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数学必修2第四章圆与方程教案有三维目标


第四章 圆与方程
4.1.1 圆的标准方程
授课类型:新授课 授课时间:第 周 年 月 日(星期 )

一、教学目标:
1、知识与技能: (1)掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 (2)会用待定系数法求圆的标准方程。 2、过程与方法:进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想, 通过圆的标准方程解

决实际问题的学习,培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。 3、情感态度与价值观:通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数 学的热情和兴趣。

二、教学重点、难点
重点:圆的标准方程 难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程。

三、教学过程:
(一)问题情境设置 问题 1:在直角坐标系中,确定直线的基本要素是什么? 问题 2:什么叫圆?在平面直角坐标系中,如何确定一个圆? 问题 3:在平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示,那么, 圆是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢?

(二)探索研究 设圆的圆心坐标为 A (a , b),半径为 r。 (其中 a、b、r 都是常数,r > 0) ,求圆的方程。 分析:设 M (x , y)为这个圆上任意一点,那么点 M 满足的条件是 P = {M | |MA| = r},
2 2 由两点间的距离公式可得出点 M 适合的条件 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r

化简可得: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

问题 4:以上方程是否表示以为 A (a , b)圆心,r 为半径的圆? 结论:以 A (a , b)为圆心,半径长为 r 的圆的标准方程为: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 。
2 2 2

1

(三)知识应用与解题研究 例 1:写出圆心为 A(2,– 3) ,半径长等于 5 的圆的方程,并判断点

M1 (5, ?7), M2 (? 5, ?1) 是否在这个圆上。
分析:可以从计算点到圆心的距离入手。 圆的方程: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25 ;M1 在圆上,M2 不在圆上。 拓展:点 M2 是在圆内还是在圆外? 探究:点 M ( x0 , y0 ) 在圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 内的条件是什么?在圆外呢? 结论:点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的关系的判断方法:
2 2 2

(1) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r ,点在圆外; (2) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r ,点在圆上;
2 2

(3) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r ,点在圆内。
2

例 2:△ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B(7, ?3), C (2, ?8), 求它的外接圆的方程。 分析:从圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2
2

可知,要确定圆的标准方程,可用待
2

定系数法确定 a、b、r 三个参数。[ ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25 ]

例 3:已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,且圆心在直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上, 求圆心为 C 的圆的标准方程。 分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小。圆心为

C 的圆经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,由于圆心 C 与 A,B 两点的距离
相等,所以圆心 C 在线段 AB 的垂直平分线 m 上,又圆心 C 在直线 l 上,因此圆心 C 是直线 l 与直线 m 的交点,半径长等于 CA 或 CB 。 归纳:求任意△ABC 外接圆的标准方程的两种求法: (1)根据题设条件,列出关于 a、b、r 的方程组,解方程组得到 a、b、r 得值,写出 圆的标准方程。 (2)根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出 圆的标准方程。
2

(四)练习反馈:课本 P120 练习。

(五)提炼小结: (1)圆的标准方程; (2)点与圆的位置关系的判断方法; (3)根据已知条件求圆的标准方程的方法。

(六)作业:课本 124 习题 4.1 第 2、3、4 题。

教学反思:

3

4.1.2 圆的一般方程
授课类型:新授课 授课时间:第 周 年 月 日(星期 )

一、教学目标
1、知识与技能:(1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程 的代数特征, 由圆的一般方程确定圆的圆心半径, 掌握方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件。 (2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程,能用待定系数 法求圆的方程。 (3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 2、过程与方法:通过对方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件的探究,培 养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 3、情感态度价值观:渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生 的整体素质,激励学生创新,勇于探索。

二、教学重点、难点
重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条 件确定方程中的系数:D、E、F。 难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用。

三、教学过程:
(一)课题引入 思考:方程 x 2 + y 2 – 2x + 4y + 1 = 0 表示什么图形?方程 x 2 + y 2 – 2x – 4y + 6 = 0 表示什么图形? 思路分析:以上是关于 x,y 的二元二次方程,与圆的标准方程进行比较,得 知应进行配方: (x – 1) 2 + (y + 2) 2 = 4 表示圆;(x – 1) 2 + (y – 2) 2 = – 1 不表示任何图形。 拓展问题:方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示什么图形?
2 2

(二)探索研究 1、配方: ( x ?

D 2 E D 2 ? E 2 ? 4F ) ? ( y ? )2 ? 2 2 4

4

2、 讨论: (1) 当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时, 表示以 (? 为半径的圆;

1 D E 2 2 ? ) , 为圆心, D ? E ? 4 F 2 2 2 D E , y ? ? ,即只表示一个 2 2

(2)当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程只有实数解 x ? ? 点( ?

D E ,? ) ; 2 2

(3)当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形。 3、 归纳: 圆的一般方程:x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 ) 。 4、方程的特征:(1)x 2 和 y 2 的系数相同,且不等于 0; (2)没有 xy 这样的二次项。 5、比较:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点? (1)圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显;圆的标准方 程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 (2)圆的标准方程与一般方程可以相互转化。 (三)知识应用与解题研究 例 1:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和 圆心坐标。 分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而 条件恰给出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程
2 2
新疆

王新敞
学案

解:设所求的圆的方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ∵A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解,把它们的坐 标代入上面的方程,可以得到关于 D,E,F 的三元一次方程组:

?F ? 0 ? 即 ?D ? E ? F ? 2 ? 0 ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ?
2

解此方程组,可得: D ? ?8, E ? 6, F ? 0 , ,
2

∴所求圆的方程为: x ? y ? 8x ? 6 y ? 0 ;
2 2 配方得: ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 25 ,所以圆的半径 r ? 5 ,圆心坐标为 (4 , – 3)。

归纳:用待定系数法求圆的方程的一般步骤: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程;

5

(2)根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组; (3)解出 a、b、r 或 D、E、F,代入标准方程或一般方程。 例 2、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 上运动, 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。 分析:如图,点 A 运动引起点 M 运动,而点 A 在已知圆上运动,点 A 的坐标满足方程 建立点 M 与点 A 坐标之间的关系, 就可以建立点 M 的坐标满足的条件, ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 。 求出点 M 的轨迹方程。 解:设点 M 的坐标是(x , y) ,点 A 的坐标是 ( x0 , y0 ) ,由于点 B 的坐标是(4,3) , 且 M 是 线 段 AB 的 中 点 , 所 以

x?

x0 ? 4 y ?3 ,y ? 0 ,于是有 x0 ? 2x ? 4, y0 ? 2 y ? 3 ①; 2 2
因为点 A 在圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 上运动,所以点 A 的坐标满足方程 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 ,

2 即 ? x0 ? 1? ? y0 ? 4 2

②,把①代入②,得 (2 x ? 4 ? 1) 2 ? (2 y ? 3) 2 ? 4 ,

3 2 3 3 所以点 M 的轨迹是以 ( , ) 为圆心,半径长为 1 的圆。 2 2
2 2 整理得: ( x ? ) ? ( y ? ) ? 1 ,

3 2

(四)课堂练习:课堂练习 P123。 (五)小结:我们学到了什么? 1、圆的一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的讨论(什么时候可以表示圆) ;
2 2

2、圆的一般方程与标准方程的互化; 3、用待定系数法求圆的方程; 4、求与圆有关的点的轨迹。 (六)作业:课本 P124 习题 4.1 [A 组]第 1、5、6 题。 教学反思:

6

4.2.1 直线与圆的位置关系
授课类型:新授课 授课时间:第 周 年 月 日(星期 )

一、教学目标
1、知识与技能:能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系。 2、过程与方法:通过具体事例探究直线与圆的位置关系,经历利用点到直线距离来判 断直线与圆位置关系的过程,学会求弦长或圆的切线的方法。 3、情感态度与价值观:通过观察图形,理解并掌握直线与圆的位置关系,培养数形结 合的思想。

二、教学重点、难点:
重点:直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法。 难点:用坐标法判直线与圆的位置关系。

三、教学过程
(一)实例引入 例 1、已知直线 l:3x + y – 6 = 0 和圆心为 C 的圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线 l 与 圆 C 的位置关系;如果相交,求直线 l 被圆 C 所截得的弦长。 问题 1:在平面几何中,直线与圆的位置关系有几种? (1)直线与圆相交,有两个公共点; (2)直线与圆相切,只有一个公共点; (3)直线与圆相离,没有公共点。 问题 2:在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系?如何用直线和圆的方程判断它们 之间的位置关系? 方法一:联立方程组,考察方程组有无实数解; 方法二:依据圆心到直线的距离与半径长的关系,判断直线与圆的位置关系。 (二)问题解决 解法一:联立方程组: ?

?3x ? y ? 6 ? 0 ?x ? y ? 2 y ? 4 ? 0
2 2

? x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,

因为判别式△ > 0,所以直线 l 与圆 C 相交,有两个公共点。 解法二:圆心 C(0,1) ,半径 r ?

5 ,圆心 C 到直线 l 的距离

7

d?

10 ? 5 ,所以直线 l 与圆 C 相交。 2
结论:判断直线 l 与圆 C 的位置关系的方法: 1、判断直线 l 与圆 C 组成的方程组是否有解: (1)有两组实数解,则直线 l 与圆 C 相交; (2)有一组实数解,则直线 l 与圆 C 相切; (3)没有实数解,则直线 l 与圆 C 相离。 2、判断圆 C 的圆心 C 到直线的距离与圆的半径的关系: (1)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离; (2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交; 拓展:如何求直线 l 被圆 C 所截得的弦 AB 的长? 解法一:联立方程组,消去一个未知数,得关于的一元二次方程: 思路一:求出交点的坐标,由两点间的距离公式求得弦长。 思路二:设直线 l 的方程为 y = kx + b,由根与系数的关系得 x1 ? x2 , x1 x2 ,代入弦长公

式即得。弦长公式:

| AB |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? (1 ? k 2 )( x 2 ? x1 ) 2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ]
解法二:利用圆被截得弦的性质:如右图, | AB |? 2 r 2 ? d 2 。 结论:对于圆内的弦长,利用圆心以直线的距离来求解较为简便。 (三)知识迁移 例 2、 已知过点 M (– 3, – 3) 的直线 l 被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 , 求直线 l 的方程。 问题 1:确定一条直线的条件是什么?(两点;一点及直线的斜率) 设直线的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 3) ? kx ? y ? 3k ? 3 ? 0 ; (为什么要化为一般式?) 问题 2:已知条件是什么?如何转化更简便? 圆心 C(0,– 2) ,半径 r = 5,又 | AB |? 4 5 ,所以 d =

5;

问题 3:有什么好的解题思路?——利用圆心到直线的距离,求斜率。

| 2 ? 3k ? 3 | k ?1
2

1 ? 5 ? k ? ? 或 k = 2。 2

8

(四)反馈练习:课本 P128。

(五)归纳:

(六)作业:课本 P132,习题 4.2 [A 组] 1,2,3。

教学反思:

9

4.2.2 圆与圆的位置关系
授课类型:新授课 授课时间:第 周 年 月 日(星期 )

一、教学目标
1、知识与技能: (1)能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系; (2)掌握求圆的切线方程的方法。 2、过程与方法:探索圆与圆的位置关系的判断方法;会求圆的切线的方程。 3、情感态度与价值观:通过观察图形,理解并掌握圆与圆的位置关系,培养学生数形 结合的思想。

二、教学重点、难点:
重点:圆与圆的位置关系的判断,圆的切线方程的求法。 难点:用坐标法判断圆与圆的位置关系,求圆的切线的方程。

三、教学过程
(一)实例引入 例 1、已知圆 C1: x 2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 ,圆 C2: x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 ,试 判断圆 C1 与圆 C2 的关系。 思考:圆与圆的位置关系有哪几种?如何根据圆的方程,判断它们之间的位置关系?

(二)解决问题 圆与圆的位置关系:相离,外切,相交,内切,内含。 判断方法: 方法一:联立方程组,考察方程组有无实数解。 方法二:依据圆心距 l = |C1C2|与两半径长的和 r1 ? r2 或两半径的差的绝对值 | r1 ? r2 | 的 大小关系,判断两圆的位置关系: (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相离; (2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 外切; (3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相交; (4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内切; (5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内含。

10

解法一:联立方程组,相减得:x + 2y – 1 = 0,代入圆的方程,并整理得:

x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,因为△ > 0,所以两个圆有两个公共点。
解法二:因为 C1 (?1,?4), r1 ? 5; C2 (2,2), r2 ? 10 ,所以 | C1C2 |? 3 5 , 得 5 ? 10 ? 3 5 ? 5 ? 10 ,所以 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 ,两个圆 相交。

反馈练习:课本 P130 练习。

(三)知识拓展 1、如果两圆相交,其交线的方程是什么? 探究:由例 1 求出两圆的交线方程(两点式) ,你有什么发现?为什么? 结论:联立方程组,消去二次项即得两圆交线的方程。 2、圆系:过两圆 x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 , x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的交 点的圆系: ( x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ) ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 。 (四)知识迁移:求圆的切线方程 例 2、已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 4 ,分别求过点 A(1, 3 ) ,B(2,3)的切线方程。 分析: (1)因为 12 ? ( 3) 2 ? 4 ,所以点 A 在圆 O 上, kOA ? 3 ,所以过点 A 的切线 方程为 y ? 3 ? ?

3 ( x ? 1) ,即 x ? 3 y ? 4 ? 0 。 3

2 2 (2) 因为 2 ? 3 ? 13 ? 4 , 所以点 B 在圆外, 设过点 B 的切线方程为 y – 3 = k (x – 2),

即 kx – y – 2k + 3 = 0,所以

| ?2k ? 3 | k 2 ?1

?2?k ?

5 ,又直线 x = 2 过点 B 且是圆的切线, 12

所以过点 B 的切线方程为 x = 2 或 5x – 12y + 26 = 0。 归纳:求过点 P( x0 , y0 ) 向圆 C: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 所引的切线方程的方法:
2 2 2

(1)P 在圆内,没有切线; (2)P 在圆上,仅有一条切线,其斜率为 k ? ?

1 k PC



11

(3)P 在圆外,有两条切线,设其斜率为 k,根据圆心到直线的距离等于半径可得。 反馈练习:求过点 E(3,5)向圆 C: x 2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 所引的切线方程。

(五)课堂小结 (1)判断两个圆的位置关系有几种方法?它们的特点是什么? (2)如何求两个圆的相交弦所在直线的方程? (3)如何求过点 P 的圆的切线方程?

(六)作业:课本 P132,习题 4.2 [A 组]4,7;圆的切线方程练习。

教学反思:

12

4.2.3 直线与圆的方程的应用
授课类型:新授课 授课时间:第 周 年 月 日(星期 )

一、教学目标
1、知识与技能: (1)理解直线与圆的位置关系的几何性质; (2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; (3)会用“数形结合”的数学思想解决问题. 2、过程与方法:经历用坐标法解决几何问题的过程,体会用“数”解决“形”的问题 的具体应用。 3、情感态度与价值观:通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,培养学生 分析问题与解决问题的能力。

二、教学重点、难点:直线与圆的方程的应用。 三、教学过程
(一)实例引入 问题:一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船 正西 70km 处,受影响的半径长为 30km 的圆形区域。已知港口位于台风中心正北 40km 处, 如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响? (二)解决问题 (1)建立坐标系:以台风中心为原点 O,东西方向为 x 轴,建立直角坐标系(如图) ; (2)将平面几何问题转化为代数问题: 圆形区域所在圆 O 的方程为: x ? y ? 900;
2 2

轮船航线所在直线 l 的方程为:

x y ? ? 1 ? 4 x ? 7 y ? 280 ? 0 ; 70 40

问题归结为判断圆 O 与直线 l 有无公共点。 (3)解决代数问题: d ?

280 16 ? 49

?

280 ? 35 ? 30 ? r ; 8

(4)获得几何结论:这艘轮船不会受到台风的影响。 总结:用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几 何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题;
13

第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论。

(三)应用举例 例 2、如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图,这个圆的圆拱跨度 AB = 20m,拱高 OP = 4m,建造时每间隔 4m 需要用一根支柱支撑,求支柱 A2P2 的高度。 (精确到 0.01m) 分析: (1)建立坐标系(如图) ; (2)如何求圆拱所在圆的方程? 思路一: 设圆的标准方程: 圆心在 y 轴上: x 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,
2 2 ? ?b ? ?10.5 ?100 ? b ? r 圆过两点(10,0) , (0,4) ,所以 ? 。 ?? 2 2 ? ?r ? 14.5 ?(4 ? b) ? r

思路二:设圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,圆过三点(10,0) , (0 , 4 ) (– 10,0) ,所以圆的方程为 x 2 ? ( y ? 10.5) 2 ? 14.52 。 (3)直线 A2P2 的方程:x = – 2; (4)如何求点 P2 的坐标?联立方程组 ?

? x 2 ? ( y ? 10.5) 2 ? 14.5 2 ? y ? 3.86 。 ? x ? ?2

(5)作答:支柱 A2P2 的高度为 3.86 m。

例 3、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证:圆心到 一边的距离等于这条边所对边长的一半。 已知:ABCD 是圆 O1 的内接四边形,AC⊥BD,O1E⊥AD,垂足 为 E。求证:O1E =BC。 分析:建立直角坐标系(如图) ,设 A(a,0) ,B(0,b) ,C(c,0) ,D(0,d) ,如 何求 O1 的坐标? O1 (

a?c b?d a d 1 2 1 , ), E ( , ) ,所以 | O1 E |? b ? c 2 ? | BC | 。 2 2 2 2 2 2

(四)反馈练习:课本 P132,练习 1,2。

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(五)归纳小结: (1)利用“坐标法”解决问题需要准备什么工作? (2)如何建立直角坐标系,才能易于解决平面几何问题? (3)用“坐标法”解决几何问题的关键是什么? (4)建立不同的平面直角坐标系,对解决问题有什么直接的影响?

(六)作业:课本 P132,练习 3,4。

教学反思:

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4.3 空间直角坐标系
授课类型:新授课 授课时间:第 周 年 月 日(星期 )

一、教学目标
1、知识与技能:掌握空间直角坐标系的有关概念;会根据坐标找相应的点,会写一些 简单几何体顶点的有关坐标,掌握空间两点间的距离公式,会应用距离公式解决有关问题。 2、过程与方法:通过空间直角坐标系的建立,空间两点距离公式的推导,使学生初步 意识到:将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法;通过本节的学习,培 养学生类比,迁移,化归的能力。 3、情感态度与价值观:解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科,在 教学过程中要让学生充分体会数形结合的思想, 进行辩证唯物主义思想的教育和对立统一思 想的教育;培养学生积极参与,大胆探索的精神。

二、教学重点、难点
重点:建立空间直角坐标系; 难点:用空间直角坐标系刻画点的位置和根据点的位置表示出点的坐标。

三、教学过程
(一)创设问题情景 问题 1:借助平面直角坐标系,我们就可以用坐标表示平面上任意一点的位置,那么空 间的点如何表示呢? (二)知识探求 1、空间直角坐标系: 问题 2:如何建立空间直角坐标系? (1)在平面直角坐标系的基础上,通过原点再增加一根竖轴,就成了空间直角坐标系。 (2)如无特别说明,本书建立的坐标系都是右手直角坐标系。 (3)空间直角坐标系的“三要素” :原点、坐标轴方向、单位长度。 (4) 在平面上画空间直角坐标系 O-xyz 时, 一般使 ?xOy ? ?xOz ? 135 , ?yOz ? 90? ,
?

且使 y 轴和 z 轴的单位长度相同,x 轴上的单位长度为 y 轴(或 z 轴)的单位长度的一半, 即用斜二测的方法画。 2、思考交流: 为什么空间的点 M 能用有序实数对 (x,y,z) 表示?
16

设点 M 为空间直角坐标系中的一点,过点 M 分别作垂直于 x 轴、y 轴、z 轴的平面,依 次交 x 轴、y 轴、z 轴于 P、Q、R 点,设点 P、Q、R 在 x 轴、 y 轴、z 轴上的坐标分别是 x、y 和 z,那么点 M 就有唯一确定 的有序实数组 (x,y,z); 反过来,给定有序实数组 (x,y,z),可以在 x 轴、y 轴、 z 轴上依次取坐标为 x、y 和 z 的点 P、Q 和 R,分别过 P、Q 和 R 点各作一个平面,分别垂直于 x 轴、y 轴、z 轴,这三个平面的唯一的交点就是有序实 数组 (x,y,z) 确定的点 M。 3、例题剖析: 例 1、如图,在长方体 OABC—D1A1B1C1 中,|OA| = 3,|OC| = 4, |OD1| = 2,写出 D1,C,A1,B1 四点的坐标。 分析:D1(0,0,2) ,C(0,4,0) ,A1(3,0,2) ,B1(3,4,2) 。 例 2、结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为

1 2

的小正方体堆积成的正方体) ,其中色点代表钠原子,黑点代表氯原子。如图建立空间直角 坐标系 Oxyz 后,试写出全部钠原子所在位置的坐标。

分析:

1 1 , ,0) ; 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 中层钠原子的坐标: ( ,0, ) , (1, , ) , ( ,1, ) , (0, , ) ; 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 上层钠原子的坐标: (0,0,1) , (1,0,1) , (1,1,1) , (0,1,1) , ( , ,1) 。 2 2
下层钠原子的坐标: (0,0,0) , (1,0,0) , (1,1,0) , (0,1,0) ( 4、反馈练习:课本 P136,练习 1,2,3。 (三)知识迁移:空间两点间的距离公式 1、思考:类比平面两点间距离公式的推导,你能猜想一下空间两点间的距离公式吗? 解决问题:

17

(1)设点 P 的坐标是 (x,y,z),求点 P 到坐标原点 O 的距离。 如图,设点 P 在 xOy 平面上的射影是 B,则点 B 的坐标是 (x,y,0), 在平面 xOy 上,有 | OB |?

x2 ? y2 , | OB | 2 ? | BP | 2

在 Rt△OBP 中,根据勾股定理, | OP |? 因为 | BP | = | z |,所以 | OP |?

x2 ? y2 ? z2 。

(2)探究:如果 | OP | 是定长,那么 x 2 ? y 2 ? z 2 ? r 2 表示什么图形? 表示空间中以原点 O 为圆心,r 为半径的球。 (3)空间两点间的距离公式: 设P 1 ( x1 , y1 , z1 ) , P 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 在平面 xOy 上的射 影分别为 M ( x1 , y1 ,0) , N ( x2 , y 2 ,0) , 所以 | MN |?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ,

过点 P1 作 P1H⊥P2N 于 H,则|MP1| = |z1|,|MP2| = |z2|,所以|HP2| = |z2 – z1|, 在 Rt?P 1P 2 H 中,|P1H| = |MN|,

| P1 H | 2 ? | P2 H | 2 ? 所以 | P 1P 2 |?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2 ;

结论:空间两点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) , P 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 之间的距离公式:

| P1 P2 |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2 。
思考:该公式与平面上两点间的距离公式有什么联系? 3、反馈练习:课本 P138,练习 1,2,3,4。 (四)归纳小结:我们学到了什么? 1、空间直角坐标系:用空间直角坐标系刻画点的位置,根据点的位置表示出点的坐标。 2、空间两点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) , P 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 之间的距离公式:

| P1 P2 |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2 。
(五)作业:课本 P138,习题 4.3 [A 组] 2,3。 教学反思:

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第四章《圆与方程》小结与复习
授课类型:复习课 授课时间:第 周 年 月 日(星期 )

一、教学目标:
1、知识与技能: (1)掌握知识结构与联系,进一步巩固、深化所学知识; (2)通过对知识的梳理,提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。 2、过程与方法:利用框图对本章知识进行系统的小结,直观、简明再现所学知识,化 抽象为直观,易于识记,同时凸现数学知识的发展和联系。 3、情感态度与价值观:通过知识的整合、梳理,理会空间点、线、面间的位置关系及 其互相联系,进一步培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

二、教学重点:各知识点间的网络关系。 难点:在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。 三、教学过程
(一)整合知识,发展思维 1、圆的方程及其特点: (1)标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2
2 2 (2)一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 )

x 2 和 y 2 的系数相同,且不等于 0;没有 xy 这样的二次项。 (3)圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显;圆的标准方程则指出 了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 (4)圆的标准方程与一般方程可以相互转化。 2、位置关系: (1)点与圆的位置关系:

( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r 2 ,点在圆外; ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r 2 ,点在圆上; ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r 2 ,点在圆内。
(2)直线与圆的位置关系 方法一:直线与圆有无公共点,等价于它们的方程组成的方程组有无实数解。方程有几 组解,直线与圆就有几个公共点;方程组没有实数解,直线与圆就没有公共点。 方法二:判断圆 C 的圆心 C 到直线的距离与圆的半径的关系:
19

(1)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离;——求圆上任意一点到直线的距离的最值; (2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切;——求圆的切线方程; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交;——求弦长。 (2)圆与圆的位置关系 方法一:圆与圆有无公共点,等价于它们的方程组成的方程组有无实数解。方程有几组 解,圆与圆就有几个公共点;方程组没有实数解,圆与圆就没有公共点。 方法二:依据圆心距 l = |C1C2|与两半径长的和 r1 ? r2 或两半径的差的绝对值 | r1 ? r2 | 的 大小关系,判断两圆的位置关系: (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相离; (2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 外切; (3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相交; (4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内切; (5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内含。 3、用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几 何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论。 4、空间直角坐标系的建立,空间两点间的距离公式。 (二)应用举例,深化巩固 例 1、一圆与 y 轴相切,圆心在直线 x – 3y = 0 上,且直线 y = x 截圆所得弦长为 2 7 , 求此圆的方程。

例 2、设方程 x 2 + y 2 – 2 (m + 3) x + 2 (1 – 4m 2) y + 16m 4 + 9 = 0 表示圆,求 m 的取值范 围,并求圆心的轨迹方程。

例 3、已知直线 x – my + 3 = 0 和圆 x 2 + y 2 – 6x + 5 = 0, (1)求实数 m,使直线与圆分别相交、相切、相离; (2)当 m 为何值时,圆被直线截得的弦长为

2 10 。 5

20

例 4:已知方程 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 , (1)若此方程表示的曲线是圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x + 2y – 4 = 0 相交于 M、N 两点,且 OM⊥ON(O 为原点) , 求 m 的值; (3)在(2)的条件下,求以线段 MN 为直径的圆的方程。

例 5:据气象台预报:在 A 市正东方向 300 的 B 处有一台风中心形成,并以每小时 40 速度向西北方向移动,在距台风中心 250 以内的地区将受其影响,从现在起经过多长时间, 台风将影响 A 市?持续多长时间?

例 6、已知 P (x , y)为圆 C : x 2 + y 2 – 6x – 4y + 12 = 0 上的动点, (1)求

y 的最大值与最小值; x

(2)求 x – y 的最大值与最小值; (3)求 x 2 + y 2 的最大值与最小值; (4)已知定点 A (– 1 , 0) , B (1 , 0),求|PA| 2 + |PB| 2 的最小值及点 P 的坐标; (5)求点 P 到直线 3x + 4y = 0 距离的最大值与最小值;

例 7、 已知圆 C : (x – 1) 2 + (y – 2) 2 = 25, 直线 l : (2m + 1) x + (m + 1) y – 7m – 4 = 0 ∈R), (1)证明不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒交于两点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程。

(m

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