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求数列求和方法总结


东莞一中 2013-2014 学年高二文科数学专题 数列求和方法总结
班别:______________姓名:________________学号:__________________ 一.公式法: (1)等差数列的和: S n ?

3.若 a n ?

1 n ? n ?1

,则 S n ?
<

br />;

4.等差数列 {an } 中, a1 ? 3, d ? 2 , Sn 是其前 n 项和,求 5.求和: S ? 1 ?

1 1 ? ? S1 S2

?

1 Sn

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

1 1 1 ? ? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4

?

1 1? 2 ? ? n

?na1 , q ? 1 ? (2)等比数列的和: S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q , q ? 1 ?
(3) 1 ? 2 ? 3 ?
2 2 2

四.错位相减法:用于“等差数列” ? “等比数列”的数列的和 例题:1. 求 S ? x ? 2x2 ? 3x3 ?
2

? n2 ?

1 n(n ? 1)(2n ? 1) 6

? nxn , ( x ? R)
? 3n ?1 an ? n , (1)求数列 {an } 的通项公式; 3

例题:1. S ?
2

1 ? 1 ? 2 ? 22 ? ??? ? 2n ; 2
3

2.已知数列 {an } 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? (2) bn ?

2.求 a ? a ? a ?

? a n 的和

二.倒序相加法: 例题:1.在项数为 n 的等差数列{an}中,前三项之和为 12,最后三项之和为 132,前 n 项之和为 240,则 n= . 2.已知 f ( x) ?

n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 an

x2 , 1 ? x2
? f (2012) ? f ( 1 1 )? f ( )? 2012 2011 1 f ( ) ? f (1) 的和 2
五.分组求和法: 例题:1.在数列 {an } 中, an ? 10n ? 2n ? 1 ,则 S n = 2.已知 an ? ?

求 f (1) ? f (2) ? f (3) ?

三.裂项相消法:对于形如: {

1 } 的和可用裂项相消法(其中 {an } 是等差数列) an ? an ?1

?2n , ?n,

n为偶数;

n为奇数;
n个1

,则 S 2 n =

常见的有: a n ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ; an ? ? ( ? ) n( n ? k ) k n n ? k (n ? 1)(n ? 1) 2 n ? 1 n ? 1 n ?1 ? n ;

3. S ? 1 ? 11 ? 111 ?

? 11 11;

an ?

1 1 1 1 1 ? ( ? ) ; an ? ? (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 n ?1 ? n 1 1 1 1 ? ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? (n ? 1)


4.求数列 1, (1+2) , (1+2+ 2 ),??( 1+2+2 + 例题:1. S ?

2

2

+2n?1 ) ,??的前 n 项和

2. S ?

1 1 1 1 ? ? ??? ? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n ? (n ? 2)



-1-

数列综合题练习
1.设数列{an}中,首项 a1=3,点 ( an +1 , an )(n ? 1, 2,3, 4 列{ an }的通项公式 , (2)求数列 若bn ?

3.数列 {an } 的前 n 项和为 S n ( n ? N * ) ,点 (an , S n ) 在直线 y ? 2 x ? 3n 上.

) 均在直线 x-y- 3 ? 0 上。 (1)求数
, 求{bn } 前 n 项的和.

(1) 若数列 {an ? c} 成等比数列,求常数 C 的值; (2) 求数列 {an } 的通项公式 (3) 数列 {an } 中是否存在三项,它们可以构成等差数列 ?若存在,请求出一组适合条件的项;若不存 在,请说明理由.

1 4 an- 1 3

4. (本小题满分 14 分)(2013 年广东卷) 2.若数列 ?an ? 满足前 n 项之和 Sn ? 2an ? 4(n ? N*), (1)求 ?an ? 的通项公式 . (2)求证:数列 {

bn?1 ? an ? 2bn , 且 b1=2,

2 ? 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 满足 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1, n ? N , 且 a2 , a5 , a14 构成等比数列.

(1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

bn } 是等差数列; 2n

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

(3)求数列{bn}的前 n 项和 Tn .

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 1 ? . an an ?1 2

-2-

5. (2009 年广东卷)已知点(1, )是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的前 1. 解:(1) an ? 3n2 (2)

1 3 n 项和为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n?1 = S n + Sn?1 ( n ? 2 ). 1000 1 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2009 bn bn?1

数列综合题练习参考答案
n 2n ? 1
即 an ? 2an?1

(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{
.

2.解: (1)当 n>1 时, an ? S n ?S n?1? 2an ? 2an?1 当 n=1 时,a1=S1=2a1-4 ∴ a1 ? 4 (2)于是 bn?1 ? 2n?1 ? 2bn ∴

∴ an ? 2 n?1

bn ?1 bn ? ?1 2 n ?1 2 n bn } 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列 2n bn =1+(n-1) ·1=n , 2n
2 n

故{

(3)由(1)知

bn=n·2

n

∴Tn=1·2+2·2 +?+n·2
2 3

2 Tn=1·2 +2·2 +?+(n-1) ·2 +n·2 ∴-Tn =2+2 +2 +?+2 -n·2 ∴ Tn=(n-1) ·2 +2
n+1 2 3 n n+1

n

n+1

3.解 (1)由题意知 S n ? 2an ? 3n . ? S n?1 ? 2an?1 ? 3(n ? 1) 两式相减得 an?1 ? 2an ? 3 . ? an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) 故数列 {an ? 3} 是公比为 2 的等比数列. 所以 C=3 (2)由(1)得 an ? 3 ? 2 ? 3(n ? N )
n *

(3)假设存在 s, p, r ? N , 且s ? p ? r使as , a p , ar 成等差数列
*

则 2a p ? as ? ar
p s

【为何这样规定顺序?】 【注意 an 单调增】
r p ?1

即 2(3 ? 2 ? 3) ? (3 ? 2 ? 3) ? (3 ? 2 ? 3) ? 2 ∵ s, p, r ? N , 且s ? p ? r , ∴ 2
* p ? s ?1

? 2 s ? 2 r ? 2 p?s?1 ? 1 ? 2 r ?s

,2 r ?s 为偶数,又 1 为奇数,上式不成立 .

所以数列 {an } 中不存在构成等差数列的三项.
-3-

2 2 4. 解: (1)当 n ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 ,

an ? 0 ? a2 ? 4a1 ? 5

2 2 2 (2)当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4 ? n ?1? ?1, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an ?1 ? an ? 4
2 2 an an ? 0 ? an?1 ? an ? 2 ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? , 2

? 当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2 a2 , a5 , a14 构成等比数列,?a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,
2

1 ?1? 5. (1) Q f ?1? ? a ? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3? 1 2 f ? 2? ? c? ?? f ?1? ? c ? a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? ?? , ? ? ? ? 3 9 2 a3 ? ? ? f ? 3? ? c ? ??? ? f ? 2? ? c? ? ? ? 27 . 4 2 a2 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27
又公比 q ?

x

2 由(1)可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,?a1 ? 1

a2 ? a1 ? 3 ?1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1,公差 d ? 2 的等差数列.

a2 1 2?1? ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3?3?

n ?1

Q Sn ? Sn?1 ?

?

Sn ? Sn?1

??

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n? N*



Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2?

? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.
(3)

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn ?1 ? 1;

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 1 1 1 ? ? ? ? an an?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

?

? 2n ?1?? 2n ? 1?

1

数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ? . 2 ? 2n ? 1 ? ? 2

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * ); 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? (2) Tn ? ? ? ?L ? (2n ? 1) ? ? 2n ? 1? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7
1? 1? 1 1 1 ? n ? 1 ?1 ? 1 1 ? 1 ? 1 ? 1 1? ; ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 2? 3? 2 2 ? 2 n1 ? ?2 2 1? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 3 ?5 ? 2 5 ? 7 ? n n 1000 1000 1000 ? 由 Tn ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2n ? 1 2009 9 2009

-4-


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