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不等式的证明方法之四


不等式的证明方法之四:放缩法 教学目标: 1.感受在什么情况下,需要用放缩法证明不等式。 2.探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。 教学重、难点: 1.掌握证明不等式的两种放缩技巧。 2.体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。 教学过程: 一、引入: 所谓放缩法, 即是把要证的不等式一边适当地放大 (或缩小) , 使之得出明显的不等量关系后, 再应用不等量大、小的传递性

,从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用 方法,尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。 常用的方法是:①添加或舍去一些项,如: a 2 ? 1 ? a , n(n ? 1) ? n , ②将分子或分母放大(或缩小)如:
1 1 1 ? 2? n(n ? 1) n n(n ? 1)
b b?m

③应用“糖水不等式” : “若 0 ? a ? b , m ? 0 ,则 a ? a ? m ” ④利用基本不等式,如 log 3 ? lg 5 ? ( ⑤利用函数的单调性:例如 f ( x ) ?

lg 3 ? lg 5 2 ) ? lg 15 ? lg 16 ? lg 4 2

x 的单调性; x ?1
2

⑥利用函数的有界性:如: sin x ≤ 1 ? x ? R? ; x ? x ≥ ⑦绝对值不等式: a ? b ≤ a ? b ≤ a ? b ; ⑧利用常用结论:如: 1 ?
k
1 2 2 ? ? ?2 k k? k k ? k ?1

1 x ? R? ; 2 x ? 0 ? x ? R? ? 4

2 2 ? ?2 k? k k ? k ?1

?

k ?1 ? k

? ? k ? N , k ? 1? ,
*

?

k ? k ?1

? ? k ? N , k ? 1? ;
*

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ; (程度大) 2 2 k (k ? 1) k ? 1 k k (k ? 1) k k ? 1 k k 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) ; (程度小) 2 k k ? 1 (k ? 1)(k ? 1) 2 k ? 1 k ? 1
下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。 二、典型例题:

例 1、若 n 是自然数,求证 证明:?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2. 2 1 2 3 n

1 1 1 1 ? ? ? , k ? 2,3,4,?, n. 2 k (k ? 1) k ? 1 k k

?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? ? ? ??? 2 1 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n 1 2 3 n
= ? ( ? ) ? ( ? ) ??? (

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) = 2 ? ? 2. 1 1 2 2 3 n ?1 n n 1 1 1 1 注意:实际上,我们在证明 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 的过程中,已经得到一个更强的结论 1 2 3 n 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ,这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。 n 12 2 2 3 2 n 1 1 1 1 ? ??? ? 3. 例 2、求证: 1 ? ? 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ?? n 1 1 1 ? ? k ?1 , ( k 是大于 2 的自然数) 证明:由 1? 2 ? 3 ? ?? k 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 1 1 1 1 ? ??? 得1 ? ? 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ?? n 1 1? n 1 1 1 1 2 ? 3 ? 1 ? 3. ? 1 ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? 1 ? 1 2 2 2 2 2 n?1 1? 2 a b c d ? ? ? ?2 例 3、若 a, b, c, d?R+,求证: 1 ? a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c

例 4、当 n > 2 时,求证: logn (n ? 1) logn (n ? 1) ? 1 证:∵n > 2 ∴ logn (n ? 1) ? 0,

logn (n ? 1) ? 0
2 2

? logn (n 2 ? 1) ? ? log (n ? 1) ? logn (n ? 1) ? logn (n ? 1) logn (n ? 1) ? ? n ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ?
∴n > 2 时,

? log n 2 ? ? ? n ? ?1 ? 2 ?

2

logn (n ? 1) logn (n ? 1) ? 1

三、课堂练习:

1、求证:

a?b 1? a ? b

?

a 1? a

?

b 1? b

.

2、设 n 为大于 1 的自然数,求证

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? . n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 2

3、若 n 是自然数,求证

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2. 2 1 2 3 n

3 1 1 1 1 ? 1 ? 2 ? ??? ? 2 ? 2 ? (n ≥ 2) 4、求证: ? 2 n ?1 2 n n

5、求证: 2 n ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? ??? ? 1 ? 2 n ? n ? N * ?
2 3 n

四、课时小结: 常用的两种放缩技巧:对于分子分母均取正值的分式, (Ⅰ)如果分子不变,分母缩小(分母仍为正数),则分式的值放大; (Ⅱ)如果分子不变,分母放大,则分式的值缩小。


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