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2函数专题训练(一)教师版


龙泉一中高 2013 级高三第一轮复习

函数专题训练
一、函数求值

? 1 x 1.已知函数 f ( x) ? ?( 2 ) , x ? 4 ,则 f (2 ? log2 3) 的值为 ? ? f ( x ? 1), x ? 4 ?
A. 1
24

( A D. 1
3

/>


B. 1
12

C. 1
6

2.已知函数 y ? f (x) ,对任意的两个不相等 的实数 x1 , x 2 ,都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

) ) . ) ) 成立,且 f (0) ? 0 ,则 f (?2006 ? f (?2005 ? .......... f (2005 ? f (2006 的值是 B
A.0 B.1 C.2006! D. (2006! 2 )

3. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 且 满 足 f (? x) =- f ( x ? 2) , 则

f (1) ? f (2) ? ? ? f (8) ?



[来源:学&科&网

0

]

?log 2 (? x), x ? 0 ? 4. 已知函数 f ( x ? 2) ? ? 1 x ,则 f (?2) ? f (log2 12) =B ?( 2 ) , x ? 0 ?
A 、 13 B、

7 3

C、

25 12

D、

13 12

5 . 若 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 对 任 意 的 实 数 x , 都 有 f ( x ? 4) ? f ( x) ? 4 和

f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2, 且f (3) ? 4, f (2011 的值是 )
A.2010 B.2011 C.2012

( D.2013

C



6.若对任意的 x ? R ,函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2012? ? ? f ? x ? 2011? ,且 f ? 2012? ? ?2012 ,则

f ? ?1? ? ( C )
A.1

B. ?1

C.2012

D. ?2012 的值等于 A ( )

x 7. f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 设 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ? 2 。 f (?l g 32 则 o )

A.-4

B.2

C.3

D.4

8. 已知函数 f (x ) 是定义在 (-?,??) 上的奇函数, 若对于任意的实数 x ? 0 , 都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,

) ) 且当 x ? ?0,2? 时, f ( x) ? log2 ( x ? 1) ,则 f (?2011 ? f (2012 的值为( )
A. -1 B. -2 C. 2 D. 1

1

9.已知 f ( x) ?

7 x2 1 1 1 ,那么 f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) =_____。 2 2 2 3 4 1?x

10.已知定义在 [0,??) 的函数

? x ? 2 ( x ? 2) f ( x) ? ? 2 (0 ? x ? 2) ?x

若 f ( f ( f ( k ))) ?

25 ,则实数 4

k?
二、函数的性质 1.已知函数 f ( x) ? ln x ?

3 (提示:由外到里,逐步求得 k). 2 1? x , 其中 a 为大于零的常数,若函数 f ( x)在区间1,??) 内调递 增,则 [ ax
C. [1, ??) D. [?1, ??)

a 的取值范围是( C ) A. (??,1] B. (??, ?1]

?a, a ? b ? ?? 5 a ?b ? ? x ? ?0, ? f ? x ? ? cos2 x ? s i nx ? ? 2 ? ,则函数 4 ,且 ?b, a ? b , 令 2.定义一 种运算

?

?

?? ? f ?x ? ? 2 ? 的最大值是 ?
5 A. 4





B.1
2

C. ? 1
2

?
D.

5 4

解.答案:A 由于 cos x ? sin x ? ? sin x ? sin x ? 1

1 5 5 ? ?(sin x ? ) 2 ? ? 2 4 4 ? f ( x) ? (cos 2 x ? sin x) ? 5 ? cos 2 x ? sin x 4 ,

f (x ?

?
2

) ? cos 2 ( x ?

?
2

) ? sin( x ?

?

1 1 ) ? sin 2 x ? cos x ? ?(cos 2 x ? cos x ? ) ? 1 ? 2 4 4

1 5 5 ? ?(cos x ? ) 2 ? ? 2 4 4
2

3.已知函数 f(x)=x2+2︱x︱-15,定义域是 [a, b](a, b ? Z ) ,值域是[-15,0],则满足条件的整数 对 ( a, b) 有 4.已知 f ( x) ? ? 7 对.

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 C log a x, x ? 1 ?
B. (0,

A. (0,1)

1 ) 3

C. ? , ? 7 3

?1 ?

1? ?

D. ? ,1?

?1 ?7

5.下列四个函数: ① f ( x) ? x ? 2x ;
2

② f ( x) ? sin x,0 ? x ? 2? ; ④ f ( x) ? log 2 (2 x ? 1), x ?

[来源:Zxxk.Com]

③ f ( x) ? 2 ? x;
x

1 . 2

其中,能是 f ? A、 1

? x1 ? x2 ? 1 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ?? 恒成立的函数的个数是 B ? ? ? 2 ? 2
B、 2 C、 3 D、4

6.下列判断正确的是 C A.函数 f ( x) ?

x 2 ? 2x 是奇函数 x?2

B.函数 f ( x) ? (1 ? x)

1? x 是偶函数 1? x

C.函数 f ( x) ? x ? x 2 ? 1 是非奇非偶函数

D.函数 f ( x) ? 1 既是奇函数又是偶函数

7.设 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,且对于任意的 x 都有 f ? f ? 恒成立. 如果实数 (x (x 1) 1)0 ? ?

?( 2?m2 ? ( 2?n? f m 6 ?3 f n 8) 0 ) 2 2 m n满足不等式组 ? 、 ,那么 m ?n 的取值范围是( C ) m3 ??
8. 已知函数 y ? loga (ax ? x) 在区间 ? 2, 4? 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 B
2

A.(3, 7)

B.(9, 25)

C.(13, 49)

D. (9, 49)

1 A 、 ( ,1) ? (1, ??) 4

B 、 (1, ??)

C 、 ( 1 ,1) 4

D 、 (0, 1 ) 8
)

9. f ( x ) 是定义域为 R 的增函数,且值域为 R? ,则下列函数中为减函数的是( D A. f ( x) ? f (? x) B. f ( x) ? f (? x) C. f ( x) ? f (? x) D.

f (? x) f ( x)

3 10. 已知函数 f ( x) ? x ? x , x ? R ,若当 0 ? ? ?

?
2

时, f ? m sin? ? ? f ?1? m? ? 0 恒成立,则

实数 m 的取值范围是( D



3

1? D. ? ??,1? ? 2? 11.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 的导函数为 f ?( x ) , f ?(0) ? 0 ,f(x)与 x 轴恰有一个交点,则
A. (0,1) B.

? ??,0?

C. ? ??,

? ?

f (1) 的最小值为 ( A f ?(0)
A. 2 3 B. 2

) 5 D. 2 时,f ( x) ? x2 ? 2x , x ??4? 若 [,2 ] ( C )

C. 3

12. 定义域为 R 的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? 3 f ( x) , x ?0 当 2 , [ ] 时, f ( x) ?

1 3 ( ? t ) 恒成立,则实数 t 的取值范围是 8 t

A. ? ??, ?1? ? ? 0,3? C. ? ?1,0? ? ?3, ??? 13. 已知函数 f ( x ) 的图像与函数 h( x ) ? x ?

B. ??, ? 3 ? ? 0, 3 ?

?

?

?

?

D. ? ? 3, 0 ? ? 3, ??

?

?

?

?

1 a ? 2 的图像关于点 A (0, 对称, g ( x ) ? f ( x ) ? , 1) 若 x x

且 g ( x) 在区间 ? 0, 2? 上为减函数,则实数 a 的取值范围(A ) A. ?3, ?? ? B. ?2,??? C. ? 0,3? D. ? 0, 2?

14.已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,对于任意 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3)成立,当

x1 , x2 ?[0,3] ,且 x1 ? x2 时,都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0. 给出下列命题:① f (3) ? 0; x1 ? x2

②直线 x ? ?6 是函数 y ? f ( x) 的图像的一条对称轴; ③函数 y ? f ( x) 在[-9,-6]上为增函数; ④函数 y ? f ( x) 在[-9,9]上有 4 个零点。 其中正确的命题为 。 (将所有正确命题的编号都填上)

解析: .①②④取 x ? ?3 ,得 f (?3 ? 6) ? f (?3) ? f (3) ,而 f (?3) ? f (3) , 所以 f (3) ? 0 ,命题①正确;从而已知条件可化为 f ( x ? 6) ? f ( x) , 于是 f (?6 ? x) ? f (?6 ? x ? 6) ? f ( x) ? f (6 ? x) ? f (?6 ? x) ,所以 x ? ?6 是其一条对称 轴,命题②正确;因为当 x1 , x2 ? [0,3] ,且 x1 ? x 2 时,都有 ?
4

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,所以此时单 x1 ? x2

调递增,从而 f (x) 在 [?3,0] 上单调递减,又从上述过程可知原函数的周期为 6,从而当

x ? [?9,?6] 时, x ? 6 ? [?3, 0 ] , f ( x) ? f ( x ? 6) ,此时为减函数,所以命题③错误;同理,
f (x) 在[3,6]上单调递减,所以只有 f (?9) ? f (?3) ? f (3) ? f (9) ? 0 ,得命题④正确.综
上所述,正确命题的序号为①②④. 15.已知函数 f ( x) ? log2 ( x2 ? 2 x ? a) 的值域为 [0, ??) ,则正实数 a 等于 A、1 B、2 解:B C、3 D、4
2

x2 ? 2x ? a ? ?x ?1? ? a ?1 ? a ?1,?a ?1 ? 1, 则a ? 2
n? n? ? sin x ,则满足 f ( ) ? f ( ? ) 的最小正整数 n 是 6 6 6 x
C、9 D、10

16.设 f ( x) ? A、7

B、8

解.C

要使

n? f( )? 6

sin

? n? ? ? n ? 1? ? n? sin ? ? ? sin ? n? ? ? 6 6?? 6 ? f( ? )? 6 成立, 只要比较函数 n? n? ? n ? 1? ? 6 6 ? ? 6 6 6 6

y ? sin

?
6

x 上的整点与原点连线的斜率即可,函数 y ? sin

?
6

x 上的横坐标为正数的整点分别为

1 3 3 1 1 3 3 (1, ),(2, ),(3,1),(4, ),(5, ),(6,0),(7, ? ),(8, ? ),(9, ?1),(10, ? ),? 2 2 2 2 2 2 2
3 ? ?0 ?1 ? 0 1 3 ?? ? 2 ?? 可得 ,所以最小正整数 n ? 9. 9?0 9 10 ? 0 20
?? x2 ? 4 x ? 1 0x(? 2 ) ? 17. 已 知 函 数 f ( x) ? ? , 若 f (6 ? a2 ) ? f (5a) , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 log3 ( x ? 1) ? 6( x ? 2) ? ?
________ ?- 6,1?

f ?x?为单调递增函数,6 - a 2 ? 5a . ?
18.对于函数 f ( x) ? ?2cos x, x ?[0, ? ] 与函数 g ( x) ?

1 2 x ? ln x 有下列命题: 2

①无论函数 f ( x) 的图像通过怎样的平移所得的图像对应的函数都不会是奇函数; ②函数 f ( x) 的图像与两坐标轴及其直线 x ? ? 所围成的封闭图形的面 积为 4; ③方程 g ( x) ? 0 有两个根; ④函数 g ( x) 图像上存在一点处的切线斜率小于 0; ⑤若函数 f ( x) 在点 P 处的切线平行于函数 g ( x) 在点 Q 处的切线,则直线 PQ

5

的斜率为

1 ,其中正确的命题是________。 (把所有正确命题的序号都填上) 2 ??
函数向左平移

解.②⑤

? 个单位所得的为奇函数,故①错;函数 f ( x) 的图象与 坐标轴及其直线 2
?
0

2 x ? ? 所围成的封闭图形的面积为 2? (2 cos x) =4,故②对;函数 g ( x) ? x2 ? ln x 的导函数 dx

1 2

1 g ?( x) ? x ? ? 2 ,所以函数 g ( x) 在定义域内为增函数,故③与④错;同时要使函数 f ( x) 在点 P 处 x ? 1 的 切 线 平 行于 函 数 g ( x) 在 点 Q 处 的 切 线 只有 f ?( x) ? g ?( x)=2 , 这 时 P , , ( 0),Q 1 (,) 所 以 2 2 1 ,⑤正确. kPQ ? 2 ??
三、函数的图像 1. 若点P(x,y)坐标满足 ,则点P的轨迹图象大致是( B)

2.函数 y ? esin x (?? ? x ? ? ) 的大致图像为( D )

3. 已知定义在上的函数 列叙述正确的是() (A) (C)

,其导函数

双图象如图所示,则下

(B) (D)

【解析】C 考查函数 f (x) 的特征图象可得: f (c) ? f (b) ? f (a) 正确. 4.函数 y=ln 1 的大致图象为 A |2x-3|

6

5.函数 y ?

| x | ax (0 ? a ? 1) 的图像的大致形状是 x





. 解析: x ? 0 时,y ? B 当

| x | ax | x | ax ? ax , 0 ? a ? 1, ? ?a x , 又 可排除 C、 当 x ? 0 时,y ? D; x x
( A ). y y

又 0 ? a ? 1 ,可排除 A,故选 B. 6.函数 y ? ln cos x ? ? π ? x ? π ? 的图象是 ? ? 2? ? 2 y y

?

π 2

O A.
2

π x π ? 2 2

O

π x π ? 2 2

O

*k&s%5¥u

π 2

x

?

π 2

O

π x 2

B.

C.

D. ( C )

7.函数 f ( x) ? e1? x 的部分图象大致是

8.如图,正方形 ABCD 的顶点 A(0,

2 2 ),B( ,0), 2 2

y A O l

D C B

顶点 C D 位于第一象限,直线 l:x=t(0≤t≤ 2)将 正方形 ABCD 分成两部分,记位于直线 l 左侧阴影 部分的面积为 f(t),则函数 S=f(t)的图象大致是( C )

2

x

S
1

S 1

S 1
7

S 1

O

2

t

O

2

t

O

2

t

O

2

t

A

B

C

D

9.已知函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) (其中 a ? b )的图象如右图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b 的图象是 ( A )

f ( x)

A.

B.

C.

D.

10.已知 g(x)为三次函数 f (x)=

a 3 x +ax2+cx 的导函数,则它们的图象可能是 D 3

11.函数 y ?

ln x x

的图象大致是(

C )

四、函数的零点

? x ? 1( x ? 0 ) 1.已知函数 f ( x ) ? ? ,则函数 y ? f [f ( x )] ? 1 的零点个数是( A ) ?log 2 x( x ? 0 )
(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1
x

2.若 x1 是方程 lg x ? x ? 3 的解, x2 是 10 ? x ? 3 的解,则 x1 ? x2 的值为 C A.

3 2

B.

2 3

C. 3

D.

1 3

[来源:学。科。网]

3. 函数 f ( x ) 对一切实数 x 都满足 f ( ? x) ? f ( ? x) , 并且方程 f ( x) ? 0 有三个实根, 则这三个实根

1 2

1 2

8

的和为



3 2
( C ). C. (2,3) D. (3,+∞) )

4.函数 f ( x) ? x ? lg 1 ? 3 的零点所在区间为 x A. (0,1) B. (1,2)
2

5.如果函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? 2 ? a ? 0 ? 没有零点,则 a 的取值范围为( C A. C.

? 0,1?

B. D.

? 0,1? ? ?

2, ??

?

? 0,1? ? ? 2,???

? 0, 2 ? ?? 2,???

6.函数 f (x) 对一切实数 x 都满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) , f ( x) ? 0 有 3 个实根,则这 3 个实根之和 为( D ) A. 6

B. 9

C. 4

D. 3 D ) D. 0 ? x1 x2 ? 1

7. 已知函数 f ?x ? ? lg x ? ? ? 有两个零点 x1 、 x2 ,则有( A. x1 x2 ? 0 B. x1 x2 ? 1 C. x1 x2 ? 1

?1? ?2?

x

8. 已知函数 f (x) 满足 f ( x) ? 1 ?

1 ,当 x ? ?0,1? , f ( x) ? x ,若在区间 ?? 1,1? 内 f ( x ? 1)
( D ) (D) 0 ? m ?

g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 有两个不同零点,则实数 m 的取值范围是
(A) 0 ? m ?

1 2

(B) ?

1 1 ?m? 3 3

(C) 0 ? m ?

1 3

1 2

五、函数与不等式 1. 设函数 f ( x ) 在其定义域 ? 0, ?? ? 上的取值恒不为 0 , x ? 0, y ? R 时, 且 恒有 f ( x y ) ? yf ( x) . 若

a ? b ? c ? 1 且 a、b、c 成等差数列,则 f (a) f (c) 与 ? f (b ) ? 的大小关系为( D )
2

A. f ( a ) f (c ) ? ? f (b) ?

2

B. f ( a ) f (c ) ? ? f (b) ?

2

C. f ( a ) f (c ) ? ? f (b) ?

2

D.不确定

2.已知函数 y ? f ( x) 是定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x ? (??,0)时, f ( x) ? xf ?( x) ? 0 成立 (其中 f ?( x)是f ( x) 的导函数) ,若 a ? 3 f ( 3), b ? (log g 3) f (log g 3), c ? (log 2 则 a,b,c 的大小关系是 A. c ? a ? b B. c ? b ? a C. a ? b ? c

1 1 ) f (log 2 ) , 4 4
( A )

D. a ? c ? b

?? 上 的 偶 函 数 , 且 f ( x? 3)? f ( x ? 1 0,( x ) 在 ) ) ? f 3. 已 知 函 数 y ? f ( x )是 定 义 在 (??, 0)? (0, (?3, 0) 上 单 调 递 增 , 若 a ? f ( 0 . 3 ) , ? 2 b
( )
9

f ( 5? , c? f ( , 0 1 2 a, b,c 的 大 小 关 系 是 C ) 2 则 )

A. a ? b ? c

B. c ? b ? a

C. c ? a ? b

D. a ? c ? b

4. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 4(0 ? a ? 3) ,其图象上两点的横坐标 x1 , x2 满足 x1 ? x 2 ,且

x1 ? x2 ? 1 ? a ,则有
A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) 5.设函数 F ( x) ?

( B. f ( x1 ) ? f ( x2 )

C

)

D. f ( x1 ), f ( x2 ) 的大小不确定

f ( x) 是定义在 R 上的函数,其中 f ( x ) 的导函数 f '( x) 满足 f '( x) ? f ( x) 对于 ex
( B )
2012

x ? R 恒成立,则
A. f (2) ? e f (0), f (2012) ? e
2

f (0) f (0)

B. f (2) ? e f (0), f (2012) ? e
2 2

2012

f (0) f (0)
)

C. f (2) ? e f (0), f (2012) ? e
2

2012

D. f (2) ? e f (0), f (2012) ? e

2012

2 6.已知函数 f ( x ) ? x ? cos x ,则 f ( 0.6 ), f ( 0 ), f ( ?0.5 ) 的大小关系是(

B

(A) f ( 0 ) ? f ( 0.6 ) ? f ( ?0.5 ) (C)
f (0 . ? 6 ) f?(0 5. ? )

(B) f ( 0 ) ? f ( ?0.5 ) ? f ( 0.6 )
0 ( (D) f ( ?0.5 ) ? f ( 0 ) ? f ( 0.6 ) f )

7.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足以下三个条件: ①对于任意的 x ? R , 都有 f ( x ? 4) ? f ( x) ; ②对于任意的 x1 , x2 ? R ,且 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;③函数 y ? f ( x ? 2) 的图象关 于 y 轴对称,则下列结论中正确的是( A. f (4.5) ? f (7) ? f (6.5) C. f (7) ? f (6.5) ? f (4.5) A ) B. f (7) ? f (4.5) ? f (6.5) D. f (4.5) ? f (6.5) ? f (7)

8 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 满 足 f ( x) ? f ( x ? 2) , 当 x ? [1,3] 时 , f (x) ? 2? | x ? 2 | , 则 ( D )

f (sin
A.

2? 2? ) ? f (cos ) 3 3

B. f (sin1) ? f (cos1)

C. f (tan3) ? f (tan6)

D. f (sin 2) ? f (cos2)

9. 已知 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的增函数,且 f (1) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (??,1] 上为增函数,在

[1, ??) 上为减函数,且 g (4) ? g (0) ? 0 ,则集合 {x | f ( x) g ( x) ? 0} =A
(A) {x | x ? 0或1 ? x ? 4} (B) {x | 0 ? x ? 4} (C) {x | x ? 4} (D) {x | 0 ? x ? 1或x ? 4}

10

10.已知函数 y ? f ( x) 是定义在 {x | x ? R, 且x ? 0} 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 1 ,则不 等式 f ( x ) ?

1 的解集是 2



解析: 由已知可得f ( x) ? ? .

? x ? 1 ,x ? 0 1? ? 3? ? ,分别求解得解集为 ? ??, ? ? ? ? 0, ? 2? ? 2? ? ? x ? 1 ,x ? 0
,则不等式 f ( x) ? x ? 2 的解集是 ( D )

11.已知函 数 f ( x) ? ?
[来源:学科网]

?2 x 2 ? 1( x ? 0) ??2 x( x ? 0)

A. [? , 0]

1 2

B. (0, ??)

C. ?0,???

D. ? ?

? 1 ? , ?? ? ? 2 ?

94. 已知函数 g(x)是 R 上的奇函数, 且当 x ? 0 时 g ( x) ? ? ln(1 ? x) , 函数 f ( x) ? ? 若 f (2 ? x2 ) > f ( x) ,则实数 x 的取值范围是 A. (?2,1) C. (?1, 2) 六、函数的创新题
2 2 1.定义两种运算: a ? b ? a ? b , a ⊙ b ? ab?a, b ? R ? ,则函数 f ? x ? ?

? x3 ? g ( x)

( x ? 0), ( x ? 0),

B. ? ??, ?2 ? ? (1, 2) ? ( 2, ??) D. ?2, ? 2 ? (? 2, 0) ? (0,1)

?

?

2⊙ x 是( A ) ?x ? 2? ? 2

A.奇函数 C.既是奇数又是偶函数 2.如下四个函数:

B.偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 ④ f ( x) ? log 1 x
2

2 3 ① f ( x) ? sin x ② f ( x) ? x ? 2x ? 1 ③ f ( x) ? ? x ? 4x ? 2

性质 A:存在不相等的实数 x1 、 x2 ,使得

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 ? f( 1 ) 2 2

性质 B:对任意 0 ? x1 ? x2 ? 1, 总有f ( x1 ) ? f ( x2 ) 以上四个函数中同时满足性质 A 和性质 B 的函数个数为 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ( B )

3.一次研究性课堂上,老师给出函数 f ( x) ?

x (x ? R),四位同学甲、乙、丙、丁在研究此函数时 1? | x |

分别给出命题:甲:函数 f(x)的值域为(-1,1) ;乙:若 x1≠x2,则一定有 f(x1)≠f(x2);丙: 若规定
f1 ( x) ? f ( x) , f n ( x) ? f ( f n ?1 ( x)) , f n ( x) ?

x * 对任意 n ? N 恒成立;丁:函数 g ( x) ? 1? n | x |
11

f ( x) ? x

在 R 上有三个零点。上述四个命题中你认为正确的是_____________(用甲、乙、丙、丁作答) 。15.甲、乙、丙 4.对于函数 f(x),若在其定义域内存在两个实数 a,b(a<b),使当 x∈[a,b]时,f(x)的值域也是[a, b],则称函数 f(x)为“科比函数”. 若函数 f ( x) ? k ? ( B A. (? )

x ? 2 是“科比函数”,则实数 k 的取值范围

9 ,0 ] 4

B. ( ?

9 , ?2] 4

C. [?2,0]

D. [?2,??)

5.若函数 y ? f ( x) 图像上的任意一点 P 的坐标 ( x, y ) 满足条件 x2 ? y 2 ,则称函数 f ( x ) 具有性质

S ,那么下列函数中具有性质 S 的是 ( C )
A. f ( x) ? e ? 1
x

B. f ( x) ? ln( x ? 1) D. f ( x) ? tan x

C. f ( x) ? sin x

6.设函数 f (x) 的定义域为 R,若存在常 数 m>0, 使 | f ( x) |? m | x | 对一切实数 x 均成立,则称

f (x) 为 F 函数.给出下列函数:
① f ( x) ? 0 ;② f ( x) ? x 2 ;③ f ( x) ? ⑤

2 (sin x ? cos x) ;④ f ( x) ?

x ; x ? x ?1
2

f (x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 满 足 对 一 切 实 数 x1 、 x2 均 有
.其中是 F 函数的序号为_____________________① ⑤ ④ .

7. 函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若存在闭区间 [a, b] ? D ,使得函数 f ( x ) 满足:① f ( x ) 在 [ a, b] 内

b 是单调函数;② f ( x ) 在 [ a, b] 上的值域为 [2a , 2 ],则称区间 [ a, b] 为 y ? f ( x) 的“倍值区 间”.下列函数中存在“倍值区间”的有 ①③④ (填上所有正确的序号)
① f ( x) ? x ( x ? 0) ;
2

② f ( x) ? e ( x ?R) ;
x

③ f ( x) ?

4x ( x ? 0) ; x ?1
2

④ f ( x) ? log a (a ? )( a ? 0, a ? 1)
x

1 8

8. 若 函 数 f ( x ) 的 值 域 是 定 义 域 的 子 集 , 那 么 f ( x ) 叫 做 “ 集 中 函 数 ” 则 下 列 函 数 : ,

?1? f ( x) ?

x ( x ? 0); x ? x ?1
2

? 2? f ( x) ? ln x;

? x 2 ? 2 x ? 6(?2 ? x ? 0), ? ? ?? ? 3? f ( x) ? sin x ? cos x, x ? ?? , ? ; ? 4 ? f ( x) ? ? x ? 12 8 ? ? 2 (?6 ? x ? ?3).
4 4

可以称为“集中函数”的是______ _____①_(请把符合条件的序号全部填在横线上).

[来源:学科网 ZX

9.设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若存在非零实数 m 满足 ?x ? M (M ? D) ,均有 x ? m ? D ,且

f ( x ? m) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为 M 上的 m 高调函数.如果定义域为 R 的函数 f ( x) 是奇函数,
12

当 x ? 0 时,f ( x) ? x ? a2 ? a2 , f ( x ) 为 R 上的 4 高调函数, 且 那么实数 a 的取值范围是 A ) ( A. [?1,1] B. (?1,1) C. [?2,2] D. (?2,2)

10.函数 f ( x ) 的定义域为 A,若 x1 , x2 ? A 且当 f ( x 1 ) ? f ( x2 ) 时,总有 x1 ? x2 ,则称 f ( x ) 为单函 数。例如,函数 f ( x) ? 2 x ? 1( x ? R) 是单函数。 下列命题 : ①函数 f ( x ) ? x2 ( x ? R) 是单函数; ②若 f ( x ) 为单函数, x1 , x2 ? A且x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ); ③若 f : A ? B 为单函数,则对于任意 b ? B ,它至多有一个原象; ④函数 f ( x ) 在 A 上具有单调性,则 f ( x ) 一定是单函数。 其中为真命题的是 。②③④(写出所有真命题的序号)

11 . 设 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 D , 如 果 对 于 任 意 的 x1 ? D , 存 在 唯 一 的 x2 ? D , 使 得

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? C 成立(其中 C 为常数) ,则称函数 y ? f ( x) 在 D 上的约算术均值为 C,则 2
下列函数在其定义域上的算术均值可以为 2 的函数是 A. y ? x
2

( D. y ? 2
x



B. y ? 4sin x

C. y ? ln x

解析.C 转化为关于 x2 的方程是否存在唯一解问题。 A 任意的 x1 ? R ,关于 x2 的方程 x12 ? x22 ? 4 ,当 x1 ? 2 时,一定无解; B 任意的 x1 ? R ,关于 x2 的方程 4sin x1 ? 4sin x2 ? 4 ,即 sin x1 ? sin x2 ? 1 ,当 sin x1 ? 0 时, 一定无解; C 任意的 x1 ? (0, ??) ,关于 x2 的方程 ln x1 ? ln x2 ? 4 ,一定有唯一解; D 任意的 x1 ? R ,关于 x2 的方程 2 1 ? 2
x x2

? 4 ,当 2 x1 ? 4 时,一定无解。

12. 若直角坐标平面内两点 P, 满足条件: Q ①点 P 在函数 y ? f ( x) 的图象上; ②点 P 关于直线 y ? x 的对称点 Q 在函数 y ? g ( x) 图象上,则称点对(P,Q)是两个函数的一个“优美点对” (点对 (P,Q)与点对(Q,P)看作同一个“优美点对”。已知函数 f ( x) ? x , g ( x) ? log2 x ,则 )
2

这两个函数的“优美点对”个数为 A.4 B.3

C.2
13

( D ) D.1

13 .若 函数 f ( x ) 在 给定区 间 M 上, 存在正数 t,使得 对于 任意 x ? M , 有 x ? t ? M , 且

f ( x ? t) ? f ( x) , 则 称 f ( x) 为 M 上 的 t 级 类 增 函 数 , 则 以 下 命 题 正 确 的 是
( D ) A.函数 f ( x) ?

4 ? x是(1, ??) 上的 1 级类增函数 x

B.函数 f ( x) ?| log2 ( x ?1) | 是(1, ??) 上的 1 级类增函数 C.若函数 f ( x) ? sin ? ax为 ?

? ?? ? , ?? ? 上的 级类增函数,则实数 a 的最小值为 2 3 ?2 ?

D.若函数 f ( x) ? x2 ? 3x为?1, ??? 上的 t 级类增函数,则实数 t 的取值范围为 ?1, ?? ? 14.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数 f ( x ) 的图象恰好通过

n(n? N* ) 个整点,则称函数 f ( x) 为 n 阶整点函数.有下列函数
① f ( x) ? x ?

1 ( x ? 0) x

② g ( x) ? x3

③ h( x ) ? ( )

1 3

x

④ ? ( x) ? ln x ,

其中是一阶整点函数的是 A.①②③④ 答案:D 解析:g ( x) ? x3 通过点 (1,1) , (2,8) 故不是一阶整点函数;h( x) ? ( ) 通过点 等, (-1,3 ) , (-2,9)
x

B.①③④

C.④

D.①④

1 3

等,故不是一阶整点函数.所以选 D. 15. 设 f ( x ) 与 g ( x) 是定义在同一区间 [ a, b] 上的两个函数,若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? [a, b] 上有两个不同的零点,则称 f ( x ) 和 g ( x) 在 [ a, b] 上是“关联函数”,区间 [ a, b] 称为“关联区 间”.若 f ( x) ? x ? 3x ? 4 与 g ( x) ? 2 x ? m 在 [0,3] 上是“关联函数”,则 m 的取值范围为
2

9 9 , ?2] B. [?1, 0] C. (??, ?2] D. (? , ??) 4 4 2 【解析】.A f ( x) ? x ? 3x ? 4 为开口向上的抛物线, g ( x) ? 2 x ? m 是斜率 k ? 2 的直线,可先
A. ( ? 求出 g ( x) ? 2 x ? m 与 f ( x) ? x ? 3x ? 4 相切时的 m 值. 由 f ( x) ? 2 x ? 3 ? 2 得切点为
2 '

9 ? 5 11 ? 2 ? , ? ,此时 m ? ? 4 ,因此 f ( x) ? x ? 3x ? 4 的图象与 g ( x) ? 2 x ? m 的图象有两个交点只 ?2 4 ?
需将 g ( x ) ? 2 x ?

9 2 向上平移即可。再考虑区间 [0,3] ,可得点 ? 3, 4 ? 为 f ( x) ? x ? 3x ? 4 图象上 4
14

最右边的点,此时 m ? ?2 ,所以 m ? ( ? 七、部分高 2012 年高考试题

9 , ?2]. 4

1.(2012 年高考辽宁卷理科 11)设函数 f(x) ( x ? R) 满足 f( ?x )=f(x),(x)=f(2 ? x), f 且当 x ? [0,1] 时,f(x)=x .又函数 g(x)=|xcos (? x) |,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在 [? , ] 上的零点个数为
3

1 3 2 2

(A)5

(B)6

(C)7

(D)8

2. (2012 年高考湖北卷理科 9)函数 f(x)= x cos x 在区间[0,4]上的零点个 数为( A.4 B.5 C.6 D.7

2

)

3.(2012 年高考山东卷理科 8)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x) ,当-3≤x<-1 时,f 2 (x)=-(x+2) ,当-1≤x<3 时,f(x)=x。则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2012)= (A)335(B)338(C)1678(D)2012

15

4.(2012 年高考山东卷理科 9)函数

的图像大致为

5.(2012 年高考新课标全国卷理科 12)设点 P 在曲线 y ? 最小值为( )

1 x e 上, Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上, PQ 点 则 2
( D) 2(1 ? ln 2)

( A) 1 ? ln 2
【答案】 A 【解析】 函数 y ?

(B)

2(1 ? ln 2)

(C ) 1 ? ln 2

1 x e 与函数 y ? ln(2 x) 互为反函数,图象关于 y ? x 对称, 2

1 x e ?x 1 x 1 x 2 函数 y ? e 上的点 P ( x, e ) 到直线 y ? x 的距离为 d ? , 2 2 2
设函数 g ( x) ?

1 x 1 1 ? ln 2 e ? x ? g ?( x) ? e x ? 1 ? g ( x) min ? 1 ? ln 2 ? d min ? , 2 2 2

由图象关于 y ? x 对称得: PQ 最小值为 2dmin ? 2(1 ? ln 2) .

1] 6. (2012 年高考江苏卷 10)设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [? 1, 上,

16

? ? ax ? 1, 1 ≤ x ? 0 , ? ?1? ?3? f ( x ) ? ? bx ? 2 b 其中 a , ? R .若 f ? ? ? f ? ? ,则 a ? 3b 的值为 ▲ . 0 ?2? ?2? ? x ? 1 , ≤ x ≤ 1, ?

17


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