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圆与直角坐标系综合训练题


圆与直角坐标系综合训练题
一、典型例题: 1. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,半径为 1 的圆的圆心 O 在坐标原点,且与两坐标轴分 别交于 A、B、C、D 四点. 抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 y 轴交于点 D , 与直线 y ? x 交于点

M 、N ,且 MA、NC 分别与圆 O 相切于点 A 和点 C .

1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴交 x 轴于点 E ,连结 DE ,并延长 DE 交圆 O 于 F ,求 EF 的长. (3)过点 B 作圆 O 的切线交 DC 的延长线于点 P ,判断点 P 是否在抛物线上,说明理由.

2. 已知二次函数图象的顶点在原点 O ,对称轴为 y 轴.一次函数 y ? kx ? 1 的图象与二次 函数的图象交于 A,B 两点( A 在 B 的左侧) ,且 A 点坐标为 ? ?4, 4? .平行于 x 轴的直线 l 过 ? 0, ? 1? 点. (1)求一次函数与二次函数的解析式; (2)判断以线段 AB 为直径的圆与直线 l 的位置关系,并给出证明; (3)把二次函数的图象向右平移 2 个单位,再向下平移 t 个单位 ? t ? 0? ,二次函数的图象 与 x 轴交于 M ,N 两点,一次函数图象交 y 轴于 F 点.当 t 为何值 时,过 F,M,N 三点的圆的面积最小?最小面积是多少?

y

O

x
l

3.

4. 如图所示, 抛物线与 x 轴交于点 A ? ?1 与 y 轴交于点 C ? 0, , 0?、B ?3, 0? 两点, ? 3? . 以 AB 为直径作 ⊙M , 过抛物线上一点 P 作 ⊙M 的切线 PD, 切点为 D, 并与 ⊙M 的切线 AE 相交 于点 E, 连结 DM 并延长交 ⊙M 于点 N, 连结 AN、AD. (1)求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标; (2)若四边形 EAMD 的面积为 4 3, 求直线 PD 的函数关系式; (3)抛物线上是否存在点 P ,使得四边形 EAMD 的面积等于 △DAN 的面积?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

二、巩固练习: 1. 如图,在平面直角坐标系中,点 A(10,0) ,以 OA 为直径在第一象限内作半圆 C,点 B 是该半圆周上一动点,连结 OB、AB,并延长 AB 至点 D,使 DB=AB,过点 D 作 x 轴垂线, 分别交 x 轴、直线 OB 于点 E、F,点 E 为垂足,连结 CF. (1)当∠AOB=30° 时,求弧 AB 的长度; (2)当 DE=8 时,求线段 EF 的长; (3)在点 B 运动过程中,是否存在以点 E、C、F 为顶点的三角形与 △AOB 相似,若存在,请求出此时点 E 的坐标;若不存在,请说明理由.

2. 如图,在平面直角坐标系中,顶点为( 4 , ?1 )的抛物线交 y 轴于 A 点,交 x 轴于 B ,

C 两点(点 B 在点 C 的左侧). 已知 A 点坐标为( 0 , 3 ). (1) 求此抛物线的解析式; (2) 过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D , 如果以点 C 为 圆心的圆与直线 BD 相切, 请判断抛物线的对称轴 l 与⊙ C 有怎样的位置关系, 并给出证明; C P A P (3)已知点 是抛物线上的一个动点,且位于 , 两点之间,问:当点 运动到什么 位置时, ?PAC 的面积最大?并求出此时 P 点的坐标和 ?PAC 的最大面积.
.

3.在直角坐标系 xoy 中,已知点 P 是反比例函数 y ?

2 3 图象上一个动点,以 P 为 ( x>0) x

圆心的圆始终与 y 轴相切,设切点为 A. (1)如图 1,⊙P 运动到与 x 轴相切,设切点为 K,试判断四边形 OKPA 的形状,并说明理 由. (2)如图 2,⊙P 运动到与 x 轴相交,设交点为 B,C.当四边形 ABCP 是菱形时: ①求出点 A,B,C 的坐标. ②在过 A, B, C 三点的抛物线上是否存在点 M, 使△MBP 的面积是菱形 ABCP 面积的 存在,试求出所有满足条件的 M 点的坐标,若不存在,试说明理由.

1 . 若 2

4. 已知:函数 y=ax +x+1 的图象与 x 轴只有一个公共点. 2 (1)求这个函数关系式; (2)如图所示,设二 次 函数 y=ax +x+1 图象的顶点为 B,与 y 轴的 . . 交点为 A,P 为图象上的一点,若以线段 PB 为直径的圆与直线 AB 相切于点 B,求 P 点的坐 标; (3)在(2)中,若圆与 x 轴另一交点关于直线 PB 的对称点为 M,试探索点 M 是否在抛物线 y=ax2+x+1 上,若在抛物线上,求出 M 点的坐标;若不在,请说明理由.

2

5. 已知二次函数 y ? ?

1 2 3 x ? x 的图象如图. 4 2

(1)求它的对称轴与 x 轴交点 D 的坐标; (2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移,设平移后的抛物线与 x 轴, y 轴的交点分别为 A、 B、C 三点,若∠ACB=90°,求此时抛物线的解析式; (3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为 M,以 AB 为直径,D 为圆心作⊙D,试判断直线 CM 与⊙D 的位置关系,并说明理由.


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