弦与正弦各 1 分,面积表达式 1 分,结果 1 分) 17.⑴因为道路 D、E 上班时间往返出现拥堵的概率分别是 因此从甲到丙遇到拥堵的概率是

1 1 和 , 10 5

1 1 1 1 3 ? ? ? ? ? 0.15 (列式计算各 1 分)…2 分 2 10 2 5 20 所以李生小孩能够按时到校的概率是 1 ? 0.15 ? 85% ; ……3 分 17 ⑵甲到丙没有遇到拥堵的概率是 , ……4 分 20 17 丙到甲没有遇到拥堵的概率也是 , …5 分 20 1 1 1 1 1 1 2 甲到乙遇到拥堵的概率是 ? ……6 分 ? ? ? ? ? , 3 10 3 10 3 5 15 2 13 甲到乙没有遇到拥堵的概率是 1 ? ? ,李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是 15 15 17 17 13 3757 ? ? ? ? 0.8 ,所以李生没有八成把握能够按时上班(计算结论各 1 分)…8 分 20 20 15 6000 ⑶依题意 ? 可以取 0,1, 2 . ……9 分
2 17 13 3 73 2 3 6 13 17 221 , P(? ? 1) = ? ? ? , P(? ? 2) = ? ,…11 分 ? ? ? ? 15 20 15 20 300 15 20 300 15 20 300 分布列是: ? 0 1 2

P(? ? 0) =

p

221 300

73 300

6 300

7

E? ?

221 73 6 85 17 ? 0+ ?1+ ? 2= ? . 300 300 300 300 60

……12 分

18.⑴证明:在图甲中,易知 AE / / DF ,从而在图乙中有 A1 E // D1 F , ⑵解法 1、 如图,在图乙中作 GH ? EF ,垂足为 H ,连接 A1 H , 由于 A1G ? 平面 EBCF ,则 AG ? EF , 1 所以 EF ? 平面 A1GH ,则 EF ? A1 H , 所以 ?A1 HG 平面 BEFC 与平面 A1 EFD1 所成二面角的平面角,

……1 分

因为 A1 E ? 平面 CD1 F , D1F ? 平面 CD1 F ,所以 A1 E // 平面 CD1 F (条件2 分)…4 分

……5 分 ……6 分 ……8 分

图甲中有 EF ? AH ,又 GH ? EF ,则 A、G、H 三点共线, ……9 分 设 CF 的中点为 M ,则 MF ? 1 ,易证 ?ABG ? ?EMF ,所以, BG ? MF ? 1 ,

AG ? 10 ;……11 分(三角形全等 1 分)
又由 ?ABG ? ?AHE ,得 A1 H ? AH ? 于是, HG ? AG ? AH ?

AB?AE 6 , ? AG 10

……12 分

4 , ……13 分 10 HG 2 2 ? ,即所求二面角的余弦值为 .……14 分 在 Rt ?A1GH 中, cos ?A1GH ? A1 H 3 3 z A1 A
1

A
H

D

D1

D1

F

y
H

E
B
G
图甲

M
C

E
B
G

F
C
图乙

E

T

F B
G
图丙

C

x

解法 2、 如图,在图乙中作 GH ? EF ,垂足为 H ,连接 A1 H ,由于 A1G ? 平面 EBCF ,则

A1G ? EF ,……5 分
所以 EF ? 平面 A1 GH ,则 EF ? A H ,图甲中有 EF ? AH ,又 GH ? EF ,则 1

A、G、 H 三点共线, ……6 分 设 CF 的中点为 M ,则 MF ? 1 ,易证 ?ABG ? ?EMF ,所以 BG ? MF ? 1 ,则 AG ? 10 ; AB?AE 6 ? 又由 ?ABG ? ?AHE ,得 A1 H ? AH ? , ……7 分 AG 10 4 于是, HG ? AG ? AH ? , 10

? 6 ? ? 4 ? 在 Rt ?A1GH 中, AG ? A1H ? HG ? ? 1 ? ?? ? ? 2 ? 10 ? ? 10 ?
2 2

2

2

……8 分

8

作 GT / / BE 交 EF 于点 T ,则 TG ? GC ,以点 G 为原点,分别以 GC、GT、GA1 所 在直线为 x、y、z 轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,则 G(0,0,0) 、 E (1, ?1,0) 、

??? ? ???? , 1 (坐标系、坐标、向量各 1 F (2, 2,0) 、 A1 (0, 0, 2) ,则 EF ? (1, 3, 0) EA ? (? 1,1, 2 )
……11 分 显然, GA1 ? (0, 0, 2) 是平面 BEFC 的一个法向量,

分)

????

? ??? ? ? ?n?EF ? x ? 3 y ? 0, ? 设 n ? ( x, y, z ) 是 平 面 A1 EFD1 的 一 个 法 向 量 , 则 ? ? ???? ,即 n?EA1 ? ? x ? y ? 2 z ? 0 ? ? ? ? x ? ?3 y , ? ,不妨取 y ? ?1 ,则 n ? (3, ?1, 2 2) , ……13 分 ? ? z ? ?2 2 y ?
???? ? GA ? n 1 | 0? 3? 0? (? 1)? 2? 2 2 | 2 co s? ? ???? ? ? ? ,所以,平面 BEFC 与平面 A1 EFD1 2 | GA |?| n | 2 ? 32 ? (? 1) ? ( 2 22) 3 1 2 所成二面角的余弦值为 . ……14 分 3
19.⑴由题可知,圆心 C 到定点 F ?1, 0 ? 的距离与到定直线 x ? ?1 的距离相等 ……2 分 由抛物线定义知, C 的轨迹 C2 是以 F ?1,0 ? 为焦点,直线 x ? ?1 为准线的抛物线…4 分 (确定“曲线是抛物线”1 分,说明抛物线特征 1 分) 所以动圆圆心 C 的轨迹 C2 的方程为 y ? 4 x .
2

……12 分

设 平 面 BEFC 与 平 面 A1 EFD1 所 成 二 面 角 为 ? , 可 以 看 出 , ? 为 锐 角 , 所 以 ,

……5 分

⑵解法 1、

m n 设 P(m, n) ,则 OP 中点为 ( , ) , 因为 O、P 两点关于直线 y ? k ( x ? 4) 对称,所以 2 2
? 8k 2 m ?n ? k ( ? 4) ?m? ?2 ?km ? n ? 8k ? 1 ? k 2 (中点1 分,方程组2 分,化 分)…8 分 2 ,即 ? ,解之得 ? 简1 ? ? n ? m ? nk ? 0 ?n ? ? 8k ? ? k ? ?1 ? m ? ? 1? k2 ?

将其代入抛物线方程,得: (?

8k 2 8k 2 ,所以 k 2 ? 1 . ) ? 4? 2 2 1? k 1? k

……9 分

? y ? k ( x ? 4) ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,得: (b2 ? a2 ) x2 ? 8a2 x ? 16a2 ? a2b2 ? 0 ……11 分 ? 2 ?1 ? 2 b ?a 2 2 由 ? ? (?8a ) ? 4(b2 ? a 2 )(16a 2 ? a 2b2 ) ? 0 ,得 a 2 ? b2 ? 16 ,……12 分

注意到 b2 ? a2 ? 1 ,即 2a 2 ? 17 ,所以 a ?

34 ,即 2a ? 34 , 2

……13 分

因此,椭圆 C1 长轴长的最小值为 34 .此时椭圆的方程为 解法 2、

x2 y2 + ? 1 . ……14 分 17 15 2 2
……6 分

? m2 ? , m ? ,因为 O、P 两点关于直线 l 对称,则 OM ? MP =4 , 设 P? ? 4 ?

9

k AB

? m2 ? 即 ? ……7 分 ? 4 ? ? m2 ? 4 ,解之得 m ? ?4 ? 4 ? 即 P(4, ?4) , 根 据 对 称 性 , 不 妨 设 点 P 在 第 四 象 限 , 且 直 线 与 抛 物 线 交 于 A, B . 则 1 ……9 分 ?? ? 1 ,于是直线 l 方程为 y ? x ? 4 (斜率 1 分,方程 1 分) kOP
? y? x?4 ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,得: (b2 ? a2 ) x2 ? 8a2 x ? 16a2 ? a2b2 ? 0 ……11 分 ? 2 ? 2 ?1 b ?a 2 2 由 ? ? (?8a ) ? 4(b2 ? a 2 )(16a 2 ? a 2b2 ) ? 0 ,得 a 2 ? b2 ? 16 ,……12 分

2

注意到 b2 ? a2 ? 1 ,即 2a 2 ? 17 ,所以 a ?

34 ,即 2a ? 34 , 2

……13 分

因此,椭圆 C1 长轴长的最小值为 34 . 此时椭圆的方程为

x2 y2 + ? 1 . ……14 分 17 15 2 2

0? x?3 ? ? 3? x ?6 ? ? 20.⑴由题意知 ? ……2 分 x 6 1 或? x 1 ?2 ? 6 ? x ? 3 ? 3 ?1 ? 6 ? 3 ? ? 解得 1 ? x ? 3 或 3 ? x ? 4 ,即 1 ? x ? 4 ……3 分 能够维持有效的抑制作用的时间: 4 ? 1 ? 3 小时. ……4 分 ⑵由⑴知, x ? 4 时第二次投入 1 单位固体碱,显然 g ( x) 的定义域为 4 ? x ? 10 …5 分 当 4? x?6 时 , 第 一 次 投 放 1 单 位 固 体 碱 还 有 残 留 , 故 ? 11 x 6 6 ? x ? ? ( x ? 4) g ? x ? = ?1 ? ? + ? 2 ? ? ; ……6 分 ?= ? ? 6 ( x ? 4) ? 3 ? 3 3 x ? 1 ? 6 ? ? 当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留,故 ( x ? 4) 6 8 x 6 当 6 ? x ? 7 时, g ( x) ? 2 ? = ? ? ; ……7 分 ? 6 ( x ? 4) ? 3 3 6 x ? 1 x?4 5 x 当 7 ? x ? 10 时, g ( x) ? 1 ? ……8 分 ? ? ; 6 3 6 6 ?11 x 4? x?6 ? 3 ? 3 ? x ?1 ? 6 ?8 x 6? x?7 所以 g ( x ) ? ? 3 ? 6 ? x ? 1 ……9 分 ? ?5 x 7 ? x ? 10 ?3 ? 6 ?
当 4 ? x ? 6 时, g ( x) ? 当且仅当

11 x 6 10 x ? 1 6 10 x ? 1 6 = 10 = ?( ? ? ?2 2 ; ? )? ?2 ? 3 3 x ?1 3 3 x ?1 3 3 x ?1 3

x ?1 6 时取“=”,即 x ? 1 ? 3 2 ? [4, 6] (函数值与自变量值各 1 分)…11 分 ? 3 x ?1 当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留, 6 1 ( x ? 5)(7 ? x) ? ? ? 0 ,所以 g ( x) 为增函数; 当 6 ? x ? 7 时, g ?( x) ? 2 ( x ? 1) 6 6( x ? 1) 2

10

当 7 ? x ? 10 时, g ( x) 为减函数;故 g ( x ) max = g (7) ? 又(

1 , 2

……12 分

10 1 17 ? 12 2 289 ? 288 ? 2 2) ? ? = ? 0 ,所以当 x ? 1 ? 3 2 时,水中碱浓 3 2 6 6 10 度的最大值为 ……13 分 ?2 2 . 3
答:第一次投放 1 单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为 3 小时;第一次投放

1 ? 3 2 小时后, 水中碱浓度的达到最大值为
21.⑴易得, f1 ? x ? ? ? ?

10 ?2 2 . 3

……14 分

1 ? 1 2 ? ? x x ? 2x ? e 2 , ……1 分 ? 2 ? 1 ?1 2 ? ?2x f2 ? x ? ? ? x ? 2x ? 2 ? e ……2 分 ?4 ? 1 3 ? 1 ? ? x f3 ? x ? ? ? ? x 2 ? x ? 3 ? e 2 ,所以 f3 (0) ? ?3 ……3 分 2 ? 8 ? 2 ?x ⑵不失一般性,设函数 f n ?1 ( x) ? ? an ?1 x ? bn ?1 x ? cn ?1 ? ? e 的导函数为

f n ( x) ? ? an x 2 ? bn x ? cn ? ? e? x ,其中 n ? 1, 2,? ,常数 ? ? 0 , a0 ? 1, b0 ? c0 ? 0 .


2

f n?1 ( x)




?x





f n??1 ( x) ? [? ? an ?1 x ? (2an ?1 ? ? ? bn ?1 ) x ? (bn ?1 ? ? ? cn ?1 )] ? e ……4 分 故由 f n??1 ( x) ? f n ( x) 得: an ? ? ? an ?1 ①, ? bn ? 2an ?1 ? ? ? bn ?1 ②, ? ……5 分 ? cn ? bn?1 ? ? ? cn?1 ③ ? ? n 由①得: an ? ? , n ? N , ……6 分 b 2 b n ?1 代入②得: bn ? 2 ? ? ? ? ? bn?1 ,即 n ? ? n ?1 ,其中 n ? 1, 2,? n n ?1

?

?

?

故得: bn ? 2n ? ?

n ?1

,n? N .
n?2
n?2

……7 分

代入③得: cn ? 2n ? ?

? ? ? cn ?1 ,即
,n? N ,
n?2

?

cn
n

?

2n

?

2

?

? n?1

cn ?1

,其中 n ? 1, 2,? . ……8 分

故得: cn ? n(n ? 1) ? ?

因此 f n (0) ? cn ? n(n ? 1) ? ?

,n? N . 1 1 n?2 将 ? ? ? 代入得: f n (0) ? n(n ? 1)(? ) ,其中 n ? N . 2 2 1 n ?1 (2)由(1)知 f n ?1 (0) ? n(n ? 1)(? ) , 2
当 n ? 2k (k ? 1, 2,?) 时, S2 k ? S2 k ?1 ? f 2 k ?1 (0) ? 2k (2k ? 1) ? (? )

……9 分

1 2

2 k ?1

? 0,

? S2 k ? S2 k ?1 ? 0, S2 k ? S2 k ?1 ,故当 S n 最大时, n 为奇数.
又 f 2 k ? 2 (0) ? (2k ? 1)(2k ? 2)(? ) , f 2 k ?1 (0) ? 2k (2k ? 1)(? )
2k

……10 分

当 n ? 2k ? 1(k ? 2) 时, S2 k ?1 ? S2 k ?1 ? f 2 k ? 2 (0) ? f 2 k ?1 (0) ……11 分

1 2

1 2

2 k ?1

11

1 1 ? f 2 k ? 2 (0) ? f 2 k ?1 (0) ? (2k ? 1)(2k ? 2)(? )2 k ? 2k (2k ? 1)(? ) 2 k ?1 2 2 1 2 k ?1 ? (2k ? 1)(k ? 1)(? ) ? 0, 2 ? S2 k ?1 ? S2 k ?1 ,因此数列 ?S2 k ?1? (k ? 1, 2,?) 是递减数列 ……12 分
又 S1 ? f 2 (0) ? 2 , S3 ? f 2 (0) ? f3 (0) ? f 4 (0) ? 2 , 故当 n ? 1 或 n ? 3 时, S n 取最大值 S1 ? S3 ? 2 . ……13 分 ……14 分

12


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