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2015高考数学广东文科数学解析+WORD版


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科) 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. ) 1.若集合 M ? ??1,1 ? , N ? ??2,1,0? ,则 M ? N ? A. ?0, ?1? 【答案】C 【解析】 M ? N 是指含有集合 M 和 N 共同元素的集合,故

M ? N ? ?1? 。 2.已知 i 是虚数单位,则复数 ?1 ? i ? ?
2

B. ?0?

C. ?1?

D. ??1,1?

A. ?2 【答案】D
2

B. 2

C. ? 2i

D. 2i

2 【解析】 ?1 ? i ? ? 1 ? 2i ? i ? 1 ? 2i ? 1 ? 2i 。

3.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 A. y ? x2 ? sin x 【答案】A
2 B, C, D 中的函数的定义域均为 R , 【解析】 关于原点对称, 对于 B, ∵ f ? ? x ? ? ? ? x ? ? cos ? ? x ? ? x ? 2

B. y ? x2 ? cos x

C. y ? 2 ?
x

1 2x

D. y ? x ? sin 2 x

?x ? cos x=f ? x ? , ∴ y ? x2 ? cos x 是偶函数; 对于 C, ∵ f ??x? ? 2 ?

1 1 ? x ? 2x ? f ? x ? , ∴ y ? 2x ? ?x 2 2

1 是偶函数;对于 D,∵ f ? ?x ? ? ?x ? sin ??2x ? ? ? x ? sin 2 x ? ? f ? x ? ,∴ y ? x ? sin 2 x 是奇函数. 2x

? x ? 2 y ? 2, ? 4.若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 ? x ? 4, ?
A. 10 【答案】C 【解析】如图 1,作可行域,作直线 2 x ? 3 y ? 0 ,平移交点 A 时, z 取 B. 8 C. 5 D. 2

得 最 大 值 , 由

?x ? 2 y ? 2 , 得 A ? 4, ?1? , ? ?x ? 4

所 以

zm a? 2 ? 4 ??3 ? ? 1 ? 。 x

? 5

5.设△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .若 a ? 2 , c ? 2 3 , cos A ? 则b ? A. 3 【答案】B 【解析】 由余弦定理得 22 ? b2 ? 2 3 B. 2 C. 2 2

3 ,且 b ? c , 2

D. 3

?

?

2

? 2?b? 2 3 ?

3 , 解得 b ? 2 或 b ? 4 , 因为 b ? c , 所以 b ? 2 。 2

6.若直线 l1 和 l2 是异面直线, l1 在平面 ? 内, l2 在平面 ? 内, l 是平面 ? 与平面 ? 的交线,则下列命题正 确的是 A. l 至少与 l1 , l2 中的一条相交 C. l 至多与 l1 , l2 中的一条相交 【答案】A 【解析】构造长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,选取底面 ABCD 和面 DCC1D1 . D1C1 与 BC 是异面,排除 B, D; D1D 与 BC 是异面,排除 C. 7.已知 5 件产品中有 2 件次品,其余为合格品.现从这 5 件产品中任取 2 件,恰有一件次品的概率为 A. 0.4 B. 0.6 C. 0.8 D. 1 【答案】B 【解析】 5 件产品中有 2 件次品,记为 a , b ,3 件合格品,记为 1,2,3.从这 5 件产品中任取 2 件,有 10 种,分别是 ? a, b ? , ? a,1? , ? a,2 ? , ? a,3? , ? b,1? , ? b,2 ? , ? b,3? , ?1, 2 ? , ?1,3? , ? 2,3? .记“恰 有一件次品” 为事件 A, 有 6 种, 分别是 ? a,1? , 所以 P ? A ? ? ? a,2? , ? a,3? , ? b,1? , ? b,2? , ? b,3? . 8.已知椭圆 A. 9 【答案】C 【解析】依题意有 a2 ? 25, b2 ? m2 , c ? 4 ,则 m ? a2 ? c2 ? 3 . 9. AB ? ?1, ?2 ? , AD ? ? 2,1? , 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知四边形 ABCD 是平行四边形, 则A DA C ? A. 2 【答案】D 【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD ? AC ? AD ? AB ? AD ? ? 2,1? ? ? 3, ?1? ? 5 . 10.若集合 E ? B. 3 C. 4 D. 5 B. l 与 l1 , l2 都相交 D. l 与 l1 , l2 都不相交

6 ? 0.6 . 10

x2 y 2 ? ? 1 ? m ? 0? 的左焦点为 F1 ? ?4,0? ,则 m ? 25 m 2
B. 4 C. 3 D. 2

??? ?

????

???? ??? ?

?

???? ????

???? ??? ?

?

????

?

?? p, q, r , s ? 0 ? p ? s ? 4, 0 ? q ? s ? 4, 0 ? r ? s ? 4, 且 p, q, r, s ??? ,F ? ?? t , u, v, w ?

0 ? t ? u ? 4,0 ? v ? w ? 4 ,且 t, u, v, w ??? ,用 card ? X ? 表示集合 X 中的元素个数,则 card ? E ? ?

card ? F ? ?
A. 50 【答案】D 【 解 析 】 ∵ card ? E ? ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 100 , card ? F ? ? ? 4 ? 3 ? 2 ?1? ? ? 4 ? 3 ? 2 ?1? ? 100 , ∴
3 3 3

B. 100

C. 150

D. 200

c a r? d E? ?

ca rd ?F ? ? 100+100=200.

二.填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) (一)必做题(11~13 题) 11.不等式 ? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 的解集为 【答案】 ? ?4,1? 【解析】 】由 ? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 得 x 2 +3x ? 4 ? 0 ,解得 ?4 ? x ? 1 . 12.已知样本数据 x1 , x 2 , ??? , x n 的均值 x ? 5 ,则样本数据 2 x1 ? 1 , 2 x2 ? 1 , ??? , 2 xn ? 1 的均值 为 . 【答案】11 【解析】依题意 . (用区间表示)

x1 ? x2 ? ? ? xn ? 2 x1 ? 1? ? ? 2 x2 ? 1? ? ? ? ? 2 xn ? 1? ? 2 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? ? 5 ,∴ n n n

1 ? 10 ? 1 ? 11 .
13.若三个正数 a , b , c 成等比数列,其中 a ? 5 ? 2 6 , c ? 5 ? 2 6 ,则 b ? 【答案】1 【解析】依题意 b ? ac ? 5 ? 2 6
2



?

. ??5 ? 2 6 ? ? 1 ,∴ b ? 1 或 b ? ?1 (舍去)

(二)选做题(14.15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立

?x ? t2, ? 极坐标系.曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? cos? ? sin ? ? ? ?2 ,曲线 C2 的参数方程为 ? ( t 为参数) , ? ? y ? 2 2t
则 C1 与 C2 交点的直角坐标为 【答案】 ? 2, ?4? .

? y 2 ? 8 x, ? x ? 2, 2 x ? y ? ? 2 C C 【解析】 曲线 1 的直角坐标方程为 , 曲线 2 的普通方程为 y ? 8x , 由? 得? ? x ? y ? ?2 ? y ? ?4.
15. (几何证明选讲选做题)如图 2, AB 为圆 O 的直径, E 为 AB 的延长线上一点,过 E 作圆 O 的切线, 切点为 C ,过 A 作直线 EC 的垂线,垂足为 D .若 AB ? 4 , CE ? 2 3 ,则 AD ? .

【答案】3

D
2

?4? 【解析】由切割线定理 EC ? EB ? EA ? EB ? ? EB ? AB ? ,即 12 ? EB( EB) ,解得 EB ? 2 ,所以 OE ? EB ? OB ? 4 .连接 OC ,则 OC ? CE ,
A O

C E

OC ? 2 . 所 以 在 Rt?OCE 中 , ?OEC ? 30 . 所 以 在 Rt?ADE 中 ,
?

B

A D?

1 A E? 3 . 2

图2

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤. ) 16. (本小题满分 12 分) 已知 tan ? ? 2 . (1)求 tan ? ? ? (2)求

? ?

??

? 的值; 4?

sin 2? 的值. sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ?1 ? tan ? ? tan ?? ? 4 ? 2 ? 1 ? ?3 。 解:(1) tan ? ? ? ? ? 4 ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? 2 ?1 ? 4 sin 2? (2)因为 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1
2

?
?

2sin ? cos ? sin ? ? sin ? cos ? ? ? 2cos2 ? ?1? ?1
2

2sin ? cos ? sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ?
2

很显然 cos ? ? 0, 分子和分母同除以 cos 2 ? 得 原式 ?

2? 2 2 tan ? ? 2 ? 1。 tan ? ? tan ? ? 2 2 ? 2 ? 2
2

17. (本小题满分 12 分) 某城市 100 户居民的月平均用电量(单位:度) ,以 ?160,180? , ?180, 200? , ? 200, 220? , ? 220, 240? ,

?240, 260? , ?260, 280? , ?280,300? 分组的频率分布直方图如图 3.
(1)求直方图中 x 的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量为 ? 220,240? , ? 240, 260? , ? 260, 280? , ? 280,300? 的四组用户中,用分层抽样的 方法抽取 11户居民,则月平均用电量在 ? 220, 240? 的用户中应抽取多少户? 解:(1)依题意 20 ? ? 0.002 ? 0.0095 ? 0.011? 0.0125 ? x ? 0.005 ? 0.0025? ? 1 ,解得 x ? 0.0075 。

(2)由图可知,最高矩形的数据组为 ? 220, 240? ,所以众数为

220 ? 240 ? 230 。 2

因为 ?160, 220? 频率之和为 ? 0.002 ? 0.0095 ? 0.011? ? 20 ? 0.45 , 所以依题意,设中位数为 y ,则 0.45 ? ? y ? 220? ?0.0125 ? 0.5 ,解得 y ? 224 , 所以中位数为 224 。 (3)月平均用电量在 ? 220, 240? 的用户在四组用 户中所占比为
频率/组距 0.0125 0.011 0.0095 x 0.005

0.0125 0.0125 ? 0.0075 ? 0.005 ? 0.0025

5 ,所以月平均用电量在 ? 220, 240? 的用户中 11 5 应抽取 11? ? 5 户。 11 ?

18. (本小题满分 14 分) 0.0025 如图 4,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 0.002 所在的平面垂直, PD ? PC ? 4 , AB ? 6 , BC 0 160 180 200 220 240 260 280 300 月平均用电量/度 ? 3. 图3 (1)证明: BC // 平面 PD? ; (2)证明: BC ? PD ; P (3)求点 C 到平面 PDA 的距离. (1)证明:∵长方形 ABCD 中, BC // AD , D C BC ? 平面 PDA , AD ? 平面 PDA , ∴ BC // 平面 PDA 。 A B (2)证明:取 CD 的中点 H ,连接 PH , 图4 ∵ PD ? PC ,∴ PH ? CD 。 ∵平面 PDC ? 平面 ABCD ,平面 PDC ? 平面 ABCD =CD , ∴ PH ? 平面 ABCD 。 ∵ BC ? 平面 ABCD ,∴ PH ? BC 。 ∵长方形 ABCD 中, BC ? CD , PH ? CD=H , PH,CD 均在平面 PDC 内, ∴ BC ? 平面 PDC 。 又 PD ? 平面 PDC ,∴ BC ? PD 。 (3)解:连接 AC ,由(2)知 PH 为三棱锥 P ? ADC 的高, ∵ PH ?
2 1 1 ?1 ? PD 2 ? ? CD ? ? 42 ? 32 ? 7 , S?ADC ? ? AD ? CD ? ? 3 ? 6 ? 9 , 2 2 ?2 ?

1 1 ? S ?ADC ? PH ? ? 9 ? 7 ? 3 7 3 3 由(2)知 BC ? PD ,又∵ AD // BC ,∴ AD ? PD 。 1 1 ∴ S ?PDA ? ? PD ? AD ? ? 4 ? 3 ? 6 。 2 2 设点 C 到平面 PDA 的距离为 h , 1 ∵ VC ? PDA ? VP? ADC ,∴ ? S ?PDA ? h ? 3 7 。 3
∴ VP ? ADC ?



h?

3 7 1 ? S?PDA 3

?

3 7 3 7 ? 1 2 。 ?6 3
3 5 , a3 ? ,且当 n ? 2 时, 4Sn?2 ? 5Sn ? 2 4

19. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , n ? N? .已知 a1 ? 1 , a2 ?

8Sn?1 ? Sn?1 .
(1)求 a 4 的值; (2)证明: ?an ?1 ?

? ?

1 ? an ? 为等比数列; 2 ?

(3)求数列 ?an ? 的通项公式. (1)解:因为 4Sn?2 ? 5Sn ? 8Sn?1 ? Sn?1 , 所以 n ? 2 时, 4S4 ? 5S2 ? 8S3 ? S1 。 所以 4 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? 5 ? a1 ? a2 ? ? 8 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? a1 。 所以 4 ?1+

? ?

3 5 7 ? ? 3? ? 3 5? ? ? a4 ? ? 5 ?1+ ? ? 8 ?1+ ? ? ? 1 ,解得 a4 = 。 2 4 8 ? ? 2? ? 2 4?

(2)证明:因为 n ? 2 时, 4Sn?2 ? 5Sn ? 8Sn?1 ? Sn?1 , 所以 4 ? Sn ? 2 ? Sn ?1 ? ? 2 ? Sn ?1 ? Sn ? ? 2 ?? Sn ?1 ? Sn ? ? 所以 ? Sn ? 2 ? Sn ?1 ? ?

? ?

1 ? Sn ? Sn?1 ?? 。 ? 2 ?

1 1 1 ? Sn?1 ? Sn ? ? ? ? Sn?1 ? Sn ? ? ? Sn ? Sn?1 ?? 。 ? ? 2 2? 2 ?

所以 an ? 2 ?

1 1? 1 ? an?1 ? ? an?1 ? an ? 。 2 2? 2 ?

又 a3 ?

1 ? 1 1? 1 ? 1 ? a2 ? ? a2 ? a1 ? ,所以 ?an?1 ? an ? 是首项为1 ,公比为 的等比数列。 2 ? 2 2? 2 ? 2 ?

n ?1 1 ? 1 ? 1 1? ? a ? a (3)解:由(2)知 ? n ?1 的等比数列,所以 an?1 ? an = ? ? 。 n ? 是首项为 1 ,公比为 2 ? 2 ? 2 ?2?

两边同乘以 2 n ?1 得, an?1 ? 2

n?1

? an ? 2n =4 ,

n 2 1 又 a2 ? 2 ? a1 ? 2 =4 ,所以 an ? 2 是首项为 2 ,公差为 4 的等差数列。

?

?

所以 an ? 2 ? 2 ? 4 ? n ?1? ? 2 ? 2n ?1? 。
n

所以 an ?

2 ? 2n ? 1? 2n ? 1 ? n ?1 。 2n 2

20. (本小题满分 14 分) 已知过原点的动直线 l 与圆 C1 : x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相交于不同的两点 A , B . (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k ,使得直线 L : y ? k ? x ? 4? 与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围; 若不存在,说明理由. 解: (1)因为圆 C1 : ( x ? 3) ? y ? 4 ,所以圆心坐标为 (3, 0) 。
2 2

(2)设点 M ( x, y ) ,可知 C1M ? AB ,即 C1M ? OM ,
2 3 2 9 所以点 M 在以 OC1 为直径的圆 ( x ? ) ? y ? 上,即满足 x2 ? 3x ? y 2 ? 0 。

2

4

因为点 M 在圆 C1 内,满足 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 , 所以 ?3x ? 5 ? 0 ,得 x ?

5。 3

2 3 2 9 5 所以点 M 的轨迹 C 的方程为 ( x ? ) ? y ? , ? x ? 3 .

2

4

3

(3)由(2)知,轨迹 C 是一段圆弧,不含端点 P( 5 , 2 5 ) , Q( 5 , ? 2 5 ) ,

3

3

3

3

3 圆心 C ( , 0) ,易知直线 L 过定点 N (4, 0) , 2

| k ? 4k | 2 3 3 2 9 由直线 L 与圆 ( x ? ) ? y ? 相切,得 2 ? 3 ,解得 k ? ? 4 , 2 4 k 2 ?1
2

3

2

3 12 ? 5 , 设切点为 D ,在 Rt△ CDN 中, CD ? ( xD ? ) ? CN ,得 xD ?
2

5

3

所以切点 D 在轨迹 C 的圆弧上。 又 kQN ? 2 5 ? 3 , kPN ? ? 2 5 ? ? 3 ,

7

4

7

4

所以当 k ? ? ?

? 2 5 2 5? 3 3 , ? ? ? 4 , 4 时,直线 L 与轨迹 C 只有一个公共点. 7 7 ? ?
2

?

?

21. (本小题满分 14 分) 设 a 为实数,函数 f ? x ? ? ? x ? a ? ? x ? a ? a ? a ? 1? . (1)若 f ? 0? ? 1,求 a 的取值范围;

(2)讨论 f ? x ? 的单调性; (3)当 a ? 2 时,讨论 f ? x ? ?
2 2

4 在区间 ? 0, ?? ? 内的零点个数. x

解: (1) f (0) ? a ? a ? a ? a ? a ? a ,因为 f ? 0? ? 1 ,所以 a ? a ? 1 。 当 a ? 0 时, 0 ? 1 显然成立;当 a ? 0 ,则有 2a ? 1 ,所以 a ? 综上所述, a 的取值范围是 ? ??, ? . 2

1 1 ,则 0 ? a ? 。 2 2

? ?

1? ?

? x 2 ? ? 2a ? 1? x, x ? a, ? (2) f ( x) ? ? 2 ? ? x ? (2a ? 1) x ? 2a, x ? a,
对于 u1 ? x 2 ? ?2a ? 1?x ,其图像的对称轴为方程为 x ? 所以 f ( x) 在 (a,??) 上单调递增。 对于 u2 ? x ? ? 2a ?1? x ? 2a ,其图像的对称轴为方程为 x ?
2

2a ? 1 1 ? a ? ? a ,且开口向上, 2 2

2a ? 1 1 ? a ? ? a ,且开口向上, 2 2

所以 f ( x) 在 ( ??, a ) 上单调递减. 综上, f ( x) 在区间 (a,??) 上单调递增,在区间 ( ??, a ) 上单调递减. (3)由(2)得 f ( x) 在 (a,??) 上单调递增,在 (0, a ) 上单调递减,所以 f ( x) min ? f (a) ? a ? a 2 . (i)当 a ? 2 时, f ( x) min 由题意, f ? x ? ?
2 ? ? x ? 3x, x ? 2, ? f (2) ? ?2 , f ( x) ? ? 2 ? ? x ? 5 x ? 4, x ? 2.

4 4 =0,即 f ( x) ? ? ( x ? 0 ), x x

∵ f ( x) 在 (0,2) 上单调递减,所以 f ( x) ? f (2) ? ?2 . 令 g ? x? ? ?

4 ,则 g ? x ? 为单调递增函数,所以在区间 (0,2) 上, g ? x ? ? g (2) ? ?2 , x

所以函数 f ( x ) 与 g ? x ? 在 (0,2) 上无交点.
2 当 x ? 2 时,令 f ( x ) ? x ? 3 x ? ?

4 2 ,化简得 x 3 ? 3x 2 ? 4 ? 0 ,即 ?x ? 2? ( x ? 1) ? 0 ,解得 x ? 2 , x

综上所述,当 a ? 2 时, f ? x ? ?

4 在区间 (0, ??) 上有一个零点为 x ? 2 . x

(ii)当 a ? 2 时, f ( x) min ? f (a) ? a ? a 2 , 当 x ? (0, a) 时, f (0) ? 2a ? 4 , f (a) ? a ? a 2 ,而 g ? x ? ? ?

4 为单调递增函数,且当 x ? (0, a) 时, x

g ? x? ? ?

4 ?0, x 4 的大小 a

故判断函数 f ( x ) 与 g ? x ? 是否有交点,需判断 f (a) ? a ? a 2 与 g ? a ? ? ? 因为 a ? a 2 ? (? ) ?

4 a

? (a 3 ? a 2 ? 4) ? (a ? 2)(a 2 ? a ? 2) ? ?0, a a
4 ,即 f (a) ? g ? a ? 。 a

2 所以 f (a ) ? a ? a ? ?

所以,当 x ? (0, a) 时, f ( x ) 与 g ? x ? 有一个交点; 当 x ? (a, ??) 时, f ( x ) 与 g ? x ? 均为单调递增函数,而 g ? x ? ? ?
2

4 ? 0 恒成立。 x

而令 x ? 2a 时, f (2a) ? a +a ? a ? a ?1? ? 2a ? 0 ,则此时,有 f (2a) ? g ? 2a ? , 所以当 x ? (a, ??) 时, f ( x ) 与 g ? x ? 有一个交点。 故当 a ? 2 , f ( x ) 与 g ? x ? ? ? 综上,当 a ? 2 时, f ? x ? ?

4 有两个交点. x

4 4 有一个零点为 x=2;当 a ? 2 时, f ? x ? ? 有两个零点. x x


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