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三角函数图像和性质知识归纳和练习题


题目 第四章三角函数 三角函数的图像与性质 第 课(章、节) 第 课时 课型 编写时间:200 年 月 日 执行日期: 月 日 总序号 高考要求 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin(ωx+φ) 的简图,理解 A ω、φ 的物理意义 知识点归纳 知识点归纳 1 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2 三角函数的单调区间:
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π π? ? y = sin x 的递增区间是 ?2kπ ? ,kπ + ? (k ∈ Z ) , 2 2 2? ?
递减区间是 ?2kπ +

? ?

π
2

,kπ + 2

3π ? (k ∈ Z ) ; 2? ?

y = cos x 的递增区间是 [2kπ ? π,kπ ] (k ∈ Z ) , 2
递减区间是 [2kπ,kπ + π ] ( k ∈ Z ) , 2

π π? ? y = tgx 的递增区间是 ? kπ ? ,kπ + ? (k ∈ Z ) , 2 2? ?
y = ctgx 的递减区间是 (kπ,kπ + π ) (k ∈ Z )
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3 函数 y = A sin(ωx + ? ) + B (其中A > 0,ω > 0) 最大值是 A + B ,最小值是 B ? A ,周期是 T = 的对称轴是直线 ωx + ? = kπ +
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π
2

ω

,频率是 f =

ω ,相位是 ωx + ? ,初相是 ? ;其图象 2π
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(k ∈ Z ) ,凡是该图象与直线 y = B 的交点都是该图象的对称中心

4 由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ωx+ ? )的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象 变换 利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现 无论哪种变形,请切记每一个变换总 是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)
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奎屯
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先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0)平移| ? |个单位, 再将图象上各点的横坐标变为原来的 >0),便得 y=sin(ωx+ ? )的图象
新疆 王新敞 奎屯

1

ω

倍(ω

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换

新疆 王新敞 奎屯

先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 单位,便得 y=sin(ωx+ ? )的图象 5 由 y=Asin(ωx+ ? )的图象求其函数式:
新疆 王新敞 奎屯
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1

ω

倍(ω>0),再沿 x 轴向左( ? >0)或向右( ? <0=平移

|? |

ω



给出图象确定解析式 y=Asin(ωx+ ? )的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(- 的升降情况找准第一个零点的位置 .. 6 对称轴与对称中心: y = sin x 的对称轴为 x = kπ + π ,对称中心为 (kπ , 0) 2
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? ,0)作为突破口,要从图象 ω

k ∈Z ;
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y = cos x 的对称轴为 x = kπ ,对称中心为 (kπ + π , 0) ; 2 对于 y = A sin(ω x + φ ) 和 y = A cos(ω x + φ ) 来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系
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7 求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意 A、ω 的正负 利用单调性三角 函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间; 8 求三角函数的周期的常用方法: 经过恒等变形化成“ y = A sin(ω x + φ ) 、 y = A cos(ω x + φ ) ”的形式,在利用周期公式,另外还有图像法和定义 法 9 五点法作 y=Asin(ωx+ ? )的简图:
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五点取法是设 x=ωx+ ? ,由 x 取 0、 题型讲解
源 源 源

π 3π 、π、 、2π来求相应的 x 值及对应的 y 值,再描点作图 2 2

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例 1 把函数 y=cos(x+
A
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4π )的图象向左平移 4 个单位,所得的函数为偶函数,则 ? 的最小值是 3 C
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4π 3

B

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2π 3

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π 3

D

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5π 3
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解:先写出向左平移 4 个单位后的解析式,再利用偶函数的性质求解 4π 向左平移 ? 个单位后的解析式为 y=cos(x+ , +? ) 3 则 cos(-x+
cosxcos( 4π 4π + ? )=cos(x+ +? ) , 3 3

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4π 4π 4π 4π + ? )+sinxsin( + ? )=cosxcos( + ? )-sinxsin( +? ) 3 3 3 3 4π + ? )=0,x∈R 3
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∴sinxsin( ∴

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4π 4π + ? =kπ ∴ ? =kπ- >0 3 3
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∴k>

4 2π ∴k=2 ∴ ? = 3 3
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答案:B
1 π 例 2 试述如何由 y= sin(2x+ )的图象得到 y=sinx 的图象 3 3 1 π 1 π 倍 解:y= sin(2x+ ) ?横坐标扩大为原来的2?→ y = sin x + ) ???????? ( 纵坐标不变 3 3 3 3
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图象向右平移 个单位 1 倍 ?? ? ? ? ?3 ? ?→ y = sin x ?纵坐标扩大到原来的3?→ y = sin x ? ???????? 3 纵坐标不变 横坐标不变

π

1 π π 1 另法答案: 1)先将 y= sin(2x+ )的图象向右平移 个单位,得 y= sin2x 的图象; ( 3 3 6 3 1 1 (2)再将 y= sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得 y= sinx 的图象; 3 3 1 (3)再将 y= sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍(横坐标不变) ,即可得到 y=sinx 的图象 3
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4 4 例 3 求函数 y=sin x+2 3 sinxcosx-cos x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间

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解:y=sin4x+2 3 sinxcosx-cos4x=(sin2x+cos2x) sin2x-cos2x)+ 3 sin2x (

= 3 sin2x-cos2x=2sin(2x-

π ) 6

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π 5π ][ , ,π] 3 6 点评:把三角函数式化简为 y=Asin(ωx+ ? )+k(ω>0)是解决周期、最值、单调区间问题的常用方法

故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;单调递增区间是[0,

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例 4 已知电流 I 与时间 t 的关系式为 I = A sin(ωt + ? ) . (1)右图是 I = A sin(ωt + ? ) (ω>0, | ? |< 解析式; (2)如果 t 在任意一段

I
300

π
2

)在一个周期内的图象,根据图中数据求 I = A sin(ωt + ? ) 的
1 900

o

1 秒的时间内,电流 I = A sin(ωt + ? ) 都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正 -300 150

1 180

t

整数值是多少? 解:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识, 考查运算能力和逻辑推理能力. 1) ( 由图可知 A=300. 设

1 1 1 1 1 2π 1 ,t2= , 则周期 T=2(t2-t1)=2( + )= .∴ ω= =150π. 又当 t= 时, 900 180 180 900 75 T 180 1 π π π I=0,即 sin(150π· + ? )=0,而 | ? |< , ∴ ? = .故所求的解析式为 I = 300 sin(150π t + ) . 180 2 6 6 1 2π 1 * (2)依题意,周期 T≤ ,即 ≤ , ω>0)∴ ω≥300π>942,又ω∈N ,故最小正整数ω=943. ( 150 ω 150
t1=-
点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言.其中,读图、识图、用图是形数结合的有效途径. 点评 π 例 5 (1)y=cosx+cos(x+ )的最大值是_______; 3 (2)y=2sin(3x- 解: 1)y=cosx+ (
= 3 sin(
π )的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______ 4
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1 3 3 3 3 1 cosx- sinx= cosx- sinx= 3 ( cosx- sinx) 2 2 2 2 2 2
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π -x) 所以 ymax= 3 3

(2)T=

2π π ,相邻对称轴间的距离为 答案: 3 3 3
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π 3

,求 f(cosx)的定义域; 例 6 (1)已知 f(x)的定义域为[0,1) (2)求函数 y=lgsin(cosx)的定义域 分析:求函数的定义域: 1)要使 0≤cosx≤1, 2)要使 sin(cosx)>0,这里的 cosx 以它的值充当角 ( ( π π π 解: 1)0≤cosx<1 ? 2kπ- ≤x≤2kπ+ ,且 x≠2kπ(k∈Z) ∴所求函数的定义域为{x|x∈[2kπ- , ( 2 2 2
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2kπ+

π ]且 x≠2kπ,k∈Z} (2)由 sin(cosx)>0 ? 2kπ<cosx<2kπ+π(k∈Z) 又∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx 2
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≤1

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故所求定义域为{x|x∈(2kπ-

π π ,2kπ+ ) ,k∈Z} 2 2

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点评:求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是图象,二是三角函数线 例 7 求函数 y=sin6x+cos6x 的最小正周期,并求 x 为何值时,y 有最大值 分析:将原函数化成 y=Asin(ωx+ ? )+B 的形式,即可求解
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

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解:y=sin6x+cos6x= ( sin2x+cos2x) sin4x- sin2xcos2x+cos4x) =1 - 3sin2xcos2x=1 - (
cos4x=1,即 x=
kπ (k∈Z)时,ymax=1 2
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3 2 3 5 π sin 2x= cos4x+ ∴T= 当 4 8 8 2
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例 8 判断下面函数的奇偶性:f(x)=lg(sinx+ 1 + sin 2 x )

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分析:判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称,然后再看 f(x)与 f(-x)的关系
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解:定义域为 R,又 f(x)+f(-x)=lg1=0,即 f(-x)=-f(x) ,∴f(x)为奇函数 评述: 定义域关于原点对 称是函数具有奇偶性的必要(但不充分)条件 1 π 2x π (1)y= sin( - )(2)y=-|sin(x+ )| ; 例 9 求下列函数的单调区间: 2 4 3 4
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分析: 1)要将原函数化为 y=- ( (2)可画出 y=-|sin(x+ 解: 1) ( y=

1 2 π sin( x- )再求之 2 3 4
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π )|的图象 4

1 π 2x 1 2x π π 2x π π 3π 9π sin ( - ) - sin = ( - )故由 2kπ- ≤ - ≤2kπ+ ? 3kπ- ≤x≤3kπ+ 2 4 3 2 3 4 2 3 4 2 8 8
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

(k∈Z) ,为单调减区间;由 2kπ+
? 3kπ+
+

π 2x π 3π ≤ - ≤2kπ+ 2 3 4 2
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9π 21π 3π 9π ≤x≤3kπ+ (k∈Z) ,为单调增区间 ∴递减区间为[3kπ- ,3kπ+ ] ,递增区间为[3kπ 8 8 8 8
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9π 21π ,3kπ+ ] k∈Z) ( 8 8

(2)y=-|sin(x+
-

π π 3π π π )|的图象的增区间为[kπ+ ,kπ+ ] ,减区间为[kπ- ,kπ+ ] 4 4 4 4 π 5π 7π 3π 4 5π π 3π
4 -

y

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4 4 4 4 6 cos 4 x ? 5 cos 2 4 + 1 4 x ,求 f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域 例 10 已知函数 f(x)= cos 2 x 剖析:此题便于入手,求定义域、判断奇偶性靠定义便可解决,求值域要对函数化简整理

o

x

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解:由 cos2x≠0 得 2x≠kπ+

π kπ π kπ π ,解得 x≠ + (k∈Z) 所以 f(x)的定义域为{x|x∈R 且 x≠ + ,k∈Z} 2 2 4 2 4
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因为 f(x)的定义域关于原点对称,且 f(-x)=
(x)是偶函数 又当 x≠ f(x)=
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6 cos 4 ? x) 5 cos 2 ? x) 1 6 cos 4 x ? 5 cos 2 x + 1 ( ( ? + = =f(x) ,所以 f cos (-2 x) cos 2 x

kπ π + (k∈Z)时, 2 4

6 cos 4 x ? 5 cos 2 x + 1 (2 cos 2 x ? 1 )(3 cos 2 x ? 1 ) = =3cos2x-1, cos 2 x cos 2 x 1 1 所以 f(x)的值域为{y|-1≤y< 或 <y≤2} 2 2
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评述:本题主要考查三角函数的基本知识,考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力 小结: 小结: 1 数形结合是数学中重要的思想方法,在中学阶段,对各类函数的研究都离不开图象,很多函数的性质都是通过观 察图象而得到的 2 作函数的图象时,首先要确定函数的定义域 3 对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可根据周期性作出整个函数的图 象 4 求定义域时,若需先把式子化简,一定要注意变形时 x 的取值范围不能发生变化 5 求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一个三角函数,且三角函数的次数为 1 的形式,否则很容易 出现错误 6 函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的, 要比较两三角函数值的大小一般先将它们化归为同一 单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小 7 判断 y=-Asin(ωx+ ? ) ω>0)的单调区间,只需求 y=Asin(ωx+ ? )的相反区间即可,一般常用数形结合 而 ( 求 y=Asin(-ωx+ ? ) (-ω<0)单调区间时,则需要先将 x 的系数变为正的,再设法求之
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1、求函数 f(x)=

sin4 x + cos4 x + sin2 x cos2 x 的最小正周期、最大值和最小值 2 ? sin2x
第4页 共5页
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,Q(cosx,1) ,x∈[- 2、 已知 P(1,cosx)
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π π , ] 4 4

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(1)求向量 OP 和 OQ 的夹角θ的余弦用 x 表示的函数 f(x) ; (2)求θ的最值
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三角函数的图像及性质知识点梳理、经典例题及解析、历...

三角函数的图像及性质知识点梳理、经典例题及解析、历年高考题练习带答案_数学_高中...2、三角函数的图像变换 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等. ...


三角函数图像与性质知识点总结

三角函数图像与性质知识点总结_数学_高中教育_教育专区。函数图像与性质知识点总结一、三角函数图象的性质 1.“五点法”描图 (1)y=sin x 的图象在[0,2π]...


三角函数概念图像与性质复习题型总结(最全)

三角函数概念图像与性质复习题型总结(最全)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。三角函数概念图像与性质高三复习题型总结(最全) 三角函数概念和性质复习 1.终边相同...


三角函数图像和性质练习题(附答案)

三角函数图像与性质一、选择题 1.已知函数 f(x)=2sin ? x( ? >0)在...sin( x ? ? 6 )( x ? R ) 的图象上所有的点向左平行移动 ? 个单位...


人教版高一数学三角函数图象与性质最全知识点总结级典...

人教版高一数学三角函数图象与性质最全知识点总结级典型复习题_数学_高中教育_...4.y=sin? ). ?x-4?的图象的一个对称中心是( A.(-π,0) 3π -,0?...


三角函数图像及性质习题含答案

二、三角函数的图象与性质板块一: 任意角的概念与弧度制 (一)知识内容⑴单位...sin x 的图象上的各点的纵坐标伸长 ( A ? 1) 或缩短 (0 ? A ? 1) ...


三角函数的图像与性质 知识点与题型归纳

三角函数图像与性质 知识点与题型归纳_数学_高中教育_教育专区。●高考明方向...注意:求三角函数的值域的常用方法之五: 数形结合法 练习:求函数 y ? cos x...


三角函数的图像与性质经典练习题

三角函数图像与性质经典练习题_数学_高中教育_教育专区。1、-510°是第( A.一B. )象限角。 二C.三D.四) D. ) 2、已知角 ? 的终边过 P?? 4, ...


三角函数的图象和性质及三角恒等变换知识点归纳

三角函数的图象和性质及三角恒等变换知识点归纳_数学_高中教育_教育专区。三角函数的图象和性质及三角恒等变换知识点归纳 及常见题型讲解教学大纲: ? 知识要点 (一)...

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