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2016届高三二轮复习三角数列高考解答专练及解析


高三数学三角数列解答专练 1.某同学用五点法画函数 f(x)=Asin(ωx+?) , (ω>0,|?|< 表并填入了部分数据,如下表: ωx+? x Asin(ωx+?) 0 5 ﹣5 0 (1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)若函数 f(x)的图象向左平移 的对称中心. 2.已知函数 f(x)=(a+2cos x)cos(2x+θ)为奇函数,且

f( (1)求 a,θ 的值; (2)若 f( )=﹣ ,α∈(
2

6.已知函数 f ( x ) ? )在某一个周期内的图象时,列

3 1 ? ? 5? ? sin2 x ? cos2 x ? , ( x ? R)(1)当 x ? ? ? , ? 时,求函数 f ( x ) 的最 2 2 ? 12 12 ?

小值和最大值; (2)设 ? ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a, b, c ,且 c ? 2π 向量 m ? (1, sinA) 与向量 n ? (2, sinB) 共线,求 a , b 的值. 7.设数列 ?an ? 的各项均为正数,它的前 n 项的和为 Sn ,点 (an , Sn ) 在函数 y ?
?

3 , f (C ) ? 0 ,若

0

π

1 2 1 1 x ? x ? 的图 8 2 2

像上;数列 ?bn ? 满足 b1 ? a1 , bn?1 (an?1 ? an ) ? bn .其中 n ? N . (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通 项公式; (2)设 cn ?

个单位后对应的函数为 g(x) ,求 g(x)的图象离原点最近

5 an ? ,求证:数列 ?cn ? 的前 n 项的和 Tn ? ( n ? N ) . 9 bn

)=0,其中 a∈R,θ∈(0,π) . )的值.

? 8. 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos2 x ? m 在区间 [0, ] 上的最大值为 2. 2
(1) 求常数 m 的值; (2) 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边是 a、 b、 c, 若 f ( A) ? 1, sin B ? 3 sin C , △ABC 面积为
3 3 .求边长 a. 4

,π) ,求 sin(α+

3. 已知 A、B 是△ABC 的两个内角, a ? 2 cos
6 向量,若 | a |? . 求 tan A ? tanB 的值. 2

A? B A? B i ? sin j ,其中 i 、 j 为互相垂直的单位 2 2

9. 等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前 n 项和为 Sn,{bn}为等比数列,b1=1, 1 1 1 且 b2S2=64,b3S3=960.(1)求 an 与 bn;(2)求 + +…+ . Sn S1 S2 10.如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔 底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D .现测得

4. 数列 {an } 各项均为正数,其前 n 项和为 S n ,且满足 2an Sn ? a ? 1 .
2 n

2 (1)求证:数列 { S n } 为等差数列(2)求数列 {an } 的通项公式

?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测
得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 AB . 11. 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N* ) . (1)求数列 ?an ? 的通项 an ; (2)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn . 12.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 (1 ? q)Sn ? qan ? 1 ,且 q(q ? 1) ? 0 . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式;
[来源:Zxxk.Com]

1 (3) 设 bn ? , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn , 并求使 Tn ? (m 2 ? 3m) 对所有的 n ? N ? 4 4Sn ? 1 6
都成立的最大正整数 m 的值. 5. 已知数列{ an }中, a1 ?

2

1 ,点(n, 2an ?1 ? an) 在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3…. 2

(1)令 bn ? an?1 ? an ?1, 求证数列 ?bn ? 是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项;

?bn ?的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得数列 ? (3)设 S n、Tn 分别为数列?a n ? 、
等差数列?若存在,试求出 ? .若不存在,则说明理由。

? Sn ? ?Tn ? ?为 ? n ?

(Ⅱ)若 S3 , S9 , S6 成等差数列,求证: a2 , a8 , a5 成等差数列.

13.

已知数列 {an } 满足:

1 2 n 3 2n ? ??? ? (3 ? 1), n ? N * . a1 a2 an 8
an 1 1 1 ,求 (12 分) ? ??? . 1. n b1b2 b bn bn1? 2 b 3

(2)利用 f(

)=﹣ 和函数的解析式可求得 sin

,进而求得 cos

,进而利用二倍角公式分别

求得 sinα,cosα,最后利用两角和与差的正弦公式求得答案. 解答: 解: (1)f( )=﹣(a+1)sinθ=0,

(I)求数列 {an } 的通项公式;(II)设 bn ? log

3

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由表中已知数据易得 ,可得表格和解析式;

∵θ∈(0,π) . ∴sinθ≠0, ∴a+1=0,即 a=﹣1 ∵f(x)为奇函数, ∴f(0)=(a+2)cosθ=0, ∴cosθ=0,θ= .
2

(2)由函数图象变换可得 g(x)的解析式,可得对称中心. 解答: 解: (1)根据表中已知数据,解得 数据补全如下表: ωx+? x Asin(ωx+?) 0 5 0 ﹣5 ; 0 0 π 2π

(2)由(1)知 f(x)=(﹣1+2cos x)cos(2x+ ∴f( )=﹣ sinα=﹣ ,

)=cos2x?(﹣sin2x)=﹣



∴sinα= , ∵α∈( ∴cosα= ,π ) , =﹣ , )=sinαcos +cosαsin = .

∴函数的解析式为 (2)函数 f(x)图象向左平移 g(x)=5sin[2(x+ )﹣

个单位后对应的函数是 ∴sin(α+ ) , ﹣ ,k∈Z,

]=5sin(2x+ =kπ,即 x=

其对称中心的横坐标满足 2x+ ∴离原点最近的对称中心是

点评: 本题主要考查了同角三角函数关系,三角函数恒等变换的应用,函数奇偶性问题.综合运 用了所学知识解决问题的能力. 3.解:?| a | ?
2

点评: 本题考查三角函数解析式的确定和函数图象变换,涉及三角函数的对称性,属基础题. 2. (12 分) 考点: 三角函数中的恒等变换应用;函数奇偶性的性质. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)把 x= 代入函数解析式可求得 a 的值,进而根据函数为奇函数推断出 f(0)=0,进

3 A? B 2 A? B 2 3 ,? ( 2 cos ) ? (sin ) ? , ???2 分 2 2 2 2 A? B 3 1 ? cos( A ? B) 3 2 A? B ? sin 2 ? , 即 cos( A ? B) ? 1 ? ? ,??6 分 即 2 cos 2 2 2 2 2 1 ? cos( A ? B) ? cos( A ? B) ? 0,? cos A cos B ? 3 sin A sin B, ????8 分 2 sin A sin B 1 ? tan A ? tan B ? ? . ????10 分 cos A cos B 3
2 2 2 整理得, Sn , (2 分)又 S1 ?1, ? Sn ?1 ? 1 (n≥2)

2 4 解: (1)∵ 2an Sn ? an ? 1 ,∴当 n≥2 时, 2( Sn ? Sn?1 ) Sn ? ( Sn ? Sn?1 )2 ? 1 ,

(3 分) (4 分) (5 分)

而求得 cosθ,则 θ 的值可得.

2 ∴数列 { S n } 为首项和公差都是

1 的等差数列.

2 (2)由(1) Sn ? n ,又 S n ? 0 ,∴ Sn ? n

∴n≥2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n ? n ? 1 ,又 a1 ? S1 ? 1 适合此式 ∴数列 {an } 的通项公式为 an ? n ? n ? 1 2 2 1 1 ? ? ? (Ⅱ)∵ bn ? 4 4 S n ? 1 ( 2n ? 1)( 2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 ∴ Tn ? (7 分) (8 分)
[来源:学科网]

? Sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an ? 3(

1 1 1 ? 2 ? ??? ? n ) ? (1 ? 2 ? ??? ? n) ? 2n 1 2 2 2

1 1 1 ? ??? 1? 3 3 ? 5 ( 2n ? 1)( 2n ? 1)

1 2n 1 1 1 1 1 =1? (10 分) ? ? ? ? ?? ? 2n ? 1 2n ? 1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2 1 ∴ Tn ? ,依题意有 ? (m 2 ? 3m ) ,解得 ? 1 ? m ? 4 , 3 3 6 故所求最大正整数 m 的值为 3 (12 分)

? 1?

1 , 2an ?1 ? an ? n, 2 3 3 1 3 ? a2 ? , a2 ? a1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? , 4 4 2 4 又 bn ? an?1 ? an ?1, bn?1 ? an?2 ? an?1 ?1, an ?1 ? (n ? 1) an ? n an ?1 ? an ? 1 ? bn ?1 an ?1 ? an ? 1 1 2 2 ? 2 ? ? ? ? . bn an ? 2 ? an ?1 ? 1 an ?1 ? an ? 1 an ?1 ? an ? 1 2 3 1 ?{bn } 是以 ? 为首项,以 为公比的等比数列. 4 2 3 1 n ?1 3 1 (II)由(I)知, bn ? ? ? ( ) ? ? ? n , 4 2 2 2 3 1 3 1 ? an ?1 ? an ? 1 ? ? ? n , ? a2 ? a1 ? 1 ? ? ? , 2 2 2 2 3 1 3 1 a3 ? a2 ? 1 ? ? ? 2 , ?????? ? an ? an ?1 ? 1 ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2
5.解: (I)由已知得

a1 ?

1 1 (1 ? n ) 1 n 2 ? 3n 3 n 2 ? 3n n(n ? 1) 2 2 ?? n ? ? 3. ? 3? ? ? 2n ? 3(1 ? n ) ? 1 2 2 2 2 2 1? 2 3 1 ? (1 ? n ) 2 ? ? 3 (1 ? 1 ) ? ? 3 ? 3 . Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 4 1 2 2n 2 2n ?1 1? 2 S n ? ?Tn S ? ?Tn } 是等差数列的充要条件是 n ? An ? B, ( A 、 B 是常数 ) 数列 { n n 即 Sn ? ?Tn ? An2 ? Bn,
3 n2 ? 3n 3 3 n2 ? 3n ? 1 ? ? 3 ? ? ( ? ? ) ? ? 3(1 ? )(1 ? n ) n n ?1 2 2 2 2 2 2 2 S ? ?Tn ? } 为等差数列. ? 当且仅当 1 ? ? 0 ,即 ? ? 2 时,数列 { n 2 n
又 Sn ? ?Tn ? ? 解法二: 存在 ? ? 2 ,使数列 {

S n ? ?Tn } 是等差数列. n

由(I) 、 (II)知, an ? 2bn ? n ? 2 ? S n ? 2T ?

n(n ? 1) ? 2n 2

将以上各式相加得:

3 1 1 1 ? an ? a1 ? (n ? 1) ? ? ( ? 2 ? ??? ? n ?1 ), 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 3 2 1 3 1 3 2 ? an ? a1 ? n ? 1 ? ? ? ? (n ? 1) ? (1 ? n ?1 ) ? n ? n ? 2. 1 2 2 2 2 2 1? 2 3 ? an ? n ? n ? 2. 2 S ? ?Tn } 是等差数列. (III)解法一:存在 ? ? 2 ,使数列 { n n

Sn ? ?Tn n ? 3 ? ? 2 3 3 ? ? (? ? n ?1 ) n 2 n 2 2 S ? ?Tn } 是等差数列 ? 当且仅当 ? ? 2 时,数列 { n n 3 1 ? 2
6.(1) f ( x) ?

n(n ? 1) ? 2n ? 2Tn ? ?Tn n?3 ? ?2 2 ? ? Tn 2 n n 3 1 ? (1 ? n ) 2 ? ? 3 (1 ? 1 ) ? ? 3 ? 3 又 T ? b ? b ? ??? ? b ? 4 n 1 2 n 1 2 2n 2 2n?1 1? 2 Sn ? ?Tn ? n

sin 2 x ? cos x ? ? sin(2 x ? ) ? 1, 2 2 6 ? ? 2? ? ? ? 5? ? 因为 x ? ? ? , ? ,所以 2 x ? ?? , ? 3 3 ? ? ? 12 12 ?

?? ? 3 ? 3 ? ? sin ? 2 x ? ? ? ?? ,1?, 所以 函数 f ?x ? 的最小值是 ? ? 1 , f ?x ? 的最大值是 0 6? ? 2 ? 2 ?

? ,又 m ? (1, sinA) 与向量 n ? (2, sinB) 共线 3 ① ? sin B ? 2 sin A,? b ? 2a ? 2 2 由余弦定理得 3 ? a ? b ? 2ab cos ② 3 解方程组① ②得 a ? 1, b ? 2 1 2 1 1 7.⑴由已知条件得 S n ? an ? an ? , ① 8 2 2 1 1 1 2 当 n ? 2 时, S n ?1 ? an ?1 ? an ?1 ? , ② 8 2 2 1 2 1 1 2 ①-②得: an ? (an ? an ?1 ) ? (an ? an ?1 ) ,即 an ? an ?1 ? (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) , 8 2 4 ∵数列 ?an ? 的各项均为正数,∴ an ? an?1 ? 4 ( n ? 2 ) ,
(2)由 f ?C ? ? 0 解得 C= 又 a1 ? 2 ,∴ an ? 4n ? 2 ;∵ b1 ? a1 , bn?1 (an?1 ? an ) ? bn ,

此时, f ( x) max ? f ( ) ? m ? 3 ? 2 得 m ? ?1

?

6

(2)∵ f ( A) ? 1 ∴ sin(2 A ?

∴ 2sin(2 A ?

?
6

) ?1

1 ? ,解得 A ? 0 (舍去)或 A ? 6 2 3 a b c ∵ sin B ? 3sin C , ? ? sin A sin B sin C ∴ b ? 3c ① 3 3 1 1 ? 3 3 ∵ ?ABC 面积为 ∴ S ?ABC ? bc sin A ? bc sin ? 4 2 2 3 4 即 bc ? 3 …② 由①和②解得 b ? 3, c ? 1 )?
∵ a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ? 32 ? 12 ? 2 ? 3 ? 1? cos

?

?
3

1 n ?1 b 1 ∴ b1 ? 2, n ?1 ? ,∴ bn ? 2 ? ( ) ; 4 bn 4 a n ?1 ⑵∵ cn ? n ? (2n ? 1)4 , bn
∴ Tn ? 1 ? 3 ? 4 ? 5 ? 42 ? ?? (2n ? 3) ? 4n?2 ? (2n ?1) ? 4n?1 ,

4 ? 3 ? 42 ? ?? (2n ? 5) ? 4n?2 ? (2n ? 3) ? 4n?1 ? (2n ?1) ? 4n , 5 5 n 5 2 n ?1 n 两式相减得 ?3Tn ? 1 ? 2(4 ? 4 ? ? ? 4 ) ? (2n ? 1)4 ? ? ? (2n ? ) ? 4 ? ? , 3 3 3 5 ∴ Tn ? . 9 8.解: (1) f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos 2 x ? m 4Tn ?
? 3 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? m

? 2(sin 2 x ?

? 2sin(2 x ? ) ? m ? 1 6 ? ?? ? ? ? 7? ? ∵ x ? ? 0, ? ∴ 2x ? ? ? , 6 ?6 6 ? ? ? 2? ?? ? ? ? ? 7? ? ∵ 函数 y ? sin t 在区间 ? , ? 上是增函数,在区间 ? , ? 上是减函数 ?6 2? ?2 6 ?
∴当 2 x ?

?

3 1 ? cos 2 x ? ) ? m ? 1 2 2

∴ a? 7 9.解:(1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d 为正数, - an=3+(n-1)d,bn=qn 1. ?d ? ? 6 , ? ? S2 b2 ? (6 ? d )q ? 64, 5 ? 依题意有 ? 解得 ? d ? 2 或 ? 2 ( 舍去 ) ? ? S b ? (9 ? 3 d ) q ? 960, ? ? 3 3 40 ?q ? 8 ? q? . ? ? 3 - 故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n 1. 1 1 1 (2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),所以 + +…+S S1 S2 n 1 1 1 1 = + + +…+ 1× 3 2× 4 3× 5 n(n+2) 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1- + - + - +…+n- ) 2 3 2 4 3 5 n +2 1 1 1 1 = (1+ - - ) 2 2 n +1 n +2 2n+3 3 = - . 4 2(n+1)(n+2) 10.解:在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? .

?
6

?

?
2

即x?

?
6

时,函数 f ( x) 在区间 ? 0,

? ?? 上取到最大 值. ? 2? ?

BC CD ? . sin ?BDC sin ?CBD CD sin ?BDC s · sin ? ? 所以 BC ? . sin ?CBD sin(? ? ? ) s · tan ? sin ? 在 Rt△ ABC 中, AB ? BC tan ?ACB ? . sin(? ? ? )
由正弦定理得

11.解: (Ⅰ)? an?1 ? 2Sn ,

? Sn?1 ? Sn ? 2Sn ,?
又? S1 ? a1 ? 1 ,

Sn ?1 ? 3. Sn

? 数列 ?Sn ? 是首项为 1 ,公比为 3 的等比数列, Sn ? 3n?1 (n ? N* ) .

当 n ≥ 2 时, an ? 2Sn?1 ? 2? 3n?2 (n ≥ 2) ,

n ? 1, ?1, ? an ? ? n?2 3 ,n ≥ 2. ??? (Ⅱ) Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan , 当 n ? 1 时, T1 ? 1;
当 n ≥ 2 时, Tn ? 1 ? 4? 3 ? 6? 3 ? ?? 2n? 3
0 1 n?2

数列通 ,…………① 项公式组成,一般采用“倒序相加法”.第二问主抓数列的通项公式采用分组求和的方法求解. 1 3 解: (Ⅰ) = ( 32-1)=3, ?1 分 a1 8 当 n≥2 时, n-1 n 1 2 n 1 2 ∵ = + +?+ - + +?+ an a1 a2 an a1 a2 an-1 3 2n 3 2n-2 - = (3 -1)- (3 -1)=32n 1, ?5 分 8 8 n - 当 n=1, =32n 1 也成立, an n 所以 an= 2n-1. ?6 分 3

3Tn ? 3 ? 4? 3 ? 6? 3 ? ?? 2n? 3 ,………………………②
1 2

n?1

① ? ② 得: ?2Tn ? ?2 ? 4 ? 2(31 ? 32 ??? 3n?2 ) ? 2n? 3n?1

3(1 ? 3n ? 2 ) ? 2 ? 2? ? 2n? 3n ?1 1? 3 ? ?1 ? (1 ? 2n)? 3n?1 . 1 ? 1? ?Tn ? ? ? n ? ? 3n?1 (n ≥ 2) . 2 ? 2?
又?T1 ? a1 ? 1也满足上式,?Tn ? 12

(

) (

)

1 ? 1? ? ? n ? ? 3n ?1 (n ? N* ) . 2 ? 2?

12. 13、

BC,CC1 的中点, ? B1O ⊥ BD , ? AB1 ⊥ BD . 在正方形 ABB1 A 1 中, AB 1⊥A 1 B ,? AB 1 ⊥平面 A 1BD .
c sin C sin(?-3B) sin 3B sin(2B+B) sin 2Bcos B+cos 2Bsin B = = = = = b sin B sin B sin B sin B sin B 2sin Bcos2B+cos 2Bsin B = =2cos2B+cos 2B=4cos2B-1, sin B 3 c ∵ <cos B<1,∴2< <3, 2 b c 故 的取值范围是(2,3). b 15

?10 分

14

解答:解法一: (Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO . ?△ ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC . ? 正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ⊥ 平面 BCC1B1 ,

? AO ⊥ 平面 BCC1B1 .
连结 B1O ,在正方形 BB1C1C 中, O,D 分别为

(17)解: 在△ABC 中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30, 所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA, 在△ABC 中, sin ?BCA ? sin ?ABC ,
ACsin60 ? 3 2? 6 , 即 AB= sin 15? ? 20

……5 分

AB

AC

A

A1

因此,BD=

3 2? 6 ? 0.33km 。 20

C D

C1 B1

故 B,D 的距离约为 0.33km。

……12 分
B

12. (本小题满分 12 分) 16.解:在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? . 如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2, D 为 CC1 中点。 (1)求证:AB1⊥面 A1BD; (2)求二面角 A-A1D-B 的大小; (3)求点 C 到平面 A1BD 的距离;

BC CD ? 由正弦定理得 . sin ?BDC sin ?CBD
所以 BC ?

CD sin ?BDC s · sin ? ? . sin ?CBD sin(? ? ? ) s · tan ? sin ? . sin(? ? ? )
O
B

S

在 Rt△ ABC 中, AB ? BC tan ?ACB ?

M

C
A

令 z ? 1 得 n ? (? 3, 01) , 为平面 A1 AD 的一个法向量. 由(Ⅰ)知 AB1 ⊥平面 A 1BD ,? AB 1BD 的法向量. 1 为平面 A

????

F ,连结 AF ,由(Ⅰ)得 (Ⅱ)设 AB1 与 A 1B 交于点 G ,在平面 A 1BD 中,作 GF ⊥ A 1D 于

???? ???? n?AB1 ? 3? 3 6 . ?? cos ? n , AB1 ?? ???? ? 4 2?2 2 n ? AB1
6

AB1 ⊥平面 A1BD . ? AF ⊥ A1D ,?∠AFG 为二面角 A ? A1D ? B 的平面角.
在 △AA1D 中,由等面积法可求得 AF ?

1 4 5 ,又? AG ? AB1 ? 2 , 2 5

? sin ∠AFG ?

AG 2 10 . ? ? AF 4 5 4 5
10 . 4

? 二面角 A ? A1D ? B 的余弦值为 . 4 ???? ??? ? ???? (Ⅲ)由(Ⅱ) , AB1 为平面 A 法向量, BD ? BC ? ( ? 2 , 0 ,, 0) AB1 ? (1 , 2, ? 3) . 1 ??? ? ???? BC ?AB1 ?2 2 . ? 点 C 到平面 A1BD 的距离 d ? ???? ? ? 2 2 2 AB1

所以二面角 A ? A 1 D ? B 的正弦值 (Ⅲ) △A1BD 中, BD ? A1 D ?

5,A1 B ? 2 2, ? S△ A1BD ? 6 , S△BCD ? 1 .
14 在 ?ABC 中,角 A 、 B、C 的对边分别为 a, b, c , A ? 2 B . (I )若 sin B ?

在正三棱柱中, A 1 到平面 BCC1B 1 的距离为 3 .设点 C 到平面 A 1BD 的距离为 d . 由 VA1 ? BCD ? VC ? A1BD 得

3S△ BCD 2 1 1 S△ BCD ? 3 ? S△ A1BD ?d ,? d ? ? . 3 3 S△ A1BD 2

2 z . A 2 解法二: (Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO . ?△ ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC . ? 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ⊥ 平面 BCC1B1 , C ? AD ⊥ 平面 BCC1B1 . O ??? ? ???? ? ? ??? 取 B1C1 中点 O1 ,以 O 为原点, OB , OO1 , OA 的方向 B 为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系, x

c 5 , ,求 cos C. 的值;( I I ) 若 C 为钝角,求 的取值范围. b 5

? 点 C 到平面 A1BD 的距离为

A1
F D

15.在公差不为 0 的等差数列 {an } 中, a3 ? a10 ? 15 ,且 a2 , a5 , a11 成等比数列. (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

C1
y

1 1 1 1 ,证明: ? bn ? 1 . ? ??? 2 an an ?1 a2n ?1

16.如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D .现测 得 ?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 AB .

B1

, 0, 0) , D(?11 , , 0) , A1 (0, 则 B(1 2, 0) , 2,3) , A(0, 0,3) , B1 (1,

???? ???? ??? ? 1 , 0) , BA1 ? (?1 ? AB1 ? (1 , 2, ? 3) , BD ? (?2, , 2,3) . ???? ??? ? ???? ???? ? AB1 ?BD ? ?2 ? 2 ? 0 ? 0 , AB1 ?BA1 ? ?1? 4 ? 3 ? 0 , ???? ??? ? ???? ???? ? AB1 ⊥ BD , AB1 ⊥ BA1 .? AB1 ⊥平面 A1BD . ???? ???? n ? ( x , y , z ) (Ⅱ)设平面 A 的法向量为 . , AD AD ? ( ? 11 , , ? 3) AA1 ? (0, 2, 0) . 1 ???? ???? ? n ⊥ AD , n ⊥ AA1 , ???? ? n ? ?? x ? y ? 3z ? 0, ? ? y ? 0, ? AD ? 0, ? ?? ?? ? ? ???? ? ? ?2 y ? 0, ? x ? ? 3z. ?n?AA1 ? 0, ?

17 如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船

30 , 于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ,
AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B,D 的距离(计算结果 精确到 0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449)

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