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矩阵的秩的习题、行列式与矩阵综合习题


闫浩教你线性代数 2015 秋季学期(北京邮电大学)11 月 5 日用

一、矩阵的秩习题

? 2 ? 3 1? ? ? 1.设 A ? ? 1 a 1 ? ,若 r ( A) ? 2 ,则 a 的值为( ? 5 0 3? ? ?
A. a ? ?6 B. a ? 6 C. a ? 0

) .

D. a ? 1

? 1 2 2 3? ? ? 2.设 A ? ? 2 4 t 6 ? , t 为何值时, r ( A) ? 2 . ? 3 6 6 9? ? ?
3.设 A, B 都是 n 阶非零矩阵,且 AB ? O ,则 A 和 B 的秩( A.必有一个等于零 C.一个小于 n ,一个等于 n B.都小于 n D.都等于 n ) . ) .

4. A 为 4 阶非零矩阵,其伴随矩阵 A* 的秩 r ( A* ) ? 0 ,则 r ( A) 等于( A. 1 或 2 . B. 1或 3 C. 2 或 3 D. 3 或 4

? 1 ? 1? ? ? ? 1 1 0? 5. 设 A ? ? 2 0 ? , B ? ? ? 2 3 1? ? ,则必有( ? ? ?3 1 ? ? ?
A. AB ? BA 6. ? ? ?1 2 A. 2 B.. 1
T

) .

B. AB ? B T AT

C. BA ? ?8 ) 。

D. AB ? 0

3? , ? ? ?1 2 3? , A ? ?? , 则 r ? A? ? (
C. 3 D. 0

3 ? ?2 0 0 ? ? ?1 2 ? ? ? ? 7.设 A ? ? 3 4 ? 1?, B ? ? 2 ? 4 ? 6 ?, 则 r ? AB ? B ? ? ( ?2 4 5 ? ?? 3 6 9 ? ? ? ? ?
A.3 B.. 2 C.1 D. 0



? 1 ?2 2 ? ? ? x ? ,三阶矩阵 B ? 0 ,且满足 AB ? 0 ,则( 8. 设 A ? ? ? 2 6 ? 3 0 ? 6? ? ?
A. x ? ?8, r ( B ) ? 1 C. x ? 8, r ( B ) ? 1 B. x ? ?8, r ( B ) ? 2 D. x ? 8, r ( B ) ? 2

).

1

闫浩教你线性代数 2015 秋季学期(北京邮电大学)11 月 5 日用

?1 ? ?1 9. 如果矩阵 A ? ? ?2 ? ? ?2

2 3? 3 2? ?, B是 3 阶非零矩阵,且 AB ? 0 ,则 t ? _____ 1 t ? ? 1 ?1?

?1? ? 1 ?1 2? ? ? ? ? a 1 ? . 若 矩 阵 AB ? B 的 秩 为 2 , 则 a ? 10. 已 知 A ? ? 0 ??1 ? 1 0 ? , B ? ? 2 ? 2? ? ?1 3 0? ? ? ? ?
( ). B. ? 1 C. 1 D. 5 A. ? 5

0 ?2 ? 11.设 3 阶非零矩阵 A 的秩为 r(A),B ? ?1 k ? ? 3 ?3
A.2 与-3 B.1 与-3 C.2 与 3

? 1? 2? 则 r(A)与 k 分别等于 ( ? 若 AB=0, 0? ?
D.1 与 3



?1 ? ?a 12. n 阶矩阵 A= ? a ? ?? ?a ?

a 1 a ? a

a a 1 ? a

... a ? ? ... a ? ... a ? 的秩为 n-1,求 a. ? ?? ... 1 ? ?

? a b ? 3? ? ? 13. 3 阶矩阵 A= ? 2 0 2 ? ? 3 2 ? 1? ? ?
和 r(AB).

?b ? 1 a 1? ? ? , B= ? ? 1 1 0 ? , 已知 r(AB)小于 r(A)和 r(B),求 a,b ? 0 ? 2 1? ?

14.设齐次线性方程组

? x1 ? kx3 ? 0 ? ?kx1 ? x2 ? 5 x3 ? 0 ? x ?x ?x ?0 ? 1 2 3

, k 为何值时,方程组有非零解?

15.设非齐次线性方程组 AX ? b, A ? M m ,n ,以下命题正确的是

( A) m ? n 时, AX ? b 有唯一解. ( B) r ( A) ? n 时, AX ? b 有唯一解. (C ) r ( A) ? m 时, AX ? b 必有解. ( D ) r ( A) ? n 时, AX ? b 有无穷多解.
16. A ? M m ,n , B ? M n ,m ,且 r ( A) ? n, r ( B ) ? m ,试证明: ?b ? R , ABX ? b 总有
m

唯一解.

2

闫浩教你线性代数 2015 秋季学期(北京邮电大学)11 月 5 日用

二、行列式与矩阵综合习题

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? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1 ?a x ? a x ?? ? a x ? b ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ??????????? ? ? ?an1 x1 ? an 2 x2 ? ? ? ann xn ? bn

(1)

4

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? cos ? 20. 求 ? ? ? sin ?

sin ? ? ? cos ? ,? ? cos ? ? ? ? sin ?

?1

sin ? ? cos ? ? ?

n

21. A 为方阵, O 为零矩阵,证明: A ? O 当且仅当 A A ? O .
T

5

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22. A 为对称矩阵,且 A ? O ,其中 O 为零矩阵,证明: A ? O .
2

23. A 为 m ? n 的矩阵, O 为零矩阵,证明:线性方程组 Ax ? 0 与 A Ax ? 0 同解.
T

24. 任意的列向量 ? ,有 ? A? ? 0 ,证明: A 反对称.
T

6


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