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高三复习理科数学解析几何学案-直线与直线的位置关系


直线与直线的位置关系
导学目标: 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法 求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行 直线间的距离.

自主梳理 1.两直线的位置关系 平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况. (1)两直线平行 对于直线 l1:y=k1x+b1,

l2:y=k2x+b2, l1∥l2?________________________. 对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0(A2B2C2≠0), l1∥l2?________________________. (2)两直线垂直 对于直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, l1⊥l2?k1·2=____. k 对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0, l1⊥l2?A1A2+B1B2=____. 2.两条直线的交点 两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0, 如果两直线相交,则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____;反之,如果这 个方程组只有一个公共解,那么以这个解为坐标的点必是 l1 和 l2 的________,因此,l1、l2 是否有交点,就看 l1、l2 构成的方程组是否有________. 3.有关距离 (1)两点间的距离 平面上两点 P1(x1, 1), 2(x2, 2)间的距离|P1P2|=__________________________________. y P y (2)点到直线的距离 平面上一点 P(x0,0)到一条直线 l: y Ax+By+C=0 的距离 d=________________________. (3)两平行线间的距离 已知 l1、l2 是平行线,求 l1、l2 间距离的方法: ①求一条直线上一点到另一条直线的距离; ②设 l1: Ax+By+C1=0,2: l Ax+By+C2=0, l1 与 l2 之间的距离 d=________________. 则 自我检测 1.(2011· 济宁模拟)若点 P(a,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离为 4,且点 P 在不等式 2x+y -3<0 表示的平面区域内,则实数 a 的值为( ) A.7 B.-7 C.3 D.-3 2.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 恒过定点( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2) am 3. 已知直线 l1: ax+by+c=0, 直线 l2: mx+ny+p=0, 则 =-1 是直线 l1⊥l2 的( ) bn A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2009· 上海)已知直线 l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0 与 l2:2(k-3)x-2y+3=0 平行,则

k 的值是( ) A.1 或 3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2 5.已知 2x+y+5=0,则 x2+y2的最小值是________.

探究点一 两直线的平行与垂直 例 1 已知两条直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0.求满足以下条件的 a、b 的值: (1)l1⊥l2 且 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且原点到这两条直线的距离相等.

变式迁移 1 已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2-1=0, (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2)l1⊥l2 时,求 a 的值.

探究点二 直线的交点坐标 例 2 已知直线 l1:4x+7y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x+3my-4=0.当 m 为何值时, 三条直线不能构成三角形.

变式迁移 2 △ABC 的两条高所在直线的方程分别为 2x-3y+1=0 和 x+y=0,顶点 A 的坐标为(1,2),求 BC 边所在直线的方程.

探究点三 距离问题 例 3 (2011· 厦门模拟)已知三条直线:l1:2x-y+a=0 (a>0);l2:-4x+2y+1=0;l3: 7 5 x+y-1=0.且 l1 与 l2 的距离是 . 10 (1)求 a 的值; (2)能否找到一点 P,使 P 同时满足下列三个条件: ①点 P 在第一象限; 1 ②点 P 到 l1 的距离是点 P 到 l2 的距离的 ; 2 ③点 P 到 l1 的距离与点 P 到 l3 的距离之比是 2∶ 5. 若能,求点 P 的坐标;若不能,说明理由.

变式迁移 3 已知直线 l 过点 P(3,1)且被两平行线 l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0 截得 的线段长为 5,求直线 l 的方程.

转化与化归思想的应用 例 (12 分)已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2).求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程; (3)直线 l 关于点 A(-1,-2)对称的直线 l′的方程. 【答题模板】 解 (1)设 A′(x,y),再由已知

33 4 ∴A′?-13,13?.[4 分] ? ? (2)在直线 m 上取一点, M(2,0), M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上. 如 则 设

对称点 M′(a,b),则

6 30 得 M′?13,13?.[6 分] ? ?

设直线 m 与直线 l 的交点为 N,则由 得 N(4,3). 又∵m′经过点 N(4,3),∴由两点式得直线 m′的方程为 9x-46y+102=0.[8 分] (3)方法一 在 l:2x-3y+1=0 上任取两点, 如 M(1,1),N(4,3),则 M,N 关于点 A(-1,-2)的对称点 M′,N′均在直线 l′上, 易得 M′(-3,-5),N′(-6,-7),[10 分] 再由两点式可得 l′的方程为 2x-3y-9=0.[12 分] 方法二 ∵l∥l′,∴设 l′的方程为 2x-3y+C=0 (C≠1), ∵点 A(-1,-2)到两直线 l,l′的距离相等,∴由点到直线的距离公式得 |-2+6+C| |-2+6+1| = ,解得 C=-9,[10 分] 22+32 22+32 ∴l′的方程为 2x-3y-9=0.[12 分] 方法三 设 P(x,y)为 l′上任意一点, 则 P(x,y)关于点 A(-1,-2)的对称点为 P′(-2-x,-4-y),[10 分] ∵点 P′在直线 l 上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即 2x-3y-9=0.[12 分] 【突破思维障碍】 点关于直线对称是轴对称中最基本的,要抓住两点:一是已知点与对称点的连线与对称 轴垂直;二是已知点与对称点为端点的线段中点在对称轴上.直线关于点的对称可转化为点 关于点的对称,直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称. 【易错点剖析】 (1)点关于线对称,不能转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题. (2)线关于线对称,不能转化为点关于线的对称问题;线关于点的对称,不能转化为点关 于点的对称问题.

1.在两条直线的位置关系中,讨论最多的还是平行与垂直,它们是两条直线的特殊位置 关系.解题时认真画出图形,有助于快速准确地解决问题.判断两直线平行与垂直时, 不要忘记考虑斜率不存在的情形,利用一般式则可避免分类讨论. |C1-C2| 2.运用公式 d= 2 求两平行直线间的距离时,一定要把 x、y 项系数化为相等的系 A +B2 数. 3. 对称思想是高考热点, 主要分为中心对称和轴对称两种, 关键要把握对称问题的本质, 必要情况下可与函数的对称轴建立联系.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.直线 3x+2y+4=0 与 2x-3y+4=0( ) A.平行 B.垂直 C.重合 D.关于直线 y=-x 对称 2.(2011· 六安月考)若直线 x+ay-a=0 与直线 ax-(2a-3)y-1=0 互相垂直,则 a 的值 是( ) A.2 B.-3 或 1 C.2 或 0 D.1 或 0 3π 3.已知直线 l 的倾斜角为 ,直线 l1 经过点 A(3,2)、B(a,-1),且 l1 与 l 垂直,直线 l2: 4 2x+by+1=0 与直线 l1 平行,则 a+b 等于( ) A.-4 B.-2 C.0 D.2 4.P 点在直线 3x+y-5=0 上,且点 P 到直线 x-y-1=0 的距离为 2,则 P 点坐标为 ( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2) 5.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x+y+b=0,已知 a、b 是方程 x2+x+c=0 1 的两个实根,且 0≤c≤ ,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( ) 8 2 1 2 A. , B. 2, 4 2 2 1 2 1 C. 2, D. , 2 2 2 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2011· 重庆云阳中学高三月考)直线 l1:x+my+6=0 和 l2:3x-3y+2=0,若 l1∥l2, 则 m 的值为______. 7.设直线 l 经过点(-1,1),则当点(2,-1)与直线 l 的距离最大时,直线 l 的方程为 ______________. 8.若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2, 则 m 的倾斜角可以是 ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° 其中正确答案的序号是________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)(2011· 福州模拟)k 为何值时,直线 l1:y=kx+3k-2 与直线 l2:x+4y-4=0 的 交点在第一象限.

10.(12 分)已知点 P1(2,3),P2(-4,5)和 A(-1,2),求过点 A 且与点 P1,P2 距离相等的直 线方程.

11.(14 分)(2011· 杭州调研)过点 P(3,0)作一直线,使它夹在两直线 l1:2x-y-2=0 与 l2: x+y+3=0 之间的线段 AB 恰被点 P 平分,求此直线的方程.

学案 48
自主梳理 1.(1)k1=k2 且 b1≠b2

直线与直线的位置关系

A 1 B1 C1 = ≠ (2)-1 0 A 2 B2 C2 2.解 交点 唯一解 3.(1) ?x2-x1?2+?y2-y1?2 |Ax0+By0+C| |C1-C2| (2) (3)② 2 2 A +B A2+B2 自我检测 1.D 2.B 3.A 4.C 5. 5 课堂活动区 例 1 解题导引 运用直线的斜截式 y=kx+b 时,要特别注意直线斜率不存在时的特 殊情况.运用直线的一般式 Ax+By+C=0 时,要特别注意 A、B 为 0 时的情况,求解两直 线平行或垂直有关的问题并与求直线方程相联系,联立方程组求解,对斜率不存在的情况, 可考虑用数形结合的方法研究. 解 (1)由已知可得 l2 的斜率必存在,且 k2=1-a. 若 k2=0,则 a=1.由 l1⊥l2,l1 的斜率不存在,∴b=0. 又 l1 过(-3,-1),∴-3a+b+4=0, ∴b=3a-4=-1,矛盾.∴此情况不存在,即 k2≠0. a 若 k2≠0,即 k1= ,k2=1-a. b a 由 l1⊥l2,得 k1k2= (1-a)=-1. b

由 l1 过(-3,-1),得-3a+b+4=0, 解之得 a=2,b=2. (2)∵l2 的斜率存在,l1∥l2,∴l1 的斜率存在, a ∴k1=k2,即 =1-a. b 又原点到两直线的距离相等,且 l1∥l2, 4 ∴l1、l2 在 y 轴上的截距互为相反数,即 =b. b ?a=2, ?a=2, ? ? 解之得? 或? 3 ? ?b=-2 ? ?b=2. 2 ∴a、b 的值为 2 和-2 或 和 2. 3 变式迁移 1 解 (1)方法一 当 a=1 时, l1:x+2y+6=0, l2:x=0,l1 与 l2 不平行; 当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 与 l2 不平行; a 当 a≠1 且 a≠0 时,两直线可化为 l1:y=- x-3, 2 1 l2:y= x-(a+1), 1-a

?-a= 1 , ? l1∥l2?? 2 1-a ?-3≠-?a+1?, ?

解得 a=-1,

综上可知,a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. 方法二 由 A1B2-A2B1=0, 得 a(a-1)-1×2=0. 由 A1C2-A2C1≠0,得 a(a2-1)-1×6≠0, ?a?a-1?-1×2=0 ?a2-a-2=0, ? ? ∴l1∥l2?? 2 ?? 2 ? ? ?a?a -1?-1×6≠0 ?a?a -1?≠6. ∴a=-1,故当 a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. (2)方法一 当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1 与 l2 不垂直; 当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 与 l2 不垂直; a 当 a≠1 且 a≠0 时,l1:y=- x-3, 2 1 l2:y= x-(a+1), 1-a a 1 2 由?-2?· =-1?a= . ? ? 1-a 3 方法二 由 A1A2+B1B2=0, 2 得 a+2(a-1)=0?a= . 3 例 2 解题导引 ①转化思想的运用 三条直线l1、l2、l3 l1、l2、l3交于一点或至 ? ? 不能构成三角形 少有两条直线平行 三条直线 l2与l3的交 l2与l3对应方程组 ? ? 交于一点 点在l1上 的解适合l1的方程 ②分类讨论思想的运用 本题依据直线的位置关系将不能构成三角形的情况分成两类,分类应注意按同一标准,

不重不漏. 解 当三条直线共点或至少有两条直线平行时,不能围成三角形. ①三条直线共点时,
?mx+y=0, ? 由? 得 ? ?2x+3my=4,

?x=2-3m ? ? -4m ? ?y=2-3m
4

2

2 (m2≠ ), 3

2

即 l2 与 l3 的交点为?

? 4 , -4m ?, ? ?2-3m2 2-3m2?

-4m 4 代入 l1 的方程得 4× +7× -4=0, 2-3m2 2-3m2 1 解得 m= ,或 m=2. 3 4 ②当 l1∥l2 时,4=7m,∴m= ; 7 7 当 l1∥l3 时,4×3m=7×2,∴m= ; 6 6 当 l2∥l3 时,3m2=2,即 m=± . 3 ? ? 6 1 6 4 7 ∴m 取集合?- , , , , ,2?中的元素时,三条直线不能构成三角形. 3 3 3 7 6 ? ? 变式迁移 2 解 可以判断 A 不在所给的两条高所在的直线上,则可设 AB,AC 边上的 高所在直线的方程分别为 2x-3y+1=0,x+y=0, 则可求得 AB,AC 边所在直线的方程分别为 3 y-2=- (x-1),y-2=x-1, 2 即 3x+2y-7=0,x-y+1=0. ?3x+2y-7=0 ? 由? ,得 B(7,-7), ? ?x+y=0
? ?x-y+1=0 由? ,得 C(-2,-1), ?2x-3y+1=0 ? 所以 BC 边所在直线的方程为 2x+3y+7=0. 例 3 解题导引 在应用平行线间的距离公式求两条平行线间的距离时, 应注意公式的 适用条件,即在两条平行线的方程中 x 与 y 的系数化为分别对应相等的条件下,才能应用该 公式. 如本例中求两条直线 2x-y+a=0 与-4x+2y+1=0 间的距离时, 需将前一条直线化为 1 -4x+2y-2a=0,或将后一条直线化为 2x-y- =0 后,再应用平行线间的距离公式. 2 解 (1)∵l1:4x-2y+2a=0 (a>0),l2:4x-2y-1=0, |2a+1| ∴两条平行线 l1 与 l2 间的距离为 d= , 2 5 |2a+1| 7 5 由已知,可得 = . 10 2 5 又 a>0,可解得 a=3. (2)设点 P 的坐标为(x,y), 由条件①,可知 x>0,y>0. 由条件②和③,

?|2x-y+3|=|4x-2y-1| ? 5 4 5 可得? |2x-y+3| |x+y-1| ? 5· 5 = 2· 2 ?



?4|2x-y+3|=|4x-2y-1| ? 化简得? , ? ?|2x-y+3|=|x+y-1| 于是可得,4|x+y-1|=|4x-2y-1|, 也就是 4(x+y-1)=4x-2y-1,或 4(x+y-1)=-4x+2y+1, 1 解得 y= ,或 8x+2y-5=0. 2 1 当 y= 时,代入方程|2x-y+3|=|x+y-1|, 2 2 解得 x=-3<0 或 x=- <0,均舍去. 3 ? ?8x+2y-5=0 由? , ? ?|2x-y+3|=|x+y-1| ?8x+2y-5=0 ?8x+2y-5=0 ? ? 化简得? ,或? , ? ? ?x-2y+4=0 ?3x=-2

?x=9 解得? 37 ?y=18
1

?x=-3<0 或? 31 ?y= 6
2

(舍去).

1 37 即存在满足题设条件的点 P,其坐标为?9,18?. ? ? 变式迁移 3 解 方法一 若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x=3,此时与 l1, l2 的交点分别是 A(3,-4),B(3,-9),截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意. 当直线 l 的斜率存在时,则设直线 l 的方程为 y=k(x-3)+1,分别与直线 l1,l2 的方程 联立, ? ?y=k?x-3?+1, ?3k-2,1-4k?. 由? 解得 A? ? ? k+1 k+1 ? ? ?x+y+1=0,
?y=k?x-3?+1, ? ?3k-7,1-9k?. 由? 解得 B? ? ? k+1 k+1 ? ? ?x+y+6=0, 由两点间的距离公式,得 ?3k-2-3k-7?2+?1-4k-1-9k?2=25, ? k+1 k+1 ? ? k+1 k+1 ? ? ? ? ? 解得 k=0,即所求直线方程为 y=1. 综上可知,直线 l 的方程为 x=3 或 y=1. 方法二 因为两平行线间的距离 |6-1| 5 2 d= = , 2 2

如图,直线 l 被两平行线截得的线段长为 5, 设直线 l 与两平行线的夹角为 θ,

2 ,所以 θ=45° . 2 因为两平行线的斜率是-1, 故所求直线的斜率不存在或为 0. 又因为直线 l 过点 P(3,1), 所以直线 l 的方程为 x=3 或 y=1. 课后练习区 1.B 2.C 3.B 4.C 5.D 6.-1 7.3x-2y+5=0 8.①⑤ 则 sin θ=
?y=kx+3k-2 ? 由? ,得 ? ?x+4y-4=0

9.解

?x=12-12k ? 4k+1 ? 7k-2 ?y=4k+1 ?

.(5 分)

∵两直线的交点在第一象限,

?12-12k>0 ? 4k+1 ∴? 7k-2 ?4k+1>0 ?

2 ,∴ <k<1.(11 分) 7

2 即当 <k<1 时, 7 两直线的交点在第一象限.(12 分) 10.解 设所求直线为 l,由于 l 过点 A 且与点 P1,P2 距离相等,所以有两种情况, (1)当 P1,P2 在 l 同侧时,有 l∥P1P2,此时可求得 l 的方程为 5-3 y-2= (x+1),即 x+3y-5=0;(5 分) -4-2 (2)当 P1,P2 在 l 异侧时,l 必过 P1P2 的中点(-1,4),此时 l 的方程为 x=-1.(10 分) ∴所求直线的方程为 x+3y-5=0 或 x=-1. (12 分) 11.解 设点 A(x,y)在 l1 上,

?x+x =3, 2 由题意知? y+y ? 2 =0,
B B

∴点 B(6-x,-y),(6 分)

?2x-y-2=0, ? 解方程组? ??6-x?+?-y?+3=0, ?

?x= 3 , 得? 16 ?y= 3 ,
11

16 -0 3 ∴k= =8.(12 分) 11 -3 3

∴所求的直线方程为 y=8(x-3),即 8x-y-24=0. (14 分)


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