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高二定积分的简单应用(理科)






高二

学科

数学

内容标题 编稿老师 一、教学目标

定积分的简单应用(理科) 胡居化

1. 能用定积分知识解决在物理学中的一些简单问题及求曲边图形的面积等问题 2. 体会数与形结合的思想、等价转化的数学思想的应用. 二、

知识要点分析 1. 定积分在物理学中的简单应用 (1)变速直线运动的路程:作变速直线运动的物体在时间 t=a 到时间 t=b(a<b)内所 经过的路程 S 等于其速度 V=v t) ( 在区间[a, b]上的定积分,其中 (t) ( v 恒为正) S ? 即

? v(t )dt
a

b

(2)变力做功:物体在力 F(x)的作用下做直线运动,且物体沿着力 F(x)相同的 方向从 x=a 移动到 x=b(a<b) 变力所做的功 W=

?

b

a

F ( x)dx

2. 定积分求曲边多边形的面积 (1)几种典型曲边梯形面积的计算方法 (i)由三条直线 x=a,x=b(a<b) 轴,一条曲线 y=f(x)(f(x)恒为正)围成的 ,x , 曲边梯形面积

S ? ? f ( x)dx
a

b

(ii)由三条直线 x=a,x=b(a<b) 轴,一条曲线 y=f(x)(f(x)恒为负)围成的 ,x , 曲边梯形面积

S ?| ? f ( x)dx |? ?? f ( x)dx
a a

b

b

(iii)由三条直线 x=a,x=b(a<b) 轴,两条曲线 y=f(x) ,x ,y=g(x) ( f ( x) ? g ( x)) , 围成的图形面积

S ? ? [( f ( x) ? g ( x)]dx
a

b

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(2)求曲边图形面积的一般步骤: (a)画图,并将图形分割成若干个曲边梯形 (b)对每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确定积分的上下限. (c)确定被积函数 (d)求出各曲边梯形的面积和,即各种定积分的绝对值之和.

【典型例题】
知识点一:定积分在物理学中的简单的应用 例 1:一物体在力 F ( x ) ? ?

?10, (0 ? x ? 2) (单位:N)的作用下沿力 F 相同的方向, ?3 x ? 4, ( x ? 2)
) C. 48 D. 50

从 x=0 处运动到 x=4 处(单位:米) ,这力 F(x)所做的功是( A. 44 B. 46

【题意分析】本题考查物理学中的变力做功问题,物体在 x=0 到 x=4 距离内所做的功是函 数 F(x)在区间[0,4]上的定积分. 【思路分析】由已知 F(x)的表达式是分段函数,故物体所做的功是函数 F(x)在[0,2] , [2,4]上的积分之和. 【解题步骤】由定积分的物理意义知:
2 4 2 4 3 2 W ? ? F ( x)dx ? ? F ( x)dx ? ? 10dx ? ? (3x ? 4)dx = 10 x |0 ?( x 2 ? 4 x) | 4 2 0 2 0 2 2

=46, 故选(B) 【解题后的思考】本题考查的知识点是利用定积分求变力做功的问题,易错点是:认为 F (x)在区间[0,4]内所做的功是

? (3x ? 4)dx .
0

4

例 2:一物体做变速直线运动,其 v-t 曲线(如图所示) ,求物体在 路程.

1 s ? 6 s 内的运动 2

【题意分析】本题考查物理学中变速直线运动路程问题,由 v(t)曲线知: v(t ) ? 0 ,故在

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1 1 s ? 6 s 间的物体运动的路程是 v(t)在区间 [ ,6] 上的定积分. 2 2

【思路分析】由 v-t 曲线知:v(t)是关于 t 的分段函数,即 在[0,1]时间内物体做加速直线运动 在[1,3]时间内物体做匀速运动, 在[3,6]时间内物体也做加速运动但加速度不同 所以首先要确定 v(t)分段函数的表达式,然后求物体在 [ ,6] 内运动的路程,即是 v (x)在三个区间内的定积分之和.

1 2

? ?2t , (0 ? t ? 1) ? 【解题步骤】由 v(t)曲线知: v (t ) ? ?2, (1 ? t ? 3) ?1 ? t ? 1, (3 ? t ? 6) ?3
?S ?

? v(t)dt ? ? 2tdt ? ? 2dt ? ? ( 3 t ? 1)dt ? t
1 2 1 2 1 3

6

1

3

6

1

2 1 |1 2

1 49 3 6 ?2t |1 ?( t 2 ? t ) |3 ? 6 4

故物体在

1 49 s ? 6 s 内运动的路程是 m 2 4

【解题后的思考】本题是考查利用定积分求变速直线运动的路程的问题,v(t)往往是关于 时间 t 的分段函数,所以首先是求出 v(t)函数的分段表达式,再求在每一个区间上的定积 分然后相加即得,体现的数学思想是数与形结合的思想. 易错点是:求在每个时间区间的函数表达式有误. 例 3:一质点在直线上从时刻 t=0(s)开始以速度 v ? t ? 4t ? 3(m / s) 运动,求
2

(1)在 t=4s 时该点的位置. (2)在 t=4s 时运动的路程. 【题意分析】本题的第一问中:在 t=4s 的位置是由物体的位移确定的,故物体的位移就是 在[0,4]内 v(t)的定积分.第二问中,从时刻 t=0 到时刻 t=4 不能保证 v(t ) ? 0 恒成立. 而路程是位移的绝对值之和.因此要把区间[0,4]分割,以便能准确的判断 v(t)在哪些 区间为正哪些区间为负.

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【思路分析】由 v ? t ? 4t ? 3 ? (t ? 1)(t ? 3) 知:在区间[0,1][3,4]内 v(t)为正 ,
2

值, 在区间 [1, 内 v 3] (t) 为负值.在时刻 [1, 内物体运动的路程是 ? 3] 【解题步骤】 (1)在时刻 t=4s 时物体的位移是:

? (t
1

3

2

? 4t ? 3)dt .

1 4 4 (t 2 ? 4t ? 3)dt ? ( t 3 ? 2t 2 ? 3t ) |0 ? m 0 3 3 4 即 t=4s 时刻质点距出发点 m 3

?

4

(2)由 v ? t ? 4t ? 3 ? (t ? 1)(t ? 3) 知:运动物体在 t=4s 时刻运动的路程
2

S? ?
1

? (t
0 2

1

2

? 4t ? 3)dt ? |
3

? (t
1 2

3

2

? 4t ? 3)dt | ? (t 2 ? 4t ? 3)dt
3

?

4

? (t
0

? 4t ? 3)dt ?

? (t
1

? 4t ? 3)dt ?

? (t
3

4

2

? 4t ? 3)dt =4

【解题后的思考】 本题考查的知识点是利用定积分求变速直线运动路程的问题, 要明确仅当 v(t)恒为正时,物体在时刻 t=0 到时刻 t=4 时运动的路程 S ?

? v(t )dt ,因此本题正对 v
a

b

(t)的表达式要把时刻区间[0,4]分割,确保在哪些时刻区间 v(t)为正,哪些时刻区 间v (t) 为负.体现的数学思想是分类讨论的数学思想.同时要理解物理学中的路程与位移的 区别.易错点是:混淆路程与位移的概念. 【小结】 这一题组三个例题主要讲述利用定积分求变力做功的问题和求变速直线运动物体的 路程问题.对求变力做功问题要根据物理学的意义求力 F 的表达式,及在力 F 作用下位移的 起始位置与末位置,以确定积分的上下限.在求变速直线运动路程问题时,要根据 v(t)曲 线写出 v(t)函数的表达式,或由 v(t)表达式判断在时刻区间 v(t)是否为正.因为仅当 v(t)恒为正时, S ?

? v(t )dt .
a

b

知识点二:求曲边梯形的面积 例 1:曲线 y ? x 与直线 y=x 围成的图形的面积是(
3



A.

?

1

?1

( x ? x 3 )dx

B.

?

1

?1

( x 3 ? x)dx
0

C. 2 ( x ? x 3 )dx
0

?

1

D. 2

?

?1

( x 3 ? x)dx

【题意分析】 根据定积分的几何意义要求两曲线围成的图形面积必须确定被积函数、 积分的 上下限. 【思路分析】在同一坐标系内画出函数 y ? x 和 y=x 的图象,求出交点坐标从而确定积分
3

的上下限及被积函数. 【解题过程】在同一坐标系内画出函数图象(如图)A(1,1) ,B(-1,-1)

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由两函数图象知:两图象围成的面积在第一、第三象限. 根据图象的对称性知:两部分面积相等. 在第一象限两图象围成的面积 S1 ? S ?OAC ? S ?曲边三角形 OAC

? S1 ? ? xdx ? ? x 3 dx ? ? ( x ? x 3 )dx
0 0 0

1

1

1

故两曲线围成的图形面积 S ? 2S1 ? 2 ( x ? x 3 )dx ,选(C)
0

?

1

【解题后的思考】 本题是利用定积分求曲边图形的面积, 解题的关键是确定被积函数和积分 的上下限.通过画出两函数的图象及求交点坐标来确定积函数和积分的上下限,体现了数形 结合这一数学思想的应用,易错点:画函数图象不准确导致积分上下限的确定有误. 例 2:求抛物线 y 2 ? 8x ( y ? 0) 与直线 x+y-6=0 及 y=0 围成的图形面积. 【题意分析】画出图形确定被积函数和积分的上下限,再利用定积分的几何意义求面积 【思路分析】画出 y 2 ? 8x ( y ? 0) 及 x+y-6=0 的图象,求两曲线的交点坐标,正确划分图 形,然后确定被积函数及积分的上下限. 【解题过程】由题意画出图形(如图)

由?

? y 2 ? 8 x( y ? 0) ?x ? y ? 6 ? 0

? 两曲线的交点 A(2,4)

故所求的面积 S ? S曲边三角形 ? S ?ABC ? OAB

?

2

0

8xdx ? ? (6 ? x)dx
2

6

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= 8?

2 3 2 1 40 x | 0 ? (6 x ? x 2 ) | 6 ? 2 3 2 3

2

【解题后的思考】本题考查求两条曲线围成的曲边梯形面积的问题,处理的方法(1)准确 地画出两个函数的图象, (2)求出两曲线的交点坐标,然后对正确的图形分割后, (3)确定 被积函数及积分的上下限.体现数形结合的思想及其应用,易错点是:图形分割不正确导致 被积函数有误,如本题会误认为:S=

? [(6 ? x) ?
0

4

8x]dx .

例 3: 在曲线 y ? x ( x ? 0) 上某一点 A 处作切线, 使之与曲线以及 x 轴围成的面积为
2

1 ,求切点 A 的坐标,及过点 A 的切线方程. 12
【题意分析】本题考查的知识点是:导数的几何意义及利用定积分求曲边图形的面积.利用 导数的几何意义求切线 AC 的方程,再利用曲边三角形的面积是

1 求切点坐标 12 1 12

【思路分析】 设切点 A x0 , y 0 ) 求出切线方程进而求出 C 点坐标, ( 根据 S曲边三角形 AOC ? 求出 x 0 .

【解题过程】设切点 A( x0 , y 0 ) ,由导数的几何意义知:切线 AC 的斜率 k=2x0, 所以切线方程是 y ? y 0 ? 2 x0 ( x ? x0 ) , y 0 ? x 0 ,
2 2 ?切线方程是y ? 2 x0 x ? x0

令 y0 ? 0 ? C (

x0 ,0) , 2

设由曲线和过 A 点的切线及 x 轴所围成的图形面积是 S, 则 S= S曲边三角形 AOB ? S ?ABC ?

?

x0

0

x 2 dx ?

x 1 1 1 x 2 | BC | ? | AB | ? x 3 | 0 0 ? (x 0 ? 0 )x 0 ? 2 3 2 2

1 3 x0 , 12

?

1 1 3 ,所求的切线方程为 y=2x-1. ? x0 ? x0 ? 1, 故切点 A(1,1) 12 12

【解题后的思考】本题是导数与积分综合试题,解题的关键是(1)利用导数求切线斜率进 而求切线方程.(2)利用积分求曲边三角形 AOB 的面积减去三角形 ABC 的面积来表示曲 边三角形 AOC 的面积.求切点坐标,易错点是:求曲边三角形 AOC 的面积时不会分割为曲
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边三角形 AOB 的面积减去三角形 ABC 的面积. 【小结】 本题组主要讲述利用定积分求曲边图形的面积, 处理问题的关键是要能画出函数的 图象,并且合理地分割图形,以便确定被积函数和积分的上下限.易错点:图形分割不合理 导致被积函数和积分上下限的确定错误. 【本讲涉及的数学思想、方法】 本讲主要讲定积分的简单的应用, 在处理定积分在物理学中的应用和求曲边图形面积时 充分体现了数形结合的数学思想的应用和分类讨论的数学思想的应用.

【模拟试题】 (答题时间:60 分钟,满分 60 分)
一、填空题(每题 5 分,计 20 分) 1. 已知函数 f(x)= a+b=__________ 2. 直线 y=2x+3 与抛物线 y=x2 围成的图形面积是 3. 长为 25cm 的弹簧,若加 100N 的力,则弹簧伸长到 30cm,则弹簧从 25cm 到 30cm 所做的功是 4. 曲线 xy=1 及直线 y=x,y=2 围成的平面图形的面积是 二、计算题(计 40 分) : 5. 已知 f(x)= ax2 ? bx ? c, (a ? 0), f (?1) ? 2, f ' (0) ? 0, 的解析式.(10 分) 6. 某一物体沿数轴的正方向做变速直线运动,其速度 v(t)=1-t2,初始位置为 x0=1, 求它在前 2 秒内走过的路程及 2 秒末的位置.(10 分) 7. 在原点 O 有一个带电量为+q 的点电荷,它所产生的电场对周围的电荷有作用力, 现有一个单位正电荷从距离原点 a 处沿着射线方向移至距 O 点为 b(a<b)的地方,求电场 力所做的功.(10 分) 8. 求曲线 y=2x-x2,y=2x2-4x 所围成图形的面积.(10 分) .

?

x

0

1 (ax2 ? bx ? 1)dx 是奇函数,且 f(1)-f(-1)= ,则 3

?

1

0

f ( x)dx ? ?2, 求 f(x)

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【试题答案】
一、填空题 1. ?

5 2

a b a b x (ax2 ? bx ? 1)dx = ( x 3 ? x 2 ? x) |0 ? x 3 ? x 2 ? x , 3 2 3 2 1 5 由 f(x)为奇函数知:b=0,又由 f(1)-f(-1)= ? a ? ? . 3 2
解析:f(x)=

?

x

0

2.

32 3

解析: ?

? y ? 2x ? 3
2 ?y ? x

? x1 ? ?1, x 2 ? 3
3

? S ? ? (2 x ? 3)dx ? ? x 2 dx ?
?1 ?1

3

32 . 3

3. 2250N 解析:设 x 表示弹簧伸长的长度, 则 F(x)=kx,当 F=100N 时,x=5,故 k=20,所以 F=20x

W ? ? 20 xdx ? 10 x 2 |15 ? 2250 N 0
0

15

4.

3 ? ln 2 2

解析:由已知: ?

? xy ? 1 ? x ? 1 ? x ? ?1 ?? 或? (舍去) ?y ? x ? y ? 1 ? y ? ?1

以 y 轴为积分变量可得面积
2 1 1 3 2 S ? ? ( y ? )dy ? ( y 2 ? ln y ) |1 ? ? ln 2 1 y 2 2

二、计算题 5. 解:由已知:f(-1)=2 得:a-b+c=2…………(1)

f ' ( x) ? 2ax ? b,由f ' (0) ? 0 ? b ? 0 …………(2)
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1 1 1 1 ? bx ? c)dx ? ( ax 3 ? bx 2 ? cx ) |1 ? a ? b ? c ? ?2 …(3) 0 0 0 3 2 3 2 由(1) (3)解得:a=6,b=0,c=-4. (2) ? f (x )dx ?

?

1

? (ax

1

2

? f ( x) ? 6 x 2 ? 4
6. 解:当 0 ? t ? 1时,v(t) ? 0 ,当 1 ? t ? 2 时,v(t)<0, 故前 2 秒内走过的路程是:

?

1

0

v(t )dt ? ? v(t )dt ? ? (1 ? t 2 )dt ? ? (t 2 ? 1)dt ? 2 ,
1 0 1

2

1

2

2 秒末所在的位置是: x1 ? x0 ?

?

2

0

v(t )dt ? 1 ? ? (1 ? t 2 )dt ?
0

2

1 , 3

即它在 2 秒内走过的路程是 2,2 秒末的位置是

1 3
q x2
,这是 (k 为常数)

7. 解:取电荷移动的射线方向为 x 轴正方向,那么电场力 F ? k ? 一个变力,在 [x ? x ? ?x] 上,显然 w ? k ?

q ? ?x , x2 b kq kq 1 1 ? w ? ? 2 dx ? ? |b ? kq( ? ) a a x x a b
2 ? ? y ? 2x ? x ? x1 ? 0, x 2 ? 2 ? y ? 2x 2 ? 4x ?

8. 解:由 ?

由图知:所求的面积

S ? ? (2 x ? x 2 )dx? | ? (2 x 2 ? 4 x)dx | = ? (2 x ? x 2 )dx ? ? (2 x 2 ? 4 x)dx =4.
0 0 0 0

2

2

2

2

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