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陕西省西安市昆仑中学2014届高考数学一轮复习讲义 第10课时 函数的奇偶性 理


课题:函数的奇偶性
考纲要求: 会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性. 教材复习 奇偶性 偶函数 定义 如果对函数 f ( x ) 的定义域内 有 图像特点

x都
x都

,那么称函数 f ( x ) 是偶函数

关于

对称.

奇函数

>如果对函数 f ( x ) 的定义域内 有

,那么称函数 f ( x ) 是奇函数

关于

对称.

基本知识方法

1. 奇偶函数的性质:

?1? 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称; ? 2 ? f ( x) 是偶函数 ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称;
? 3? 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的
f ( x) 是奇函数 ? f ( x) 的图象关于原点对称;

单调性.

?1? 定义法:首先判断其定义域是否关于原点中心对称.
? 2 ? 图象法; ? 3? 性 质法 :① 设
D ? D1

2. f ( x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (? x) ? f (| x |) . 3. 若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 . 4. 判断函数的奇偶性的方法:

若不对称,则为非奇非偶函数;

若对称,则再判断 f ( x) ? ? f ( x) 或 f ( x) ? f (? x) 是否定义域上的恒等式;

f ( x) , g ( x) 的 定 义域 分别 是 D1 , D2 , 那么 在它 们的 公共 定义 域

D2 上:奇 ? 奇 ? 奇,偶 ? 偶 ? 偶,奇 ? 奇 ? 偶,偶 ? 偶 ? 偶,奇 ? 偶 ? 奇;
f ( x) ? ?1 . f (? x)

②若某奇函数若存在反函数,则其反函数必是奇函数;

5. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 ,
典例分析: 题型一:判断或证明函数的奇偶性 问题 1.判断下列各函数的奇偶性:

?1?

f ( x) ? ( x ? 1)

1? x ; 1? x

? 2?

f ( x) ?

lg(1 ? x 2 ) ; | x ? 2 | ?2

49

? 3? f ( x) ? lg( 1 ? x2 ? x) ;

2 ? ( x ? 0) ?x ? x f ( x ) ? 4 ? ? ? 2 ( x ? 0) ? ?? x ? x

题型二:函数的奇偶性的应用

问题 2. ?1? ( 04 上海)设奇函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?5, 5? 若当 x ??0, 5? 时,

f ( x) 的图象如右图,则不等式 f ( x) ? 0 的解是

y

y ? f ( x)

? O

2

?

5

? x

? 2 ? ( 2013 哈九中模拟)奇函数 f ( x) 在 ?0, ??? 上的解析式是 f ( x) ? x ?1? x ? , 则在 ? ??,0? 上,函数的解析式是 A. f ( x) ? ?x ?1 ? x ? B. f ( x) ? x ?1 ? x ? C. f ( x) ? ?x ?1 ? x ? D. f ( x) ? x ? x ?1?

? 3? ( 2011 广东)设函数 f ( x) ? x3 cos x ?1 .若 f (a) ? 11 ,则 f (?a) ?
问题 3. 若 f (1 ? m) ? f (m) , ?1? 设定义在 ??2, 2? 上的偶函数 f ( x) 在区间 ?0, 2? 上单调递减, 求实数 m 的取值范围

? 2 ? ( 2013 江苏)已知 f ( x) 是定义在 R 上是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 4x ,
则不等式 f ( x) ? x 的解集用区间表示为

50

? 3? ( 06 黄岗中学月考)已知函数 f ( x) ? ? x ? log 2 1 ? x ,求 f (? 2005 ) ? f (? 2004 )
?f( 1 1 ) ?f( ) 的值. 2004 2005

1? x

1

1

题型三:抽象函数的奇偶性的证明

问题 5.?1? 已知函数 f ( x ) 满足: f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) ? f ( y) 对任意的实数 x 、y 总成立,且 f (1) ? f (2) .求证: f ( x ) 为偶函数.

? 2 ? 定义在 R 上的增函数 y ?
k 的取值范围.

f ( x) 对任意的 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) .
x x x

①求证: f ( x ) 为奇函数;②若 f (k 2 ) ? f (2 ? 4 ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,求实数

课后作业:

1. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c , x ???2a ? 3, 1? 是偶函数,则 a ? b ?

2. 已知 f ( x) ?

1 ? m 为奇函数,则 f (?1) 的值为 2 ?1
x

51

3. 已知 f ( x) ? ax7 ? bx5 ? cx3 ? dx ? 5 ,其中 a, b, c, d 为常数,若 f (?7) ? ?7 , 则 f (7) ? _______

4. 若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ) 的图象关于 A. x 轴对称 B. y 轴对称 C. 原点对称 D. 以上均不对

5. 函数 F ( x) ? (1 ?

2 ) f ( x)( x ? 0) 是偶函数,且 f ( x) 不恒等于零,则 f ( x) 2 ?1 A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 可能是奇函数也可能是偶函数 D. 不是奇函数也不是偶函数
x

6. 判断下列函数的奇偶性:

?1?

f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ;
2 2

? 2?

?1 ? 2 ? f ( x) ?
2x

x 2



? 3?

f ( x) ?

1 1 ? ; 2 ?1 2
x

? 4?

f ( x) ?

x ? log 3 ?1 ? 3? x ? ; 2
52

? 5?

f ( x) ? log a

1? x (其中 a ? 0 , a ? 1 ) 1? x

7.( 03 南昌模拟)给出下列函数① y ? x cos x ② y ? sin 2 x ③ y ? x 2 ? x ④ y ? ex ? e? x ,
其中是奇函数的是( )

A. ①②

B. ①④

C. ②④

D. ③④

8. 已知函数 y ? f ( x) 在 R 是奇函数,且当 x ≥ 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2x ,则 x ? 0 时, f ( x) 的解析式为_______________
9. ( 06 上海春)已知函数 f ( x) 是定义在 ? ??, ??? 上的偶函数.当 x ? ? ??,0? 时,

f ( x) ? x ? x4 ,则当 x ?? 0, ??? 时, f ( x) ?

1 ?1? 10. 已知 f ( x) 为 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ? ,那么 f ( ) 的值为 2 ?3? 3 A. B. 3 C. ? 3 D. 9 3

x

? 2x , x ? 0 ? 11. ( 2012 郑州二模)设奇函数 f ( x) ? ? 0, x ? 0 ,则 g (3) ? ? g ( x), x ? 0 ? 1 1 A. 8 B. C . ?8 D. ? 、 8 8
53

12. 若 f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数,且 f ( x) ? g ( x) ?

g ( x) ?

1 ,则 f ( x) ? x ?1



13. 定义在 (?1,1) 上的函数 f ( x) ?

x?m 是奇函数,则常数 m ? ____, n ? _____ x ? nx ? 1
2

14. ( 2013 皖南八校联考)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x) ? x2 ? 2x ( x ≥ 0 ) ,
若 f (3 ? a ) ? f (2a) 则实数 a 的取值范围是
2

走向高考:

1. ( 04 全国)已知函数 f ( x) ? lg

A. b

B. ?b

1? x ,若 f (a) ? b ,则 f (?a) ? 1? x 1 1 C. D. ? b b 1 , ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? 2 ?1
x

2. ( 06 全国Ⅰ文)已知函数 f ? x ? ? a ?

3. ( 2013 山东)已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? x 2 ? A. ?2 B. 0 C. 1 D. 2

1 ,则 f (?1) ? x

54

4. ( 07 辽宁文)已知 y ? f ( x) 为奇函数,若 f (3) ? f (2) ? 1 ,则 f (?2) ? f (?3) ?

5. ( 2011 广东)设函数 f ( x) 和 g ( x) 分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论 A. f ( x) ? g ( x) 是偶函数 B. f ( x) ? g ( x) 是奇函数 恒成立的是 C. f ( x) ? g ( x) 是偶函数 D. f ( x) ? g ( x) 是奇函数

6. ( 07 广东)若函数 f ( x) ? sin 2 x ?

1 ? x ? R? ,则 f ( x) 是 2
B. 最小正周期为 π 的奇函数 D. 最小正周期为 π 的偶函数

π 的奇函数 2 C. 最小正周期为 2 π 的偶函数
A. 最小正周期为

7. ( 07 海南)设函数 f ( x) ?

( x ? 1)( x ? a) 为奇函数,则 a ? x

8. ( 2012 重庆)设函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? 4) 为偶函数,则实数 a ?

? 2 ? 9. ( 07 江苏)设 f ( x) ? lg ? ? a ? 是奇函数,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是 ? 1? x ?
A. (?1, 0) B. (0, 1) C. (??, 0) D. (??, 0) (1, ? ?)
55

10. ( 2013 辽宁文)已知函数 f ( x) ? ln A. ?1 B. 0

?

? 1? 1 ? 9 x2 ? 3x ? 1 ,则 f (lg 2) ? f ? lg ? ? ? 2?
C. 1 D. 2

?

11.( 2013 重庆文)已知函数 f ( x) ? ax3 ? b sin x ? 4( a, b ? R ) , f ?gl lo g1 0 2 5 ? A. ?5 B. ?1 C. 3 D. 4 则 f ? lg ? lg 2? ? ?

?? ?



12. ( 2013 湖 南 文 ) 已 知 f ( x) 是 奇 函 数 , g ( x) 是 偶 函 数 , 且 f (?1) ? g (1) ? 2 , B. 3 C. 2 D. 1 f (1) ? g (?1) ? 4 ,则 g (1) ? A. 4

13. ( 06 重庆文)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?
(Ⅰ)求 a , b 的值;

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? a

(Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;
2 2

56

14. ( 02 全国)设 a 为实数,函数 f ( x) ? x2 ? | x ? a | ?1, x ? R .

?1? 讨论 f ( x) 的奇偶性; ? 2 ? 求 f ( x) 的最小值.

15. ( 07 上海,本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? x 2 ?

?1? 讨论函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由

a ( x ? 0 ,常数 a ? R) . x
57

? 2 ? 若 f ( x) 在 x ??2, ??? 上是增函数,求 a 的取值范围.

58


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